辽宁省葫芦岛一中2015-2016学年高一上学期期中数学试卷Word版含解析

2015-2016学年辽宁省葫芦岛一中高一（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共 12小题，每小题5分，共60分•在每小题的四个选项中，只有 项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）
1已知A={x|0 $詔}, B={y|0今€}，从A 到B 的对应法则分别是:
(1) : ' ::，:; (2) f : x f y=x - 2; (3) L :一、 "尸皿
(4) f : x f y=|x - 2| •
其中能够成一 一映射的个数是（
）
A • 1
B • 2
C . 3
D • 4
2.已知 f (:x - 1) =2x - 5,且 f (a ) =6,则 a 等于(
3•下列函数中，在其定义域内既是奇函数，又是减函数的是（ ）
A •「厂 B
C • f （x ） =2-X -2x
D •
' ■:
y
2
五帝
4 •化简’
-的结果是（
）
A .心
B • x
C • 1
D • x 2
7 D 7 ■I B• -I
c. J
5•对于幕函数，.../,若0v x i<X2,则：关系是（)
6.已知lga+lgb=O ，函数f (x ) =a x 与函数g (x ) = - log b x 的图象可能是(
&设函数f (2x )的定义域是[2 , 4]，则函数•〕"的定义域为(
)
£
A . [1 , 2]
B . . • ..
C . [2 , 8]
D . [8 , 32]
9. 设函数f (x )满足对任意的 m , n®+都有f (m+n ) =f (m ) ?f (n )且f (1) =2，则
f (2) f (3) f (2011)
T . .
-
V 汕()
A. 2011 B . 2010 C . 4020 D . 4022
log 2x s 垃〉0
10.
若函数f (x ) = 吕i ( - g ) , ，若f (a )> f (- a ),则实数a
的取值范围
L
1
是( )
A . (- 1, 0 )U( 0, 1)
B .(-a, - 1)U( 1, + a)
C . (- 1 , 0)U( 1 , +s)
D . (- a, - 1 )U( 0, 1)
11. 已知x €R ，符号［x ］表示不超过x 的最大整数，若函数 F 四个结论正确的是( )
A .函数f (x )的值域为(0, 1］
c .
f ( X J ) +f 〔七)
2
D •无法确定
7.已知 a=21.2, b= (
)
-
0.8
c=2log 52，则a , b , c 的大小关系为( A . c v b v a B . c v a v b
C . b v a v c
D . b v c v a
(x > 0)，则给出以
B •函数f (x )没有零点
3个零点时产辽
C.函数f (x)是(0, +①上的减函数
D .函数g (x) =f (x) - a有且仅有
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上)
_ x — 1 ..
12. _______________________________________________________ 函数y=a +1 (a> 0且a力)的图象必经过定点_____________________________________________________________ .
13. 化简2 _______________________________ 5+lg5lg2+lg 22- Ig2 的结果为
2
14. 设函数f (x) =x + (m —1) x+1在区间［0 , 2］上有两个零点，则实数m的取值范围
是 _______________ .
15. 下列各式：
(1)- = - - ;；
(2)已知logal v 1,贝「-
J J
(3)函数y=2x的图象与函数y= - 2-x的图象关于原点对称；
.. 1 ............................................. ... 一，…一.
(4) ---------------------------------- 函数f (x)=, : 的定义域是R，贝U m的取值范围是0v m v 4;
V ITIK "+mx+l
2 ］
(5)函数y=ln (- x +x)的递增区间为(- 汽：］.
正确的有_________________ .(把你认为正确的序号全部写上)
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
16. 设集合A={x| - 7电x - 5^9}, S={x|k+1 強电k- 1},
(1 )若S老且S?A，求k的取值范围：
(2)当A A S=?时，求k的取值范围.
17. 据气象中心观察和预测：发生于M第的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h) 与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段0C上一点T(t, 0)作横轴的垂线I,梯形OABC 在直线I左侧部分的面积即为时间t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)
(1 )直接写出v( km/h)关于t( h )的函数关系式；
(2 )当t=20h，求沙尘暴所经过的路程s( km)；
(3)若N城位于M地的正南方向，且距M地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N 城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由.
18. 已知二次函数f (x)满足f (x+1)- f (x) =2x - 1，且f (0) =3.
(1 )求f (x)的解析式；
(2)若x€［- 1, 1］时，f (x)墓mx恒成立，求实数m的取值集合.
