第十一章 无穷级数

例2 判别无穷级数
1 1
1
的收敛性.
13 35 (2n1)(2n1)
解
un(2n1)1(2n1)
1( 1 1 ), 22n1 2n1
sn 1 1 3 3 1 5 (2 n 1 )1 (2 n 1 )
1 ( 1 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 (11) 2 32 35 2 2 n 12 n 1
级数发.散
2项
2项
4项
8项
(11)(11)(1111)(11 1) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16
(2m 112m12 2m 11)
每项均大于 1
2 m项
2
即m 前 1项大 (m于 1)1 2
级数发.散
由性质4推论,调和级数发散.
调和级数的部分和
sn
111 2n
1
把每一项看成是以 n 为高 以 1 为底的的矩形面积
3 . 按 基 本 性 质 .
思考题
设 bn与 cn都收敛，且bn an cn
n1
n1
(n1,2,)，能否推出an收敛？
n1
思考题解答
能．由柯西审敛原理即知．
观察雪花分形过程
设三角形
周长为 P1 3 ,
面积为
A1
3; 4
第一次分叉：
周长为P2
4 3
P1,
面积为A2
A1
3
1 9
A1;
依次类推
b k 的部分和记为 k
n1
k 1
则 k spk 由数列和子数列的关系知
lim
n
sn
存在，
lim
k
k
必定存在
lim
k
k
存在
lim
n
sn
未必存在
推 论 如 果 加 括 弧 后 所 成 的 级 数 发 散 ,则 原 来 级 数 也 发 散 .
四、收敛的必要条件
级数收敛的必要条件:
当 n 无限 ,它 增 的 大 u n 趋 一 时 ,于 即 般零 项
例 ( 1 1 ) 如 ( 1 1 ) 收敛
1 1 1 1 发散
事实上，对级数 u n 任意加括号
(u 1 up1)(u n p 1 11 up2)
(upk11 upk)
若记
b k u p k 1 1 u p k
则加括号后级数成为 b k
k 1
记 u n 的部分和为 s n
一、问题的提出
1. 计算圆的面积
R 正六边形的面积 a 1 正十二边形的面积 a1 a2
正32n形的面积 a 1 a 2 a n
即 A a 1 a 2 a n
2 . 1 3 1 3 0 1 3 013 00 0 1 0 3 n 0
二、级数的概念
1. 级数的定义:
一般项
设三角形
周长为 P1 3 ,
面积为
A1
3; 4
第一次分叉：
周长为P2
4 3
P1,
面积为A2
A1
3
1 9
A1;
依次类推
第 n次分叉： 周长为 Pn(4 3)n1P1 n1,2, 面积为 A nA n13{4n2[1 9 ()n1A 1]}
A 1 3 1 9 A 1 3 4 ( 1 9 ) 2 A 1 3 4 n 2 ( 1 9 ) n 1 A 1 A 1 { 1 [1 3 1 3 (9 4 ) 1 3 (9 4 )2 1 3 (9 4 )n 2 ]}
即
lim
n
sn
s
则称无穷级数
un 收敛,这时极限s 叫做级数 un 的和.并
n1
n1
写成s u1 u2 u3
如 果 sn 没 有 极 限 , 则 称 无 穷 级 数 u n发 散 .
n 1
即 常数项级数收敛(发散)nl im sn存在(不存在)
余项 rnssn u n 1 u n 2 un i
5、 若 级 数 为 1 1 3 1 5 1
2
4
6
则 当 n _____
时 an _____； 当 n ______时an ________；
6 、 等 比 级 数 aq n , 当 _ _ _ _ _ 时 收 敛 ； 当 _ _ _ _ 时 发 散 .
n0
三、由定义判别级数
n1
n1
则级数 (unvn)收敛,其和为s.
n1
结论: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减.
性质3 若级数 un收敛,则 un也收敛
n1
nk1
(k1).且其逆亦真.
证明 u k 1 u k 2 u k n n u k 1 u k 2 u k n
snksk,
则 ln im n ln i s m n k ln i s m k
unu1u2u3 un
n1
级数的部分和
(常数项)无穷级数
n
snu1u2 un ui
i1
部分和数列
s1u1, s2u1u2, s 3 u 1 u 2 u 3 , , s n u 1 u 2 u n ,
2. 级数的收敛与发散:
当n无限增大时,如果级数un 的部分和
n1
数列sn 有极限s ,
类似地可以证明在级数前面加上有限项不 影响级数的敛散性.
