Microsoft-Word中点与正方形之间的联系-文档

有关中点问题与正方形题型
1、已知，在四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线BD的中点，N是DC的中点，
M是AB的中点，∠DBC=30°，∠ADB=70°．求∠MNP的度数．
2、已知：如图，正三角形ABC中，P为AB的中点，Q为AC的中点，R为BC 的
中点，M为RC上任意一点，△PMS为正三角形．求证：RM=QS．
3、如图，四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，M为BD中点，N为AC中点，求证：MN⊥AC
4、己知：如图，BD、CE是△ABC的高，F是BC的中点，G是ED的中点，
求证：FG⊥DE
5、如图，在△ABC中，点F是BC的中点，AD平分∠BAC，CE⊥AD于点D，
交AB于点E，连接DF，已知AB=16，AC=10，求DF的长
6、如图，在△ACE中，点B是AC的中点，点D是CE的中点，点M是AE的中点，四边形BCGF和四边形CDHN都是正方形．求证：△FMH是等腰直角三角形．
7、已知：如图，AB=AC=BD，E为AB中点，求证：CD=2CE
8、已知：如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，F是CD中点，
连BF交AC于点E，∠ABE+∠CEB=180°，判断BD与CE的数量关系，
并证明你的结论
9、已知△ABC，∠C=90°，AC=BC．M为AC中点，延长BM到D，使MD=BM；N为BC中点，延长NA到E，使AE=NA，连接ED，求证：ED⊥BD
10、如图，A、B、C三点在同一直线上，△ABM和△BCN是正三
角形，P是AN中点，Q是CM中点．求证：△BPQ是正三角形．
11、在△ABC中，点D、E、F分别是边AC、AB、BC的中点，它们相交于点G，
BD=9，CE=12，BD⊥CE，那么AF=
12、如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=2，在BC上有50个不同的点P1，
P2，…，P50，过这50个点分别作△ABC的内接矩形P1E1F1G1，P2E2F2G2，…，
P50E50F50G50，每个内接矩形的周长分别为L1，L2，…，L50，则L1+L2+…+L50=
．
13、如图，在四边形ABCD中，M为AB的中点，P为BC的中点，N为CD的
中点，Q为DA的中点，若图中中间的小四边形的面积为1，试求四个小三角形（阴影部分）面积之和
．
14、如图，已知边长为a的正方形ABCD，E为AD的中点，P为CE的中点，F为BP的中点，求△BFD 的面积．
15、如图，在正方形ABCD中，DC的中点为E，F为CE的中点，
求证：2∠DAE=∠BAF．
16、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，
BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE，DF，EF．在此运动变化的过程中，下列结论：
①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形，
③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积的最大
值为8．
其中正确的结论是（）
17、如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，
且四边形ABCD的面积为8，则BE=（）
18、如图所示，甲、乙、丙、丁四个长方形拼成正方形EFGH，中间阴影为正方
形．已知甲、乙、丙、丁四个长方形面积的和是32cm2，四边形ABCD的面积是
20cm2，则甲、乙、丙、丁四个长方形周长的总和为
cm．
19、如图，正方形ABCD，点P是对角线AC上一点，连接BP，过P作PQ⊥BP，
PQ交CD于Q，若AP=22，CQ=5，则正方形ABCD的面积为
．
20、用两个全等的正方形ABCD和CDFE拼成一个矩形ABEF，把一个足够大的直角三角尺的直角顶点与这个矩形的边AF的中点D重合，且将直角三角尺绕点D按逆时针方向旋转．
（1）当直角三角尺的两直角边分别与矩形ABEF的两边BE，EF相交于点G，H时，如图甲，通过观察或测量BG与EH的长度，你能得到什么结论并证明你的结论；
（2）当直角三角尺的两直角边分别与BE的延长线，EF的延长线相交于点G，H时（如图乙），你在图甲中得到的结论还成立吗？简要说明理由．
21、如图1，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连接EB，过点A作AM ⊥BE，垂足为M，AM交BD于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）如图2，若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，
交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE=OF”
还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明
理由．
22、已知正方形ABCD．
（1）如图1，E是AD上一点，过BE上一点O作BE的垂线，交AB于点G，交CD于点H，求证：BE=GH；（2）如图2，过正方形ABCD内任意一点作两条互相垂直的直线，分别交AD，BC于点E，F，交AB，CD于点G，H，EF与GH相等吗？请写出你的结论；
（3）当点O在正方形ABCD的边上或外部时，过点O作两条互相垂直的直线，被正方形相对的两边（或它们的延长线）截得的两条线段还相等吗？其中一种情形如图3所示，过正方形ABCD外一点O作互相垂直的两条直线m，n，m与AD，BC的延长线分别交于点E，F，n与AB，DC的延长线分别交于点G，H，试就该图形对你的结论加以证明．
23、如图，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），取线段AE的中点M．
探究：线段MD、MF的关系，并加以证明．
说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；
（2）在你经历说明（1）的过程后，可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．
