反比例函数压轴题精选(含答案)

中考反比例函数
经典结论：
如图，反比例函数k 的几何意义： (I) 1
2
AOB AOC S S k ∆∆==
； (II) OBAC S k =矩形。

下面两个结论是上述结论的拓展.
(1) 如图①，
OPA OCD S S ∆∆=，OPC PADC S S ∆=梯形。

(2)如图②，
OAPB OBCA S S =梯形梯形，BPE ACE S S ∆∆=。

经典例题
例 1.(1)(兰州)如图，已知双曲线(0)k
y x x
=
>经过矩形OABC 边AB 的中点F 且交BC 于点E ，四边形OEBF 的面积为2，则k = 2 ；
(2)如图，点A B 、为直线y x =上的两点，过A B 、两点分别作y 轴的平行
线交双曲线1
(0)y x x
=
>于C D 、两点，若2BD AC =，则224OC OD -=
例2．(陕西)如果一个正比例函数的图象与一个反比例函数x
y 6
=),(),,(2211y x B
y x A ，那么))((1212y y x x --值为 24 .
解析：因为A ，B 在反比例函数x
y 6
=
上，所以611=y x ，我们知道正比例函数与反比例函数的交点坐标关于原点
成中
心对称，因此
),(),,(2211y x B y x A 中有1
212,y y x x -=-=，
所以
24644))(())((
1111111212=⨯==----=--y x y y x x y y x x
例3．(山东威海)如图，一次函数b kx y +=的图象与反比例函数x
m
y =的图象交于点A ﹙－2，－5﹚，C ﹙5，n ﹚，交y 轴于点B ，交x 轴于点D ．
(1) 求反比例函数x
m
y =
和一次函数b kx y +=的表达式； (2) 连接OA ，OC ．求△AOC 的面积．
解：(1)∵反比例函数x
m
y =
的图象经过点A ﹙－2，－5﹚， ∴m=(－2)×( －5)＝10． ∴反比例函数的表达式为x
y 10
=．∵点C ﹙5，n ﹚在反比例函数的图象上， ∴25
10
==
n ．∴C 的坐标为﹙5，2﹚． ∵一次函数的图象经过点A ，C ，将这两个点的坐标代入b kx y +=，得 ⎩
⎨
⎧+=+-=-.5225b k b k ，
解得⎩⎨⎧-==.31b k ， ∴所求一次函数的表达式为y ＝x －3．
(2) ∵一次函数y=x －3的图像交y 轴于点B ，∴B 点坐标为﹙0，－3﹚． ∴OB ＝3．∵A 点的横坐标为－2，C 点的横坐标为5，
∴S △AOC= S △AOB+ S △BOC=()221
52215212-21=+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅OB OB OB ．
例4．（福建福州）如图，已知直线12y x =
与双曲线(0)k
y k x
=>交于A B ，两点，且点A 的横坐标为4．
（1）求k 的值；
（2）若双曲线(0)k
y k x
=
>上一点C 的纵坐标为8，求AOC △的面积； （3）过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)k
y k x
=>于P Q ，两点（P 点在第一象限），若由点
A B P Q ，，，为顶点组成的四边形面积为24，求点P 的坐标．
解：（1）
点A 横坐标为4，∴当4x =时，2y =．
∴点A 的坐标为(42)，
． 点A 是直线12y x =与双曲线(0)k
y k x =>的交点，
428k ∴=⨯=．
（2）解法一：如图1
，
点C 在双曲线上，当8y =时，
1x =
∴点C 的坐标为(18)
，． 过点A C ，分别做x 轴，y 轴的垂线，垂足为M N ，，得矩形DMON ．
32ONDM S =矩形，4ONC S =△，9CDA S =△，4OAM S =△．
3249415AOC ONC CDA OAM ONDM S S S S S =---=---=△△△△矩形
解法二：如图2，
过点C A ，分别做x 轴的垂线，垂足为E F ，， 点C 在双曲线8
y x
=
上，当8y =时，1x =． ∴点C 的坐标为(18)
，．点C ，A 都在双曲线8
y x
=上， 4COE AOF S S ∴==△△COE COA AOF CEFA S S S S ∴+=+△△△梯形．
COA CEFA S S ∴=△梯形．
1
(28)3152
CEFA S =⨯+⨯=梯形，15COA S ∴=△．
（3）
反比例函数图象是关于原点O 的中心对称图形，
OP OQ ∴=，OA OB =．∴四边形APBQ 是平行四边形． 11
24644
POA APBQ S S ∴=
=⨯=△平行四边形． 设点P 横坐标为(04)m m m >≠且，得8
()P m m
，．
过点P A ，分别做x 轴的垂线，垂足为E F ，， 点P A ，在双曲线上，4PQE AOF S S ∴==△△． 若04m <<，如图3，
POE POA AOF PEFA S S S S +=+△△△梯形，
6POA PEFA S S ∴==△梯形．182(4)62m m ⎛⎫
+-= ⎪
⎝⎭∴·． 解得2m =，8m =-（舍去）．∴(24)P ，
． 若4m >，如图4，
AOF AOP POE AFEP S S S S +=+△△△梯形，
6POA PEFA S S ∴==△梯形．182(4)62m m ⎛⎫
∴+-= ⎪⎝⎭，
解得8m =，2m =-（舍去）．(81)P ∴，． ∴点P 的坐标是(24)P ，
或(81)P ，． 例5.(山东淄博) 如图，正方形AOCB 的边长为4，反比例函数的图象过点E （3，4）． （1）求反比例函数的解析式；
（2）反比例函数的图象与线段BC 交于点D ，直线1
y x b 2
过点D ，与线段AB 相交于点F ，求点F 的
坐标；
（3）连接OF ，OE ，探究∠AOF 与∠EOC 的数量关系，并证明．
图3
O A
y
B
F
Q
E P
x
图4
O x A
y
B
F E Q
P
【答案】解：（1）设反比例函数的解析式k y x
， ∵反比例函数的图象过点E （3，4），∴k
4
3
，即k=12。

