高考物理一轮复习 第六章 碰撞与动量守恒 第2讲 动量守恒定律及其应用练习(含解析)鲁科版-鲁科版高

第2讲动量守恒定律与其应用
考点一动量守恒定律的理解与应用
动量是否守恒的判断
【典例1】如下列图，A、B两物体的质量之比为m A∶m B=1∶2，它们原来静止在平板车C上，A、B两物体间有一根被压缩了的水平轻质弹簧，A、B两物体与平板车上外表间的动摩擦因数一样，水平地面光滑。

当弹簧突然释放后，A、B两物体被弹开(A、B两物体始终不滑出平板车)，如此有( )
A.A、B系统动量守恒
B.A、B、C与弹簧整个系统机械能守恒
C.小车C先向左运动后向右运动
D.小车C一直向右运动直到静止
【解析】选D。

A、B两物体和弹簧、小车C组成的系统所受合外力为零，所以系统的动量守恒。

在弹簧释放的过程中，因m A∶m B=1∶2，由摩擦力公式F f=μF N=μmg知，A、B两物体所受的摩擦力大小不等，所以A、B两物体组成的系统合外力不为零，A、B两物体组成的系统动量不守恒，A物体对小车向左的滑动摩擦力小于B对小车向右的滑动摩擦力，在A、B两物体相对小车停止运动之前，小车所受的合外力向右，会向右运动，因存在摩擦力做负功，最终整个系统将静止，如此系统的机械能减为零，不守恒，故A、B、C错误，D正确。

【多维训练】(多项选择)(2019·宣城模拟)如下列图，小车在光滑水平面上向左匀速运动，水平轻质弹簧左端固定在A点，物体与固定在A点的细线相连，弹簧处于压缩状态(物体与弹簧未连接)，某时刻细线断了，物体沿车滑动到B端粘在B端的油泥上，取小车、物体和弹簧为一个系统，如下说法正确的答案是
( )
A.假设物体滑动中不受摩擦力，如此该系统全过程机械能守恒
B.假设物体滑动中有摩擦力，如此该系统全过程动量守恒
C.不论物体滑动中有没有摩擦，小车的最终速度与断线前一样
D.不论物体滑动中有没有摩擦，系统损失的机械能一样
【解析】选B、C、D。

物体与油泥粘合的过程，发生非弹簧碰撞，系统机械能有损失，故A错误；整个系统在水平方向不受外力，竖直方向上合外力为零，如此系统动量一直守恒，故B 正确；取系统的初速度方向为正方向，根据动量守恒定律可知，物体在沿车滑动到B端粘在B 端的油泥上后系统共同的速度与初速度是一样的，故C正确；由C的分析可知，当物体与B 端油泥粘在一起时，系统的速度与初速度相等，所以系统的末动能与初动能是相等的，系统损失的机械能等于弹簧的弹性势能，与物体滑动中有没有摩擦无关，故D正确。

某一方向上的动量守恒问题
【典例2】如下列图将一光滑的半圆槽置于光滑水平面上，槽的左侧有一固定在水平面上的物块。

今让一小球自左侧槽口A的正上方从静止开始落下，与圆弧槽相切自A点进入槽内，如此以下结论中正确的答案是( )
A.小球在半圆槽内运动的全过程中，只有重力对它做功
B.小球在半圆槽内运动的全过程中，小球与半圆槽在水平方向动量守恒
C.小球自半圆槽的最低点B向C点运动的过程中，小球与半圆槽在水平方向动量守恒
D.小球离开C点以后，将做竖直上抛运动
【通型通法】
1.题型特征：水平方向上满足动量守恒。

2.思维导引：
【解析】选C。

当小球在槽内由A运动到B的过程中，左侧物块对槽有作用力，小球与槽组成的系统水平方向上的动量不守恒，故B错误；当小球由B运动到C的过程中，因小球对槽有斜向右下方的压力，槽做加速运动，动能增加，小球机械能减少，槽对小球的支持力对小球做了负功，故A错误；小球从B到C的过程中，系统水平方向合外力为零，满足系统水平方向动量守恒，故C正确；小球离开C 点以后，既有竖直向上的分速度，又有水平分速度，小球做斜上抛运动，故D错误。

