10.8多元函数的极值及其求法 (2)
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的极值。
多元函数的极值
观察二元函数 z
xy e x2 y2
的图形
一、二元函数的极值及最大值最小值
1、二元函数极值的定义
设 函 数 z f ( x, y) 在 点( x0 , y0 ) 的 某邻域 内 有 定 义 ， 对 于 该 邻 域 内 异 于 ( x0 , y0 ) 的 点 (x, y)：
例2 求内接于半径为 a 的球且有最大体积的长方体。
求函数z f ( x, y)极值的一般步骤：
第一步 解方程组 fx ( x, y) 0, f y ( x, y) 0
求出实数解，得驻点. 第二步 对于每一个驻点 ( x0 , y0 )，
求出二阶偏导数的值 A、B、C 定出 AC B2的符号，再判定是否是极值.
例1 求函数 解：第一步 求驻点。
为极小值;
在点(1,2) 处
AC B2 12 (6) 0,
不是极值；
在点(3,0) 处
AC B2 12 6 0,
在点(3,2) 处
不是极值；
AC B2 12 (6) 0, A 0,
为极大值。
f xx (x, y) 6x 6, f xy (x, y) 0, f yy (x, y) 6 y 6
若满足不等式 f ( x, y) f ( x0 , y0 )，则称函 数在( x0 , y0 )有极大值；
若满足不等式 f ( x, y) f ( x0 , y0 )，则称函 数在( x0 , y0 )有极小值；
极大值、极小值统称为极值。 使函数取得极值的点称为极值点。
例 1 函数 z 3x2 4 y2
分析：
此问题是在 x2 y2 z2 1 的条件下， 求解 f(x, y, z) xy z 的最大值，
而此条件虽可以融入到目标函数之中，但很难求解。
f(x, y) xy 1 x2 y2
启用求解条件极值专用法——拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法： 在条件(x, y) 0下, 求函数 z f (x, y) 的极值 引入辅助函数 F f (x, y) (x, y) 则极值点满足:
且 f x (x0 , y0 ) 0 , f y (x0 , y0 ) 0
令 f x x ( x0 , y0 ) A, f x y ( x0 , y0 ) B, f y y ( x0 , y0 ) C
则 f ( x, y)在点(x0 , y0 )处是否取得极值的条件如下： (1) AC B2 0时具有极值，
则 z 8 , 代入费用函数 xy
C（x, y,z） 16xy 8xy 2 6xz 6yz
得：C（x, y） 16xy 8xy 2 6x 8 6 y 8
xy
xy
求自然函数C(x,y)的最小值即可。
条件极值问题求解方法： 1、将条件融入到所求解的目标函数； 2、条件无法融入到所求解的目标函数；
第八节 多元函数的极值及其求法
1、多元函数的极值 2、多元函数的最值
复习：一元函数极值的定义
定义 如果 x0与其邻域内的 x 相比，总有 f ( x) f ( x0 ) 成立，则称 x0为函数的一个极大值点， f ( x0 )为函数 y f ( x)的一个极大值；
如果 x0与其邻域内的 x 相比，总有 f ( x) f ( x0 ) 成立，则称 x0为函数 y f ( x)的一个极小值点，f ( x0 ) 为函数 y f ( x)的一个极小值；
当 A 0时有极大值， 当 A 0时有极小值； (2) AC B2 0时没有极值； (3) AC B2 0时可能有极值,也可能没有极值。
(1) AC B2 0 时具有极值，
A 0 时有极大值，
A 0 时有极小值
(2) AC B2 0 时没有极值；
(3) AC B2 0 时可能有极值, 也可能没有极值。
fz ( x0 , y0 , z0 ) 0.
仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零 的点，均称为函数的驻点.
注意：驻点
极值点（可导）
例如, 点(0,0)是函数z xy的驻点，但不是极值点.
问题：如何判定一个驻点是否为极值点？
多元函数极值的判定定理
定理 2 (充分条件) 设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )的某邻域内连续， 有一阶及二阶连续偏导数，
解: 设珠宝箱长,宽分别为 x , y 尺 ,则高为 8 尺， xy
则珠宝箱所用材料费用为：
C（x, y） 16xy 8xy 2 6x 8 6 y 8
xy
xy
24xy 96 96
yx
由方程组
C
x
C
24 y 24x
96 x2 96
B f xy (2,2) 0
C f yy(2,2) 2
由于 AC B2 (2)2 4 0
又因为 A 0
所以 2,2
为极大值点，
极大值为： f (2,2) 42 (2) 22 (2)2 8
2、多元函数的最值
与一元函数相类似，我们可以利用函数的极 值来求函数的最大值和最小值.