∴反比例函数的解析式12y x。

（2）∵正方形AOCB 的边长为4，∴点D 的横坐标为4，点F 的纵坐标为4。

∵点D 在反比例函数的图象上，∴点D 的纵坐标为3，即D （4,3）。

∵点D 在直线1y x b 2上，∴134b
2，解得b=5。

∴直线DF 为1y
x 52。

将y
4代入1y
x 52
，得14
x 52
，解得x 2。

∴点F 的坐标为（2，4）。

（3）∠AOF ＝
1
2
∠EOC 。

证明如下： 在CD 上取CG=CF=2，连接OG ，连接EG 并延长交ｘ轴于点H 。

∵AO=CO=4，∠OAF=∠OCG=900，AF=CG=2， ∴△OAF ≌△OCG （SAS ）。

∴∠AOF=∠COG 。

∵∠EGB=∠HGC ，∠B=∠GCH=900，BG=CG=2， ∴△EGB ≌△HGC （AAS ）。

∴EG=HG 。

设直线EG ：y
mx
n ，
∵E （3，4），G （4，2），∴43m n 24m n =+⎧⎨=+⎩，解得，m 2
n=10=⎧⎨⎩
－。

∴直线EG ：y 2x
10。

令y
2x
10=0，得x
5。

∴H （5，0），OH=5。

在R ｔ△AOF 中，AO=4，AE=3，根据勾股定理，得
OE=5。

∴OH=OE 。

∴OG 是等腰三角形底边EH 上的中线。

∴OG 是等腰三角形顶角的平分线。

∴∠EOG=∠GOH 。

∴∠EOG=∠GOC=∠AOF ，即∠AOF ＝
1
2
∠EOC 。

例 6.(山东威海)一次函数y ax b =+的图象分别与x 轴、y 轴交于点,M N ，与反比例函数k
y x
=
的图象相交于点,A B ．过点A 分别作AC x ⊥轴，AE y ⊥轴，垂足分别为,C E ；过点B 分别作BF x ⊥轴，BD y
⊥轴，垂足分别为F D ，，
AC 与BD 交于点K ，连接CD ． （1）若点A B ，在反比例函数k
y x
=的图象的同一分支上，如图1，试证明： ①AEDK CFBK S S =四边形四边形； ②AN BM =．
（2）若点A B ，分别在反比例函数k
y x
=的图象的分歧分支上，如图2，则AN 与BM 还相等吗？试证明你的结论．
)
解：（1）①
AC x ⊥轴，AE y ⊥轴，∴四边形AEOC 为矩形．
BF x ⊥轴，BD y ⊥轴，∴四边形BDOF 为矩形．
AC x ⊥轴，BD y ⊥轴，∴四边形AEDK DOCK CFBK ，，均为矩形．
1111OC x AC y x y k ===，，，∴11AEOC S OC AC x y k ===矩形
2222OF x FB y x y k ===，，，∴22BDOF S OF FB x y k ===矩形．
∴AEOC BDOF S S =矩形矩形
．AEDK AEOC DOCK S S S =-矩形矩形矩形，
CFBK BDOF DOCK S S S =-矩形矩形矩形，∴AEDK CFBK S S =矩形矩形
②由（1）知AEDK CFBK S S =矩形矩形．∴AK DK BK CK =．
∴
AK BK
CK DK
= 90AKB CKD ∠=∠=°，∴AKB CKD △∽△．∴CDK ABK ∠=∠．
∴AB CD ∥AC y ∥轴，∴四边形ACDN 是平行四边形．
∴AN CD =．同理BM CD =．AN BM ∴=．
（2）AN 与BM 仍然相等．
AEDK AEOC ODKC S S S =+矩形矩形矩形，
BKCF BDOF ODKC S S S =+矩形矩形矩形，又
AEOC BDOF S S k ==矩形矩形，
∴AEDK BKCF S S =矩形矩形∴AK DK BK CK =．
∴
CK DK
AK BK
=．K K ∠=∠，
∴CDK ABK △∽△．∴CDK ABK ∠=∠．∴AB CD ∥．
AC y ∥轴，∴四边形ANDC 是平行四边形．∴AN CD =．
同理BM CD =．∴AN BM =．
第一部分练习
一、选择题
1.(鄂州)如图，直线y=mx 与双曲线y=
x
k
交于A 、B 两点，过点A 作AM ⊥x 轴，垂足为M ，连结BM,若ABM S ∆=2，则k 的值是
A.2
B.m －2
C.m
D.4
1y x
=
2.(兰州) 如图，若正方形OABC 的顶点B 和正方形ADEF 的顶点E 都在函数（0x >）的图象上，则点E 的坐标是（，）.
3.(泰安）如图，双曲线)0(＞k x
k
y =
经过矩形OABC 的边BC 的中点E ， O
C D K
F E N y x
A
M
x y
A
B O
1S 2S
y x
O P 1
P 2 P 3 P 4 P 5 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 2y x = 交AB 于点D 。

若梯形ODBC 的面积为3，则双曲线的解析式为
A ．
x y 1=
B ．x y 2=
C ．x y 3=
D ．x
y 6
=
4.（仙桃）如图，已知双曲线)0k (x
k
y ＞=经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点
D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为3，则k ＝____________． 5.(牡丹江市)如图，点A 、B 是双曲线3
y x
=上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，若1S =阴影，
则12S S +=． 6.（莆田）如图，在x 轴的正半轴上依次截取112233445OA A A A A A A A A ====，过点12345A A A A A 、、、、分别作x 轴的垂线与反比例函数()2
0y x x
=
≠的图象相交于点12345P P P P P 、、、、，得直角三角形1112233344455OPA A P A A P A A P A A P A 2、、、、，
并设其面积分别为12345S S S S S 、、、、，则5S 的值为．． 第4题图 第5题图 第6题图
7.（包头）已知一次函数1y x =+与反比例函数k y x
=的图象在第一象限相交于点A ，与x 轴相交于点C AB x ，⊥轴于点B ，AOB △的面积为1，则AC 的长为
8.（ 嵊州市）如图,直线)0(<=k kx y 与双曲线x y 2-=交于),(),,(2211y x B y x A 两点,则122183y x y x -的值为A.－5 B.－10 C.5 D.10【答案】B
9.（江苏无锡）如图，已知梯形ABCO 的底边AO 在x 轴上，BC ∥AO ，AB ⊥AO ，过点C 的双曲线k
y x
=交OB 于D ，且OD ：DB=1:2，若△OBC 的面积等于3，则k 的值A ．等于2 B ．等于
3
4
C ．等于245
D ．无
B 第7题图 第8题图 第9题图
10.（江苏盐城）如图，A 、B 是双曲线y= k
x (k>0) 上的点，A 、B 两点的横坐标分别是、2a ，线段AB 的延长
线交x 轴于点C ，若S △AOC=6．则k=．【答案】4
11.（安徽蚌埠二中）已知点（1)0(>=
x x
k 的图像上。

