2018年高三最新 北京丰台区2018学年度第一学期期末练

丰台区2018～2018学年度第一学期期末练习
高三数学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）
注意事项：
1． 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.
2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号.不能答在试卷上.
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1． 函数 A.{x|0＜x ＜3} B.{x|x ≥3} C.{x|x ≠0} D.{x|x ＞2}
2.已知集合A={(x ，y)|y=2x
,x ∈R},B={(x,y)|y=2x,x ∈R},则A ∩B 的元素数目为 A ．0 B.1 C.2 D.无穷多
3．给出命题：“已知a,b,c,d 是实数，若a ≠b 且c ≠d ，则a+c ≠b+d ”.对原命题，逆命题，否命题，逆否命题而言，其中的真命题有
A ．0个 B.1个 C.2个 D.4个
4．设→
a =（cos α,sin α）, →
b =(cos β,sin β)，则|3→
a -4→
b |的最大值是
A ．5．平面上不共线的4个点A 、
B 、
C 、
D ，若（2)()0,DB DC AD AB AC +--=则
△ABC 是
A ．直角三角形 B.等腰三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形
6．已知椭圆C 1：22
143
x y +=，其左准线为l 1,右准线为l 2,一条以原点为顶点，l 1为准线的抛物线C 2交l 2于A ，B 两点，则|AB|等于
A ．2 B.4 C.8 D.16
7．已知各项均为正数的等比数列{a n }前2项和为6，前6项的和为126，则前4项的和等于 A ．64 B.36 C.30 D.24
8．过点A （0，2
12
y +
=2x 作椭圆的弦AM 3，则|AM|的最大值为
A ．
第Ⅱ卷(非选择题 共110分)
注意事项：
1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上. 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中的横线上. 9.已知复数z 满足
1,|1|_______________.1z
i z z
-=++则等于
43的展开式中x 的系数是___________.
11.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2
+b 2
=c 2
+|ab|,且sinA ·sinB=3
,4
则 ∠C=_________,∠A=______________.
12.光线从点A （1，1）出发，经y 轴反射到圆C ：（x-5）2
+(y-7)2
=4的最短路程等于______. 13．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0,|φ|＜2
π
＝的图像在y 轴上的截距为1,在相邻两最值点(x 0,2),(x 0+2
π
,-2)处分别取得最大值和最小值,则函数f(x)的解析式为_______.
14.设f(x)为R 上的奇函数,且f(-x)+f(x+3)=0,若f(-1)=-1,f(2)＜log a 2,则a 的取值范围是____.
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题共13分）
已知函数f(x)=a x
-10
3
a 的反函数f -1（x ）的图像过点（-1,2），且函数f(x)为减函数. (1) 求y=f -1
（x ）的解析式；
(2) 求满足f -1
(2x)＞f -1
(x 2
+1)的x 的取值范围.
函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象交y轴于点P，且函数图象在P点处的切线方程为12x-y-4=0，若函数f(x)在x=2处取得极值为0.
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）求函数f(x)的单调增区间.
17．（本小题共13分）
已知10件产品中有3件次品.
（1）任意抽取3件产品作检验，求其中至少有1件次品的概率；
（2）为了保证使3件次品全部检验出的概率超过0.6，最少应抽取几件产品作检验.
18.（本小题共14分）
如右图是边长为1的正三角形ABC沿垂直于平面ABC的方向平移距离1所得的图形，M 是底面BC边的中点.
（1）求二面角B1—AM—B的大小；
（2）证明：直线A1C∥平面MAB1；
（3）求直线A1C到平面MAB1的距离.
已知函数
(x ＞0).
（1） 求数列{a n }满足a 1=1,
1
1
()n n f a a +=,求a n ； （2） 若b n =a 2212n n a ++++…+2
21n a +，
是否存在最小正整数P ，使对任意x ∈N *
，都有b n ＜25
P
成立.
20．（本小题共14分）
在直角坐标系内，△ABC 的两个顶点C 、A 的坐标分别为（
，三个内角A 、B 、C 满足
sin ).A C + （1） 求顶点B 的轨迹方程；
（2） 过点C 做倾斜角为θ的直线与顶点B 的轨迹交于P 、Q 两点，当θ∈(0,
)2
π
时，求△APQ 面积的最大值.
