高中数学(人教版必修5)配套练习：2.5 等比数列的前n项和 第2课时

第二章 2.5 第2课时
一、选择题
1．数列112，314，518，71
16，…的前n 项和S n 为( )
A ．n 2＋1－1
2n
B ．n 2＋1－
12n
－1
C ．n 2＋2－1
2n
D ．n 2＋2－1
2
n －1
[答案] A
[解析] 由题设知，数列的通项为a n ＝2n －1＋1
2n ，显然数列的各项为等差数列{2n －1}和
等比数列{12n }相应项的和，从而S n ＝[1＋3＋…＋(2n －1)]＋(12＋14＋…＋12n )＝n 2＋1－1
2
n .
2．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1
，若前n 项和为10，则项数n 为( ) A ．11 B ．99 C ．120 D ．121
[答案] C [解析] 因为a n ＝
1n ＋
n ＋1
＝
n ＋1－n ，所以S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(2－1)＋(3－
2)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1＝10，解得n ＝120.
3．已知等比数列的前n 项和S n ＝4n ＋a ，则a 的值等于( ) A ．－4 B ．－1 C ．0 D ．1
[答案] B
[解析] a 1＝S 1＝4＋a ， a 2＝S 2－S 1＝42＋a －4－a ＝12， a 3＝S 3－S 2＝43＋a －42－a ＝48， 由已知得a 22＝a 1a 3， ∴144＝48(4＋a )， ∴a ＝－1.
4．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －
1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( )
A ．200
B ．－200
C ．400
D ．－400
[答案] B
[解析] S 100＝1－5＋9－13＋…＋(4×99－3)－(4×100－3)＝50×(－4)＝－200. 5．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1
n (n ＋1)，则S 5等于( )
A ．1
B ．5
6
C ．16
D ．130
[答案] B
[解析] a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1
n ＋1
，
∴S 5＝1－12＋12－13＋13－14＋14－15＋15－16＝1－16＝5
6
.
6．数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2
n 等
于( )
A ．(3n －1)2
B ．1
2(9n －1)
C ．9n －1
D ．1
4
(3n －1)
[答案] B
[解析] ∵a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1， ∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝3n －1－1(n ≥2)， 两式相减得a n ＝3n －3n －1＝2·3n －1， 又a 1＝2满足上式， ∴a n ＝2·3n －1.
∴a 2n ＝4·
32n －2＝4·9n －1， ∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝4(1＋9＋92＋…＋9
n －1) ＝4(1－9n )1－9＝12(9n －1)．
二、填空题
7．数列22，422，623， (2)
2
n ，…前n 项的和为________．
[答案] 4－n ＋2
2
n －1
[解析] 设S n ＝22＋422＋623＋ (2)
2n
① 12S n ＝222＋423＋624＋ (2)
2n ＋1
②
①－②得
(1－12)S n ＝22＋222＋223＋224＋…＋22n －2n 2n ＋1＝2－12n －1－2n 2n ＋1.
∴S n ＝4－n ＋22n －
1.
8．已知数列a 1＋2，a 2＋4，…，a k ＋2k ，…，a 10＋20共有10项，其和为240，则a 1＋a 2
＋…＋a k ＋…＋a 10＝________.
[答案] 130
[解析] 由题意，得a 1＋a 2＋…＋a k ＋…＋a 10＝240－(2＋4＋…＋2k ＋…＋20)＝240－110＝130.
三、解答题
9．求数列1,3a,5a 2,7a 3，…，(2n －1)a n
－1
的前n 项和．
[解析] 当a ＝1时，数列变为1,3,5,7，…，(2n －1)， 则S n ＝n [1＋(2n －1)]2＝n 2
，
当a ≠1时，有
S n ＝1＋3a ＋5a 2＋7a 3＋…＋(2n －1)a n －1， ① aS n ＝a ＋3a 2＋5a 3＋7a 4＋…＋(2n －1)a n ，
②
①－②得：
S n －aS n ＝1＋2a ＋2a 2＋2a 3＋…＋2a n －1－(2n －1)a n ， (1－a )S n ＝1－(2n －1)a n ＋2(a ＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n －1)
＝1－(2n －1)a n ＋2·a (1－a n －1
)
1－a
＝1－(2n －1)a n
＋2(a －a n
)1－a
.
又1－a ≠0，
所以S n ＝1－(2n －1)a n 1－a ＋2(a －a n )
(1－a )2
.
10．(2014·全国大纲文，17)数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列； (2)求{a n }的通项公式．
[解析] (1)证明：由a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2得 a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＋2. 即b n ＋1＝b n ＋2. 又b 1＝a 2－a 1＝1.
所以{b n }是首项为1，公差为2的等差数列． (2)由(1)得b n ＝1＋2(n －1)＝2n －1， 即a n ＋1－a n ＝2n －1.
于是∑k ＝1
n
(a k ＋1－a k )＝∑k ＝1
n
(2k －1)，
所以a n ＋1－a 1＝n 2，即a n ＋1＝n 2＋a 1.
又a 1＝1，所以{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2n ＋
2.
