【完整】高数空间曲线资料PPT

x a sin cos y a sin sin z a cos
0 π 0 2π
说明: 一般曲面的参数方程含两个参数 , 形如
x x(s,t) y y(s,t)
z z(s,t)
三、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线C的一般方程为
F ( x, G ( x,
y, y,
z) z)
0 0
1 (z
1)2
1
在xOy 面上的投影曲线方程为
x2 2y2 2y 0
z0
z
C
O 1y
x
又如,
上半球面 z 4 x2 y2 和锥面 z 3(x2 y2 )
所围的立体在 xOy 面上的投影区域为: 二者交线在
xOy 面上的投影曲线所围之域 .
二者交线
C
:
z
z
4 x2 y2 3(x2 y2 )
y a sin t 令 t , b v
z vt
x x a cos y a sin
y
z b
当 2 π时, 上升高度 h 2π b, 称为螺距 .
例1. 将下列曲线化为参数方程表示:
(1)
x2 2x
y2 3z
1 6
(2)
z x2
a2 y2
x2 ax
y2 0
解: (1) 根据第一方程引入参数 , 得所求为
高数空间曲线
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
பைடு நூலகம்
F(x, y, z) 0 G(x, y, z) 0
S2
S1
G(x, y, z) 0 L F(x, y, z) 0
例如,方程组
x2 y2 1 2x 3z 6 表示圆柱面与平面的交线 C.
z
2C
x O 1y
x cost y sin t
(0 t 2 π)
z
1 3
(6
2
cos
t
)
(2)
将第二方程变形为
(x
a 2
)
2
y2
a2 4
, 故所求为
x
a 2
a 2
cos
t
y
a 2
sin
t
(0 t 2 π)
za
1 2
1 2
cos
t
例2. 求空间曲线 :
时的旋转曲面方程 .
x (t) y (t) ( t ) 绕 z 轴旋转 z (t)
消去 t 和 , 得旋转曲面方程为
绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为
P36 题 1，2，7（展示空间图形） 绕 z 轴旋转所得旋转曲面 ( 即球面 ) 方程为
Oa
一、空间曲线的一般方程
P36 题2 (1)
y
空间曲线可视为两曲面的交线,
在xOy 面上的投影曲线方程为
x
P36 题2 (1)
y 5x 1
又如,方程组
z a2 x2 y2
x2
y2
ax
0
表示上半球面与圆柱面的交线C.
C
z
C
O ay
x
二、空间曲线的参数方程
将曲线C上的动点坐标 x, y, z表示成参数 t 的函数:
z
x x(t) y y(t) z z(t)
称它为空间曲线的 参数方程.
例如,圆柱螺旋线 的参数方程为
M O
x a cos t
z 2t
x 1 t 2 cos
y 1 t 2 sin
0 t2π
z
z 2t
消去 t 和 , 得旋转曲面方程为
4(x2 y2 ) z2 4
Oy x
x a sin
又如, xOz 面上的半圆周 y 0
(0 π)
z a cos
绕 z 轴旋转所得旋转曲面 ( 即球面 ) 方程为
(2)
yx0
z
O
2y
1
x
O
2y
x
(3) x2 z2 a2 x2 y2 a2
消去y 得C在zOx 面上的投影曲线方程
z
此曲线向 xOy 面的投影柱面方程为
将下列曲线化为参数方程表示:
此曲线向 xOy 面的投影柱面方程为
根据第一方程引入参数 , 消去y 得C在zOx 面上的投影曲线方程
a
一、空间曲线的一般方程
z
在 xOy 面上的投影曲线
x2 y2 1
z0
所围圆域: x2 y2 1, z 0.
CO 1 y x
内容小结
• 空间曲线 • 求投影曲线
三元方程组 或参数方程 (如, 圆柱螺线)
思考与练习
P36 题 1，2，7（展示空间图形）
答案: P36 题1
x 1
(1)
y2
z
z 4 x2 y2
消去 z 得投影柱面H (x, y) 0,
z
则C在xOy 面上的投影曲线 C´为
C
H (x, y) 0
z0
O
y
消去 x 得C 在yOz 面上的投影曲线方程
C
R(y, z) 0
x
x0
消去y 得C在zOx 面上的投影曲线方程
T
(x, y
z) 0
0
例如,
C
:
x2 x2
y2 z2 ( y 1)2
第五节
备用题 求曲线
z x
y 0
2
绕
z
轴旋转的曲面
与平面
x y z 1的交线在 xOy 平面的投影曲线方程.
解： 旋转曲面方程为 z x2 y2 ,它与所给平面的
交线为
z x2 y2 x y z 1
此曲线向 xOy 面的投影柱面方程为
x y x2 y2 1
此曲线在 xOy 面上的投影曲线方程为
y x 3 一、空间曲线的一般方程
的交线在 xOy 平面的投影曲线方程. 三、空间曲线在坐标面上的投影 P36 题2 (1) 所围的立体在 xOy 面上的投影区域为: 此曲线向 xOy 面的投影柱面方程为 此曲线向 xOy 面的投影柱面方程为 绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为 在 xOy 面上的投影曲线 在xOy 面上的投影曲线方程为 说明: 一般曲面的参数方程含两个参数 , 形如 在 xOy 面上的投影曲线 表示圆柱面与平面的交线 C. 点 M1绕 z 轴旋转, xOy 面上的投影曲线所围之域 . P36 3，4，5，6, 8 P36 题2 (1)
解: 任取点M1((t), (t),(t)) ,点 M1绕 z 轴旋转,
转过角度 后到点 M (x, y, z), 则
x 2 (t) 2 (t) cos y 2 (t) 2 (t) sin z (t)
这就是旋转曲面满足的参数方程 .
t 0
2π
x 1 例如, 直线 y t 绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为
z
y 5x 1
y x3 O
y
x
P36 题2(2)
z
x2 y2 1 49 y3
思考: 对平面 y b
O 2 x
3y
当 b 3时, 交线情况如何?
当 b 3时, 交线情况如何?
P37 题 7
z
z
O x xz20y2 ax
O
ay
ay
x
x2 z2 a2 (x 0, z 0)
y
0
作业 P36 3，4，5，6, 8