19. 已知f (x)为偶函数，且x>0 时，• I - 一i
a x
(1 )判断函数f ( x)在(0, + a)上的单调性，并证明；
(2)若f (x)在」.二：上的值域是［-，求a的值；
£ £
(3)求x€ (- a, 0)时函数f (x)的解析式.
20. 定义在(0, + a)上的函数f (x)满足下面三个条件：
①对任意正数a, b,都有f (a) +f (b) =f (ab);
②当x > 1 时，f (x)v 0；
③ f (2) = - 1
(I)求f (1)和十的值；
(II)试用单调性定义证明：函数 f (小在(0, +a)上是减函数；
(III )求满足f (log4x)> 2的x的取值集合.
21. 已知函数f (x) =log9 (9x+i) +kx (k €R)是偶函数.
(1 )求k的值；
(2)若函数y=f (x)的图象与直线v_. - 没有交点，求b的取值范围；
(3)设二心I I二；r | -丄二：，若函数f (X)与h (x)的图象有且只有一个公共
匸3
点，求实数a的取值范围.
2015-2016学年辽宁省葫芦岛一中高一（上）期中数学试
卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分•在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）
1已知A={x|0 $詔}, B={y|0今€}，从A到B的对应法则分别是：
（1）：，：：」:；（2）f: x f y=x - 2;
（3）L .'「「卞一J..; （4）f: x f y=|x - 2|.
其中能够成一一映射的个数是（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【考
映射.
点】
【专
综合题；转化思想；综合法；函数的性质及应用.
题】
【分
x在集合A中任意取一个析】考察各个选项中的对应是否满足一一映射的定义，即当
值，在集合B中都有唯一确定的一个值与之对应，反之，当x在集合B中任意取一个值，
在集合A中都有唯一确定的一个值与之对应，可得答案.
【解答】解：对于（1）中的对应，当x在集合A={x|0 $<4}中任意取一个值x，在集合B={y|0今€} 中都有唯一确定的一个值:与之对应，故是映射.
对于（3）中的对应，当x在集合A={x|0 Q蚪中任意取一个值x,在集合B={y|0今<2}中都有唯一确定的一个值.=与之对应，故是映射.
对于（4）中的对应，当x在集合A={x|0 <4}中任意取一个值x,在集合B={y|0 <€}中都有唯一确定的一个值|x- 2|与之对应，故是映射.
其中，（4）中的对应由于集合A中的元素0和4,在集合B中都是元素2和它对应.故其不是一一映射，
而（2）中，因为集合A中的元素0,在集合B中没有元素和它对应.故它不是映射.
故选：B.
【点评】本题考查映射的定义，通过举反例来说明某个命题不正确,
是一种简单有效的方法.
2. 已知f ( x- 1) =2x - 5,且f (a) =6，则a 等于( )
—
7 7 4
A.——
B. —
C.
D.—
◎ 4 E E
【考点】函数解析式的求解及常用方法.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】根据题意，令2x —5=6，求出x的值，再计算对应a的值.
【解答】解：I f ( x—1) =2x —5，且f (a) =6 ,
2
•••令2x —5=6,
解得x^-,
a= x^-— 1='.
2 2 4
故选：B.
【点评】本题考查了函数的解析式以及利用函数的解析式求值的应用问题，是基础题目.
3. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数，又是减函数的是( )
A . f ：：一B.- ：: C. f (x) =2—x— 2x D. _ _ _ :：＜
M 2
【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明.
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用.
【分析】根据反比例函数在定义域内的单调性，奇函数定义域的特点，以及奇函数的定义，
函数导数符号和函数单调性的关系即可判断每个选项的正误，从而找出正确选项.
【解答】解：A .反比例函数丄一丄在定义域内没有单调性；
y
B. f (x)定义域为｛x|x切｝，不关于原点对称，不是奇函数；
C. f (x)定义域为R, f (—x) =2 —2= —f (x)；
•该函数为奇函数；
—V V
f (x) =—2 ln2 —2 ln2v 0；
•••该函数在定义域内为减函数；•该选项正确；
D • f (- x) =f (x);
•••该函数不是奇函数.
故选C.
以及【点评】考查反比例函数在定义域内的单调性，奇函数定义域的特点，奇函数的定义,
函数导数符号和函数单调性的关系.
4•化简 .的结果是( )
A . ，: B. x C . 1 D . x2
【考点】有理数指数幕的化简求值.