求最值的一般方法：
1、在可微的前提下，将函数在D内的所有驻点 处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互 比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小 值.
2、若是求实际问题的最值，由实际问题决定
例2：（爬山的故事）
杜海涛携女友和何炅寒假期间一起去爬鼎湖 山。。。
A 杜海涛及女友
何炅
何炅一路：
建立坐标系， 找到山表面的方程
f(x, y) 521 x2 2xy 2 y2，
确定自己位置：点 ( 0 , 0)
显然方程组
f
(
x
x,
y)
f
(
y
x,
y)
2 x 2x
2y 4y
0 0
只有一个解( 0 , 0) 易知 f( 0 , 0) 521
为极大值点。
杜海涛一路： 很遗憾，在间断点A处，他 虽万分小心，还是掉进了深渊。。。 醒来之后，他看到。。。
解 令 F ( x, y, z) x3 y2z ( x y z 12),
Fx 3 x2 y2z 0
则
Fy 2x3 yz 0 Fz x3 y2 0
x y z 12
解得唯一驻点 (6,4,2)，
故最大值为 umax 63 42 2 6912
杜海涛是当时最著名的金匠，被召进宫为熹妃娘娘 打造一个珠宝箱，具体要求：
箱子为长方体，体积 8立方尺，底部用黄金平板， 四壁用白银平板，盖子是镶满珍珠的面板。当时的 行情：黄金平板16金币/平方尺，白银6金币/平方尺， 珍珠面板8金币/平方尺，娘娘愿意给他1000个金币。 试问他该不该接下这个任务？
辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数. 利用拉格朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.
推广 拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多
个约束条件的情形.
例如, 求函数 u f (x, y, z) 在条件 (x, y, z) 0, (x, y, z) 0下的极值. 设 F f (x, y, z) 1(x, y, z) 2 (x, y, z)
零：
f x ( x0 , y0 ) 0 f y ( x0 , y0 ) 0
推广 如果三元函数 u f ( x, y, z)在点 P( x0 , y0 , z0 ) 具有偏导数，则它在 P( x0 , y0 , z0 )有极值的必要条
件为
f x ( x0 , y0 , z0 ) 0， f y ( x0 , y0 , z0 ) 0，
复习： 一元函数极值存在的必要条件和极值判断定理
定理(极值存在的必要条件) 如果点 x0 是函数 f (x) 的极值点，且 f (x)存在，则 f (x) 0
定理(第二充分条件) 设 f ( x0 ) 0， f ( x0 )存在， (1)如果 f ( x0 ) 0，则 f ( x0 )为极小值； (2)如果 f ( x0 ) 0，则 f ( x0 )为极大值； (3)如果 f ( x0 ) 0，则不能判断 f ( x0 )是否为函数
181.42 （个金币）
杜海涛获利约 1000 181.42 818（个金币）
无条件极值： 对自变量除了限制在定义域内
外，并无其他条件。（自然函数 如例1）
条件极值：对自变量有附加条件的极值。
（实际问题，如例2）
条件极值问题求解方法：
1、将条件融入到所求解的目标函数；
如例2，条件：体积为8，即 xyz 8,
例3： 假设方程式 x2 y2 z2 1
表示地球表面。且北极的坐标位置为（0,0,1）， 而厄瓜多尔的位置为（1,0,0）。有个外星种族，对 着地球照射了一种改变心智能力的射线，该射线的
强度分布函数为 f(x, y, z) xy z 结果，
住在该射线最强的地球表面的人们，个个都变成了 爱因斯坦，而居住在该射线强度最弱区域的人们， 智能变得跟鼻涕虫差不多，请找出地球上遍地皆天 才的位置在哪？
花， y 盒巧克力，效果函数为 U(x, y) 2x2 y。2
设每支玫瑰花8元，每盒巧克力50元，问他如何分配 这2千元以达到最佳效果。
问题的实质：求 U(x, y) 2x2 y2 在条 件 8x 50 y 2000下的极值点。
例 5 将正数 12 分成三个正数 x, y, z之和 使得 u x3 y2z为最大.
