2020版高考数学集训导数与函数的极值最值文含解析北师大版

三、解答题
9．已知函数
f
(
ax＋
b)
－ x2－
4x，曲线
y＝ f ( x) 在点 (0 ，f (0))
处的切线方程为
y
＝ 4x＋4.
(1) 求 a， b 的值；
(2) 讨论 f ( x) 的单调性，并求 f ( x) 的极大值．
[ 解]
(1)
f
′（x)
＝
x
e(
ax＋
a＋
b)
－
2x－4.
由已知得 f (0) ＝4， f ′(0) ＝ 4，故 b＝ 4， a＋b＝ 8.
4．已知
a∈ R，若 f ( x) ＝
1 x＋a
ex 在区间
(0,1)
上有且只有一个极值点，则
是( )
A． a＜0
B． a＞0
C． a≤１
B
[
f
′（x)
＝
ex x 2(
ax2＋
x－
1)
，
D． a≥０
若 f ( x) 在 (0,1) 上有且只有一个极值点，
则 f ′（x) ＝ 0 在(0,1) 上有且只有一个零点，
f ′(2) ＝ 0，即 (2 a－ 1)e 2＝0，解得
1 a＝ .
2
(2) 由 (1) 得 f ′（x) ＝ [ ax2－ ( a＋ 1) x＋1]e x＝ ( ax－1)( x－ 1)e x.
1 若 a＞ 1，则当 x∈ a， 1 时， f ′（x) ＜ 0；
当 x∈(1 ，＋∞ ) 时， f ′（x) ＞ 0. 所以 f ( x) 在 x＝1 处取得极小值． 若 a≤1，则当 x∈(0,1) 时， ax－1≤ x－ 1＜ 0， 所以 f ′（x) ＞ 0. 所以 1 不是 f ( x) 的极小值点． 综上可知， a 的取值范围是 (1 ，＋∞ ) ．
f ( x) 在 x＝－ 1,5 处取得极小值，在 x＝ 3 处取得极大值，
故选项 C 错误，故选 C． ]
2．函数 y＝ ln x－ x 在 x∈(0 ， e] 上的最大值为 ( )
A． e C．－ 1
B． 1 D．－ e
C [ 函数 y＝ ln x－x 的定义域为 (0 ，＋∞ ) ．
又
y′＝
1 x－
1
1
1
1
1
＝ a，当 0＜ x＜ a时， f ′（x) ＞ 0，当 x＞ a时， f ′（x) ＜ 0，∴ f ( x) ＝ max f a ＝ ln a－ 1＝ 0，解得
1 a＝ e，故选 D.]
二、填空题
1 6．函数 y＝ 2x－x2的极大值是 ________．
2
2
－ 3 [ y′＝ 2＋x3，令 y′＝ 0，即 2＋ x3＝ 0，
C． 0
D． b2－1b3 6
A [ f ′（x) ＝ x2－ ( b＋ 2) x＋ 2b＝( x－ 2)( x－ b) ，
令 f ′（x) ＝ 0 得 x＝ 2 或 x＝ b，由题意知－ 3＜ b＜ 1.
当 b＜ x＜ 2 时， f ′（x) ＜ 0，当 x＞ 2 时， f ′（x) ＞ 0，因此 x＝2 时， f ( x) 有极小值，且
令 f ′（x) ＝ 0，得 x1＝－ 2， x2＝ 2.
当 x∈( －∞，－ 2) 时， f ′（x) ＞ 0，
故 f ( x) 在 ( －∞，－ 2) 上为增函数；
当 x∈( － 2,2) 时， f ′（x) ＜ 0，
故 f ( x) 在 ( － 2,2) 上为减函数；
当 x∈(2 ，＋∞ ) 时， f ′（x) ＞ 0，
1＝
1－ x
x ，令
y′＝ 0 得
x＝ 1，
当 x∈(0,1 ) 时， y′＞ 0，函数递增；
当 x∈(1 ， e] 时， y′＜ 0，函数递减．
当 x＝ 1 时，函数取得最大值－ 1.]
3．已知函数 f ( x) ＝ x3＋ ax2＋bx＋ a2 在 x＝1 处有极值 10，则 f (2) 等于 (
f ′ 2 ＝ 0， 故有
f 2 ＝c－ 16，
12a＋ b＝ 0， 即
8a＋ 2b＋ c＝ c－ 16，
12a＋ b＝ 0， 化简得
4a＋ b＝－ 8，
a＝ 1， 解得
b＝－ 12.