【专题】计算题；函数的性质及应用.
【分析】利用有理数指数幕的运算性质和运算法则，把由此能求出结果.
【解答】解:
=x
=1 .
故选C .
是基础题.解题时要认真审题,
【点评】本题考查有理数指数幕的运算性质和运算法则,
细解答.
5.对于幕函数-［，若O v x i<X2,则—“ J",…
大小关系是(
【专题】函数的性质及应用.
［在（0, +8）上是增函数，图象是上凸的，则当
O v X 1V X 2
时，应有；-■由此可得结论•
r
,亠亠
y 1
k x J 十r l
• ••当 O V X 1 V X 2 时，应有• i
i >
2 2
故选：A •
【点评】本题主要考查幕函数的单调性，幕函数的图象特征，同时考查了分析问题的能力, 属于中档题.
6.已知lga+lgb=O ，函数f （x ） =a X 与函数g （x ） = - log b x 的图象可能是（
）
【考点】 对数函数的图像与性质；指数函数的图像与性质. 【专题】函数的性质及应用.
【分析】由lga+lgb=O ，则得到lgab=O ，即ab=1，然后根据指数函数和对数函数的性质即可 判断函数的图象. 【解答】解；解：••Tga+lgb=O ,
•- lgab=O ,即 ab=1, b=—
•••函数 f (x ) =a x 与函数 g (x ) = - log b x
• ••函数 f (x ) =a x 与函数 g ( X )=log a x ,
【考点】 幕函数的图像.
D •无法确定
【分析】根据幕函数
【解答】 解：•••幕函数 ［在（0, + 8）上是增函数，图象是上凸的,
a> 1, f (x)与g (x)都是单调递增，
O v a v 1, f (x)与g (x)都是单调递减，
•-f (x)与g (x)单调相同，
故选：C
【点评】本题主要考查指数函数和对数函数的图象的判断，利用对数的运算法则确定ab=1是解决本题的关键，根据函数单调性的对应关系解决本题即可.
12 "1 _ o 8
7•已知a=212, b= ( .) 0.8, c=2log52，则a, b, c 的大小关系为( )
A • c v b v a
B . c v a v b C. b v a v c D . b v c v a
【考点】不等式比较大小.
【专题】不等式的解法及应用.
【分析】由函数y=2x在R上是增函数可得a> b>20=1，再由c=2log52=log 54 v log55=1，从而得到a, b, c 的大小关系
【解答】解：由于函数y=2x在R上是增函数，a=21.2, b= ( ) _0.8 =2°8, 1.2> 0.8 >0,
•a> b> 20=1.
再由c=2log 52=log 54v log 55=1,
可得a> b> c,
故选A .
【点评】本题主要考查指数函数、对数函数的单调性和特殊点，属于基础题.
&设函数f (2x)的定义域是［2 , 4］，则函数的定义域为( )
A . [1 , 2]
B . - C. [2 , 8] D . [8 , 32]
【考
函数的定义域及其求法.
点】
【专
函数思想；综合法；函数的性质及应用.
题】
【分
先求出2的氾围即二的氾围，从而求出x的范围即可
析】
【解
解：•••函数f (2x)的定义域是［2, 4］,
答】
• 4 <2x胡6,
4 P<16,
则函数「十：'的定义域为[8, 32], 故选：D .
【点评】 本题考查了求函数的定义域问题，考查指数函数的性质，是一道基础题.
9.设函数f (x )满足对任意的 m , n®+都有f (m+n ) =f (m ) ?f (n )且f (1) =2，则 f (2) f (3) f (2011) / 、
< !(
)
A . 2011
B . 2010
C . 4020
D . 4022 【考点】 抽象函数及其应用. 【专题】 【分析】 函数的性质及应用.
.=f (1) =2,代入要求的式子化简可得. f 5丿
由已知可得 【解答】 解：•••
f (x )满足对任意的 m , n €Z +都有 f (m+n ) =f (m ) ?f ( n )且 f (1)
=2,
.f (m+1) =f (m )
f (2) f (3) f ⑴⑵
?f ( 1),变形可得 \' =f ( 1) =2,
f (2011) =2010f (1) =4020
f (2010)
故选：C
【点评】 本题考查抽象函数，得出=f (1) =2是解决问题的关键，属基础题. f 5丿
10.若函数f (x )
log 2K» x>0
"吕 1 ( X )
1
「.，若f (a )> f (- a ),则实数a 的取值范围
是( )
A . (- 1, 0) U( 0, 1)
B . (- m
，- 1)U( 1, +m ) C .
