第三章1.1知能演练轻松闯关

1.设P 是椭圆x 225＋y 2
16
＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )
A ．4
B ．5
C ．8
D ．10
解析：选D.由椭圆的标准方程得a 2
＝25，即a ＝5.又由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，故选D.
2.已知椭圆的两个焦点的坐标分别是(0，－3)和(0，3)，且椭圆经过点(0，4)，则该椭圆的标准方程是( ) A.x 216＋y 27＝1 B.y 216＋x 27＝1 C.x 225＋y 216＝1 D.y 225＋x 29
＝1 解析：选 B.∵椭圆的焦点在y 轴上，∴可设它的标准方程为y 2a 2＋x 2
b
2＝1(a >b >0)．∵2a ＝
（4＋3）2＋（4－3）2＝8，∴a ＝4，又c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7，故所求的椭圆
的标准方程为y 216＋x 2
7
＝1.
3.(2018·咸阳检测)设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 2
16
＝1的左、右焦点，则点F 1，F 2的坐标分别
是______．
解析：由椭圆的标准方程x 225＋y 2
16
＝1，可得a 2＝25，b 2＝16，所以c 2＝a 2－b 2＝25－16＝9，
即c ＝3.则点F 1，F 2的坐标分别是(－3，0)，(3，0)． 答案：(－3，0)，(3，0)
4.若方程x 2k －5＋y 2
10－k
＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是______．
解析：由10－k >k －5>0，得5<k <15
2
.
答案：⎝
⎛⎭⎫5，152
[A 级 基础达标][来源:]
[来源:]
1.已知椭圆x 225＋y 2
16
＝1上一点P 到其一个焦点的距离为3，则点P 到另一个焦点的距离为
( )
A ．2
B ．3
C ．5
D ．7
解析：选D.由方程知a ＝5，设椭圆的两个焦点为F 1、F 2，则|PF 1|＋|PF 2|＝10，所以点P 到另一个焦点的距离为10－3＝7. 2.(2018·焦作调研)椭圆2x 2＋y 2＝8的焦点坐标是( ) A ．(±2，0) B ．(0，±2) C ．(±23，0) D ．(0，±23)
解析：选B.椭圆标准方程为x 24＋y
28＝1，
∴椭圆焦点在y 轴上，且c 2
＝8－4＝4，
∴焦点为(0，±2)．
3.已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23
＋y 2
＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外
一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( ) A ．2 3 B ．6 C ．4 3 D ．12[来源:]
[来源:][来源:]
解析：选C.设椭圆的另一个焦点为F (如图)，则△ABC 的周长为(|AB |＋|BF |)＋(|CA |＋|CF |)＝2a ＋2a ＝4a .而a 2＝3，a ＝3，∴4a ＝43， 即△ABC 的周长为4 3.
4.已知圆x 2＋y 2＝1，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段PP ′，则线段PP ′的中点M 的轨迹方程是________．
解析：设点M (x ，y )，P (x 0，y 0)，则x ＝x 0
2，y ＝y 0.
∵P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，∴x 20＋y 2
0＝1.① 将x 0＝2x ，y 0＝y 代入①得4x 2＋y 2＝1. 答案：4x 2＋y 2＝1
5.(2018·淮北质检)过点A (－1，－2)且焦点与椭圆x 26＋y 2
9
＝1的两个焦点相同的椭圆的标准方
程是________．
解析：x 26＋y 2
9＝1的焦点坐标为(0，3)，(0，－3)，
∴2a ＝（－1－0）2＋（－2－3）2＋（－1－0）2＋（－2＋3）2， ∴a 2＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝6－3＝3，
∴椭圆的标准方程为y 26＋x 2
3
＝1.
答案：y 26＋x
23
＝1
6.写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点在坐标轴上，且经过A (3，－2)和B (－23，1)两点； (2)a ＝4，c ＝15；
(3)过点P (－3，2)，且与椭圆x 29＋y 2
4
＝1有相同的焦点．
解：(1)设所求椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )，由A (3，－2)和B (－23，1)两点在椭圆上可得
⎩⎨⎧m ·（3）2＋n ·（－2）2
＝1m ·（－23）2＋n ·12
＝1
，即⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋4n ＝112m ＋n ＝1， 解得⎩
⎨⎧m ＝
115
n ＝15
.[来源:]
故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 2
5
＝1.
