河南省西华县2016-2017学年高一数学下学期第一次质量检测试题 理

2016---2017学年度高一下期第一次质量检测
数学试题（理科）
一．选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.sin(－1740°)的值是( )
A ．－32
B ．－12 C.12 D.3
2
2.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－φ＝32
，且|φ|<π2，则tan φ＝( )
A ．－
33 B.3
3
C ．－ 3 D. 3 3.在单位圆中，一条弦AB 的长度为3，则该弦AB 所对的弧长l 为( ) A.23π B.34π C.5
6π D ．π
4.定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值为( ) A ．－12 B.32 C ．－32 D.1
2
5.已知函数f (x )＝2sin x ，对任意的x ∈R 都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值为( )
A.
π4 B.π
2
C ．π
D ．2π
6.若函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋π4(a >0)的最小正周期为1，且{
sin (0)
(1)(0)()ax x g x x g x -≥=则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫56等于( )
A ．－12 B.12 C ．－32 D.32
7.y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调减区间是( ) A.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋58π(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－38π＋k π，π8＋k π(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8＋2k π，58π＋2k π(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－38π＋2k π，π8＋2k π(k ∈Z ) 8．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是( )
9.直线x ＝π4和x ＝5π
4
是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ的值为
( )
A.π4
B.π3
C.π2
D.3π4
10.将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π
10
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长
到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )
A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π10
B ．y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π5 C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10 D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x －π20
11.定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且在[3,2]--上是减函数，若,αβ是锐角三角形的两个内角，则（ ）
A ．(sin )(sin )f f αβ>
B ．(sin )(cos )f f αβ< C. (sin )(cos )f f αβ> D ．(cos )(cos )f f αβ<
12.函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0）在x=1和x=-1处分别取得最大值和最小
值，且对于任意，则（ ）
A 函数y=f （x+1）一定是周期为4的偶函数
B 函数y=f （x+1）一定是周期为2的奇函数
C 函数y=f （x+1）一定是周期为4的奇函数
D 函数y=f （x+1）一定是周期为2的偶函数
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．)
13．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝m ，则cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋α＝________. 14．函数y ＝sin x ＋
cos x －1
2
的定义域为________．
15．设α为第二象限角，则
sin αcos α·1
sin 2
α－1＝________． 16．关于函数f (x )＝4sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )有下列命题，其中正确的是________． ①y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6； ②y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π6，0对称； ③y ＝f (x )的最小正周期为2π；
④y ＝f (x )的图象的一条对称轴为x ＝－π
6
.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(本小题满分10分)
已知角σ的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4
5
，－35.
(1)求sin σ的值；
(2)求sin()
tan()2sin()cos(3)
π
σσπσππσ--∙+-的值．
18．(本小题满分12分)
若函数f (x )＝a －b cos x 的最大值为52，最小值为－1
2
，求函数g (x )＝－4a sin bx 的最值
和最小正周期．
19．(本小题满分12分)
已知sin θ，cos θ是关于x 的方程x 2
－2 2ax ＋a ＝0的两个根． (1)求实数a 的值；
(2)若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，求sin θ－cos θ的值．
20．(本小题满分12分)
设函数f (x )＝3sin(ωx ＋π6)，ω>0，x ∈(－∞，＋∞)，且以π
2
为最小正周期．
(1)求f (0)；
(2)求f (x )的解析式；
(3)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＋π12＝9
5
，求sin α的值．
21．(本小题满分12分)
已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的一段图象如图所示．
(1)求此函数的解析式； (2)求此函数的递增区间．
22．(本小题满分12分)
已知函数f (x )＝2cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π4，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；
(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π8，π2时，方程f (x )＝k 恰有两个不同的实数根，求实数k 的取值范围； (3)将函数f (x )＝2cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象向右平移m (m >0)个单位后所得函数g (x )的图象关于原点中心对称，求m 的最小值．
2016---2017学年度高一下期第一次质量检测
数学（理科）参考答案
1.答案：D
解析：sin(－1740°)＝si n60°＝32
. 2. D
3. 答案：A
解析：设该弦AB 所对的圆心角为α，由已知R ＝1，
∴sin α2＝AB
2R ＝32，∴α2＝π3，∴α＝23π，∴l ＝αR ＝2
3π.
4. 答案：B
解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3＝sin π3＝32. 5. 解析：选C ∵f (x )＝2sin x 的周期为2π， ∴|x 1－x 2|的最小值为π. 6.答案：C
解析：由条件得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋π4，又函数的最小正周期为1，故2πa ＝1，∴a ＝2π， ∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 6＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π3＝－32.
7. 答案：A
解析：y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝2cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π4.由2k π≤2x －π4≤π＋2k π，(k ∈Z ) 得π8＋k π≤x ≤58π＋k π(k ∈Z )时，y ＝2cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π4单调递减．故选A. 8. 答案：D 图A 中函数的最大值小于2，故0<a <1，而其周期大于2π.故A 中图象可以是函数f (x )的图象．图B 中，函数的最大值大于2，故a 应大于1，其周期小于2π，故B 中图象可以是函数f (x )的图象．当a ＝0时，f (x )＝1，此时对应C 中图象，对于D 可以看出其最大值大于2，其周期应小于2π，而图象中的周期大于2π，故D 中图象不可能为函数f (x )的图象． 9. 答案：A
解析：因为直线x ＝π4和x ＝5π4是函数图象中相邻的两条对称轴，所以5π4－π4＝T
2
，即
T 2＝π，T ＝2π.又T ＝2πω＝2π，所以ω＝1，所以f (x )＝sin(x ＋φ)．因为直线x ＝π4
是函数图象的对称轴，所以π4＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝π
4
＋k π，k ∈Z .因为0<φ<π，
所以φ＝π4，检验知，此时直线x ＝5π
4
也为对称轴．故选A.