注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得7分；选取③完成证明得5分．
①DM的延长线交CE于点N，且AD=NE；②将正方形CGEF6绕点C逆时针旋转45°（如图），其他条件不变；③在②的条件下，且CF=2AD．
（3）：将正方形
CGEF绕点C旋转
任意角度后（如图
3），其他条件不
变．探究：线段
MD、MF的关系，
并加以证明．
24（1）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，AE、BF 交于点O，∠AOF=90°．求证：BE=CF．
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E、H、F、G分别在边AB、BC、CD、DA上，
EF、GH交于点O，∠FOH=90°，EF=4．求GH的长．
（3）已知点E、H、F、G分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，EF、GH交于点O，∠FOH=90°，EF=4．直接写出下列两题的答案：
①如图3，矩形ABCD由2个全等的正方形组成，则GH=
②如图4，矩形ABCD由n个全等的正方形组成，则GH=
（用n的代数式表示）．
25、如图，已知四边形ABCD、AEFG均为正方形，∠BAG=α（0°＜α＜180°）．
（1）求证：BE=DG，且BE⊥DG；
（2）设正方形ABCD、AEFG的边长分别是3和2，线段BD、DE、EG、GB所
围成封闭图形的面积为S．当α变化时，指出S的最大值及相应的α值．（直接写
出结果，不必说明理由）
26、如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；
②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；
（3）当AM+BM+CM的最小值为3+1时，求正方形的边长．
27、已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F．
（1）如图1，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC=45°，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，求证：FG+DC=AD；
（2）如图2，若∠ABC=135°，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，则FG、DC、AD之间满足的数量关系是
（3）在（2）的条件下，若AG=52，DC=3，
将一个45°角的顶点与点B重合并绕点B旋
转，这个角的两边分别交线段FG于M、N
两点（如图3），连接CF，线段CF分别与
线段BM、线段BN相交于PQ两点，若NG=3
2
，求线段PQ的长．
28、已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF
中点，连接EG，CG．
（1）求证：EG=CG；
（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能
得出什么结论（均不要
求证明）．
29、在一次研究性学习活动中，某小组将两张互相重合的正方形纸片ABCD和EFGH的中心O用图钉固定住，保持正方形ABCD不动，顺时针旋转正方形EFGH，如图所示．
（1）小组成员经观察、测量，发现在旋转过程中，有许多有趣的结论．下面是旋转角度小于90°时他们得到的一些猜想：
①ME=MA；
②两张正方形纸片的重叠部分的面积为定值；
③∠MON保持45°不变．
请你对这三个猜想作出判断（正确的在序号后的括号内打上“√”，错误的
打上“×”）：
①（）；②（）；③（）
（2）小组成员还发现：（1）中的△EMN的面积S随着旋转角度∠AOE
的变化而变化．请你指出在怎样的位置时△EMN的面积S取得最大值．（不必证明）
（3）上面的三个猜想中若有正确的，请选择其中的一个给予证明；若都是错误的，请选择其一说明理由
30、如图①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A，C分别在DG和DE上，连接AE，BG．
（1）试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论；
（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°，小于或等于360°），如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？
如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由；
（3）若BC=DE=2，在（2）的旋转过程中，当AE为最
大值时，求AF的值．
31、如图①，四边形AEFG和ABCD都是正方形，它们的边长分别为a，b（b≥2a），且点F在AD上（以下问题的结果均可用a，b的代数式表示）．
（1）求S△DBF；
（2）把正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转45°得图②，求图②中的S△DBF；
（3）把正方形AEFG绕点A旋转一周，在旋转的过程中，S△DBF是否存在最大值、最小值？如果存在，直接写出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由．
32、在正方形ABCD中，点E是AD上一动点，MN⊥AB分别交AB，CD于M，N，连接BE交MN于点O，过O作OP⊥BE分别交AB，CD于P，Q．
探究：（1）如图①，当点E在边AD上时，请你动手测量三条线段AE，MP，NQ的长度，猜测AE与MP+NQ 之间的数量关系，并证明你所猜测的结论；
探究：（2）如图②，若点E在DA的延长线上时，AE，MP，NQ之间的数量关系又是怎样请直接写出结论；再探究：（3）如图③，连接并延长BN交AD的延长线DG于H，若点E分别在线段DH和射线HG上时，请在图③中完成符合题意的图形，并判断AE，MP，NQ之间的数量关系又分别怎样？请直接写出结
论．
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