(- 1 , 0)U( 1 , +m
)
【分析】由分段函数的表达式知，需要对 a 的正负进行分类讨论.
【解答】解：由题意
r
a>0
f Q) >f (亠 R d lo
g £a>lo g 或*
2
(自>0 (a<0
T 或I 1” =>自>1 或-l<a<C .
a \ a
故选C .
【点评】 本题主要考查函数的对数的单调性、对数的基本运算及分类讨论思想，属于中等 题•分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解，解对数不等式既要注意真数大于 0,也
要注意底数在(0，1)上时，不等号的方向不要写错.
11.已知x €R ，符号[x]表示不超过x 的最大整数，若函数 f (x ) = ” • ( x > 0)，则给出以 下四个结论正确的是(
)
A .函数f (x )的值域为(0, 1]
B .函数f (x )没有零点
C .函数f (x )是(0, + g)上的减函数
口 4
D .函数g (x ) =f (x ) - a 有且仅有3个零点时 产a <
【考点】命题的真假判断与应用.
【专题】 新定义；分类讨论；定义法；函数的性质及应用. 【分析】当0v x v 1时，[x]=0, f (x ) =0，故A , B 错误；
C 中 f (0.3) =0, f (1.3)> 0,可排除 C ；
[K ] [x ]
D 中因为f (x )=亠-a ,有且仅有3个零点，则方程亠=a 在(0, + 上有且仅有3个 实数
根，且a%.
a<C0 log j ( a) >l
在［x］=1时，只能有一个f (X) =a,不同的［X］对应不同的a值，对式子变形可得
只需讨论
u 4
［x］=3，则有a<l ；若［x］=4,则有a<l .最后确定a的范围.
【解答】解：当O v x v 1时，［x］=0, f (x) =0，故A , B错误;
C 中f f 0.3) =0, f (1.3)> 0,故C 错误;
D中因为f(x)=:-a，有且仅有3个零点,
则方程——=a在(0, + R)上有且仅有3个实数根，且a%.
x
r v i
T x > 0 ,「• [x]为；若[x] =0,则”=0 ,不合题意;
若［x］昌，因为［x］纟v ［x］+1 ,
•••心v—m, 儿 1 :.,
[K1
•••——v am,
[x]+l
且]—■—随着[x]的增大而增大.
故不同的［x］对应不同的a值,
故有[x]=1, 2, 3.
则有v a m；
d
则有匸v a m .
匚要使有三个实数根，即［x］=1 , 2, 3.
「v a m「
故选D .
【点评】考查了定义法和抽象函数，难点是对题意的理解和分类讨论.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上)
x - 1
12.函数y=a +1 (a> 0且a力)的图象必经过定点(1, 2)
【考点】指数函数的图像变换. a m,
若[x]=1,
则有〒v a曰；
若[x]=2,则有_v a m；
a
若[x]=3,
若[x]=4,
【分析】由指数函数的定义可知，当指数为0时，指数式的值为1,故令指数X-仁0,解
得x=1 , y=2，故得定点(1, 2).
【解答】解：令x-仁0,解得x=1 ,
此时y=a0+仁2,故得(1, 2)
此点与底数a的取值无关，
X -1
故函数y=a +1 (a> 0且a力)的图象必经过定点(1, 2)
故答案为(1, 2)
【点评】本题考点是指数型函数，考查指数型函数过定点的问题. 解决此类题通常是令指数
为0取得定点的坐标•属于指数函数性质考查题.
13•化简25+lg5lg2+lg 22- Ig2 的结果为25 .
【考点】对数的运算性质.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】利用对数的运算法则、lg2+lg5=1即可得出
【解答】解：原式="二…+Ig5lg2+lg 2 - lg2
=25+lg2 (lg5+lg2 )- lg2
=25.
【点评】本题考查了对数的运算法则、Ig2+lg5=1，属于基础题.
2
14.设函数f (x) =x + (m - 1) x+1在区间［0 , 2］上有两个零点，则实数m的取值范围是_
【考点】函数的零点与方程根的关系.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】当f (x)在［0 , 2］上有两个零点时，即方程x2+ ( m- 1) x+仁0在区间［0 , 2］上有两个不相等的实根，由此构造关于m的不等式组，解不等式组可求出m的取值范围.