人船模型问题
【典例3】如下列图，质量m=60kg的人，站在质量M=300kg的车的一端，车长L=3m，相对于地面静止。

当车与地面间的摩擦可以忽略不计时，人由车的一端走到另一端的过程中，车将( )
A.后退0.5m
B.后退0.6m
C.后退0.75m
D.一直匀速后退
【解析】选A。

人车组成的系统动量守恒，如此mv1=Mv2，所以mx1=Mx2，又有x1+x2=L，解得x2=0.5m。

1.动量守恒定律的五个特性：
矢量性动量守恒定律的表达式为矢量方程，解题应选取统一的正方向
相对性
各物体的速度必须是相对同一参考系的速度(一般是相对于地
面)
同时性动量是一个瞬时量，表达式中的p1、p2、…必须是系统中各物体在相互作用前同一时刻的动量，p1′、p2′、…必须是系统中各物体在相互作用后同一时刻的动量
系统性研究的对象是相互作用的两个或多个物体组成的系统
普适性
动量守恒定律不仅适用于低速宏观物体组成的系统，还适用于
接近光速运动的微观粒子组成的系统
2.应用动量守恒定律的解题步骤：
(1)明确研究对象，确定系统的组成(系统包括哪几个物体与研究的过程)。

(2)进展受力分析，判断系统动量是否守恒(或某一方向上是否守恒)。

(3)规定正方向，确定初、末状态动量。

(4)由动量守恒定律列出方程。

(5)代入数据，求出结果，必要时讨论说明。

3.爆炸现象的三个规律：
动量守恒由于爆炸是在极短的时间内完成的，爆炸物体间的相互作用力远远大于受到的外力，所以在爆炸过程中，系统的总动量守恒
动能增加在爆炸过程中，由于有其他形式的能量(如化学能)转化为动能，所以爆炸后系统的总动能增加
位置不变爆炸的时间极短，因而作用过程中，物体产生的位移很小，一般可忽略不计，可以认为爆炸后仍然从爆炸前的位置以新的动量开始运动
【加固训练】
1.一质量为m的烟花弹获得动能E后，从地面竖直升空。

当烟花弹上升的速度为零时，弹中火药爆炸将烟花弹炸为质量相等的两局部，两局部获得的动能之和也为E，且均沿竖直方向运动。

爆炸时间极短，重力加速度大小为g，不计空气阻力和火药的质量。

求：
(1)烟花弹从地面开始上升到弹中火药爆炸所经过的时间。

(2)爆炸后烟花弹向上运动的局部距地面的最大高度。

【解析】(1)设烟花弹上升的初速度为v0，由题给条件有E=m①
设烟花弹从地面开始上升到火药爆炸所用的时间为t，由运动学公式有0-v0=
-gt ②
联立①②式得t=③
(2)设爆炸时烟花弹距地面的高度为h1，由机械能守恒定律有E=mgh1④
火药爆炸后，烟花弹上、下两局部均沿竖直方向运动，设炸后瞬间其速度分别为v1和v2。

由
题给条件和动量守恒定律有m+m=E ⑤
mv1+mv2=0 ⑥
由⑥式知，烟花弹两局部的速度方向相反，向上运动局部做竖直上抛运动。

设爆炸后烟花弹上局部继续上升的高度为h2，由机械能守恒定律有
m=mgh2⑦
联立④⑤⑥⑦式得，烟花弹上局部距地面的最大高度为h=h1+h2=⑧
答案：(1)(2)
2.(2019·赣州模拟)如下列图，三角形木块A质量为M，置于光滑水平面上，底边长为a，在其顶部有一三角形小木块B质量为m，其底边长为b，假设B从顶端由静止滑至底部，如此木块后退的距离为( )
A. B.
C. D.
【解析】】选C。

取向右为正方向，设木块后退的距离为x，B从顶端由静止滑至底部时，B
向左运动的距离为a-b-x，如此水平方向上A的平均速度大小为，B的平均速度大小为
，根据水平方向动量守恒得：M-m=0，解得，x=，应当选C。

