巴蜀中学2018届高考适应性月考卷(八)理数-答案

∴存在 t ∈ (0，1)，使得 F ′(t) = 0，即 et (t −1) + 2b(t + 2) = 0 ． …………………（6 分）
x ∈ (0，t) 时， F ′(x) < 0，F (x) 单调递减，
x ∈ (t，+ ∞) 时， F ′(x) > 0，F (x) 单调递增，
∴ F (x)min
=
t
2 −
1
∈[2
2，+ ∞) ．
t
…………………………………………（12 分）
18．（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）
μ
= 172，σ
=
6，P(ξ
≥178)
=
1 − 0.6826 2
=
0.1587
，
10000 × 0.1587 = 1587 (人)．
………………………………………………（3 分）
（Ⅱ） (0.015 + 0.05 + 0.07 + a + 0.01 + 0.005) × 6 = 1，∴a ≈ 0.017 ． ………………（5 分）
的法向量为
n
=
(
x，y，z)
，
DP
=
1 3
DS
=
2 3
，0，
7 3
，
点 A(0，− 2，0)，B( 2，0，0)， AC = (0，2 2，0) ．
AP = AD + DP = (−
2，
2，0)
+
2 3
，0，
7 3
=
−
2
2 3
，
2，
7 3
，
理科数学参考答案·第 3 页（共 6 页）
又∵C
∈
(0，π)，sin
C
≠
0，∴
cos
C
=
−
1 2
，
∴C
=
2π 3
．
……………………………………………………………………（4 分）
由余弦定理： c2 = a2 + b2 − 2ab cos C ，又 c2 = 7b2，
∴a2 − 6b2 + ab = 0，∴a = 2b或a = −3b(舍去)，
巴蜀中学 2018 届高考适应性月考卷（八） 理科数学参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
答案 C C B A B D D D B A C A
【解析】
12 ．
f ′(x) = 2x + a ， 则 x
f ′(1) = 2 + a = 4，∴a = 2， an
（Ⅱ）设点 Q(x，y)，则 OP = (1，− 2)，PQ = (x −1，y + 2) ，
OP
PQ
=
x
−
2
y
−
5
，又
x y
= =
−2 + 2 cosθ， 2 sin θ，
OP PQ = x − 2 y − 5 = −2 + 2cosθ − 4sinθ − 5 = −2 5 sin(θ +ϕ) − 7 ，
=
1 (n ∈ N*，n ≥1)， 则 n
Sn
=
1
+
1 2
+
1 3
+
+
1 n
．设
f
(x)
=
ln(1 +
x)
−
x(x ∈ (0，1))，则
f
′(x)
=
1 x +1
−1=
−x x +1
<
0，∴
f
(x)在(0，1)
上单调
递减，
∴ f (x) <
f (0)，
即
ln(1 + x) <
x，
令
x=
1， n
则
ln
1
≤1
时，
2x
−
1
+
1
−
x
>
2，∴无解；
③当
x
>
1
时，
2
x
−1
+
x
−
1
>
2，∴
x
>
4 3
，
综上所述，
x
<
0
或
x
>
4 3
.
………………………………………………（5 分）
（Ⅱ）证明：
f
(t)
+
f
−1t
=|
2t
−
a
|
+
|t
−
a|
+
−
2 t
−
a
+
1 −
t
−
a
≥
(2t
−
a)
−
−
2 t
−
a
+
(t
−
a)
−
………………………………………（8 分）
(2k
−
1)
2m2 − 1+ 2k
2
2
+
(m
−
1)
−4km 1 + 2k 2
= 0，∴k
=
m +1， 2
∴直线
l：
y
=
m +1 2
x
+
m，
∴直线
l
过定点
(−2，− 1)
．
………………………（12 分）
理科数学参考答案·第 4 页（共 6 页）
21．（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ） f ′(x) = ex (−x2 + ax − 2) + ex (−2x + a) = ex[−x2 + (a − 2)x + a − 2] ，
=
F (t)
=
et (t
−
2)
+ b(t
+
2)2
=
et (t
−
2) +
et (t −2(t
− 1) + 2)
(t
+
2)2
=
et
−
1 2
t
Байду номын сангаас
2
+
t 2
− 1
．
……………………………………………………………………（9 分）
设
h(t)
=
et
−
1 2
t2
+
t 2
−1， 则
h′(t)
=
et
−
1 2
t2
−
t 2
−
1 t
−
a
=
2t
+
2 t
+
t
+
1 t
=
3
t
+
1 t
≥3×
2
=
6，
当且仅当 t = ±1 时取等号．
………………………………………………（10 分）
理科数学参考答案·第 6 页（共 6 页）
|F1F2
|2 =
|
AF1
|2
+
|
AF2
|2
−2
|
AF1
||
AF2
|
cos
π 3
=
(|
AF1
|
+
|
AF2
|)2
−
4，
∴b2 = 1，a2 = 2，c2 = 1.
