2014版高考数学(文科)(全国通用版)二轮复习 (审题+解题+回扣+专练 ) 圆锥曲线

圆锥曲线
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1．如图，F1,F2分别是椭圆C：错误!＋错误!＝1（a>b〉0)的左，右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点,∠F1AF2＝60°。

(1)求椭圆C的离心率；
(2)已知△AF1B的面积为40错误!，求a,b的值．
解（1）设椭圆的半焦距为c。

由题意可知，△AF1F2为等边三角形，
所以b＝错误!c，b2＝3c2,a2＝4c2，a＝2c，
所以e＝错误!.
(2）方法一因为a2＝4c2,b2＝3c2，
所以直线AB的方程可设为y＝－错误!(x－c）．
将其代入椭圆方程3x2＋4y2＝12c2，
得B错误!。

所以｜AB|＝错误!·错误!＝错误!c。

由S△AF1B＝1
2
｜AF1｜·|AB|sin∠F1AB
＝错误!a·错误!c·错误!＝错误!a2＝40错误!，
解得a＝10，b＝5错误!。

方法二设｜AB｜＝t。

因为｜AF2｜＝a，所以｜BF2|＝t－a。

由椭圆定义|BF1|＋|BF2｜＝2a可知，｜BF1｜＝3a－t。

再由余弦定理（3a－t）2＝a2＋t2－2at cos 60°可得，t＝错误!a。

由S△AF1B＝错误!a·错误!a·错误!＝错误!a2＝40错误!知,
a＝10，b＝5错误!.
2．已知△ABC中,点A，B的坐标分别为(－错误!,0)，（错误!，0），点C 在x轴上方．
(1)若点C坐标为(2，1)，求以A，B为焦点且经过点C的椭圆的方程;
(2)过点P(m,0）作倾斜角为错误!π的直线l交(1)中曲线于M，N两点，若点Q（1，0)恰在以线段MN为直径的圆上，求实数m的值．
解（1)设椭圆方程为x2
a2＋
y2
b2＝1，c＝错误!，
2a＝|AC|＋｜BC|＝4,b＝错误!,
椭圆方程为错误!＋错误!＝1。

（2）直线l的方程为y＝－（x－m)，
令M（x1，y1),N（x2，y2),
由方程组错误!
得3x2－4mx＋2m2－4＝0，
即错误!
若Q恰在以MN为直径的圆上，
则错误!·错误!＝－1，
则m2＋1－(m＋1）(x1＋x2）＋2x1x2＝0，
3m2－4m－5＝0，解得m＝错误!.
将m值代入Δ＝－8m2＋48〉0。

∴m＝错误!
3．已知椭圆C的中心为坐标原点O，一个长轴端点为(0，2），短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与y轴交于点P （0，m），与椭圆C交于相异两点A，B，且错误!＝2错误!。

（1)求椭圆方程;
(2）求m的取值范围．
解（1)由题意知椭圆的焦点在y轴上,
设椭圆方程为错误!＋错误!＝1(a〉b>0)，
由题意知a＝2，b＝c，又a2＝b2＋c2,则b＝错误!,
所以椭圆方程为y2
4
＋错误!＝1.
（2)设A(x1，y1），B（x2，y2)，由题意，直线l的斜率存在，
设其方程为y＝kx＋m，与椭圆方程联立即错误!
则（2＋k2）x2＋2mkx＋m2－4＝0，
Δ＝(2mk）2－4(2＋k2）（m2－4）〉0，
由根与系数的关系知错误!
又错误!＝2错误!，即有(－x1，m－y1)＝2（x2，y2－m)．
∴－x1＝2x2,∴错误!
∴错误!＝－2错误!2，整理得（9m2－4）k2＝8－2m2,
又9m2－4＝0时不成立，∴k2＝错误!>0，
得错误!<m2<4,此时Δ〉0。

∴m的取值范围为错误!∪错误!。

4．已知椭圆C1：错误!＋错误!＝1,椭圆C2以C1的短轴为长轴，且与C1有相同的离心率．
(1）求椭圆C2的方程；
（2)设直线l与椭圆C2相交于不同的两点A、B，已知A点的坐标为（－2,0）,若点Q(0，y0)在线段AB的垂直平分线上，且错误!·错误!
＝4,求直线l的方程．
解(1）由题意可设椭圆C2的方程为错误!＋错误!＝1(a>b〉0）则a＝2,e＝错误!。