z2
1
0
得 z2 1 or x 0 其实为同一个解 z2 1
得两个点(0,0,1) 和(0,0,-1)，且 f(0,0,1) 1 ,
f(0,0,1) 1
条件极值问题求解方法： 1、将条件融入到所求解的目标函数； 2、条件无法融入到所求解的目标函数；
拉格朗日乘数法
练习： 黄韬打算在情人节为女朋友花2千元钱，用来 购买两种物品：玫瑰花和巧克力，设他购买 x 支玫瑰
0 0
y
y2
解得 x y 3 4
根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 因此可
断定此驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 3 4
高为 8 2 3 4 时, 珠宝箱所用材料最省. 32 32
此时, 珠宝箱所用费用：
C 24 3 4 3 4 96 96 34 34
在 (0,0) 处有极小值．
(1)
例 2 函数 z x2 y2
(2)
在 (0,0) 处有极大值．
例 3 函数 z xy
(3)
在 (0,0) 处无极值．
多元函数取得极值的必要条件 定理 1 (必要条件)
设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )具有偏导数，且在 点( x0 , y0 )处有极值，则它在该点的偏导数必然为
的极值。
解方程组
得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) .
第二步 判别。求二阶偏导数
B
C
f xx (x, y) 6x 6, f xy (x, y) 0, f yy (x, y) 6 y 6
A
在点(1,0) 处
AC B2 12 6 0, A 0,
解方程组
可得到条件极值的可疑点 .
求解例2： 构造拉格朗日函数
F(x, y, z,) xy z (x2 y2 z2 1)
Fx y 2 x 0
求解方程组 Fy x 2 y 0
Fz 1 2 z 0
F
x2
y2
A
B
C
练习 求函数 f ( x, y) 4( x y) x2 y2 的极值。
解：解方程组
fx(x, y) 0
f
y
(
x,
y)
0
得唯一解 x 2 y 2
即
4 2x 0 4 2 y 0
驻点为 2,2
A f xx (2,2) 2
多元函数的极值
观察二元函数 z
xy e x2 y2
的图形
一、二元函数的极值及最大值最小值
1、二元函数极值的定义
设 函 数 z f ( x, y) 在 点( x0 , y0 ) 的 某邻域 内 有 定 义 ， 对 于 该 邻 域 内 异 于 ( x0 , y0 ) 的 点 (x, y)：
例2 求内接于半径为 a 的球且有最大体积的长方体。
求函数z f ( x, y)极值的一般步骤：
第一步 解方程组 fx ( x, y) 0, f y ( x, y) 0
求出实数解，得驻点. 第二步 对于每一个驻点 ( x0 , y0 )，
求出二阶偏导数的值 A、B、C 定出 AC B2的符号，再判定是否是极值.
例1 求函数 解：第一步 求驻点。
为极小值;
在点(1,2) 处
AC B2 12 (6) 0,
不是极值；
在点(3,0) 处
AC B2 12 6 0,
在点(3,2) 处
不是极值；
AC B2 12 (6) 0, A 0,
为极大值。
f xx (x, y) 6x 6, f xy (x, y) 0, f yy (x, y) 6 y 6
若满足不等式 f ( x, y) f ( x0 , y0 )，则称函 数在( x0 , y0 )有极大值；
若满足不等式 f ( x, y) f ( x0 , y0 )，则称函 数在( x0 , y0 )有极小值；
极大值、极小值统称为极值。 使函数取得极值的点称为极值点。
例 1 函数 z 3x2 4 y2
分析：
此问题是在 x2 y2 z2 1 的条件下， 求解 f(x, y, z) xy z 的最大值，
而此条件虽可以融入到目标函数之中，但很难求解。
f(x, y) xy 1 x2 y2
启用求解条件极值专用法——拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法： 在条件(x, y) 0下, 求函数 z f (x, y) 的极值 引入辅助函数 F f (x, y) (x, y) 则极值点满足:
且 f x (x0 , y0 ) 0 , f y (x0 , y0 ) 0
令 f x x ( x0 , y0 ) A, f x y ( x0 , y0 ) B, f y y ( x0 , y0 ) C