(2) 由 (1) 知 f ( x) ＝ x3－ 12x＋ c， f ′（x) ＝ 3x2－ 12＝ 3( x－ 2)( x＋ 2) ，
D．函数 y＝ f ( x) 在 x＝ 5 处取得极小值 C [ 由函数 y＝ f ( x) 导函数的图像可知： 当 x＜－ 1 及 3＜x＜ 5 时， f ′（x) ＜0， f ( x) 递减；
当－ 1＜x＜ 3 及 x＞ 5 时， f ′（x) ＞0， f ( x) 递增． 所以 f ( x) 的减区间为 ( －∞，－ 1) ，(3,5) ；增区间为 ( － 1,3) ，(5 ，＋∞ ) ，
3 －x2＋ 4x－ 3
( 0,1 ) ∪ ( 2,3 ) [ 函数 f ( x) 的定义域为 (0 ，＋∞ ) ， f ′（x) ＝－ x＋ 4－ x＝
x
，
令 f ′（x) ＝ 0 得 x＝ 1 或 x＝ 3，经检验知 x＝1 或 x＝3 是函数 f ( x) 的两个极值点，由题意知，
t ＜ 1＜t ＋ 1 或 t ＜ 3＜ t ＋ 1，解得 0＜ t ＜ 1 或 2＜ t ＜3.]
)
A． 11 或 18
B． 11
C． 18 C [ f ′（x) ＝ 3x2＋ 2ax＋ b，
D． 17 或 18
3＋2a＋ b＝0 ∴ 1＋a＋ b＋ a2＝ 10
b＝－ 3－ 2a ? a2－ a－12＝ 0
a＝4
a＝－ 3
?
或
.
b＝－ 11
b＝ 3
a＝ 4 经检验
b＝－ 11
符合题意，
∴ f (2) ＝ 23＋4×4＋2×( － 11) ＋ 16＝ 18.]
ex 显然 x2＞ 0，问题转化为
g( x) ＝ ax2＋ x－1 在 (0,1) 上有且只有一个零点，
a 的取值范围
－ 1＜ 0， 故 g(0) · g(1) ＜0，即
a＋ 1－ 1＞0，
解得： a＞ 0，故选 B.]
5．(2019 ·漳州模拟 ) 已知函数 f ( x) ＝ ln x－ax 存在最大值 0，则 a 的值为 ( )
1 由 f ′（x) ＝ 0 得 x＝ ，由题意知
2
1 k－1＜ 2＜ k＋1， k－1≥0，
3 解得 1≤ k＜ . 故选 B.]
2
3．已知函数
f ( x) ＝ 1x3－ x2－ x＋m在 [0,1]
上的最小值为
1 ，则实数
m的值为 ________．
3
3
2 [ f ′（x) ＝ x2－ 2x－ 1＝ ( x－ 1) 2－ 2，当 x∈[0,1] 时，f ′（x) ＜ 0，因此 f ( x) 在区间 [0,1]
解得 x＝－ 1，当 x＜－ 1 时， y′＞ 0，
当－ 1＜x＜ 0 时， y′＜ 0，因此当 x＝－ 1 时，函数有极大值，极大值为－ 2－ 1＝－ 3.]
7．(2018 ·贵州质检 ) 设直线 x＝ t 与函数 h( x) ＝ x2，g( x) ＝ ln x 的图像分别交于点 M，N， 则当 | MN| 最小时， t 的值为 ________．
8
b
4
f (2) ＝ 3－ 4 1＋ 2 ＋ 4b＝ 2b－ 3，故选 A． ]
2．若函数 f ( x) ＝2x2－ ln x 在其定义域的一个子区间 ( k－1， k＋ 1) 内存在最小值，则实
数 k 的取值范围是 ( )
A． [1 ，＋∞）
3 B． 1，2
C． [1,2)
3 D． 2， 2
1 4x2－ 1 B [ f ( x) 的定义域为 (0 ，＋∞ ) ， f ′（x) ＝ 4x－x＝ x .
f (2) ＝－ 16＋ c＝－ 4，
因此 f ( x) 在 [ － 3,3] 上的最小值为 f (2) ＝－ 4.
