双曲线及其标准方程(重要知识)

2a ( 2a > |F1F2| ) 的点的轨迹.
Y Mx, y
O
|MF1|+|MF2|=2a（2a>|F1F2|） F1c, 0
F2 c, 0 X
思考问题：
平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢？
重点辅导
7
重点辅导
8
1．了解双曲线标准方程的推导过程． 2．能根据条件熟练求出双曲线的标准方程． 3．掌握双曲线的定义与标准方程．
【剖析】“常数要小于|F1F2|且大于 0” 这一条件可以用 “三角形的两边之差小于第三边”加以理解．“差的绝对值”这 条件是因为当|MF1|＜|MF2|或|MF1|＞|MF2|时，点 P 的轨迹为 双曲线的一支．而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中 应为“差的绝对值”．
重点辅导
15
【思考2】说明在下列条件下动点M的轨迹各是什么图形？
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
M
符号表示：
||MF1| - |MF2||=常数（小于|F1F2|） F1 o F2
注意 (1)距离之差的绝对值
| |MF1| - |MF2| | = 2a
(2)常数要小于|F1F2|重大点辅于导 0 0<2a<2c
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【思考1】如何理解双曲线的定义？
重点辅导
25
4.写出适合下列条件的双曲线的标准方程
(1)a=4,b=3,焦点在x轴上;
(2)焦点为F1(0,-6),F2(0,6),过点M(2,-5) 利用定义得2a= ||MF1|－|MF2|| (3)a=4,过点(1, 4 10)
3
分类讨论
重点辅导
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(4)焦点在x轴上，且过P(-
2,-
3)，Q(
y
y
M M
F2
F1 o F2 x
x
F1
方程
焦点
a.b.c 的关 系
x2 a2
y2 b2
1
y2 a2
x2 b2
1
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
c 重点2辅导 a2 b2
31
（F1、F2是两定点, |MF1|－|MF2| =2a, |F1F2| =2c (0<a<c)
当|MF1|-|MF2|=2a时，点M的轨迹 双曲线的右支
；
当|MF2|-|MF1|=2a时，点M的轨迹 双曲线的左支 ；
若2a=2c，动点MM的轨迹 以F1、F2为端点的两条射线 ；
若2a>F21c，动点MF的2 轨迹不存在
的坐标为(x，y)，其轨迹方程重点为辅导：
28
变式训练： 已知B（-5，0），C（5，0）是三 角形ABC的两个顶点，且 sin B sin C 3 sin A,
5
求顶点A的轨迹方程。
解：在△ABC中，|BC|=10，
sin B sin C 3 sin A,
AC
AB
3
BC
5
3 10
6
10
5
5
故顶点A的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的左支
又因c=5，a=3，则b=4
则顶点A的轨迹方程为 x2 y2 1 ( x 3)
9 重点辅导 16
29
变2：已知 F1(5, 0), F2 (5, 0) , 动点 P 到 F1、F2 的 距离之差的绝对值为6，求点 P 的轨迹方程.
解：由双曲线的定义知点 P的轨迹是双曲线.因为
5.化简
重点辅导
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y
M 代数式化简得：
F1 O F2
x (c2 a2) x2 a2 y2 a2 (c2 a2)
可令：c2-a2=b2
代入上式得：b2x2-a2y2=a2b2
即:
x2 a2
y2 b2
（ 1 a
0, b
0)
其中c2=重a点2辅+导b2
此即为焦 点在x轴 上的双曲 线的标准 方程
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0)
y2 a2
x2 b2
1(a
0,b 0)
焦点 a.b.c的关系
F（±c，0） F（0，±c）
a>b>0， c2=a2-b2
a最大
F（±c，0） F（0，±c）
a>0，b>0，但a不一定大于b，
c2=a2+b2
c最大
重点辅导
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共性： 1、两者都是平面内动点到两定点的距离问题； 2、两者的定点都是焦点； 3、两者定点间的距离都是焦距。
区别： 椭圆是距离之和； 双曲线是距离之差的绝对值。
重点辅导
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当堂训练：
1.已知方程 x2 y2 1表示椭圆，则 m
的取值范围是m__1___2___m____.
解： m 1 0
2 m 0 m 1 2
m
1
m
2且m
3 2
若此方程表示双曲线，m 的取值范围？
解： (m 1)(2 m) 0 m 1或m 2
重点辅导
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①如图(A)， |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
②如图(B)， |MF2|-|MF1|=|F1F|=2a
由①②可得： | |MF1|-|MF2| | = 2a
（差的绝对值）
上面 两条合起来叫做双曲线
根据实验及椭圆定义重，点辅你导 能给双曲线下定义吗？13
2、双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
F1
.