∴椭圆的方程为：
x2 2
+
y2
=1．
………………………………………（4 分）
（Ⅱ）设点 B(x1，y1)，C(x2，y2 )， 直线 l：y = kx + m(m ≠ ±1) 联立椭圆方程得： (1 + 2k 2 )x2 + 4kmx + 2m2 − 2 = 0，
S△ABC
=
1 2
ab
sin
C
=
2
3，∴ab = 8，
∴a = 4，b = 2 ．
…………………………………………………………（8 分）
（Ⅱ）
λ
=
sin A + cos A，设 sin Acos A
t
=
sin
A
+
cos
A
=
2
sin
A
+
π 4
，
∵
A
∈
0，π 3
，∴ t
∈
(1，
2 ]，
∴λ
=
2t t2 −1
而
BE
n
=
0，
∴t
=
1 2
．
即当 SE∶EC=1∶1 时， BE∥ 平面 PAC．
…………………………………（12 分）
20．（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ） e = c = a
2． 2
由 S△F1AF2
=
1 2
|
AF1
||
AF2
| sin
π 3
=
3 3
，∴ |
AF1
||
AF2
|=
4， 3
|AF1 | + | AF2 |= 2a，| F1F2 |= 2c，
F ′(x) = ex (x −1) + 2b(x + 2).
设ϕ(x) = ex (x −1) + 2b(x + 2)， 则ϕ′(x) = xex + 2b， 又 x ∈ (0，+ ∞) ，
∵ϕ′(x) > 0，∴ F ′(x) 单调递增，又 F ′(1) = 6b > 0，F ′(0) = 4b −1 < 0，
n n
AC AP
= =
0， 0，
则
2 −
2
2 y = 0，
2x 3
+
2
y
+
7 3
z
=
令 0，
x
=
1，
则
n
=
1，0，2
14 7
，
设 CE = tCS，
BE = BC + CE = BC + tCS = (− 2， 2，0) + t(0，− 2， 7) = (− 2， 2(1 − t)， 7t) ，
∴OP PQ 的最大值为 2 5 − 7 ．
………………………………………（10 分）
23．（本小题满分 10 分）【选修 4−5：不等式选讲】
（Ⅰ）解：当 a = 1时， f (x) =| 2x −1| + | x −1| ，
①当
x
<
1 2
时，1 −
2x
+1
−
x
>
2，∴
x
<
0
；
②当
1 2
≤
x
理科数学参考答案·第 2 页（共 6 页）
X 的所有可能取值为 0，1，2，3，
P(X
= 0) =
C36 C39
=
5， 21
P(X
= 1) =
C62C13 C39
=
15 28
，
P(X
=
2)
=
C16C32 C39
=
3 14
， P(X
= 3)
=
C33 C39
=
1 84
．
X 的分布列如下：
X
0
1
2
3
20
45
18
1
P
84
84
84
84
E(
X
)
=
1×
45 84
+
2
×
18 84
+
3
×
1 84
=
1
．
……………………………………………（12 分）
19．（本小题满分 12 分）
解：如图，连接 BD ，设 AC 交 BD 于 O，
由题意知 SO⊥平面 ABCD．以 O 为坐标原点， OB，OC，OS 分别为 x 轴、y 轴、z 轴正方向，
由
ρ x
2= =ρ
x2 + y2， cosθ，
得
C2
：(x
+
2)2
+
y2
=
4
，圆心为 (−2，0)
，半径
r
=
2，
圆心到直线 C1 的距离： d = |
3(−2 + 2
1)
−
0
|
=
3， 2
|
AB 2
| 2
+
d2
=
22
，∴|
AB
|=
13 ．
……………………………………………（5 分）
理科数学参考答案·第 5 页（共 6 页）
Δ = (4km)2 − 4(1 + 2k 2 )(2m2 − 2) = −8(m2 − 2k 2 −1) > 0，
x1
+
x2
=
−4km 1 + 2k2
，x1 x2
=
2m2 − 1+ 2k
2
2
，
………………………………………（6 分）
kPB
+ kPC
=
y1 −1 + x1
y2 −1 = 1， x2
即 (2k −1)x1x2 + (m −1)(x1 + x2 ) = 0，
OS = (0，0，
7) ，设所求二面角为θ
，则 cosθ
=
|
DS DS
||
OS OS
|
=
7 9×
7=
7， 3
故所求二面角的余弦值为 7 ． 3
………………………………………（6 分）
（Ⅱ）假设在棱 SC 上存在一点 E 使得 BE∥ 平面 PAC．
在 SC 上取点 E，连接 BE，
设平面
PAC
设中位数为 x，则 0.015 × 6 + 0.05 × 6 + (x −172) × 0.07 = 0.5，
∴ x ≈ 173.571 ．
……………………………………………………………（7 分）
（Ⅲ）身高[184，190) ：100 × 0.01× 6 = 6 ，
身高 [190，196) ：100 × 0.005 × 6 = 3 ，
−
1 2
．
∵h′(t) < 0，∴h(t) 单调递减，又 h(0) = −1，h(1) = −e ，
∴ F (x)min ∈ (−e，−1) ．
………………………………………………………（12 分）
22．（本小题满分 10 分）【选修 4−4：坐标系与参数方程】
解：（Ⅰ）消去 t 得 C1 ：y = 3(x + 1) ，
建立坐标系 O − xyz 如图所示．
底边 AB = 2 ，侧棱 SA = 3 ，则高 SO = 7 ．