B 组 能力提升
1．若函数
f
(
x
)
＝
1 3
x3
－
b 1＋ 2
x2＋2bx
在区间
[
－ 3,1]
上不是单调函数，则函数
f ( x)在 R
上的极小值为 ( ) 4
A． 2b－3
32 B． 2b－ 3
A． 1
B． 2
1
C． e
D. e
1 D [ 函数 f ( x) 的定义域为 (0 ，＋∞ ) ， f ′（x) ＝ x－ a，当 a≤０时， f ′（x) ＞ 0 恒成立，
函数 f ( x) 在 (0 ，＋∞ ) 上是增加的，不存在最大值；当
1 a＞0 时，令 f ′（x) ＝ x－ a＝ 0，解得 x
51 上是减函数，则 f ( x) ＝ min f (1) ＝m－ 3＝ 3，解得 m＝2.]
4．(2018 ·北京高考 ) 设函数 f ( x) ＝[ ax2－ (3 a＋ 1) x＋ 3a＋2]e x.
(1) 若曲线 y＝ f ( x) 在点 (2 ， f (2)) 处的切线斜率为 0，求 a；
2 [ 由题意， M( t ， t 2) ， N( t ， ln t ) ， 2 ∴｜MN| ＝ | t 2－ ln t | ，令 f ( t ) ＝ t 2－ ln t ( t ＞ 0) ，
1 2t 2－ 1 ∴ f ′（t ) ＝ 2t － t ＝ t ；
2 当 f ′（t ) ＞ 0 时， t ＞ 2 ，
导数与函数的极值最值文
( 建议用时： 60 分钟 )
A 组 基础达标
一、选择题
1．函数 y＝ f ( x) 导函数的图像如图所示，则下列说法错误的是
(
)
A．函数 y＝ f ( x) 在区间 ( －1,3) 上递增
B．函数 y＝ f ( x) 在区间 (3,5) 上递减 C．函数 y＝ f ( x) 在 x＝ 0 处取得极大值
故 f ( x) 在 (2 ，＋∞ ) 上为增函数．
由此可知 f ( x) 在 x＝－ 2 处取得极大值，
f ( － 2) ＝ 16＋ c，
f ( x) 在 x＝ 2 处取得极小值 f (2) ＝ c－ 16.
由题设条件知 16＋ c＝ 28，解得 c＝12.
此时 f ( － 3) ＝ 9＋c＝ 21，f (3) ＝－ 9＋ c＝ 3，
2 当 f ′（t ) ＜ 0 时， 0＜ t ＜ 2 ，
2 ∴ f ( x) 在 0， 2 上为减函数， f ( x) 在
22，＋∞
上为增函数，
∴ f ( x) ＝ min f
2
1 ＝ － ln
2 ＞ 0，
22
2
2
1
2
∴当 t ＝ 2 时， | MN| 达到最小值，最小值为
2－ ln
.] 2
8．已知函数 f ( x) ＝－ 1x2＋ 4x－ 3ln x 在[ t ，t ＋ 1] 上不单调， 则 t 的取值范围是 ________． 2
(2) 若 f ( x) 在 x＝1 处取得极小值，求 a 的取值范围． [ 解 ] (1) 因为 f ( x) ＝ [ ax2－ (3 a＋ 1) x＋ 3a＋ 2]e x， 所以 f ′（x) ＝ [ ax2 －( a＋ 1) x＋ 1]e x. f ′(2) ＝ (2 a－ 1)e 2.
由题设知
从而 a＝4， b＝ 4.
(2) 由 (1) 知 f ( x) ＝ 4ex( x＋ 1) － x2－ 4x，
f
′（x)
＝
x
4e (
x＋
2)
－
2x－4
＝ 4( x＋2)
ex－ 1 2
令 f ′（x) ＝ 0，得 x＝－ ln 2 或 x＝－ 2.
从而当 x∈( －∞，－ 2) ∪( － ln 2 ，＋∞ ) 时， f ′（x) ＞ 0； 当 x∈( － 2，－ ln 2) 时， f ′（x) ＜0. 故 f ( x) 在 ( －∞，－ 2) ， ( － ln 2 ，＋∞ ) 上递增，
在 ( － 2，－ ln 2) 上递减． 当 x＝－ 2 时，函数 f ( x) 取得极大值，极大值为 f ( － 2) ＝ 4(1 －e－ 2) ． 10．已知函数 f ( x) ＝ ax3＋ bx＋ c 在点 x＝ 2 处取得极值 c－ 16. (1) 求 a， b 的值； (2) 若 f ( x) 有极大值 28，求 f ( x) 在 [ － 3,3] 上的最小值． [ 解 ] (1) 因为 f ( x) ＝ ax3＋ bx＋ c， 故 f ′（x) ＝ 3ax2＋ b. 由于 f ( x) 在点 x＝ 2 处取得极值 c－16，