3.如下列图，质量为M的小车静止在光滑的水平面上，小车AB段是半径为R的四分之一光滑圆弧轨道，BC段是长为L的水平粗糙轨道，两段轨道相切于B点，一质量为m的滑块在小车上从A点静止开始沿AB轨道滑下，然后滑入BC轨道，最后恰好停在C点。

小车质量M=3m，滑块与轨道BC间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。

如此( )
A.全程滑块水平方向相对地面的位移 R+L
B.全程小车相对地面的位移大小s=(R+L)
C.滑块m运动过程中的最大速度v m=
D.μ、L、R 三者之间的关系为R=4μL
【解析】选B。

设全程小车相对地面的位移大小为s，如此滑块水平方向相对地面的位移
x=R+L-s。

取水平向右为正方向，由水平方向动量守恒得m-M=0，即m-M=0，结合M=3m，解得s=(R+L)，x=(R+L)，故A错误，B正确；滑块刚滑到B点时速度最大，取水平向右为正方向，由动量守恒定律和机械能守恒分别得0=mv m-Mv、mgR=m+Mv2。

联立
解得 v m=，故C错误；对整个过程，由动量守恒定律得0=(m+M)v′，得v′=0，由能量守恒定律得mgR=μmgL，得R=μL，故D错误。

考点二碰撞问题
碰撞的可能性问题
【典例4】(多项选择)质量分别为m P=1kg、m Q=2kg的小球P、Q静止在光滑的水平面上，现给小球P以水平的速度v P0=4m/s沿直线朝小球Q运动，并发生正碰，分别用v P、v Q表示两小球碰撞完毕的速度。

如此关于v P、v Q的大小可能的是( )
A.v P=v Q=m/s
B.v P=-1m/s，v Q=2.5m/s
C.v P=1m/s，v Q=3m/s
D.v P=-4m/s，v Q=4m/s
【解析】选A、B。

碰撞前总动量为p=m P v P0=4kg·m/s，碰撞前总动能为E k=m P=
8J。

如果v P=v Q=m/s，p′=m P v P+m Q v Q=4kg·m/s，E k′=m P+m Q=J，碰撞过程动量守恒，能量不增加，A正确；如果v P=-1m/s，v Q=2.5m/s，p′=m P v P+m Q v Q=
4kg·m/s，E k′=m P+m Q=6.75J，能量不增加，碰撞过程动量守恒，B正确；如果v P=1m/s，v Q=3m/s，p′=m P v P+m Q v Q=7kg·m/s，碰撞过程动量不守恒，C错误；如果v P=-4m/s，v Q=4m/s，
p′=m P v P+m Q v Q=4kg·m/s，E k′=m P+m Q=
24J，碰撞过程动量守恒，动能增加，D错误。

【多维训练】质量为m、速度为v的A球与质量为3m的静止的B球发生正碰。

碰撞可能是弹性的，也可能是非弹性的，因此，碰撞后B球的速度可能有不同的值，碰撞后B球的速度大小可能是( )
v B.0.4v C.0.2v D.v
【解析】选B。

根据动量守恒定律得mv=mv1+3mv2，如此当v2=0.6v时，v1=-0.8v，如此碰撞后
的总动能E k′=m(-0.8v)2+×3m(0.6v)2=1.72×mv2，大于碰撞前的总动能，违反了能量守恒定律，故A项错误；当v2=0.4v时，v1=-0.2v，如此碰撞后的总动能为
E k′=m(-0.2v)2+×3m(0.4v)2=0.52×mv2，小于碰撞前的总动能，故可能发生的是非弹性碰撞，B项正确；当v2=0.2v时，v1=0.4v，如此碰撞后的A球的速度大于B球的速度，而两球碰撞，A球不可能穿透B球，故C项错误；当v2=v时，v1=-2v，显然碰撞后的总动能大于碰撞前的总动能，故D项错误。