正方形
ABCD 的边BC 在x 轴上，点E 是对角线BD 的中点，函数)0(>=x x
k
y 的图像又经过A 、E 两点，则点E 的横坐标为__________。

【答案】6
12.（四川内江）如图，反比例函数y ＝k
x
(x ＞0)的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别与AB 、BC 相交
于点D 、E ．若四边形ODBE 的面积为6，则k 的值为
y
O A
C B y
B A o O
A
B C D
x
y
图 6
图5—2
图5—1
输出y
取相反数
4
2
取倒数
取倒数
输入非零数x
P
Q
M
y
x O B C A A
B C D E y
x O M
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4【答案】B
第10题图 第11题图 第12题图 13.（山东东营）如图,直线l 和双曲线(0)k
y k x
=>交于A 、B 亮点,P 是线段AB 上的点（不与A 、B 重合）,过
点A 、B 、P 分别向x 轴作垂线,垂足分别是C 、D 、E,连接OA 、OB 、OP,设△AOC 面积是S1、△BOD 面积
是S2、△POE 面积是S3、则
A. S1＜S2＜S3
B. S1>S2>S3
C. S1=S2>S3
D. S1=S2<S3 【答案】D
14.（河北）根据图5—1所示的程序，得到了y 与x 的函数图象，过点M 作PQ ∥x 轴交图象于点P,Q ，连接OP,OQ.则以下结论 ①x ＜0时，x
2
y =
，②△OPQ 的面积为定值， ③x ＞0时，y 随x 的增大而增大 ④MQ=2PM ⑤∠POQ 可以等于90°
其中正确的结论是
A ．①②④
B ②④⑤
C ．③④⑤
D ．②③⑤ 【答案】B
15.（甘肃兰州，15，4分）如图，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C 在反比例函数
221k k y x
++=的图象上。

若点A 的坐标为（－2，－2），则k
的值为
A ．1
B ．－3
C ．4
D ．1或
－3
【答案】D
16.（四川乐山）如图，直线6y x =-交x 轴、y 轴于A 、B 两点，P 是反比例函数4
(0)y x x
=
>图象上位于直线下方的一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为点M ，交AB 于点E ，过
AF BE ⋅=
点P 作y 轴的垂线，垂足为点N ，交AB 于点F 。

