高中数学函数的表示方法(教师版)苏教版

第五课时 函数的表示方法（2）
【学习导航】
1．掌握函数的概念，能正确求出函数
的定义域、值域；
2．领会题意正确地求出两个变量的函数关系；
3．能解决简单的复合函数的解析式和
定义域问题．
自学评价
1．下列函数中，与2(2)y x x =->相同的函数是
（ D ） A ．2-=x y B ．2-=x y C
．22
--=
x x y D ．2)2
2(
--=x x y 2．下列图象中，表示函数关系()y f x =的
是 （ A ）
3．作出函数2
21,[1,3)y x x x =--∈-的图象。

解：2
(1)2,[1,3)y x x =--∈-
例1：（1）若设函数()f x =的定义域为 ，(1)f x += ，函数(1)y f x =+的定义域为 。

（2）若函数()y f x =的定义域为[1,3)，则函
数(1)y f x =+的定义域为 。

解：（1）由10x -≥得1x ≥，∴()f x 的定义域为[1,)+∞，(1)f x +==，
∴(1)y f x =+的定义域为[0,)+∞。

（2）从（1）的解决可以体会，（1）中函数
(1)y f x =+的定义域实际可以由11x +≥求
出。

从形式上看，函数()y f x =的定义域为[1,3)，
即“f ”后面的“（ ）”内的范围为[1,3)，故(1)y f x =+的定义域应由113x ≤+<得到，即02x ≤<。

例2：如图实线部分，某电影院的窗户的上部呈半圆形，下部呈矩形。

已知窗户的外框的周长是l ，矩形的水平边的长是x ，求窗户的采光面的面积y 与x 的函数解析式，并指出函数的定义域。

【解】由题意AB x =，
»2
CD
x π=， 22
l x x AD π
--=
，
∴2()
2222x l x x y x π
π--=⋅
+， 即2482
l
y x x π+=+。

由问题的实际意义可知：
A
A
B
C
D x
0202
x l x x
π>⎧⎪⎪⎨--⎪
>⎪⎩，解得202l x π<<+。

所以，y 与x 的函数解析式是
24
8
2
l
y x x π+=
+，函数的定义域是
2(0,)2l π
+。

例3．若函数2
7
()43
kx f x kx kx +=
++的定义域为R ，求实数k 的取值范围． 【解】由题意知，方程
2430kx kx ++= ① 无实数
解，
（1）若0k =，则方程①即30=，无实数解；
（2）若0k ≠，则“方程①无实数解”等
价于2
(4)430
k k k ≠⎧⎨
∆=-⨯<⎩，
解得3
04
k <<，
综上所述，实数k 的取值范围为
3[0,)4。

追踪训练一
1
．函数()f x =的定义域
为 （D ）
()A [1,1]- ()B (,1][1,)-∞-+∞U ()C [0,1] ()D {1,1}- 2．动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发，顺次经过B 、C 、D 再回到A ，设x 表示点P 的行程，y 表示线段
PA 的长，求y 关于x 的函数解析式。

答案：,
01,12,
23,4,
3 4.x x x y x x x ≤≤⎧<≤=<≤-<≤⎩
【选修延伸】
一、函数的值域 例4: 求函数54
1
x y x +=
-的值域。

【分析】解析式的分子、分母都含变量，我
们应设法减少变化的地方；
【解】545(1)99
5111x x y x x x +-+=
==+
---， ∵9
01
x ≠-， ∴5y ≠，
即函数54
1
x y x +=-的值域为
(,5)(5,)-∞+∞U ．
例5．
求函数y x = 【解
】令u = （0u ≥），
则21122x u =-
+， 22111
(1)1222
y u u u =--+=-++，
当0u ≥时，211
(01)122
y ≤-++=，
∴函数y x =-1
(,]2
-∞．
思维点拨
例4中我们减少了x 的个数后就可以求出函数的值域，该方法我们称为分离常数法，容易知道：形如cx d
y ax b
+=
+ (0,)c bc ad ≠≠的值域为{|}c y y a
≠；例5通过换元解决根号的问题我们称这种方法为换元法。

追踪训练二
1
．函数2y =( C ) ()A [2,2]- ()B [1,2]
()C [0,2] ()
D [
2．函数221
1
x y x -=+的值域是 [1,1)- 。