∴c＝3，b2＝1。

∴椭圆C2的方程为错误!＋y2＝1。

（2)由A(－2,0),设B点的坐标为（x1，y1），直线l的斜率为k,则直线l的方程为y＝k(x＋2）．
于是A,B两点的坐标满足方程组错误!
由方程组消去y并整理，
得（1＋4k2)x2＋16k2x＋(16k2－4）＝0,
由－2x1＝错误!，得x1＝错误!，
从而y1＝错误!,
设线段AB的中点为M,
则M的坐标为错误!.
①当k＝0时，点B的坐标为(2，0），
线段AB的垂直平分线为y轴，
于是错误!＝(－2，－y0）,错误!＝(2，－y0)，由错误!·错误!＝4，
得y0＝±2错误!.∴l的方程为y＝0.
②当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为
y－错误!＝－错误!错误!，
令x＝0,解得y0＝－错误!,
由错误!＝(－2，－y0）,错误!＝（x1，y1－y0），
错误!·错误!＝－2x1－y0(y1－y0）
＝错误!＋错误!错误!＝4，
整理得7k2＝2，故k＝±错误!，
∴l的方程为y＝±14
7
(x＋2)．
5．已知B是椭圆E：错误!＋错误!＝1(a〉b〉0）上的一点，
F是椭圆右焦点,
且BF⊥x轴，B错误!.
（1)求椭圆E的方程；
(2)设A1和A2是长轴的两个端点，直线l垂直于A1A2的延长线于点D，|OD|＝4,P是l上异于点D的任意一点．直线A1P交椭圆E于M（不同于A1，A2)，设λ＝错误!·错误!，求λ的取值范围．
解（1)依题意半焦距c＝1，左焦点为F′（－1,0)．
则2a＝｜BF|＋｜BF′|，由B错误!，｜BF|＝错误!，
由距离公式得|BF′|＝错误!，
2a＝4,a＝2，b2＝a2－c2＝22－12＝3。

所以椭圆E的方程为错误!＋错误!＝1.
(2）由（1）知，A1（－2,0），A2(2，0)．
设M(x0，y0)．
∵M在椭圆E上，∴y2，0＝错误!（4－x错误!）．
由P，M，A1三点共线可得P错误!.
∴错误!＝(x0－2，y0），错误!＝错误!。

∴错误!·错误!＝2（x0－2)＋错误!＝错误!(2－x0），
∵－2〈x0〈2,∴λ＝错误!·错误!∈(0,10)．
6．如图，过抛物线y2＝8x上一点P（2，4)作倾斜角互
补的两条直线，分
别与抛物线交于A，B两点．
（1)求直线AB的斜率;
（2）如果A，B两点均在y2＝8x（y≤0）上，求△PAB面积的最大值．
解（1)不妨设A错误!，B错误!，
则k PA＝错误!,k PB＝错误!。

由错误!＝－错误!得y1＋y2＝－8，
所以k AB＝错误!＝错误!＝－1。

（2）设直线AB的方程为y－y1＝－错误!，
点P 到直线AB 的距离d ＝错误!，
弦长｜AB |＝错误!|y 2－y 1｜＝2错误!|y 1＋4｜。

故S △PAB ＝错误!×错误!×2错误!|y 1＋4|
＝18
|y 1＋4|｜（y 1＋4）2－64|，其中y 1∈［－8，0］． 令y ＝y 1＋4∈［－4,4］，则S △PAB ＝18
|t 3－64t |。

记f （t ）＝|t 3－64t ｜，t ∈[－4,4]，则f （t ）为偶函数， 故只需考虑t ∈[0,4]的情况．
此时f （t )＝64t －t 3，f ′（t )＝64－3t 2〉0恒成立， 故f （t ）为严格增函数,从而f (t ）max ＝f (4）＝192， 即S △PAB 的最大值为错误!＝24，相应的y 1的值为0或－8。