弹性碰撞模型
【典例5】(2019·孝感模拟)如下列图,光滑水平轨道MN与半径为R的竖直光滑圆弧轨道相切于N点,质量为m的小球B静止于P点,小球半径远小于R。

与B一样的小球A以速度v0向右运动,同小球B发生弹性碰撞。

求当v0在什么范围内,小球B在圆弧轨道内运动时不会脱离轨道?重力加速度为g。

【解析】两小球发生弹性碰撞,取向右为正方向,由动量守恒定律和机械能守恒定律有:
m A v0=m A v A+m B v B
m A=m A+m B
由m A=m B,故速度交换即 v B=v0
欲使小球B运动时不脱离圆弧轨道,有两种可能。

①当v0较小时,B最高只能运动到与圆心等高的地方,对B从碰后到与圆心等高的地方,
由动能定理有:
-mgR=0-m
得:v0=
②当v0较大时,B能够做完整的圆周运动,对B从碰后到圆周最高点的过程中,
由动能定理有:-mg·2R=mv2-m
在最高点时,由牛顿第二定律得:
mg=m
故有:v0=
综上所述当v0≤或v0≥时,
小球B不会在圆弧轨道内脱离轨道。

答案:v0≤或v0≥
【多维训练】如下列图，两质量分别为m1和m2的弹性小球A、B叠放在一起，从高度为h处自由落下，h远大于两小球的半径，落地瞬间，B先与地面碰撞，后与A碰撞，所有的碰撞都是弹性碰撞，且都发生在竖直方向、碰撞时间均可忽略不计。

m2=3m1，如此A反弹后能达到的最大高度为( )
A.h
B.2h
【解析】选D。

所有的碰撞都是弹性碰撞，所以不考虑能量损失。

设竖直向上为正方向，根据机械能守恒定律和动量守恒定律可得，(m1+m2)gh=(m1+m2)v2，m2v-m1v=m1v1+m2v2，
(m1+m2)v2=m1+m2，m1=m1gh1，又m2=3m1，如此v1>v2≥0，联立可得h1=4h，选项D正确。

完全非弹性碰撞模型
【典例6】如下列图，质量为m=245g的物块(可视为质点)放在质量为M=0.5kg的木板左端，足够长的木板静止在光滑水平面上，物块与木板间的动摩擦因数为μ=0.4。

质量为m0=5g的
子弹以速度v0=300m/s沿水平方向射入物块并留在其中(时间极短)，g取10m/s2。

子弹射入后，求：
(1)子弹进入物块后子弹和物块一起向右滑行的最大速度v1。

(2)木板向右滑行的最大速度v2。

(3)物块在木板上滑行的时间t。

【通型通法】
1.题型特征：满足动量守恒，机械能不守恒。

2.思维导引：
【解析】(1)子弹进入物块后一起向右滑行的初速度即为物块的最大速度，由动量守恒可得：m0v0=(m0+m)v1，解得v1=6m/s。

(2)当子弹、物块、木板三者同速时，木板的速度最大，由动量守恒定律可得：
(m0+m)v1=(m0+m+M)v2，
解得v2=2m/s。

(3)对物块和子弹组成的整体应用动量定理得：
-μ(m0+m)gt=(m0+m)v2-(m0+m)v1，
解得：t=1s。

答案：(1)6m/s (2)2m/s (3)1s
【举一反三】在例题的根底上，回答如下问题：
(1)子弹射入物块并留在其中(时间极短)，其中的含义是什么？
(2)足够长的木板会使子弹、物块、木板的运动有怎样的结果？
(3)当木板的速度v板=1m/s时，子弹和物块的速度v物是多大？在此过程中物块相对于木板滑行了多远？
【解析】(1)子弹射入物块并留在其中，说明子弹最终与物块同速。

时间极短，说明子弹与物块从相互作用到二者同速的过程中，物块在木板上没来得与移动，而木板此时的速度仍为零。

(2)木板足够长，说明物块最终没有滑出木板，三者最终同速，此时木板速度最大。

(3)由动量守恒定律可得：
(m0+m)v1=Mv板+(m0+m)v物，
可求得v物=4m/s
由μ(m0+m)g=(m0+m)a，
v物=v1-at′可得t′=0.5s
所以物块相对于木板滑行的距离
d=t′-t′=2.25m。

