2019年天津市和平区九年级上册期末数学模拟试题(有答案)-名校密卷

天津市和平区九年级（上）期末数学模拟试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．下列关于的方程：①a2+b+c=0；②3（﹣9）2﹣（+1）2=1；③+3=；④（a2+a+1）2﹣a=0；⑤=﹣1，其中一元二次方程的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．在﹣2、﹣1、0、1、2、3这六个数中，任取两个数，恰好互为相反数的概率为（）
A．B．C．D．
3．下列关于的方程有实数根的是（）
A．2﹣+1=0 B．2++1=0 C．（﹣1）（+2）=0 D．（﹣1）2+1=0
4．如图，在长为8cm、宽为4cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（）
A．2cm2B．4cm2C．8cm2D．16cm2
5．某型号的手机连续两次降价，每个售价由原的1185元降到了580元，设平均每次降价的百分率为，列出方程正确的是（）
A．580（1+）2=1185 B．1185（1+）2=580 C．580（1﹣）2=1185 D．1185（1﹣）2=580
6．数学老师将全班分成7个小组开展小组合作学习，采用随机抽签确定一个小组进行展示活动，则第3个小组被抽到的概率是（）
A．B．C．D．
7．如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25cm，贴纸部分的宽BD 为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（）
A．175πcm2B．350πcm2C．πcm2D．150πcm2
8．下列说法正确的是（）
A．三点确定一个圆
B．一个三角形只有一个外接圆
C．和半径垂直的直线是圆的切线
D．三角形的内心到三角形三个顶点距离相等
9．同一坐标系中，一次函数y=a+1与二次函数y=2+a的图象可能是（）
A．B．C．D．
10．已知抛物线y=2﹣，它与轴的两个交点间的距离为（）
A．0 B．1 C．2 D．4
11．已知二次函数y=2﹣7﹣7的图象与轴没有交点，则的取值范围为（）
A．＞﹣B．≥﹣且≠0 C．＜﹣D．＞﹣且≠0
12．如图，矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，AH与BE、BF、DF、DG、CG分别交于点P、Q、、M、N．设△BPQ，△DM，△CNH的面积依次为S
1
，S
2
，S
3
．若S
1
+S
3
=20，则S
2
的值为（）
A．6 B．8 C．10 D．12
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．在平面直角坐标系中，若将抛物线y=﹣（+3）2+1先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是．
14．中心角为45°的正多边形的边数是．
15．如图，在平面直角坐标系中，三角形②是由三角形①绕点P旋转后所得的图形，则旋转中心P的坐标是．
16．在学校组织的义务植树活动中，甲、乙两组各四名同学的植树棵数如下，甲组：9，9，11，10；乙组：9，8，9，10；分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的植树总棵数为19的概率 ．
17．如图，光P 在横杆AB 的上方，AB 在灯光下的影子为CD ，AB ∥CD ，已知AB=2m ，CD=6m ，点P 到CD 的距离是2.7m ，那么AB 与CD 间的距离是 ．
18．如图，正方形ABCD 的边长为2，AE=EB ，MN=1，线段MN 的两端在CB ，CD 上滑动，当CM= 时，△AED 与以M ，N ，C 为顶点的三角形相似．
三、解答题（本大题共7小题，共56分）
19．如图，一次函数y 1=﹣+2的图象与反比例函数y 2=的图象交于点A （﹣1，3）、B （n ，﹣1）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）当y 1＞y 2时，直接写出的取值范围．
20．（1）22+8﹣1=0（公式法）
（2）2+4﹣5=0（配方法）
21．如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，点O 在边AB 上，以点O 为圆心，OA 为半径的圆经过点C ，过点C 作直线MN ，使∠BCM=2∠A ．
（1）判断直线MN 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
（2）若OA=4，∠BCM=60°，求图中阴影部分的面积．
22．一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长测量一路灯D的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立
（结时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB=1.25m，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长．
果精确到0.1m）．
23．在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．经试验发现，若每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件；若每件按29元的价格销售时，每天能卖出21件．假定每天销售件数y（件）与销售价格（元/件）满足一个以为自变量的一次函数．