则A ．8 B ．6 C ．4 D ．62 【答案】A
17.（•德州）如图，两个反比例函数
和
的图象分别是l1和l2．设点P 在l1上，PC ⊥x 轴，垂足为
C ，交l2于点A ，P
D ⊥y 轴，垂足为D ，交l2于点B ，则三角形PAB 的面积为
x
y
O A
B
C
D
A ． 3
B ． 4
C ．
D ．
5 解
解：∵点P 在y=上，∴设P 的坐标是（a ，）， ∵PA ⊥x 轴，∴A 的横坐标是a ，
∵A 在y=﹣上，∴A 的坐标是（a ，﹣）， ∵PB ⊥y 轴，∴B 的纵坐标是， ∵B 在y=﹣上，∴代入得：﹣， 解得：x=﹣2a ，∴B 的坐标是（﹣2a ，）， ∴PA=﹣（﹣）=，PB=a ﹣（﹣2a ）=3a ， ∵PA ⊥x 轴，PB ⊥y 轴，x 轴⊥y 轴，∴PA ⊥PB ， ∴△PAB 的面积是：PA ×PB=××3a=．故选C ．
18.（福州）如图，过点C(1，2)分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线y ＝－x ＋6于A 、 B 两点，若反比例函数y ＝k
x (x ＞0)的图像与△ABC 有公共点，则k 的取值范围是
A ．2≤k≤9
B ．2≤k≤8
C ．2≤k≤5
D ．5≤k≤8
解答：解：∵点C(1，2)，BC ∥y 轴，AC ∥x 轴，
∴当x ＝1时，y ＝－1＋6＝5，
当y ＝2时，－x ＋6＝2，解得x ＝4， ∴点A 、B 的坐标分别为A(4，2)，B(1，5)，
根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点C 相交时，k ＝1×2＝2最小，设与线段AB 相交于点(x ，－x ＋6)时k 值最大，则k ＝x(－x ＋6)＝－x2＋6x ＝－(x －3)2＋9， ∵ 1≤x≤4，∴当x ＝3时，k 值最大，此时交点坐标为(3，3)， 因此，k 的取值范围是2≤k≤9．故选A ．
19.（临沂）如图，若点M 是x 轴正半轴上任意一点，过点M 作PQ ∥y 轴，分别交函数1(0)k y x x =
>和2(0)k
y x x
=>的图象于点P 和Q ，连接OP 和OQ ．则下列结论正确的是
A ．∠POQ 不成能等于90°
B ．
1
2
k PM QM k = C ．这两个函数的图象一定关于x 轴对称；
A
B
C
O
x
y
第18题图
D ．△POQ 的面积是()121
2
k k + 故选：D ．
20.（湖北黄石）如图所示，已知11
(,)2
A y ，2(2,)
B y 为反比
例函数1
y x
=图像上的两点，动点(,0)P x 在x 正半轴上运动，当线
段
AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是D
A. 1(,0)2
B. (1,0)
C. 3(,0)2
D. 5(,0)2
【解答】解：∵把A （1/2 ，y1），B （2，y2）代入反比例函数y=1/ x 得：y1=2，y2=1/2 ，
∴A （1/2 ，2），B （2，1/2 ），
∵在△ABP 中，由三角形的三边关系定理得：|AP －BP|＜AB ， ∴延长AB 交x 轴于P′，当P 在P′点时，PA －PB=AB ， 即此时线段AP 与线段BP 之差达到最大， 设直线AB 的解析式是y=kx+b ，
把A 、B 的坐标代入得： 2=1/2k+b ,1/2 =2k+b ， 解得：k=－1，b=5/2 ，
∴直线AB 的解析式是y=－x+5/2 ，
当y=0时，x=5/2 ，即P （5/2 ，0），故选D ．
21.(湖北随州)如图，直线l 与反比例函数
x y 2
=
的图象在第一象限内交于A 、B 两点，交x 轴的正半轴于C 点,
若AB ：BC=(m 一l)：1(m>l)则△OAB 的面积(用m 暗示)为
A.m m 212-
B.m
m 12- C. m m )1(32- D.m m 2)1(32-
答案：B
22.（江苏苏州）如图，菱形OABC 的顶点C 的坐标为(3，4)，顶点A 在x 轴的正半轴上．反比例函数y ＝k
x
(x ＞0)的图象经过顶点B ，则k 的值为
B A
o
x
y
l
y
x
O
A
B
P
O
x
y
B A
C
A ．12
B ．20
C ．24
D ．32 【答案】D ．
解：过C 点作CD ⊥x 轴，垂足为D ． ∵点C 的坐标为（3，4），∴OD=3，CD=4．
∴OC= OD2+CD2=32+42=5．∴OC=BC=5．∴点B 坐标为（8，4）， ∵反比例函数y=
k
x
（x ＞0）的图象经过顶点B ，∴k=32． 23.（山东临沂）如图，等边三角形OAB 的一边OA 在x 轴上，双曲线y ＝3
x
在
第一象限内的图
象经过OB 边的中点C ，则点B 的坐标是
A ．（1，3）
B ．（3，1）
C ．（2，23）
D ．（23，2） 【答案】：C ．
24.(湖北孝感）如图，函数y=﹣x 与函数
的图象相交于A ，B 两点，过A ，B 两点分别作y 轴的垂线，
垂足分别为点C ，D ．则四边形ACBD 的面积为 A ．
2 B ．
4 C ． 6 D ．
8 解答
：
解：∵过函数的图象上A ，B 两点
分别作y 轴的垂线，垂足分别为点C ，D ，
∴S △AOC=S △ODB=|k|=2， 又∵OC=OD ，AC=BD ，
∴S △AOC=S △ODA=S △ODB=S △OBC=2，
∴四边形ABCD 的面积为：
S △AOC+S △ODA+S △ODB+S △OBC=4×2=8． 故选D ．
25.（四川内江）如图，反比例函数
（x ＞0）的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别于AB 、BC 交
于点D 、E ，若四边形ODBE 的面积为9，则k 的值为 A ． 1
B ．
2 C ．
3 D ．
4
解答：
解：由题意得：E 、M 、D 位于反比例函数图象上，则S △OCE=，
S △OAD=
，
过点M 作MG ⊥y 轴于点G ，作MN ⊥x 轴于点N ，则S □ONMG=|k|， 又∵M 为矩形ABCO 对角线的交点， ∴S 矩形ABCO=4S □ONMG=4|k|，
由于函数图象在第一象限，k ＞0，则++9=4k ， 解得：k=3．故选C ．
26.(四川乐山)如图，已知第一象限内的点A 在反比例函数y = 2
x 的图象上，第二象限内的点B 在反比例函数y
= k x 的图象上，且OA ⊥0B ，cotA= 3
3
，则k 的值为 A ．－3 B.－6 C.－ 3 D.－2 3
27.（黔东南州）如图，直线y=2x 与双曲线y=在第一象限的交点为A ，过点A 作AB ⊥x 轴于B ，将△ABO 绕点O 旋转90°，得到△A ′B ′O ，则点A ′的坐标为
A.()1,0
B. ()1,0或()1,0-
C. ()2,0或()0,2-
D. ()2,1-或()2,1- 解答：
解：联立直线与反比例解析式得：
，
O
x
y A
B
C
消去y 得到：x2=1，解得：x=1或﹣1，∴y=2或﹣2， ∴A （1，2），即AB=2，OB=1，根据题意画出相应的图形，如图所示，
可得A ′B ′=A ′′B ′′=AB=2，OB ′=OB ′′=OB=1， 根据图形得：点A ′的坐标为（﹣2，1）或（2，﹣1）．