则 f ( x, y)在点(x0 , y0 )处是否取得极值的条件如下： (1) AC B2 0时具有极值，
则 z 8 , 代入费用函数 xy
C（x, y,z） 16xy 8xy 2 6xz 6yz
得：C（x, y） 16xy 8xy 2 6x 8 6 y 8
xy
xy
求自然函数C(x,y)的最小值即可。
条件极值问题求解方法： 1、将条件融入到所求解的目标函数； 2、条件无法融入到所求解的目标函数；
第八节 多元函数的极值及其求法
1、多元函数的极值 2、多元函数的最值
复习：一元函数极值的定义
定义 如果 x0与其邻域内的 x 相比，总有 f ( x) f ( x0 ) 成立，则称 x0为函数的一个极大值点， f ( x0 )为函数 y f ( x)的一个极大值；
如果 x0与其邻域内的 x 相比，总有 f ( x) f ( x0 ) 成立，则称 x0为函数 y f ( x)的一个极小值点，f ( x0 ) 为函数 y f ( x)的一个极小值；
当 A 0时有极大值， 当 A 0时有极小值； (2) AC B2 0时没有极值； (3) AC B2 0时可能有极值,也可能没有极值。
(1) AC B2 0 时具有极值，
A 0 时有极大值，
A 0 时有极小值
(2) AC B2 0 时没有极值；
(3) AC B2 0 时可能有极值, 也可能没有极值。
fz ( x0 , y0 , z0 ) 0.
仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零 的点，均称为函数的驻点.
注意：驻点
极值点（可导）
例如, 点(0,0)是函数z xy的驻点，但不是极值点.
问题：如何判定一个驻点是否为极值点？
多元函数极值的判定定理
定理 2 (充分条件) 设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )的某邻域内连续， 有一阶及二阶连续偏导数，
解: 设珠宝箱长,宽分别为 x , y 尺 ,则高为 8 尺， xy
则珠宝箱所用材料费用为：
C（x, y） 16xy 8xy 2 6x 8 6 y 8
xy
xy
24xy 96 96
yx
由方程组
C
x
C
24 y 24x
96 x2 96
B f xy (2,2) 0
C f yy(2,2) 2
由于 AC B2 (2)2 4 0
又因为 A 0
所以 2,2
为极大值点，
极大值为： f (2,2) 42 (2) 22 (2)2 8
2、多元函数的最值
与一元函数相类似，我们可以利用函数的极 值来求函数的最大值和最小值.
求最值的一般方法：
1、在可微的前提下，将函数在D内的所有驻点 处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互 比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小 值.
2、若是求实际问题的最值，由实际问题决定
例2：（爬山的故事）
杜海涛携女友和何炅寒假期间一起去爬鼎湖 山。。。
A 杜海涛及女友
何炅
何炅一路：
建立坐标系， 找到山表面的方程
f(x, y) 521 x2 2xy 2 y2，
确定自己位置：点 ( 0 , 0)
显然方程组
f
(
x
x,
y)
f
(
y
x,
y)
2 x 2x
2y 4y
0 0
只有一个解( 0 , 0) 易知 f( 0 , 0) 521
为极大值点。
杜海涛一路： 很遗憾，在间断点A处，他 虽万分小心，还是掉进了深渊。。。 醒来之后，他看到。。。
解 令 F ( x, y, z) x3 y2z ( x y z 12),
Fx 3 x2 y2z 0
则
Fy 2x3 yz 0 Fz x3 y2 0
x y z 12
解得唯一驻点 (6,4,2)，
故最大值为 umax 63 42 2 6912
杜海涛是当时最著名的金匠，被召进宫为熹妃娘娘 打造一个珠宝箱，具体要求：
箱子为长方体，体积 8立方尺，底部用黄金平板， 四壁用白银平板，盖子是镶满珍珠的面板。当时的 行情：黄金平板16金币/平方尺，白银6金币/平方尺， 珍珠面板8金币/平方尺，娘娘愿意给他1000个金币。 试问他该不该接下这个任务？
辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数. 利用拉格朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.
推广 拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多
个约束条件的情形.