（1）求y与满足的函数关系式（不要求写出的取值范围）；
（2）在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润P最大？24．已知，等腰Rt△ABC中，点O是斜边的中点，△MPN是直角三角形，固定△ABC，滑动△MPN，在滑动过程中始终保持点P在AC上，且PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E、F．
（1）如图1，当点P与点O重合时，OE、OF的数量和位置关系分别是．
（2）当△MPN移动到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
（3）如图3，等腰Rt△ABC的腰长为6，点P在AC的延长线上时，Rt△MPN的边PM与AB的延长线交于点E，直线BC与直线NP交于点F，OE交BC于点H，且 EH：HO=2：5，则BE的长是多少？
25．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，D是斜边AB的中点．点P从点B出发沿BC方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s．当点Q停止运动时，点P也停止运动．连接PQ、PD、QD．设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．
（1）当t为何值时，△PQC是等腰直角三角形？
（2）设△PQD的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使△PQD的面积是Rt
△ABC的面积的？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）是否存在某一时刻t，使QD⊥PD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
天津市和平区九年级（上）期末数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．下列关于的方程：①a2+b+c=0；②3（﹣9）2﹣（+1）2=1；③+3=；④（a2+a+1）2﹣a=0；⑤=﹣1，其中一元二次方程的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．
【解答】解：①当a=0时，a2+b+c=0是一元一次方程；
②3（﹣9）2﹣（+1）2=1是一元二次方程；
③+3=是分式方程；
④（a2+a+1）2﹣a=0是一元二次方程；
⑤=﹣1是无理方程，
故选：B．
2．在﹣2、﹣1、0、1、2、3这六个数中，任取两个数，恰好互为相反数的概率为（）
A．B．C．D．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】根据题意画出树状图，进而利用概率公式求出答案．
【解答】解：由题意画树状图得：
，
一共有30种可能，符合题意的有4种，故恰好互为相反数的概率为：．
故选：A．
3．下列关于的方程有实数根的是（）
A．2﹣+1=0 B．2++1=0 C．（﹣1）（+2）=0 D．（﹣1）2+1=0
【考点】根的判别式．
【分析】分别计算A、B中的判别式的值；根据判别式的意义进行判断；利用因式分解法对C进行判断；根据非负数的性质对D进行判断．
【解答】解：A、△=（﹣1）2﹣4×1×1=﹣3＜0，方程没有实数根，所以A选项错误；
B、△=12﹣4×1×1=﹣3＜0，方程没有实数根，所以B选项错误；
C、﹣1=0或+2=0，则
1=1，
2
=﹣2，所以C选项正确；
D、（﹣1）2=﹣1，方程左边为非负数，方程右边为0，所以方程没有实数根，所以D选项错误．
故选：C．
4．如图，在长为8cm、宽为4cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（）
A．2cm2B．4cm2C．8cm2D．16cm2
【考点】相似多边形的性质．
【分析】利用相似多边形的对应边的比相等，对应角相等分析．
【解答】解：长为8cm、宽为4cm的矩形的面积是32cm2，
留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，
相似比是4：8=1：2，
因而面积的比是1：4，
因而留下矩形的面积是32×=8cm2．
故选：C．
5．某型号的手机连续两次降价，每个售价由原的1185元降到了580元，设平均每次降价的百分率为，列出方程正确的是（）
A．580（1+）2=1185 B．1185（1+）2=580 C．580（1﹣）2=1185 D．1185（1﹣）2=580
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】根据降价后的价格=原价（1﹣降低的百分率），本题可先用表示第一次降价后商品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，即可列出方程．
【解答】解：设平均每次降价的百分率为，
由题意得出方程为：1185（1﹣）2=580．
故选：D．
6．数学老师将全班分成7个小组开展小组合作学习，采用随机抽签确定一个小组进行展示活动，则第3个小组被抽到的概率是（）
A．B．C．D．
【考点】概率公式．
【分析】根据概率是所求情况数与总情况数之比，可得答案．
【解答】解：第3个小组被抽到的概率是，
故选：A．
7．如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25cm，贴纸部分的宽BD 为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（）
A．175πcm2B．350πcm2C．πcm2D．150πcm2