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1．B 2.C 3.A 4.C 5.B 6.D 7.C 8.A
∠C=60°, ∠A=60°
13.f(x)=2sin(2x+
6π) 14.a ＞1或0＜a ＜12
15．解：∵函数f(x)的图像过点（2，-1），∴-1=a 2
-
103
a 得a=3或a=1
3
又f(x)为减函数，∴a=
13,所以f(x)=(13)x-109,f(x)＞-10
9
所以f -1
(x)=log 13
(x+
109)(x ＞-109
) 满足f -1(2x)＞f -1(x 2
+1) 即21020910102199x x x ⎧
+>⎪⎪⎨⎪+<++⎪⎩
得591x x ⎧>-⎪⎨⎪≠⎩
满足f -1
(2x)>f -1
(x 2
+1)的x 的取值范围是{x|x>-5
9
且x ≠1}
16．解：函数f(x)与y 轴交点P （0，d ），又f ′=3ax 2
+2bx+c,f ′|x=2=12a+4b+c=0,① 又函数f(x)在x=2处取得极值为0，所以8a+4b+2c+d=0, ② 又切线的斜率k=12，所以f ′|x=0=c=12,③ 过P 点的直线y-d=12(x-0)⇒12x-y+d=0 ④ 解①，②，③，④得a=2，b=-9,c=12,d=-4 所以f(x)=2x 3
-9x 2
+12x-4 f(x)=6x 2
-18x+12>0得x>2或x<1. 函数f(x)的单调增区间为(-∞,1),(2,+∞)
17.解：任意抽取3件产品全部是正品的概率为3
73107
24
C C =,至少有1件次品的概率为
1-
7172424
=
设抽取n 件产品作检验，则3件产品全部检验出的概率为333373710106
,10
n n n
C C C C C C ->n-3则 7!610!
,(3)!(10)!10!(10)!
n n n n >---整理得n(n-1)(n-2)>9×8×6,又n ∈N *，n ≤10,当n=9
或n=10时上式成立，所以最少应抽取9件产品作检验.
18．解：依题意 由M 是底面BC 边的中点 所以 AM ⊥BC ，又BB 1⊥底面ABC ，所以B 1M ⊥AM ∠B 1MB 为二面角B 1—AM —B 的平面角
tan ∠B 1MB=2,所以二面角B 1—AM —B 的大小等于arctan2.
又正三棱柱的侧面是正方形，设O 是A 1B 与B 1A 的交点，则O 是A 1B 的中点, 连接OM ，M 是底面BC 边的中点，所以A 1C ∥OM ， 而OM ⊂平面MAB 1，A 1C ⊄平面MB 1A 故直线A 1C ∥平面MB 1A
又AM ⊥BC ，AM ⊥BB 1，所以AM ⊥平面CB 1，AM ⊂平面MA B 1 所以平面MAB 1⊥平面CB 1
过点C 作CE ⊥B 1M 于E ，则CE ⊥平面MAB 1 又直线A 1C ∥平面MAB 1，
所以线段CE 的长即直线A 1C 到平面MAB 1的距离,
由△CME ∽△BMB 1
得CE=111
2BB CM B M =
=
直线A 1C 到平面MAB 1
的距离5
19．解：由221
11
)()4n n n
a a +=-=n+11得(
a ∴数列{
21
}n
a 是首项为1，公差为4的等差数列
∴
21
n a ＝4n-3,又a n >0,所以a n
∴b n =a 22
12n n a ++++…+2
21
114145n a n n +=++++…+1
81
n + b n+1=
114549n n ++++…+1
89
n + 因为b n+1-b n =
11122
0,85894184
n n n n -+-<=++++n 所以{b }是递减数列 存在最大项b 1=
111470,,5945259
P P +=<>114依题意,只需b =解得45 又P ∈N *
，所以存在最小正整数P=8,使不等式成立.
20．解：因为
sin )A C +,根据正弦定理得
)a c + 又
a+c=4由椭圆定义知顶点B 的轨迹为椭圆，其方程为
2
21(0)4
x y y +=≠ 设PQ 方程为y=tan θ
θ∈(0,
)2
π
由22
tan (14
y x x y θ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 得(1+4tan 2θ)x 2
2θ+12tan 2θ-4=0
设P （x 1,y 1），Q （x 2,y 2）,则x 1+x 2
2122
12tan 4
,14tan x x θθ
-=+ 又|PQ|=224(1tan ),1
4tan θθ++点A 到PQ 的距离
,θ
∈(0,)2π
S △ABC 3sin
sin θθ
==
+ 2
当且仅当
13sin ,sin θθθ==即△APQ 的最大面积为2.。