F2
若2a=0，动点M的是轨迹__线__段__F_1_F_2_的M__垂__直__平__分__线___.
因此，在应用定义时，首先要考查 2a与2c的大小 .
重点辅导
16
当堂训练
1.动点P到点M(-1,0)的距离与到点N(1,0)的距 离之差为2,则点P轨迹是( D )
A.双曲线
B.双曲线的一支
C.两条射线 D.一条射线
重点辅导
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3、 双曲线标准方程推导
求曲线方程的步骤：
y
1.建系
以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中 点为原点建立直角坐标系
2.设点．
F1
M
O F2 x
设M（x , y）,则F1(-c,0),F. 2(c,0)
3.限式 |MF1| - |MF2|=±2a
4.代换 即 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
1、椭圆的定义
平面内与两定点F1、F2的距的 2a ( 2a > |F1F2| ) 的点的轨迹.
和 等于常数
Y Mx, y
O
F1 c, 0
F2 c, 0 X
|MF1|+|MF2|=2a（2a>|F1F2|）
重点辅导
5
2、椭圆的两种标准方程：
定义 图形
|MF1|+|MF2|=2a
y
y
M
F2
M
F1 o
F2 x
o
x
F1
焦点及位置 判定
焦点F1(c,0), F2(c,0)
焦点F1(0,c), F2(0, c)
标准方程
a,b,c之间
的关系
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
a>b>0，a2=b2+重c点2辅导
y2 a2
x2 b2
1(a
b 0)
6
一.复习提问：
1、椭圆的定义
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数
双曲线的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)
由已知 22ca==160
,
a c
3,b2 5
c2
a2
25
9
16
所求双曲线的方程为：x2 y2 1
9 16
重点辅导
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小结 ----双曲线定义及标准方程
定义 图象
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
重点辅导
9
观察演示过程中的变量和不变量。
重点辅导
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1、画双曲线
演示实验：用拉链画双曲线
重点辅导
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观察画双曲线的过程思考问题
1.在作图的过程中哪些量是定量？ 哪些量是不定量？ 2.动点在运动过程中满足什么条件？ 3.这个常数与|F1F2|的关系是什么？ 4.动点运动的轨迹是什么？ 5.若拉链上被固定的两点互换， 则出现什么情况？
2的．（“Cab）＜条0”件是方程 ax2＋by2＝1 表示双曲线
A．必要不充分 B．充分不必要
C．充要
D．重既点辅不导 充分也不必要
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3.已知下列双曲线的方程：
y2 x2 (1) 1
则a= 3
b= 4
c= 5 焦点坐标为(0,-5),(0,5)
9 16
(2) x2 3 y2 3 则a= 3 b= 1 c= 2 焦点坐标为(-2,0),(2,0)
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y
M
若建系时,焦点在y轴上呢?
yF1 O F2 xOxF ( ±c, 0) F(0, ± c)
x2 y2 1(a 0,b 0) a2 b2
y2 a2
x2 b2
（1 a
0,b
0)
练习：写出以下双曲线的焦点坐标
（1）x2 y2 1, (2) x2 y2 1
16 9
16 9
问题：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？
解：设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A 和B，根据两圆外切的条件，
|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|
这表明动点M与两定点C2、C1的距离的差是常数2．根
据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2
的距离大，与C1的距离小)，这里a=1，c=3，则b2=8，设点M
(二次项系数为正,焦重点点辅在导 相应的轴上)
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双曲线的标准方程与椭圆的 标准方程有何区别与联系?
重点辅导
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双曲线与椭圆之间的区别与联系
定义 方程
椭圆
|MF1|+|MF2|=2a x2 y2 1(a b 0) a2 b2 y2 x2 1(a b 0) a2 b2
双曲线
||MF1|－|MF2||=2a
15 3
,
2 ).
由题可设双曲线的方程为：mx2 ny2 1(m 0, n 0)
(4)变式：过P(-
2,-
3)，Q(
15 3
,
2 ).
由题可设双曲线的方程为：mx2 ny2 1(mn 0)
重点辅导
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轨迹问题
例：已知圆C1：(x+3)2+y2=1和圆C2：(x-3)2+y2=9， 动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨 迹方程．
北京摩天大楼
巴西利亚大教堂
法拉利主题公园
重点辅导
花瓶1
反比例函数的图像 双曲线交通结构可缓拥堵
冷却塔
罗兰导航系统原理
重点辅全导 球卫星定位导航系统2
重点辅导
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1．了解双曲线标准方程的推导过程． 2．能根据条件熟练求出双曲线的标准方程． 3．掌握双曲线的定义与标准方程．
重点辅导
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一.复习提问：