【考点】扇形面积的计算．
【分析】贴纸部分的面积等于扇形ABC减去小扇形的面积，已知圆心角的度数为120°，扇形的半径为25cm 和10cm，可根据扇形的面积公式求出贴纸部分的面积．
【解答】解：∵AB=25，BD=15，
∴AD=10，
=2×（﹣）
∴S
贴纸
=2×175π
=350πcm2，
故选B．
8．下列说法正确的是（）
A．三点确定一个圆
B．一个三角形只有一个外接圆
C．和半径垂直的直线是圆的切线
D．三角形的内心到三角形三个顶点距离相等
【考点】圆的认识．
【分析】根据确定圆的条件对A、B进行判断；根据切线的判定定理对C进行判断；根据三角形内心的性质对D进行判断．
【解答】解：A、不共线的三点确定一个圆，所以A选项错误；
B、一个三角形只有一个外接圆，所以B选项正确；
C、过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线，所以C选项错误；
D、三角形的内心到三角形三边的距离相等，所以D选项错误．
故选B．
9．同一坐标系中，一次函数y=a+1与二次函数y=2+a的图象可能是（）
A．B．C．D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．
【分析】根据一次函数和二次函数的解析式可得一次函数与y轴的交点为（0，1），二次函数的开口向上，据此判断二次函数的图象．
【解答】解：当a＜0时，二次函数顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、四象限；
当a＞0时，二次函数顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、三象限．
故选C．
10．已知抛物线y=2﹣，它与轴的两个交点间的距离为（）
A．0 B．1 C．2 D．4
【考点】抛物线与轴的交点．
【分析】根据解方程2﹣=0抛物线与轴的两交点坐标，然后利用两点间的距离公式求出两交点间的距离．
【解答】解：当y=0时，2﹣=0，解得
1=0，
2
=2，则抛物线与轴的两交点坐标为（0，0），（2，0），
所以抛物线与轴的两个交点间的距离为2．
故选C．
11．已知二次函数y=2﹣7﹣7的图象与轴没有交点，则的取值范围为（）
A ．＞﹣
B ．≥﹣且≠0
C ．＜﹣
D ．＞﹣且≠0
【考点】抛物线与轴的交点．
【分析】y=2﹣7﹣7的图象与轴无交点，当图象在轴上方时，，当图象在轴下方时，，由
此能够求出的取值范围．
【解答】解：∵y=2﹣7﹣7的图象与轴无交点，
∴当图象在轴上方时，，
∴，解为空集．
当图象在轴下方时，，
∴
，
∴＜﹣．
∴的取值范围是{|＜﹣}，
故选C ．
12．如图，矩形AEHC 是由三个全等矩形拼成的，AH 与BE 、BF 、DF 、DG 、CG 分别交于点P 、Q 、、M 、N ．设△BPQ ，△DM ，△CNH 的面积依次为S 1，S 2，S 3．若S 1+S 3=20，则S 2的值为（ ）
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】由条件可证明△BPQ ∽△DM ∽△CNH ，且能求得其相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，结合条件可求得S 2．
【解答】解：∵矩形AEHC 是由三个全等矩形拼成的，
∴AB=BD=CD ，AE ∥BF ∥DG ∥CH ，
∴四边形BEFD ，四边形DFGC 是平行四边形，∠BQP=∠DM=∠CHN ，
∴BE ∥DF ∥CG
∴∠BPQ=∠DM=∠CNH ，
∵△ABQ∽△ADM，△ABQ∽△ACH，
∴==， ==，
∴△BPQ∽△DM∽△CNH，
∴=，
∴=， =，
∴S
2=4S
1
，S
3
=9S
1
，
∵S
1+S
3
=20，
∴S
1
=2，
∴S
2
=8．
故选B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．在平面直角坐标系中，若将抛物线y=﹣（+3）2+1先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（﹣5，﹣2）．
【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的性质．
【分析】直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后的解析式，即可得出顶点坐标．【解答】解：∵将抛物线y=﹣（+3）2+1先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，
∴平移后的抛物线的解析式为：y=﹣（+3+2）2+1﹣3．
即：y=﹣（+5）2﹣2，
则平移后的抛物线的顶点坐标为：（﹣5，﹣2）．
故答案为：（﹣5，﹣2）．
14．中心角为45°的正多边形的边数是8 ．
【考点】正多边形和圆．
【分析】根据n边形的中心角的度数是即可求解．
【解答】解：正多边形的边数是： =8．
故答案是：8．
15．如图，在平面直角坐标系中，三角形②是由三角形①绕点P旋转后所得的图形，则旋转中心P的坐标是（0，1）．
【考点】旋转的性质．
【分析】根据旋转的性质确定出点P的位置，再写出坐标即可．
【解答】解：旋转中心P的位置如图所示，∴点P的坐标为（0，1）．
故答案为：（0，1）．
16．在学校组织的义务植树活动中，甲、乙两组各四名同学的植树棵数如下，甲组：9，9，11，10；乙组：
9，8，9，10；分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的植树总棵数为19的概率．【考点】列表法与树状图法．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两名同学的植树总棵数为19的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图如图：