(2)因为a ＝4，c ＝15，所以b 2＝a 2－c 2
＝1，所以当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程是
x 216
＋y 2＝1；当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程是y
216
＋x 2＝1.
(3)因为所求的椭圆与椭圆x 29＋y 2
4＝1的焦点相同，所以其焦点在x 轴上，且c 2＝5.
设所求椭圆的标准方程为x 2
a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)．
因为所求椭圆过点P (－3，2)，所以有9a 2＋4
b
2＝1①[来源:数理化网]
又a 2－b 2＝c 2
＝5，②
由①②解得a 2＝15，b 2＝10.
故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 2
10
＝1.[来源:]
[B 级 能力提升]
7.(2018·上饶检测)椭圆x 225＋y
29
＝1上的一点M 到其左焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，
则|ON |等于( )
A ．2
B ．4
C ．8 D.3
2
解析：选B.设椭圆的右焦点为F 2，则由|MF 1|＋|MF 2|＝10，知|MF 2|＝10－2＝8，ON 綊1
2
MF 2，
所以|ON |＝1
2
|MF 2|＝4.
8.(2018·南昌质检)“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1”表示焦点在y 轴上的椭圆的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
解析：选C.椭圆方程为x 21m ＋y 2
1n ＝1，
当m >n >0时，有1m <1
n
，∴椭圆焦点在y 轴上．
当椭圆焦点在y 轴上时，有1n >1
m
>0，
∴m >n >0.∴是充要条件．
9.如图所示，F 1、F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为
3的正三角形，则b 2的值是________．
[来源:]
解析：因为F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，点P 在椭圆上，且正三角形POF 2的面积为3，
所以S △POF 2＝12|OF 2|·|PO |sin 60°＝3
4
c 2＝3，所以c 2＝4.
∴点P 的坐标为⎝⎛⎭
⎫c 2，3
2c ，即(1，3)，∴1a 2＋3b 2＝1，
又b 2＋c 2＝a 2
，所以⎩
⎪⎨⎪⎧b 2＋3a 2＝a 2b 2a 2＝4＋b 2
，解得b 2＝2 3.
答案：2 3
10.在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的三边分别是a ，b ，c ，且|BC |＝2，求满足b ，a ，c 成等差数列且c >a >b 的顶点A 的轨迹．
解：由已知条件可得b ＋c ＝2a ，则|AC |＋|AB |＝2|BC |＝4>|BC |，结合椭圆的定义知点A 在以B ，C 为焦点的一个椭圆上，且椭圆的焦距为2.
[来源:]
以BC 所在的直线为x 轴，BC 的中点为原点O ，建立平面直角坐标系，如图所示．
设顶点A 所在的椭圆方程为x 2m 2＋y 2
n 2＝1(m >n >0)，则m ＝2，n 2＝22－12
＝3，从而椭圆方程为
x 24
＋y
23
＝1.又c >a >b 且A 是△ABC 的顶点，结合图形，易知x >0，y ≠0. 故顶点A 的轨迹是椭圆x 24＋y 2
3
＝1的右半部分(x >0，y ≠0)．
11.(创新题)
船上两根高7.5 m 的桅杆相距15 m ，一条30 m 长的绳子，两端系在桅杆的顶上，并按如图所示的方式绷紧．假设绳子位于两根桅杆所在的平面内，求绳子与甲板接触点P 到桅杆AB 的距离．
解：以两根桅杆的顶端A ，C 所在的直线为x 轴，线段AC 的垂直平分线为y 轴，建立直角
坐标系，则P 点在以A ，C 为焦点的椭圆上，依题意，此椭圆的标准方程为x 2225＋y 2
168.75
＝
1.因为P 点的纵坐标为－7.5，代入椭圆方程可解得P 点的坐标为(－1
2.25，－7.5)，所以P 到桅杆AB 的距离为12.25－7.5＝4.75(m)．。