性质4 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛 于原来的和.
证明 ( u 1 u 2 ) ( u 3 u 4 u 5 )
1 s2, 2 s5, 3 s9,
,msn,
则 lm im m ln is m n s.
注意 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.
a aq n a aqn , 1 q 1q 1q
当q1时,
lim qn0 n
ln im sn
a 1q
收敛
当q
1时,
lim qn n
ln i m sn
发散
如果 q1时
当q1时, snn a 发散 当q1时,级a 数 a a a 变 为
ln im sn不存在
发散
综上 n 0aqn当 当qq11时 时,,收 发敛 散
1
2
3
4
5
练习题
一、填空题:
1 、 若
an
1 3 (2n 2 4 2n
1) , 则
5
an
n1
=____________；
2 、
若
an
n! nn
,则
5
an
n1
=______________________；
3、 若 级 数 为
x 2
x 24
xx 246
则an
_______；
4、 若 级 数 为 a 2 a 3 a 4 a 5 则an ________； 3579
1(1 1 ), 2 2n1
ln i s m nln i 1 2 m (12n 1 1)
1, 2
级数,收 和敛 为 1. 2
三、基本性质
性 质 1如 果 级 数u n收 敛 , 则 kn亦 u收 敛 .
n 1
n 1
结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数,
敛散性不变.
性质2 设两收敛级数s un, vn,
sn 就是图中 n 个矩形的面积之和
由定积分的几何意义 这块面积显然大于定积分
n 1 1 dx
1x
即
Sn112n1
n11dxlnn(1),
故调和1级x数发散
(n)
五、小结
常数项级数的基本概念
基本审敛法
1 . 由 定 义 , 若 s n s , 则 级 数 收 敛 ;
2 . 当 n l u i n m 0 , 则 级 数 发 散 ;
5 、 2k 1.2k 1,2k , 1 ； 6 、 q 1, q 1 . 2k
三、收敛. 四、1、发散；
2、收敛；
3 、 发 散 、 [ s2 n
k
n
1
(
1 2k
1 )]. 10 k
五 、 发 散 .[取 p 2n ]
谢谢
1 1 1 1 1 1 的敛散性 . 23456
练习题答案
一、1、 1 12 135 1357 13579 ； 2 2 4 2 4 6 2 4 6 8 2 4 6 8 10
2
、
1! 11
2! 22
3! 33
4! 44
5! 55
；
n
3
、
2
4
6
x2
(
2
n
)
；
4、 (1)n1 a n1 ； 2n 1
2.必要条件不充分. 例如调 1和 11级 1 数 23 n
有ln im un0, 但级数是否 ? 收敛
讨论
s2 n snn 1 1 n 12 2 1 n
n 2n
1 2
,
假设调和级数 , 其 收和 敛s为 .
于l是 im s2n(sn)ss 0,
n
便有 01 (n) 2
这是不可能的 .
n2,3,
于是有
ln im Pn
1
lim
n
An
A1
(1
1
3
4)
A1(153)253.
9
雪花的面积存在极限（收敛）．
结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．
例1 讨论等比级数(几何级数)
aqnaaqaq2aqn(a0)
n0
的收敛性.
解 如果 q1时
s n a a a q 2 q a n 1 q
i1
即 s n s 误 差 为 r n (ln im rn0)
无穷级数收敛性举例：Koch雪花.
做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对 称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形．如此 类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到 了面积有限而周长无限的图形——“Koch雪花”．
观察雪花分形过程
1 1 1
1
的收敛性.
13ห้องสมุดไป่ตู้35 57
(2 n 1)( 2 n 1)
四、判别下列级数的收敛性:
1、 1 1 1 1 ；
369
3n
2、 (1 2
1) 3
1 (22
1 32
)
1 (23
1 33
)
1 (2n
1 3n
)
；
3、
1 2
1 10
1 4
1 20
1 2n
1 10 n
.
五、利用柯西收敛原理判别级数
级数收敛 ln i m un0.
证明 s un 则 u nsnsn 1,
n1
ln iu m n ln isn m ln isn m 1ss0.
注意
1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散; 例1 2 如 3 2 4 3 ( 1 )n 1n n 1 发散