答案：(1)(2)见解析
(3)4m/s 2.25m
1.碰撞遵循的三条原如此：
(1)动量守恒定律。

(2)机械能不增加。

E k1+E k2≥E k1′+E k2′或+≥+
(3)速度要合理。

①同向碰撞：碰撞前，后面的物体速度大；碰撞后，前面的物体速度大或相等。

②相向碰撞：碰撞后两物体的运动方向不可能都不改变。

2.弹性碰撞讨论：
(1)碰后速度的求解
根据动量守恒和机械能守恒
解得v1′=，
v2′=
(2)分析讨论：
当碰前物体2的速度不为零时，假设m1=m2，如此v1′=v2，v2′=v1，即两物体交换速度。

当碰前物体2的速度为零时，v2=0，如此：
v1′=，v2′=，
①m1=m2时，v1′=0，v2′=v1，碰撞后两物体交换速度。

②m1>m2时，v1′>0，v2′>0，碰撞后两物体沿同方向运动。

③m1<m2时，v1′<0，v2′>0，碰撞后质量小的物体被反弹回来。

考点三用力学三大观点解决综合性问题
“子弹打木块〞模型
【典例7】如下列图，一质量m1=0.45kg的平板小车静止在光滑的水平轨道上。

车顶右端放一质量m2=0.5kg的小物块，小物块可视为质点，小物块与小车上外表之间的动摩擦因数μ=0.5。

现有一质量m0=0.05kg的子弹以v0=100m/s的水平速度射中小车左端，并留在车中，子弹与车相互作用时间很短。

g取10m/s2，求：
(1)子弹刚刚射入小车时，小车的速度大小v1；
(2)要使小物块不脱离小车，小车的长度至少为多少？
【通型通法】
1.题型特征：完全非弹性碰撞，有能量损失。

2.思维导引：
【解析】(1)子弹射入小车的过程中，子弹与小车组成的系统动量守恒，由动量守恒定律得m0v0=(m0+m1)v1，
解得v1=10m/s。

(2)子弹、小车、小物块组成的系统动量守恒，设当小物块与车共速时，共同速度为v2，两者相对位移大小为L，由动量守恒定律和动能定理有：
(m0+m1)v1=(m0+m1+m2)v2
μm2gL=(m0+m1)-(m0+m1+m2)
解得L=5m
故要使小物块不脱离小车，小车的长度至少为5m。

答案：(1)10m/s (2)5m
滑块—木板模型问题
【典例8】如下列图，固定的光滑圆弧面与质量为6kg的小车C的上外表平滑相接，在圆弧面上有一个质量为2kg的滑块A，在小车C的左端有一个质量为2kg的滑块B，滑块A与B均可看作质点。

现使滑块A从距小车的上外表高h=
1.25m处由静止下滑，与B碰撞后瞬间粘合在一起共同运动，最终没有从小车C上滑出。

滑块
A、B与小车C的动摩擦因数均为μ=0.5，小车C与水平地面的摩擦忽略不计，取g=10m/s2。

求：
(1)滑块A与B碰撞后瞬间的共同速度的大小。

(2)小车C上外表的最短长度。

【解析】(1)滑块A下滑过程机械能守恒，由机械能守恒定律得：
m A gh=m A
代入数据解得：v1=5m/s
A、B碰撞过程系统动量守恒，以A的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得：
m A v1=(m A+m B)v2
代入数据解得：v2=2.5m/s
(2)A、B、C三者组成的系统动量守恒，以A的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得：(m A+m B)v2=(m A+m B+m C)v3
代入数据解得：v3=1m/s
由能量守恒定律得：
μ(m A+m B)gL=(m A+m B)-(m A+m B+m C)代入数据解得：L=0.375m
答案：(1)2.5m/s (2)0.375m
“弹簧类〞模型
【典例9】如下列图，A、B、C为三个大小一样的小球，m A=0.5kg，m B=0.3kg，m C=0.2kg，A和B固定在轻弹簧的两端(A和B静止在光滑的水平面上)。

小球C以初速度v0=8m/s向右运动，在极短时间Δt=0.1s内与A发生碰撞后以速度v=-2m/s被反弹，求：
(1)C与A碰撞过程中的平均作用力大小F；
(2)碰撞过程中损失的机械能ΔE；
(3)弹簧的最大弹性势能E p。