∵共有16种等可能结果，两名同学的植树总棵数为19的结果有5种结果，
∴这两名同学的植树总棵数为19的概率为，
故答案为：．
17．如图，光P在横杆AB的上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，已知AB=2m，CD=6m，点P到CD的距离是2.7m，那么AB与CD间的距离是 1.8m ．
【考点】相似三角形的应用；中心投影．
【分析】根据AB∥CD，易得，△PAB∽△PCD，根据相似三角形对应高之比等于对应边之比，列出方程求解即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴△PAB∽△PCD，
假设CD到AB距离为，
则，
又∵AB=2，CD=6，
∴
∴=1.8．
故答案为：1.8m
18．如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端在CB，CD上滑动，当CM= 或
时，△AED与以M，N，C为顶点的三角形相似．
【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．
【分析】根据题意不难确定Rt△AED的两直角边AD=2AE．再根据相似的性质及变化，可考虑Rt△MCN的两
直角边MC、NC间的关系满足是或2倍．求得CM的长．
【解答】解：设CM的长为．
在Rt△MNC中
∵MN=1，
∴NC=，
①当Rt △AED ∽Rt △CMN 时，
则，
即，
解得=或=（不合题意，舍去），
②当Rt △AED ∽Rt △CNM 时，
则，
即，
解得=或（不合题意，舍去），
综上所述，当CM=或时，△AED 与以M ，N ，C 为顶点的三角形相似．
故答案为：或．
三、解答题（本大题共7小题，共56分）
19．如图，一次函数y 1=﹣+2的图象与反比例函数y 2=的图象交于点A （﹣1，3）、B （n ，﹣
1）． （1）求反比例函数的解析式；
（2）当y 1＞y 2时，直接写出的取值范围．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）把A点坐标代入可求出m的值，从而得到反比例函数解析式；
（2）利用反比例函数解析式确定B点坐标，然后观察函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的取值范围即可．
【解答】解：（1）把A（﹣1，3）代入可得m=﹣1×3=﹣3，
所以反比例函数解析式为y=﹣；
（2）把B（n，﹣1）代入y=﹣得﹣n=﹣3，解得n=3，则B（3，﹣1），
所以当＜﹣1或0＜＜3，y
1＞y
2
．
20．（1）22+8﹣1=0（公式法）
（2）2+4﹣5=0（配方法）
【考点】解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-配方法．【分析】（1）公式法求解可得；
（2）配方法求解可得．
【解答】解：（1）∵a=2，b=8，c=﹣1，
∴△=64﹣4×2×（﹣1）=72＞0，
则==；
（2）∵2+4﹣5=0，
∴2+4+4=9，
∴（+2）2=9，
∴+2=±3，
∴
1=﹣5，
2
=1；
21．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点O在边AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点C，过点C作直线MN，使∠BCM=2∠A．
（1）判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若OA=4，∠BCM=60°，求图中阴影部分的面积．
【考点】直线与圆的位置关系；扇形面积的计算．
【分析】（1）MN 是⊙O 切线，只要证明∠OCM=90°即可．
（2）求出∠AOC 以及BC ，根据S 阴=S 扇形OAC ﹣S △OAC 计算即可．
【解答】解：（1）MN 是⊙O 切线．
理由：连接OC ．
∵OA=OC ，
∴∠OAC=∠OCA ，
∵∠BOC=∠A+∠OCA=2∠A ，∠BCM=2∠A ，
∴∠BCM=∠BOC ，
∵∠B=90°，
∴∠BOC+∠BCO=90°，
∴∠BCM+∠BCO=90°，
∴OC ⊥MN ，
∴MN 是⊙O 切线．
（2）由（1）可知∠BOC=∠BCM=60°，
∴∠AOC=120°，
在RT △BCO 中，OC=OA=4，∠BCO=30°，
∴BO=OC=2，BC=2
∴S 阴=S 扇形OAC ﹣S △OAC =﹣=﹣4．
22．一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长测量一路灯D 的高度．如图，当李明走到点A 处时，张龙测得李明直立时身高AM 与影子长AE 正好相等；接着李明沿AC 方向继续向前走，走到点B 处时，李明直立时身高BN 的影子恰好是线段AB ，并测得AB=1.25m ，已知李明直立时的身高为1.75m ，求路灯的高CD 的长．（结果精确到0.1m ）．
【考点】相似三角形的应用；中心投影．
【分析】根据AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA=MA得到MA∥CD∥BN，从而得到△ABN∽△ACD，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式求解即可．
【解答】解：设CD长为米，
∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA=MA，
∴MA∥CD∥BN，
∴EC=CD=，