【解答】解：当f (x)在［0, 2］上有两个零点时，
2
此时方程x + ( m- 1) x+仁0在区间［0, 2］上有两个不相等的实根，
A= 1 ) £- 4>0 0<--__<2
f (O) =l>0 f (2)=2nri-3>0
解得 实数m 的取值范围
故答案为:
【点评】本题考查二次函数与方程之间的关系，
二次函数在给定区间上的零点问题, 函数图象与x 轴相切的
情况，属于中档题.
15.
log a a ，可得 a < -;
y 都取相反数可得：-y=2 x ，即y= - 2 x ,
则，
'VTT T
、\ -
■、、》
； 要注意
(1)
(2) [:
匚 '1
- 上;
loga]< X 则 I - 二
已知
(3)
函数 y=2x 的图象与函数y= - 2「x
的图象关于原点对称;
(4) 函数
1
f (x ) = r 的定义域是R ，贝y m 的取值范围是0< m < 4；
(5) 函数
y=ln (- x 2+x )的递增区间为(-
8,].
正确的有
(3)—.(把你认为正确的序号全部写上)
【考点】 命题的真假判断与应用.
【专题】 分类讨论；定义法；函数的性质及应用. 【分析】
(1 )应先算括号内， 再乘方，结果应为
：，
(2)已知log a < 1 ,对底数 a 分类讨论：当a > 1时，恒成立，当0<a < 1时，已知 log a <
(3)函数y=2x 的中，使x ,
1
(4)函数 f (x )=
2
的定义域是R，故mx +mx+1 > 0恒成立，需对二次项系数
讨论：可得△< 0，或m=0 ,
(5)函数y=ln (- x2+x)的定义域为(0, 1)，单调区间应在定义域内.
【解答】解：(1)应先算括号内，再乘方，结果应为［，故错误；
(2)已知log a^v 1,当a> 1时，恒成立，当0v a v 1时，已知log a二< log a a，可得av = 故错误；
(3)函数y=2x的中，使x, y都取相反数可得：-y=2 -x，即y= - 2-x,故正确；
1 2
(4)函数f (x) = --------- r --------- 的定义域是R，故mx2+mx+1 > 0恒成立，可得△< 0，或
Virx^+iBx+1
m=0，故错误；
(5)函数y=ln (- x2+x)的定义域为(0, 1 )故错误；
故答案为(3).
【点评】考查了乘方的运算，对数函数参数的讨论问题，图象的对称问题，二次函数恒大于零问题•属于基础题型，应熟练掌握.
三、解答题(本大题共6小题，共70分•解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
16. 设集合A={x| - 7电x - 5^9}, S={x|k+1 強电k- 1},
(1 )若S老且S?A，求k的取值范围：
(2)当A A S=?时，求k的取值范围.
【考点】集合的包含关系判断及应用；集合的表示法.
【专题】计算题；分类讨论；综合法；集合.
1
【分析】(1 )若S£且S?A，可得-2k^ 1<7 ，即可求k的取值范围：
2k- l>k+l
(2)当A n S=?时，分类讨论，即可求k的取值范围.
【解答】解：(1) A={x| - 7 €x - 5<9}={x| -1$切,
•/ sm且S? A ,
f k+l>- 1
• 2詠詔;
(2) S=?，贝U 2k - 1< k+1 , • k< 2；
l>k+l l>k+l
(2k- 1< _ 1或jk+l>7
综上所述，k v 2或k> 6.
【点评】本题考查集合的运算，考查分类讨论的数学思想，属于中档题.
17. 据气象中心观察和预测：发生于M第的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h) 与时间t (h)的函数图象如图所示，过线段0C上一点T (t, 0)作横轴的垂线I,梯形OABC 在直线I左侧部分的面积即为时间t (h)内沙尘暴所经过的路程s (km)
(1 )直接写出v (km/h)关于t (h )的函数关系式；
(2 )当t=20h，求沙尘暴所经过的路程s ( km);
(3)若N城位于M地的正南方向，且距M地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N 城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由.
【专题】应用题；函数的性质及应用.
3t, 【分析】(1)由题意可得V= 30, lXtW劄；
-2t+70, 2Q<t<35
(2)沙尘暴所经过的路程s可看成图中梯形的面积，从而求解;
2
(3)由题意可得，-t +70t - 550=650，从而求解.