故选D ．
28. （•威海）如图，在平面直角坐标系中，∠AOB=90°，∠OAB=30°，反比例函数的图象经过点A ，反
比例函数的图象经过点B ，则下列关于m ，n 的关系正确的是（ ）
A ． m =﹣3n
B ． m =﹣
n
C ．
m=﹣
n
D ．
m=
n
解
答： 解：过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，过点A 作AF ⊥x 轴于点F ，
设点B 坐标为（a ，），点A 的坐标为（b ，），∵∠OAB=30°，
∴OA=
OB ，设点B 坐标为（a ，），点A 的坐标为（b ，），
则OE=﹣a ，BE=，OF=b ，AF=，∵∠BOE+∠OBE=90°，∠AOF+∠BOE=90°， ∴∠OBE=∠AOF ，又∵∠BEO=∠OFA=90°， ∴△BOE ∽△OAF ，∴
=
=
，即
==，解得：m=﹣ab ，n=，
故可得：m=﹣3n ．故选A ． 二、填空题
1.（湖北武汉）如图，直线y ＝3
3
x b -
+与y 轴交于点A ，与双曲线y ＝
k
x
在第一象限交于点B ，C 两点，且AB ⋅AC ＝4，则k ＝． 答案：3
2.（ 福建德化）如图，直线43y x =与双曲线k y x =（0x >）交于点A ．将直线4
3
y x =向下平移个6单位
后，与双曲线k
y x =
（0x >）交于点B ，与x 轴交于点C ，则C 点的坐标为___________；若2AO BC
=，则k =．
【答案】（
)0,2
9
，12 3.（湖南衡阳）如图，已知双曲线)0k (x
k y ＞=经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为3， 则k ＝____________．【答案】2
4.（宁波市）如图，正方形A1B1P1P2的顶点P1、P2在反比例函数y ＝2
x （x ＞
0）
的图像上，顶点A1、B1分别在x 轴和y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P2P3A2B2，顶点P3在反比例函数y ＝2
x （x ＞0）的图象上，顶点A3在x 轴的
正半轴上，则点P3的坐标为 【答案】（3＋1，3－1）
5.（安徽芜湖）如图，在平面直角坐标系中有一正方形AOBC ，反
比例函数k
y x
=
经过正方形AOBC 对角线的交点，半径为（422）的圆内
切
于△ABC ，则k 的值为． 【答案】4
6.（湖北武汉市）如图，
ABCD 的顶点A ，B 的坐标分别是A （－1，
0），B
（0，－2），顶点C ，D 在双曲线y=
x
k
上，边AD 交y 轴于点E ，且四边形
BCDE 的面积是△ABE 面积的5倍，则k=_____． 【答案】12
7.（湖北孝感）如图，点A 在双曲线1
y
x
上，点B 在双曲线3y
x
上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 的面积为矩形，则它
的面积为. 【答案】2
8.（湖北荆州，16，4分）如图，双曲线2
(0)y
x x
经过四边形OABC 的顶点A 、C ，∠ABC ＝90°，OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，AB ∥x 轴，将△ABC 沿AC 翻折后得到△AB ＇C ，B ＇点落在OA 上，则四边形OABC 的面
积是.
x
y
第16题图
B
C E
D
o
Q P
A x
y
第16题图
H
F B
C
E
D
o
Q P
A 【答案】2
9.（浙江温州）如图，已知动点A 在函数4
=
y x
(x>o)的图象上，AB ⊥x 轴于点B ，AC ⊥y 轴于点C ，延长CA 至点D ，使AD=AB ，延长BA 至点Ｅ，
使AE=AC.直线DE 分别交x 轴，y 轴于点P,Q.当QE ：DP=4:9时，图中的阴
影部分的面积等于____________.
如图，作EF ⊥y 轴，DH ⊥x 轴，由题意得：
△QEF ∽△DHP ，∵QE ：DP=4:9设AC= a,则AB=4
a
，
4
9
EF HP ,HP=94a ，∵△AED ∽△DHP ，
∴424
648==,==49934
EA AD a a a a a DH HP a 得到：得：得：
S 阴影=2218+2a a =4
13+3=3
3）
10.（•聊城）如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O ，且正方形的一组对边与x 轴平行，点P （3a ，a ）是反比例函数y=（k ＞0）的图象上与正方形的一个交点．若图中阴影部分的面积等于9，则这个反比例函数的解析式为．
解答： 解答：
解：∵反比例函数的图象关于原点对称，
∴阴影部分的面积和正好为正方形面积的，设正方形的边长为b ，则b 2=9，解得b =6，
∵正方形的中心在原点O ， ∴直线AB 的解析式为：x =3， ∵点P （3a ，a ）在直线AB 上， ∴3a =3，解得a =1， ∴P （3，1）， ∵点P 在反比例函数y =（k ＞0）的图象上， ∴k =3， ∴此反比例函数的解析式为：y =． 故答案为：y =
11.（•衢州）如图，已知函数y=2x 和函数的图象交于A 、B 两点，过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，若△AOE 的面积为4，P 是坐标平面上的点，且以点B 、O 、E 、P 为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的P 点坐标是P1
（0，﹣4）P2（﹣4，﹣4）P3（4，4）
解答：
解：如图∵△AOE 的面积为4，函数的图象过一、三象限，
∴k=8，
∵函数y=2x 和函数的图象交于A 、B 两点，
∴A 、B 两点的坐标是：（2，4）（﹣2，﹣4）， ∵以点B 、O 、E 、P 为顶点的平行四边形共有3个， ∴满足条件的P 点有3个，分别为：
P1（0，﹣4），P2（﹣4，﹣4），P3（4，4）． 故答案为：P1（0，﹣4），P2（﹣4，﹣4），P3（4，4）．
12.(甘肃兰州)如图，M 为双曲线y ＝
3
x
上的一点，过点M 作x 轴、y 轴的垂线，分别交直线y ＝－x ＋m 于点D 、C 两点，若直线y ＝－x ＋m 与y 轴交于点A ，与x 轴相交于点B
，
则
AD•BC 的值为．
解答： 解：作CE ⊥x 轴于E ，DF ⊥y 轴于F ，如图，
对于y ＝－x ＋m ，
令x ＝0，则y ＝m ；令y ＝0，－x ＋m ＝0，解得x ＝m ， ∴A(0，m)，B(m ，0)， ∴△OAB 等腰直角三角形，
∴△ADF 和△CEB 都是等腰直角三角形， 设M 的坐标为(a ，b)，则ab ＝，
CE ＝b ，DF ＝a ， ∴AD ＝
DF ＝
a ，BC ＝CE ＝
b ，
∴AD•BC ＝a•
b ＝2ab ＝2
．故答案为2
．
13.（.深圳）如图，双曲线k
y (k 0)x
=
>与⊙O 在第一象限内交于P 、Q 两点，分别过P 、Q 两点向x 轴和y 轴作垂线，已知点P 坐标为(1，3)，则图中阴影部分的面积为． 【答案】4。