【通型通法】
1.题型特征：动量守恒，机械能守恒。

2.思维导引：
【解析】(1)对C由动量定理得：
-FΔt=m C v-m C v0
代入数据解得F=20N。

(2)C与A碰撞过程中动量守恒，由动量守恒定律得m C v0=m A v A+m C v，
解得v A=4m/s
碰撞过程中损失的机械能
ΔE=m C-m C v2-m A=2J。

(3)A和B在运动过程中动量守恒，机械能守恒，当弹簧压缩到最短时有共同速度，此时弹性势能最大，设共同速度为v1，有m A v A=(m A+m B)v1
m A=(m A+m B)+E p
联立解得E p=1.5J。

答案：(1)20N (2)2J (3)1.5J
三大观点解决力学综合问题
三大观点所涉与的主要内容是“三个运动定律〞——牛顿三大定律，“两个定理〞——动能定理和动量定理，“三个守恒定律〞——能量守恒定律、机械能守恒定律和动量守恒定律。

1.从研究对象上看：
(1)假设多个物体的运动状态不同，如此一般不宜对多个物体整体应用牛顿运动定律；
(2)假设研究对象为单个物体，如此不能用动量观点中的动量守恒定律；
(3)假设研究对象为一物体系统，且系统内的物体与物体间有相互作用，一般用“守恒定律〞去解决问题，但必须注意研究对象是否满足定律的守恒条件。

2.从研究过程上看：
(1)凡涉与瞬间状态的分析和运动性质的分析，如此必须要用动力学观点；
(2)凡涉与复杂的直线或曲线运动问题，一般要用能量观点或动量观点；
(3)凡涉与短暂的相互作用问题优先考虑用动量定理；
(4)凡涉与碰撞、爆炸、反冲等问题，一般应用动量守恒定律。

3.从所涉与的物理量看：
(1)如果涉与加速度的问题，如此一般要用牛顿运动定律；
(2)如果涉与运动时间或作用时间的问题，一般优先考虑用动量定理，其次考虑用牛顿运动定律；
(3)如果涉与运动的位移或路程的问题，一般优先考虑用功能关系，其次再考虑用牛顿运动定律；
(4)如果涉与初、末速度的问题，一般优先考虑用功能关系，其次考虑用动量观点，最后再考虑用牛顿运动定律。

【加固训练】
如下列图，一条带有圆轨道的长轨道水平固定，圆轨道竖直，底端分别与两侧的直轨道相切，半径R=0.5m。

物块A以v0=6m/s的速度滑入圆轨道，滑过最高点Q，再沿圆轨道滑出后，与直轨上P处静止的物块B碰撞，碰后粘在一起运动，P点左侧轨道光滑，右侧轨道呈粗糙段、光滑段交替排列，每段长度都为L=0.1m。

物块与各粗糙段间的动摩擦因数都为μ=0.1，A、B的质量均为m=
1kg(重力加速度g取10m/s2；A、B视为质点，碰撞时间极短)。

(1)求A滑过Q点时的速度大小v和受到的弹力大小F；
(2)假设碰后AB最终停止在第k个粗糙段上，求k的数值；
(3)求碰后AB滑至第n个(n<k)光滑段上的速度v n与n的关系式。

【解析】(1)物块A从滑入圆轨道到最高点Q，根据机械能守恒定律，得m=mg·2R+mv2所以A滑过Q点时的速度
v==m/s=4m/s>=m/s
在Q点根据牛顿第二定律和向心力公式，得
mg+F=m
所以A受到的弹力
F=-mg=(-1×10)N=22N。

(2)A与B碰撞遵守动量守恒定律，设碰撞后的速度为v′，如此mv0=2mv′
所以v′=v0=3m/s
从碰撞到AB停止，根据动能定理，得
-2μmg kL=0-·2mv′2
所以k===45。

(3)A、B碰撞后到滑至第n个光滑段根据动能定理，得-2μmgnL=·2m-·2mv′2
解得v n=(n<k)。

答案：(1)4m/s 22N (2)45
(3)v n=(n<k)。