【解答】解：(1)由图可得，
v= 30, 10<t<20
-2t+70, 2tKt<35
(2)当t=20h, v=30,
1
S= -X (10+20) X30=450,
即t=20h时，沙尘暴所经过的路程为450km ;
(3)由(2)得，0W<20 时，S v 650,
当20v tW5 时,
S=450+ = - t2+70t - 550
2
2
令-t +70t - 550=650,
解得，t=30, 即在沙尘暴发生30h后间它将侵袭到N城.
【点评】本题考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力，同时考查了分段函数的应用, 属于中档题.
18. 已知二次函数f (x)满足f (x+1)- f (x) =2x - 1，且f (0) =3.
(1 )求f (x)的解析式；
(2)若x€[ - 1, 1]时，f (x)崑mx恒成立，求实数m的取值集合.
【考点】二次函数的性质.
【专题】函数的性质及应用.
、2
【分析】(1 )设f (x) =ax +bx+c (a和)，由f ( 0) =3 , f (x+1) - f (x) =2ax+a+b=2x
-1，可求a, b, c,进而可求函数f (x);
(2)由m€[ - 1, 1]时，不等式f (x)呈mx恒成立，可得x2- 2x+3 - 2mx为在x€[ - 1, 1]
fg ( _1) =2nd-6^>0
2
上恒成立，令g( m) = - 2mx+ (x2- 2x+3 )，结合一次函数的性质可得、# 、、，
呂⑴2iH2>0从而可求m的范围.
【解答】解：解：(1)设f (x) =ax2+bx+c (a旳)，…/分
••• f (0) =3，
c=3，….
又f (x+1 ) - f (x) =2ax+a+b=2x - 1，
.a=1，b= - 2，….
故f (x) =x2- 2x+3 ….
(2)因为m€[ - 1，1]时，不等式f (x)呈mx恒成立，
即x2- 2x+3 - 2mx R 在x €[ - 1，1]上恒成立.
令g ( m) = - 2mx+ (x2- 2x+3)，
丁 !)如宅得：m €[ - 3, 1],
g (1) =- 2nr^2>0
故实数m 的取值范围为：［-3, 1］
【点评】本题主要考查了利用待定系数法求解二次函数的解析式, 数问题一般转化为求解函数的最值，及利用转化与
化归思想把所求二次函数转化为关于 的一次函数进行求解
19•已知f (x )为偶函数，且 x > 0时，•工.|丄-丄：
a x
判断函数f (乂)在(0, + 上的单调性，并证明;
奇偶性与单调性的综合；函数解析式的求解及常用方法.
解：(1)函数f ( 乂)在(0, + 上是增函数..
证明如下: 任取 0v x 1 v x 2
. 1 _ 1 _ f (X 1)— f (X 2)=— -
丄■丄心-X
...
x 2 K l b 七. ■/ 0 v x 1 v x 2
• •• X 1- X 2< 0, X 1X 2> 0,
• •• f (X 1)— f ( X 2)V 0，即 f ( X 1)v f ( X 2),
二次函数的恒成立求解参
(1)
(2)
f (x )在-.上的值域是［亍才，求a 的值;
(3) x € (-汽0)时函数f (x )的解析式.
【考点】 【专题】 综合题；函数的性质及应用.
【分析】 (1 )禾9用函数的单调性的定义进行判断和证明即可
(2 )由
1)可知
函数f (3)可设
x €( - a, 0)，则-x €( 0, +8)，结合已知x > 0时的函数解析式及函数为偶 函数可求
【解答】
(本小题满分14分)
••• f (x )在(0, +8)上为增函数
f (x )在区间「，2]上是增函数，值域为 C .:],
£ 2
(3 )设 x € (- 8, 0)，则—x € (0, +8
• f (-x )丄斗 又因为f ( x )为偶函数，所以f (x ) =f (- x )=二 ——=「「..…
a » a y 【点评】本题综合考查了函数的单调性、 函数的奇偶性及函数的值域等知识的综合应用，
解 题的关键是熟练掌握函数的基本知识
20. 定义在(0, + 8)上的函数f (x )满足下面三个条件：
① 对任意正数a , b ,都有f (a ) +f (b ) =f (ab )；
② 当 x > 1 时，f (x )v 0；
③ f (2) = - 1
(I )求 f (1)和 t 1 — -1 的值；
y. (II )试用单调性定义证明：函数 f (小在(0 , +8)上是减函数；
(III )求满足f (Iog 4x )> 2的x 的取值集合.
【考点】抽象函数及其应用.