【分析】∵⊙O 在第一象限关于y=x 对称，k
y (k 0)x
=
>也关于y=x 对称，P 点坐
标是（1，3），∴Q 点的坐标是（3，1），∴S 阴影=1×3+1×3－2×1×1=4。

14.(•扬州)如图，双曲线y ＝经过Rt △OMN 斜边上的点A ，与直角边MN 相交于
点B ，已知OA ＝2AN ，△OAB 的面积为5，则k 的值是 12 ． 解答： 过A 点作AC ⊥x 轴于点C ，如图，
则AC ∥NM ，∴△OAC ∽△ONM ，∴OC ：OM ＝AC ：NM ＝OA ：ON ，
而OA ＝2AN ，即OA ：ON ＝2：3，设A 点坐标为(a ，b)，则OC ＝a ，AC ＝b ， ∴OM ＝a ，NM ＝b ，∴N 点坐标为(a ，b)， ∴点B 的横坐标为a ，设B 点的纵坐标为y ， ∵点A 与点B 都在y ＝图象上，∴k ＝ab ＝a •y ， ∴y ＝b ，即B 点坐标为(a ，b)，
∵OA ＝2AN ，△OAB 的面积为5，∴△NAB 的面积为， ∴△ONB 的面积＝5＋＝
，∴
NB •OM ＝
，即×(b －b)×a ＝
，
∴ab ＝12，∴k ＝12．故答案为12．
15.（武汉）如图，点A 在双曲线y=的第一象限的那一支上，AB 垂直于x 轴与点B ，点C 在x 轴正半轴上，且OC=2AB ，点E 在线段AC 上，且AE=3EC ，点D 为OB 的中点，若△ADE 的面积为3，则k 的值为． 解答：解：连DC ，如图，
∵AE=3EC ，△ADE 的面积为3，∴△CDE 的面积为1， ∴△ADC 的面积为4，
设A 点坐标为（a ，b ），则AB=a ，OC=2AB=2a ，而点D 为OB 的中点，∴BD=OD=b ，
∵S 梯形OBAC=S △ABO+S △ADC+S △ODC ， ∴
（a+2a ）×b=a ×b+4+×2a ×b ，∴ab=
，
把A （a ，b ）代入双曲线y=，∴k=ab=
．
16.(成都)如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，
与反比例函数k
y x
=
(k 为常数，且0k >)在第一象限的图象交于点E ，F ．过点E 作EM ⊥ y 轴于M ，过点F 作FN ⊥x 轴于N ，直线EM 与FN 交于点C ．若
BE 1
BF m
=(m 为大于l 的常数)．记△CEF 的面积为1S ，△OEF 的面积为2S ，则
1
2
S S =________． (用含m 的代数式暗示) 答案：
1
1
m m （k 的几何意义，线段比的转化，面积的几种求法） 17.（湖北黄冈）已知反比例函数y ＝
6
x
在第一象限的图象如图所示，点A 在其图象上，点B 为x 轴正半轴上一点，连接AO 、AB ，且AO ＝AB ，则S △AOB ＝．
C
【答案】6．
【解析】如下图，过点A 作AC ⊥OB 于点C ，∵AO
＝AB ，∴OC ＝BC ．而
AC ＝AC ，AO ＝AB ，
∴△AOC ≌△ABC ．∴S △AOC ＝S △ABC ．设点A 的坐标为(x ，y)(x ＞0，y
＞0)，则xy ＝6，AC ＝y ，OC ＝x ，∴S △AOB ＝2S △AOC ＝2×1
2×OC·AC ＝xy ＝
6．
18.（四川宜宾）如图，直线x y 34=
与双曲线)0(>=x x k y 交于点A ，将直线x y 34=向右平移2
9
个单位后，与双曲线)0(>=x x
k
y 交于点B ，与x 轴交于点C ，若2=BC AO ，则k=． 【答案】12．
【解析】首先求出平移后直线的解析式，然后直线x y 34=
与双曲线)0(>=x x
k
y 两解析式联立方程组求出点A 的纵坐标，平移后的直线解析式x y 34=－6与双曲线)0(>=x x
k
y 两解析式联立方程组，求出点B 的纵坐
标，根据相似三角形对应边成比例的性质可得A 、B 的纵坐标的比等于AO ：BC ，然后列出方程求解即可． 19.（四川泸州）如图，()111P ,x y ，()222P ,x y ，……()P ,n n n x y 在函数()1
0y x x
=
>的图像上，11P OA ∆，212P A A ∆，323P A A ∆，……1P A A n n n -∆都是等腰直角三角形，斜边1OA 、12A A 、23A A ，……1A n n -都在x
轴上（n 是大于或等于2的正整数），则点3P 的坐标是；点n P 的坐标是（用含n 的式子暗示）．
y
x
P 1
P 2
P 3A 3
A 2A 1
O
32,32；
1,1n n n n --
【
答
案
】
【解析】过点P1作P1E ⊥x 轴于点E ，过点P2作P2F ⊥x 轴于点F ，过点P3作P3G ⊥x 轴于点G ，根据
△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3都是等腰直角三角形，
可求出P1，P2，P3的坐标，从而总结出一般规律得出点Pn 的坐标． 21.（山东日照）如右图，直线AB 交双曲线x
k
y =
于Ａ、B ，交x 轴于点C,B 为线段AC 的中点，过点B 作BM ⊥x 轴于M ，连结OA.若OM=2MC,S ⊿OAC=12.则k 的值为___________.
【答案】8
【解析】过点A 作AD ⊥x 轴于点D,则△ADO 的面积为
2
1k, ∵BM ⊥x 轴,∴AD ∥BM, ∵B 为线段AC 的中点，∴BM 为△ADC 的中位线，
∴DM=MC, ∵OM=2MC, ∴OD=DM=MC. ∴S ⊿OAC=3S ⊿OAD,=12=
k 2
3
，∴k=8. 22.（•宁波）如图，等腰直角三角形ABC 顶点A 在x 轴上，∠BCA=90°，AC=BC=2
，反比例函数y=（x ＞
0）的图象分别与AB ，BC 交于点D ，E ．连结DE ，当△BDE ∽△BCA 时，点E 的坐标为． 【答案】．（
，
）．
【解析】如图，∵∠BCA=90°，AC=BC=2，反比
例函数y=（x ＞0）的图象分
别与AB ，BC 交于点D ，E ，
∴∠BAC=∠ABC=45°，且可设E （a ，），D （b ，），
∴C （a ，0），B （a ，2
），A （2
﹣a ，0）， ∴易求直线AB 的解析式是：y=x+2﹣a ．
又∵△BDE ∽△BCA ， ∴∠BDE=∠BCA=90°， ∴直线y=x 与直线DE 垂直，
∴点D 、E 关于直线y=x 对称，则=，即ab=3．
又∵点D 在直线AB 上， ∴=b+2﹣a ，即2a2﹣2
a ﹣3=0，
解得，a=
，
∴点E 的坐标是（
，
）．
23.（•自贡）如图，在函数的图象上有点P1、P2、P3…、Pn 、Pn+1，点P1的横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它
前面相邻点的横坐标
的差都是2，过点P1、P2、P3…、Pn 、Pn+1分别作x 轴、y 轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S1、S2、S3…、Sn ，则S1= 4 ，Sn=．（用含n 的代数式暗示）
解
答： 解：当x=2时，P1的纵坐标为4，
当x=4时，P2的纵坐标为2，
当x=6时，P3的纵坐标为， 当x=8时，P4的纵坐标为1， 当x=10时，P5的纵坐标为：， 则S1=2×（4﹣2）=4=2[﹣]； S2=2×（2﹣）=2×=2[﹣]； S3=2×（﹣1）=2×=2[﹣
]；
Sn=2[
﹣
]=
；故答案为：4，
．
24.（•遵义）如图，已知直线y=x 与双曲线y=（k ＞0）交于A 、B 两点，点B 的坐标为（﹣4，﹣2），C 为双曲线y=（k ＞0）上一点，且在第一象限内，若△AOC 的面积为6，则点C 的坐标为（2，4）． 解答
：
解：∵点B （﹣4，﹣2）在双曲线y=上，∴=﹣2，∴k=8， 根据中心对称性，点A 、B 关于原点对称，所以，A （4，2）， 如图，过点A 作AE ⊥x 轴于E ，过点C 作CF ⊥x 轴于F ，设点C 的坐标为（a ，），
则S △AOC=S △COF+S 梯形ACFE ﹣S △AOE=×8+×（2+）（4﹣a ）﹣×8，
=4+﹣4，=，
∵△AOC 的面积为6，∴=6，整理得，a2+6a ﹣16=0，解得a1=2，a2=﹣8（舍去），∴==4，∴点C 的坐标为（2，
4）．故答案为：（2，4）．
25.(武汉)如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，BC ＝2AB ，A ，B 两点的坐标分别是（－1，0），（0，2），C ，D 两点在反比例函数)0(<=
x x
k
y 的图象上，则k 的值等于．答案：－12
解析：如图，过C 、D 两点作x 轴的垂线，垂足为F 、G ，CG 交AD 于M 点，
过
D
点作DH ⊥CG ，垂足为H ，
∵CD ∥AB ，CD=AB ，∴△CDH ≌△ABO （AAS ），
∴DH=AO=1，CH=OB=2，设C （m ，n ），D （m －1，n －2）， 则mn ＝（m －1）（n －2）=k ，解得n=2－2m ，
设直线BC 解析式为y=ax+b ，将B 、C 两点坐标代入得
2
b n am b =⎧⎨
=+⎩
，又n=2－2m ， BC ＝22(2)m n +-＝25m ，AB ＝5，因为BC ＝2AB ，
解得：m ＝－2，n ＝6，所以，k ＝mn ＝－12
26.(咸宁)如图，一次函数y ax b =+的图像与x 轴、y 轴交于A B
、两点，与
反比例函数k
y x
=的图象相交于C D 、两点，分别过C D 、两点作
y 轴、x
轴的垂线，垂足为E F 、，连接CF DE 、。