例如, 求函数 u f (x, y, z) 在条件 (x, y, z) 0, (x, y, z) 0下的极值. 设 F f (x, y, z) 1(x, y, z) 2 (x, y, z)
零：
f x ( x0 , y0 ) 0 f y ( x0 , y0 ) 0
推广 如果三元函数 u f ( x, y, z)在点 P( x0 , y0 , z0 ) 具有偏导数，则它在 P( x0 , y0 , z0 )有极值的必要条
件为
f x ( x0 , y0 , z0 ) 0， f y ( x0 , y0 , z0 ) 0，
复习： 一元函数极值存在的必要条件和极值判断定理
定理(极值存在的必要条件) 如果点 x0 是函数 f (x) 的极值点，且 f (x)存在，则 f (x) 0
定理(第二充分条件) 设 f ( x0 ) 0， f ( x0 )存在， (1)如果 f ( x0 ) 0，则 f ( x0 )为极小值； (2)如果 f ( x0 ) 0，则 f ( x0 )为极大值； (3)如果 f ( x0 ) 0，则不能判断 f ( x0 )是否为函数
181.42 （个金币）
杜海涛获利约 1000 181.42 818（个金币）
无条件极值： 对自变量除了限制在定义域内
外，并无其他条件。（自然函数 如例1）
条件极值：对自变量有附加条件的极值。
（实际问题，如例2）
条件极值问题求解方法：
1、将条件融入到所求解的目标函数；
如例2，条件：体积为8，即 xyz 8,
例3： 假设方程式 x2 y2 z2 1
表示地球表面。且北极的坐标位置为（0,0,1）， 而厄瓜多尔的位置为（1,0,0）。有个外星种族，对 着地球照射了一种改变心智能力的射线，该射线的
强度分布函数为 f(x, y, z) xy z 结果，
住在该射线最强的地球表面的人们，个个都变成了 爱因斯坦，而居住在该射线强度最弱区域的人们， 智能变得跟鼻涕虫差不多，请找出地球上遍地皆天 才的位置在哪？
花， y 盒巧克力，效果函数为 U(x, y) 2x2 y。2
设每支玫瑰花8元，每盒巧克力50元，问他如何分配 这2千元以达到最佳效果。
问题的实质：求 U(x, y) 2x2 y2 在条 件 8x 50 y 2000下的极值点。
例 5 将正数 12 分成三个正数 x, y, z之和 使得 u x3 y2z为最大.
z2
1
0
得 z2 1 or x 0 其实为同一个解 z2 1
得两个点(0,0,1) 和(0,0,-1)，且 f(0,0,1) 1 ,
f(0,0,1) 1
条件极值问题求解方法： 1、将条件融入到所求解的目标函数； 2、条件无法融入到所求解的目标函数；
拉格朗日乘数法
练习： 黄韬打算在情人节为女朋友花2千元钱，用来 购买两种物品：玫瑰花和巧克力，设他购买 x 支玫瑰
0 0
y
y2
解得 x y 3 4
根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 因此可
断定此驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 3 4
高为 8 2 3 4 时, 珠宝箱所用材料最省. 32 32
此时, 珠宝箱所用费用：
C 24 3 4 3 4 96 96 34 34
在 (0,0) 处有极小值．
(1)
例 2 函数 z x2 y2
(2)
在 (0,0) 处有极大值．
例 3 函数 z xy
(3)
在 (0,0) 处无极值．
多元函数取得极值的必要条件 定理 1 (必要条件)
设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )具有偏导数，且在 点( x0 , y0 )处有极值，则它在该点的偏导数必然为
的极值。
解方程组
得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) .
第二步 判别。求二阶偏导数
B
C
f xx (x, y) 6x 6, f xy (x, y) 0, f yy (x, y) 6 y 6
A
在点(1,0) 处
AC B2 12 6 0, A 0,
解方程组
可得到条件极值的可疑点 .
求解例2： 构造拉格朗日函数
F(x, y, z,) xy z (x2 y2 z2 1)
Fx y 2 x 0
求解方程组 Fy x 2 y 0
Fz 1 2 z 0
F
x2
y2
A
B
C
练习 求函数 f ( x, y) 4( x y) x2 y2 的极值。
解：解方程组
fx(x, y) 0
f
y
(
x,
y)
0
得唯一解 x 2 y 2
即
4 2x 0 4 2 y 0
驻点为 2,2
A f xx (2,2) 2