人教A版高中数学选修1-1 3.3.2 函数的极值与导数 学习要点

函数的极值与导数
---------学习要点
一、极值点与极值
(1)极小值点与极小值
如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；
而且在点x＝a附近的左侧____-，右侧______，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)极大值点与极大值
如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧_____，右侧_______，则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
(3)_______、________统称为极值点，______和________统称为极值．
2．求函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是________
(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是_________
二、学习引领
我们把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值;点b叫做函数y=f(x)的极小值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极小值.极大值点与极小值点统称极值点，极大值与极小值统称极值.
注意以下几点：
（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小
（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个
（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值
（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点
要点1： 函数的极值与导数的关系
例1、求()31443
f x x x =
-+的极值 解： 因为()31443f x x x =-+，所以()'24(2)(2)f x x x x =-=-+。

()'0,2,2f x x x ===-
下面分两种情况讨论：
（1）当()'f x >0,即2x >，或2x <-时；
（2）当()'f x <0,即22x -<<时.
当x 变化时， ()'f x ，()f x 的变化情况如下表：
因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为28(2)3f -=
； 当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为4(2)3f =-。

函数()31443f x x x =
-+的图像如图所示。

总结：（1）. 判别f (x 0)是极大、极小值的方法: 若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，
则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极
大值；如果)(x f 在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值
(2). 求可导函数f (x )的极值的步骤:
①确定函数的定义区间，求导数f ′(x )
②求方程f ′(x )=0的根
③用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f (x )在这个根处无极值
如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点。