10.解析：选C 函数y ＝sin x 的图象上的点向右平移π10个单位长度可得函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －π10的图象；再把各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)可得函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10的图
象，所以所得函数的解析式是y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x －π10. 11.C
12.答案：A
解：因为函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0）在x=1和x=-1处分别取得最大值和最小值，
且对于任意
，
即函数y=f （x ）在[-1，1]上是单调增函数，
∴f （x+1）在x=0和x=-2处分别取得最大值和最小值，即函数的周期是T=2×[0-（-2）]=4， 函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0）在x=1和x=-1处分别取得最大值和最小值， 所以φ=0，函数f （x ）=Asin ωx 是奇函数，x=1是对称轴， 函数向左平移1单位，得到函数f （x+1），它的对称轴是y 轴， ∴函数y=f （x+1）一定是周期为4的偶函数．
13. 答案：m
解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝m.
14. 答案：{x |2k π≤x ≤2k π＋π
3
，k ∈Z }．
解析：由题意知⎩⎪⎨⎪
⎧
sin x ≥0cos x －1
2≥0，即⎩
⎪⎨⎪
⎧
sin x ≥0cos x ≥1
2，
如图，结合三角函数线知：
⎩
⎪⎨⎪
⎧
2k π≤x ≤2k π＋π k ∈Z 2k π－π3≤x ≤2k π＋π3 k ∈Z ，
解得2k π≤x ≤2k π＋π
3
(k ∈Z )，
∴函数的定义域为{x |2k π≤x ≤2k π＋π
3
，k ∈Z }．
15. 答案：-1 解析：sin αcos α
·
1sin 2
α－1＝sin α
cos α
·cos 2
αsin 2
α＝sin αcos α·⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
cos αsin α.
因为α为第二象限角，所以cos α＜0，sin α＞0.
所以原式＝sin αcos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos αsin α＝
sin αcos α·－cos α
sin α
＝－1.
16. 答案：①②
解析：4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝4cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6，故①②正确，③④错误． 17. 解：(1)∵|OP |＝1，∴点P 在单位圆上．由正弦函数的定义得sin α＝－3
5
.
(2)原式＝cos α－sin α·tan α－cos α＝sin αsin α·cos α＝1
cos α
.
由余弦函数的定义得cos α＝45，故所求式子的值为5
4.
18. 解：当b ＞0时，⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋
b ＝52
a －
b ＝－1
2
⇒⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝1，
b ＝3
2
，g (x )＝－4sin 3
2
x .
最大值为4，最小值为－4，最小正周期为4π
3.
当b ＜0时，⎩⎪⎨⎪⎧
a －
b ＝52
a ＋
b ＝－1
2
⇒⎩
⎪⎨⎪
⎧
a ＝1，
b ＝－3
2，g (x )＝－4sin(－3
2x )＝4sin 32
x .
最大值为4，最小值为－4，最小正周期为4π
3
.
b ＝0时不符合题意．
综上所述，函数g (x )的最大值为4，最小值为－4，最小正周期为4π
3
.
19. 解：(1)∵(sin θ＋cos θ)2
－2sin θcos θ＝1，
又∵⎩⎨
⎧
sin θ＋cos θ＝2 2a ，sin θ·cos θ＝a ，
∴a ＝12或a ＝－1
4
，经检验Δ≥0都成立，
∴a ＝12或a ＝－1
4
.
(2)∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴a <0，∴a ＝－14且sin θ－cos θ<0， ∴sin θ－cos θ＝－
6
2
. 20. 解：(1)f (0)＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ω×0＋π6＝3sin π6＝32. (1)∵T ＝2πω＝π2，∴ω＝4，所以f (x )的解析式为：f (x )＝3sin(4x ＋π
6
)．
(3)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＋π12＝95得3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＋π12＋π6＝95，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝35，∴cos α＝35， ∴sin α＝±1－cos 2
α＝±
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫352
＝±45.
21. 解：(1)由题图可知，其振幅为A ＝23，由于T
2＝6－(－2)＝8，所以周期为T ＝16，
所以ω＝2πT ＝2π16＝π8，此时解析式为y ＝23sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π8x ＋φ. 因为点(2，－23)在函数y ＝23sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π
8
x ＋φ
的图象上， 所以π8×2＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，所以φ＝2k π－3π
4
(k ∈Z )．
又|φ|＜π，所以φ＝－3π4.故所求函数的解析式为y ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
8x －3π4.
(2)由2k π－π2≤π8x －3π4≤2k π＋π
2(k ∈Z )，得16k ＋2≤x ≤16k ＋10(k ∈Z )，
所以函数y ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
8
x －3π4的递增区间是[16k ＋2，16k ＋10](k ∈Z )．
22.解：(1)因为f (x )＝2cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π4，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π， 由－π＋2k π≤2x －π4≤2k π，得－3π8＋k π≤x ≤π
8
＋k π，故函数f (x )的递增区间
为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )； (2)因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π8上为增函数，在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π8，π2上为减函数
又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2cos ⎝
⎛⎭⎪⎫π－π4＝－2cos π4＝－1， ∴当k ∈[0，2)时方程f (x )＝k 恰有两个不同实根．
(3)∵f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋3π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝2sin2⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π8 ∴g (x )＝2sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8－m ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋π4－2m
由题意得π4－2m ＝2k π，∴m ＝－k π＋π
8
，k ∈Z
当k ＝0时，m ＝π
8，此时g (x )＝2sin2x 关于原点中心对称．。