有以下四个结论：①CEF DEF S S ∆∆=；②AOB FOE ∆∆∽；③DCE CDF ∆∆≌；④AC BD =.其中正确的结论是 . 三、解答题
1.(兰州) 如图，P1是反比例函数)0(＞k x k
y =
在第一象限图像上
的一
点，点A1的坐标为(2，0)．
（1）当点P1的横坐标逐渐增大时，△P1OA1的面积 将如何变更？
（2）若△P1OA1与△P2A1A2均为等边三角形，求 此反比例函数的解析式及A2点的坐标． 2.（内蒙呼和浩特）在平面直角坐标系中，函数y ＝
m
x
（x ＞0，m 是常数）的图像经 过点A （1，4）、点B （a ，b ），其中a ＞1.过点A 作x 中的垂线，垂足为C ，过点B 作y 轴的垂线，垂足为D ，AC 与BD 相交于点M ，连结AD 、DC 、CB 与AB. （1）求m 的值； （2）求证：DC ∥AB ；
（3）当AD ＝BC 时，求直线AB 的函数解析式.
F
E
D C
B
A o x
y
y
x
第15题图
D
C B
A
O
【答案】解：（1）∵点A （1，4）在函数y ＝
m
x
的图像上， ∴4＝
1
m
，得m ＝4.……………………………2分 （2）∵点B （a ，b ）在函数y ＝
m
x
的图像上，∴ab ＝4. 又∵AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥y 轴于D 交AC 于M ，∴AC ⊥BD 于M ∴M （1，b ），D （0，b ），C （1，0）
∴tan ∠BAC ＝
BM AM
＝14a b --＝1a ab b --＝1b ，tan ∠DCM ＝DM MC ＝1b ……………4分
∴tan ∠BAC ＝tan ∠DCM ，
所以锐角∠BAC ＝∠DCM ，DC ∥AB………………………………………………6分 （3）设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b
∵AB ∥CD ，AD ＝BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形或等腰梯形. ① 四边形ABCD 是平行四边形时，AC 与BD 互相平分， 又∵AC ⊥BD ，∴B （2，2） ∴4
22k b k b +=⎧⎨+=⎩
，解得26k b =-⎧⎨=⎩
∴直线AB 的解析式为：y ＝－2x ＋6.………………8分 ②当四边形ABCD 是等腰梯形时， BD 与AC 相等且垂直，∵AC ＝BD ＝4， ∴B （4，1）
∴同理可求直线AB 的解析式为y ＝－x ＋5.…………………10分 3.（泉州）我们容易发现：反比例函数的图象是一个中心对称图形.你
可以利用这一结论解决问题.如图，在同一直角坐标系中，正比例函数的图象可以看作是：将x 轴所在的直线绕着原点O 逆时针旋转α度角后的图形.若它与反比例函数x
y 3
=
的图象分别交于第一、三象限的点B 、D ，已知点)0,(m A -、)0,(m C .
（1）直接判断并填写：不管α取何值，四边形ABCD 的形状一定是; （2）①当点B 为)1,(p 时，四边形ABCD 是矩形，试求p 、α、和m 有值； ②观察猜测：对①中的m 值，能使四边形ABCD 为矩形的点B 共有几个？(不必说理)
（3）试探究：四边形ABCD 能不克不及是菱形？若能, 直接写出B 点的坐标, 若不克不及, 说明理由.
【答案】解：（1）平行四边形 …………（3
分）
（2）①∵点)1,(p B 在x y 3=
的图象上，∴p
31= ∴3=p ………………………………（4分） 过B 作E x BE 轴于⊥，则13==，BE OE
在BOE Rt ∆中，33
3
1tan =
==OE BE α α=30°
∴2=OB
又∵点B 、D 是正比例函数与反比例函数图象的交点， ∴点B 、D 关于原点O 成中心对称∴OB=OD=2 ∵四边形ABCD 为矩形，且)0,(m A -)0,(m C ∴2====OD OC OB OA ∴2=m ； ②能使四边形ABCD 为矩形的点B 共有2个； （3）四边形ABCD 不克不及是菱形.
法一：∵点A 、C 的坐标分别为)0,(m -、)0,(m ∴四边形ABCD 的对角线AC 在x 轴上.
又∵点B 、D 分别是正比例函数与反比例函数在第一、三象限的交点. ∴对角线AC 与BD 不成能垂直. ∴四边形ABCD 不克不及是菱形
法二：若四边形ABCD 为菱形，则对角线AC ⊥BD ，且AC 与BD 互相平分， 因为点A 、C 的坐标分别为（－m ，0）、（m ，0）
所以点A 、C 关于原点O 对称，且AC 在x 轴上. 所以BD 应在y 轴上，这与“点B 、D 分别在第一、三象限”矛盾，所以四边形ABCD 不成能为菱形.
4.（广西柳州）如图，过点P(－4，3)作x 轴、y 轴的垂线，分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，交双曲线x
k y =（k≥2）于E 、F 两点．
（1）点E 的坐标是________，点F 的坐标是________；（均用含k 的式子暗示） （2）判断EF 与AB 的位置关系，并证明你的结论；
（3）记OEF PEF S S S ∆∆-=，S 是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由．
解：（1）E （－4，－
4k ），F （3
k
，3） ……3分 （2）（证法一）结论：EF ∥AB
证明：∵P （－4，3）∴E （－4，－4k ），F （3
k
，3）， 即得：PE=3+4k ，PF=3k
+4 … ∵12124
33+=
+
=k k PE
PA
，
12
12
3
44+=
+
=k k
PF
PB
∠APB=∠EPF ∴△PAB ∽△PEF ∴∠PAB=∠PEF ∴EF ∥AB （证法二）结论：EF ∥AB 证明：∵P （－4，3）∴E （－4，－4k ），F （3
k
，3）， 即得：PE=3+
4k ，PF=3
k
+4 … 在Rt △PAB 中，tan ∠PAB=
3
4
=PA PB 在Rt △PEF 中，tan ∠PEF=34