∴△ABN∽△ACD，
∴=，即=，
解得：=6.125≈6.1．
经检验，=6.125是原方程的解，
∴路灯高CD约为6.1米
23．在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．经试验发现，若每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件；若每件按29元的价格销售时，每天能卖出21件．假定每天销售件数y（件）与销售价格（元/件）满足一个以为自变量的一次函数．
（1）求y与满足的函数关系式（不要求写出的取值范围）；
（2）在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润P最大？【考点】二次函数的应用；一次函数的应用．
【分析】（1）设y与满足的函数关系式为：y=+b．，由题意可列出和b的二元一次方程组，解出和b的值即可；
（2）根据题意：每天获得的利润为：P=（﹣3+108）（﹣20），转换为P=﹣3（﹣28）2+192，于是求出每天获得的利润P最大时的销售价格．
【解答】解：（1）设y与满足的函数关系式为：y=+b．
由题意可得：
解得
答：y与的函数关系式为：y=﹣3+108．
（2）每天获得的利润为：P=（﹣3+108）（﹣20）=﹣32+168﹣2160=﹣3（﹣28）2+192．
∵a=﹣3＜0，
∴当=28时，利润最大，
答：当销售价定为28元时，每天获得的利润最大．
24．已知，等腰Rt△ABC中，点O是斜边的中点，△MPN是直角三角形，固定△ABC，滑动△MPN，在滑动过程中始终保持点P在AC上，且PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E、F．
（1）如图1，当点P与点O重合时，OE、OF的数量和位置关系分别是相等且垂直．
（2）当△MPN移动到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
（3）如图3，等腰Rt△ABC的腰长为6，点P在AC的延长线上时，Rt△MPN的边PM与AB的延长线交于点E，直线BC与直线NP交于点F，OE交BC于点H，且 EH：HO=2：5，则BE的长是多少？
【考点】等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据题意及图示即可得出OE、OF的数量关系：相等，位置关系：垂直；
（2）根据题意及图示可证明△OEB≌△OFC，故成立；
（3）根据题意及图示，还有所给比例关系即可得出答案．
【解答】解：（1）数量关系：相等，位置关系：垂直
故答案为相等且垂直．
（2）成立，理由如下：
∵△MPN是直角三角形，
∴∠MPN=90°．
连接OB，
∴∠OBE=∠C=45°，
∵△ABC，△MPN是直角三角形，PE⊥AB，PF⊥BC，
∴∠ABC=∠MPN=∠BEP=∠BFP=90°，
∴四边形EBFP是矩形，
∴BE=PF
∵PF=CF，
∴BE=CF，
∵OB=OC=AC，
∴在△OEB和△OFC中，
∴△OEB≌△OFC（SAS），故成立，
（3）如图，找BC的中点G，连接OG，
∵O是AC中点，
∴OG∥AB，OG=AB，
∵AB=6，
∴OG=3，
∵OG∥AB，
∴△BHE∽△GOH，
∵EH：HO=2：5，
∴BE：OG=2：5，
而OG=AB=3，
∴BE=．
25．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，D是斜边AB的中点．点P从点B出发沿BC方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s．当点Q停止运动时，点P也停止运动．连接PQ、PD、QD．设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．
（1）当t为何值时，△PQC是等腰直角三角形？
（2）设△PQD的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使△PQD的面积是Rt
△ABC的面积的？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）是否存在某一时刻t，使QD⊥PD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【考点】相似形综合题．
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可知CQ=CP，解得结果；
（2）过Q作QF⊥AB，交AB于，过点P作PE⊥AB，易得Rt△AQF∽Rt△ABC，由相似三角形的性质可得
==，可得QF，BE，同理可得PE，BE，利用三角形的面积公式可得y与t之间的函数关系式，由
△PQD的面积是Rt△ABC的面积的，可解得t；
（3）由勾股定理可得QD2，PD2，PQ2，因为PD⊥QD，利用勾股定理可得PQ2=QD2+PD2，解得t．
【解答】解：（1）∵△PQC是等腰直角三角形，
∴CQ=CP，
∴8﹣2t=6﹣t
t=2 （秒）；
（2）过Q作QF⊥AB，交AB于，过点P作PE⊥AB，
∵∠A=∠A，∠AFQ=∠ACB=90°，
∴Rt△AQF∽Rt△ABC，
∴==，
∵BC=6，AC=8，AB=10，AQ=2t，
∴QF=，AF=t
同理可得：PE=，BE=，
∴y=﹣×（8﹣2t）﹣=﹣t2+5t；
∵△PQD的面积是Rt△ABC的面积的，
∴﹣t2+5t=6，解得：t
1=3，t
2
=2，
答：当t=3秒或t=2秒时，△PQD的面积是Rt△ABC的面积的；
（3）∵，
同理可得：，PQ2=（8﹣2t）2+（6﹣t）2，当PD⊥QD时，PQ2=QD2+PD2，
此时，t=（秒），
答：当t=时，PD⊥QD．。