【专题】 综合题；函数思想；定义法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用.
【分析】(I)令a=b=1，代入计算即可求得 f (1) =0；令a=b=2，求得f (4) = - 2，令
a=4, b=—，即可得到所求值；
(n)运用单调性的定义证明，注意运用条件可得 > 1，即有f ( )v 0；
X 1
(川)f (Iog 4x ) >2 即为 f (log 4X )> I =),由(n) f (x )在(0, +8)上是减函数，
可得不等式组，解得即可得到所求集合. (2 )由(1)知函数 即" ('.)=.,f (2) 2 2 =2,
,解得8==..…
匸
【解答】解：(I)令a=b=1，可得2f (1) =f (1),
解得 f (1) =0;
令 a=b=2，可得 2f ( 2) =f (4) = - 2,
令 a=4, b=［可得 f (4) +f (上)=f (1) =0,
4
4
即有 f (一)= - f (4) =2 ;
Q (n)证明：设 X 1 , X 2€ ( 0, +8)且 X 1< X 2, 可得 > 1，即有f (
)< 0, K 1 K i
则 f (x 2)=f ( x 1? ) =f (X 1) +f (
) < f (x 1), ••• f (x )在(0, +8)上是减函数；
(川)f (log 4x )> 2 即为
f (lo
g 4X )> '！
由(n) f (x )在(0, + 8)上是减函数
解得.「:-, 故不等式的解集为(1,】)•
【点评】本题考查抽象函数的运用，考查赋值法求函数值的方法和运用单调性的定义证明得 到，同时考查解不等式，注意运用单调性和函数的定义域，属于中档题和易错题.
21. 已知函数 f (x ) =log 9 (9x +1) +kx (k €R )是偶函数.
(1 )求k 的值；
(2)若函数y=f (x )的图象与直线：-.,,!i.没有交点，求b 的取值范围；
(3 )设匕| ::； ： 一「.■:
-匚「，若函数f (x )与h (x )的图象有且只有一个公共 点，求实数a 的取值范
围. 【考点】函数奇偶性的性质；函数与方程的综合运用.
【专题】计算题.
所以“ fO<x<V2 b>l
「叫吩即为
【分析】(1)因为f (X )为偶函数所以f (-x ) =f (x )代入求得k 的值即可;
(2) 函数与直线没有交点即 __
| .■■■'i '.'.......无解，即方程
Iog 9(9X +1)-x=b * 2 2
无解•令g (x ) =|o g 9 (9X +i ) - x ,则函数y=g (x )的图象与直线 y=b 无交点.推出g (x ) 为减函数得到g (x )> 0,所以让bO 就无解.
(3) 函数f (x )与h (x )的图象有且只有一个公共点，即联立两个函数解析式得到方程， 方程只有一个解即可.
【解答】解：(1)因为y=f (x )为偶函数，所以？x€R , f (- x ) =f (x ),
x x
+1) - kx=log 9 (9 +1) +kx 对于？x €R 恒成立. 因为"「3,亍-心
任取 X 1、X 2€R ，且 X 1< X 2，^ V 「，从而
T
9 1 9 2
于是-'1 ■ :
「丨」即 g (X 1)>g (X 2),
9 1 9 7
所以g (x )在(-8, + R)是单调减函数.
因为1 - 1..: ■',所以「二；所以b 的取值范围是(-R, 0].
(3)由题意知方程I ■■有且只有一个实数根.
令3X =t >0,则关于t 的方程 :i-1：1 :(记为(* ))有且只有一个正根.
若a=1,则工-「，不合，舍去； 若a 力，则方程(*)的两根异号或有两相等正根. 由二J 一且一或-3;但& —:-：- 一，不合，舍去；而 • 一 1 — t 一 4 2 2
方程(*)的两根异号？ (a - 1) ? (- 1 )< 0,即-a+1 v 0,解得：a > 1. 综上所述，实数 a 的取值范围{ - 3} U( 1, + R ).
即 Iog 9 (9 \立
二恒成
即(2k+1)
x=0恒成立,
而x 不恒为零，所以
- - (2)由题意知方程.-'；' +
1 1 x 即方程 log 9 (9 +1)- x=b 无解. 令 g (x ) =Iog 9 (9x +i )- x ，则函数
y=g (x )的图象与直线 y=b 无交点.
【点评】考查学生运用函数奇偶性的能力，以及函数与方程的综合运用能力.。