4
34
3=+
+=k k PE
PF ∴tan ∠PAB= tan ∠PEF
∴∠PAB=∠PEF ∴ EF ∥AB （3）（方法一）S 有最小值
∵k S S S S FBO EAO PAOB PEDF +=++=∆∆12矩形四边形
∴k S S S S PEF PEF PEDF EOF +-=-=∆∆∆12四边形 由（2）知，)43
)(43(2121++=⋅⋅=
∆k
k PF PE S PEF ∴S=k S S S PEF OEF PEF --=-∆∆∆122
=3)6(12
1
1222-+=+k k k 又∵k≥2，此时S 的值随k 值增大而增大，
∴当k=2时，3
7
=最小S ∴S 的最小值是37
（方法二）S 有最小值．
分别过点E 、F 作PF 、PE 的平行线，交点为P′．由（2）知，P′⎪⎭⎫ ⎝⎛-43
k k
， ∵四边形PEP′为矩形，∴S △P′EF= S △PEF
∴S=S △PEF － S △OEF = S △P′EF － S △OEF = S △OME +S 矩形OMP′N+ S △ONF
=21222k k k ++=
2
2
k +k =3)6(1212-+k 又∵k≥2，此时S 的值随k 值增大而增大， ∴当k=2时，S 最小=
37∴S 的最小值是3
7
． 5.（ 四川绵阳）如图，已知正比例函数y = ax （a≠0）的图象与反比例函致x
k
y =
（k≠0）的图象的一个交点为A （－1，2－k2），另—个交点为B ，且A 、B 关于原点O 对称，D 为OB 的中点，过点D 的线段OB 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于C 、E ．
（1）写出反比例函数和正比例函数的解析式； （2）试计算△COE 的面积是△ODE 面积的多少倍． 【答案】（1）由图知k ＞0，a ＞0．∵点A （－1，2－k2）在x
k
y =
图象上，
∴ 2－k2 =－k ，即k2－k －2 = 0，解得k = 2（k =－1舍去），得反比例函数为x
y 2=． 此时A （－1，－2），代人y = ax ，解得a = 2，∴正比例函数为y = 2x ． （2）过点B 作BF ⊥x 轴于F ．∵A （－1，－2）与B 关于原点对称， ∴B （1，2），即OF = 1，BF = 2，得OB =5．
由图，易知Rt △OBF ∽Rt △OCD ，∴OB : OC = OF : OD ，而OD = OB∕2 =5∕2， ∴OC = OB · OD∕OF = 2.5．由Rt △COE ∽Rt △ODE 得5)5
2
25()(22=⨯==∆∆OD OC S S ODE COE ， 所以△COE 的面积是△ODE 面积的5倍．
7.（湖北荆州）已知：关于x 的一元二次方程()0122
2
=+-+k x k x 的两根21,x x 满足02
221=-x x ，双曲线
x
k
y 4=
(x ＞0)经过Rt △OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 交于C （如图），求OBC △S ． 【答案】解：()01222=+-+k x k x 有两根 ∴()041222
≥--=∆k k
即4
1≤
k 由02
22
1=-x x 得：()()02121=+-x x x x 当021=+x x 时，()012=--k 解得2
1
=
k ，分歧题意，舍去 当021=-x x 时，21x x =，()041222
=--=∆k k 解得：4
1
=
k 符合题意 ∴双曲线的解析式为：x
y 1=
过D 作DE ⊥OA 于E ，则2
1121S S OCA ODE =⨯==∆∆ ∵DE ⊥OA ，BA ⊥OA ∴DE ∥AB ∴△ODE ∽△OBA
∴42
=⎪⎭
⎫
⎝⎛=∆∆OD OB S S ODE OBA ∴2214=⨯=∆OBA S
∴23212=-
=-=∆∆∆OCA OBA OBC S S S 8．（北京）已知反比例函数y= k
x
的图像经过点A （—3，1）
（1）试确定此反比例函数的解析式．
（2）点O 是坐标原点，将线段OA 绕点O 顺时针旋转30°得到线段
OB ，判断点B 是否在反比例函数的图像上，并说明理由． （3）已知点P （m ，3m+6）也在此反比例函数的图像上（其中m
＜0），过p 点作x 轴的的垂线，交x 轴于点M ，若线段PM 上存在一点Q ，使得△OQM 的面积是
1
2
，设Q 点的纵坐标为n ，求n2－23n+q 的值． 【答案】解：（1）由题意德 1=
13
-解得k= －3
∴反比例函数的解析式为y= 3x
-
（2）过点A 作x 轴的垂线交x 轴于点C ，在Rt △AOC 中，OC=3，AC=1
可得=2，∠AOC=30° 由题意，∠AOC=30°，OB=OA=2，∴∠BOC=60°
过点B 做x 轴的垂线交x 轴于点D ，在Rt △BOD 中，可得，OD=1
∴点B 坐标（－1x=－1代入y= y=
∴点B （－1y= x
-
的图像上．
（3）由y= x
-
xy=
∵点P （m ）在反比例函数的y= m ＜0
∴m ）=2
10m ++= ∵PQ ⊥x 轴∴Q 点的坐标（m ，n ） ∵△OQM 的面积为
12∴12OM.QM=12
∵m ＜0 ∴m.n=－1 ∴22220m n n ++=
∴2
1n -=-∴2
98n ++=．
9.（广东广州市）已知Rt △ABC 的斜边AB 在平面直角坐标系的x 轴上，点C （1，3）在反比例函数y = k
x 的
图象上，且sin ∠BAC= 3
5．
（1）求k 的值和边AC 的长； （2）求点B 的坐标．
【答案】（1）把C （1，3）代入y = k
x 得k=3
设斜边AB 上的高为CD ，则sin ∠BAC=CD AC =3
5
∵C （1，3）∴CD=3，∴AC=5
（2）分两种情况，当点B 在点A 右侧时，如图1有： AD=52－32=4，AO=4－1=3
∵△ACD ∽ABC ∴AC2=AD·AB ∴AB=AC2AD =254∴OB=AB －AO=254－3=13
4
此时B 点坐标为（13
4
，0）。