一、选择题
1．已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝7n ＋1
n ＋3，则
a 2＋a 5＋a 17＋a 22
b 8＋b 10＋b 12＋b 16
＝( )
A ．31
5
B ．325
C ．6
D ．7
[答案] A
[解析] ∵a 2＋a 5＋a 17＋a 22
b 8＋b 10＋b 12＋b 16
＝
(a 2＋a 22)＋(a 5＋a 17)
(b 8＋b 16)＋(b 10＋b 12)
＝
2a 12＋2a 11
2b 12＋2b 11
＝
a 11＋a 12
b 11＋b 12＝a 1＋a 22
b 1＋b 22
，
又∵S 22T 22＝(a 1＋a 22)×22(b 1＋b 22)×22＝a 1＋a 22b 1＋b 22，
∴a 1＋a 22b 1＋b 22＝7×22＋122＋3＝315.
∴a 2＋a 5＋a 17＋a 22b 8＋b 10＋b 12＋b 16＝31
5
. 2．数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为( ) A ．3690 B ．3660 C ．1845 D ．1830
[答案] D
[解析] 不妨令a 1＝1，则a 2＝2，a 3＝a 5＝a 7＝…＝1，a 4＝6，a 6＝10，…，所以当n 为奇数时，a n ＝1；当n 为偶数时，各项构成以2为首项，4为公差的等差数列，所以前60项的和为30＋2×30＋30×(30－1)
2
×4＝1830.
3．数列{a n }的通项公式是a n ＝2sin(n π2＋π
4
)，设其前n 项和为S n ，则S 12的值为( ) A ．0 B ． 2 C ．－ 2 D ．1 [答案] A
[解析] a 1＝2sin(π2＋π
4)＝1，
a 2＝2sin(π＋π
4)＝－1，
a 3＝2sin(
3π2＋π
4
)＝－1， a 4＝2sin(2π＋π
4)＝1，
同理，a 5＝1，a 6＝－1， a 7＝－1，a 8＝1，a 9＝1，
a 10＝－1，a 11＝－1，a 12＝1， ∴S 12＝0.
4．已知等差数列{a n }满足a 5＋a 2n －5＝2n (n ≥3)，则当n ≥1时，2a 1＋2a 3＋…＋2a 2n －1＝( )
A ．22n －23
B ．22n ＋
1－23
C ．2n －23
D ．2n ＋
1－23
[答案] B
[解析] 由a 5＋a 2n －5＝2n (n ≥3)，得2a n ＝2n ， ∴a n ＝n .
∴2a 1＋2a 3＋…＋2a 2n －1＝2＋23＋25＋…＋22n －1 ＝2(1－4n )1－4＝22n ＋1－23.
二、填空题
5．设f (x )＝1
2x ＋2，利用课本中推导等差数列前n 项和的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…
＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为________．
[答案] 3 2
[解析] f (0)＋f (1)＝11＋2＋12＋2＝2
2，
f (x )＋f (1－x )＝12x ＋2＋1
21－x ＋2
＝22(2x ＋2)＋2x 2(2＋2x )＝2
2， ∴f (－5)＋f (－4)＋…＋f (5)＋f (6) ＝
1
2
[
(f (－5)＋f (6))＋(f (－4)＋f (5))＋…＋(f (6)
]
＋f (－5))＝1
2
×12×(f (0)＋f (1))＝3 2.
6．求和1＋(1＋3)＋(1＋3＋32)＋(1＋3＋32＋32)＋…＋(1＋3＋…＋3n －
1)＝________.
[答案] 34(3n －1)－n
2
[解析] a 1＝1，a 2＝1＋3，a 3＝1＋3＋32，……
a n ＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝1
2
(3n －1)，
∴原式＝12(31－1)＋12(32－1)＋……＋12(3n －1)＝12[(3＋32＋…＋3n )－n ]＝34(3n －1)－n
2.
三、解答题
7．(2013·浙江理，18)在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列．
(1)求d ，a n ；
(2)若d <0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.
[解析] (1)由题意得a 1·5a 3＝(2a 2＋2)2，a 1＝10， 即d 2－3d －4＝0. 故d ＝1或d ＝4.
所以a n ＝－n ＋11，n ∈N *或a n ＝4n ＋6，n ∈N *.
(2)设数列{a n }的前n 项和为S n .因为d <0，由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11.则 当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝－12n 2＋21
2
n .
当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11＝12n 2－21
2
n ＋110.
综上所述，|a 1
|＋|a 2
|＋|a 3
|＋…＋|a n
|＝⎩⎨⎧
－12n 2＋21
2
n ， n ≤11，12n 2
－21
2n ＋110，
n ≥12.
8．已知数列{a n }和{b n }中，数列{a n }的前n 项和为S n .若点(n ，S n )在函数y ＝－x 2＋4x 的图象上，点(n ，b n )在函数y ＝2x 的图象上．
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n b n }的前n 项和T n . [解析] (1)由已知得S n ＝－n 2＋4n ， ∵当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2n ＋5， 又当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，符合上式． ∴a n ＝－2n ＋5.
(2)由已知得b n ＝2n ，a n b n ＝(－2n ＋5)·2n .
T n ＝3×21＋1×22＋(－1)×23＋…＋(－2n ＋5)×2n ，
2T n＝3×22＋1×23＋…＋(－2n＋7)×2n＋(－2n＋5)×2n＋1. 两式相减得
T n＝－6＋(23＋24＋…＋2n＋1)＋(－2n＋5)×2n＋1
＝23(1－2n－1)
1－2
＋(－2n＋5)×2n＋1－6
＝(7－2n)·2n＋1－14.。