2018-2019学年高中数学习题课5对数函数与幂函数练习新人教A版必修1

习题课(五)对数函数与幕函数
(时间：45分钟满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共30分)
1. 在同一直角坐标系中，函数f(x) =
x a(x>0), g(x) = log a x的图象可能是()
解析：若a> 1，则函数g(x) = log a x的图象过点(1,0),且单调递增，但当x € [0,1)时,
I
y= x a的图象应在直线y = x的下方，故C选项错误；若O v a v 1,则函数g(x) = log a x的图象过点(1,0)，且单调递减，函数y = x a(x>0)的图象应单调递增，且当x€ [0,1)时图象应在直线y = x的上方，因此A, B均错，只有D项正确.
答案：D
2. 若函数y = f(x)的定义域为[1,2]，则y= f (log 1 x)的定义域为()
vU y
A. [1,4]
C. [1,2]
jr J*
解析：由 1 w log 1 x w2,
2
1 1
解得4< x w 2.故选D. B. [4,16] D
.
答案：D
3. 已知a= log 32,那么log 38 —2log 36 用a 表示为()
A. a —2
B. 5a—2
2 2
C. 3a—(1 + a)
D. 3a—a —1
3
解析：log 38 —2log 36= log 32 —2log 3(2 x 3)
=3log 3 2 —2log 3 2 —2log 3 3 = log 3 2 —2= a— 2.
答案：A
4. 设函数f(x) = log a| x|在(—g, 0)上单调递增，则f(a+ 1)与f(2)的大小关系是( )
A. f(a+ 1) >f(2)
B. f(a+ 1) v f(2)
C. f(a+ 1) = f(2)
D.不能确定
解析：由已知得O v a v 1，所以1v a+1 v 2,根据函数f(x)为偶函数，可以判断f(x)
在(0，+g)上单调递减，所以f(a+ 1) > f(2).
亠亠X-
答案：A
2
5. 已知函数f(x) = log 0.5(x —ax+ 4a)在[2 ,+g)上单调递减，则a的取值范围是()
A. ( —g, 4]
B. [4 ,+g)
C. [ —2,4]
D. ( —2,4]
2
解析：令u = x —ax+ 4a.
••• y= log 0.5u在(0，+g)上为单调减函数，
•••u= x2—ax + 4a在[2 ,+g)上是单调增函数且u>0,
2,
• i2•••—2v aw4,故选 D.
[2 —2a+ 4a > 0,
答案：D
y= log 1 f (x)的图象大致是(
6•函数y= f(x)的图象如图所示，则函数
解析：由函数y= f(x)的图象知，当x€ (0,2)时，f(x) > 1,所以log寺(x) w 0.又函数
1
f (x)在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数，所以y = lo
g ~f (x)在(0,1)上是增函数，在
(1,2)上是减函数•结合各选项知，选 C.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共20分)
7.若函数f (x) = (2 3)x m—3是幕函数，则m的值为________ .
解析：本题主要考查幕函数的概念.由幕函数的定义可得2m+ 3= 1,即卩m=—1.
答案：—1
&方程 ln(3 X2x — 2) = log 23+ log g 的解为 ________
=0，所以 3X2x — 2= 1,解得 x = 0.
答案：x = 0
9. ____________________________________________ 函数f (x ) = log 1 ( x — 3)的单调递减区间为 _______________________________________________
8
解析：本题主要考查复合函数的单调性.
首先令x — 3> 0,得x > 3,即函数的定义域为
1
(3 ,+8).又已知函数的底数为 8，而g (x ) = x — 3在R 上单调递增，根据复合函数的单调 性，可知函数f (x ) = log 1 ( x — 3)的单调递减区间为(3 ,+^).
8
答案：(3 ,+^)
10. ____________________________________________________________________ 若关于x 的方程|log 3X | = a ( a € R )有2个解，则实数a 的取值范围是 _______________________
解析：设函数 屮=|log 3X | , y 2 = a ,
log 3x , x > 1,
则y 1=
其图象为
—log 3X , 0v x v 1,
•••方程|log 3X | = a 有2个解， •••函数y 1与y 2的图象有2个交点. 由图象可知，此时 a > 0. 答案：(0 ,+^) 三、解答题
11. (本小题满分12分)已知幕函数f (x ) = (m i — m — 1) • x
—
5m —3
在(0 , +^)上是增函数,
1 — mx 又 g (x ) = log a ^x —1 (a > 1).
(1) 求函数g (x )的解析式.
(2) 当x € (t , a )时，g (x )的值域为(1 ,+s )，试求a 与t 的值. 解：(1)因为f (x )是幕函数，且在(0,+^)上是增函数，
m i — m — 1 = 1, 所以 解得m =— 1,
—5 - 3> 0,
解析：本题主要考查对数的运算.
因为 ln(3 X2x — 2) = log 23 + log
23= log 2〔3X 3 ；= log 2I
2],
> 0可解得x v — 1或x > 1
所以g (x )的定义域是(一a, — 1) U (1 ,+^). 又 a > 1, x € (t , a )，可得 t > 1,
设 X 1, x 2 € (1 ,+a )，且 为 v X 2,于是 X 2— X 1> 0, X 1— 1 > 0, X 1 + 1 X 2 + 1
X 2— X 1 X —
X 2-1 >0,
所以斗 > 斗.
X 1 - 1 X 2 - 1 ,
亠
X 1 + 1 X 2 + 1
由 a
>X 有 |og a x ?T7>loga R ，
解得a = 1 ± 2,因为a > 1,所以a = 1 + ^ 2,
厂
综上，a = 1 +, t = 1.
1 1
12. (本小题满分13分)已知f (x )为偶函数，且 x >0时，f (x ) = --(a >0). a x (1) 判断函数f (x )在(0，+a )上的单调性，并说明理由；
yyX \ -1 ~1 T
(2) 若f (x )在|-, 2上的值域是I-, 2 I,求a 的值；
/ Z
」
⑶求x € ( -a, 0)时，函数f (x )的解析式.
解：(1)函数f (X )在(0，+a )上是增函数.
理由如下：任取 X 1 , X 2€ (0，+a )，设X 1 v X 2,则
1 1
1 1 X 1 — X 2
X 2—X 1=H ，一 X2> X1>0,
...X 1 — X 2 v 0, X 1X 2> 0, •••f (X 1)- f (X 2) v 0.
即 f (X 1) v f (X 2),
• f (X )在(0，+a )上为增函数.
1
⑵ 由(1)知函数f (x )在区间 纭,2]上是增函数,
所以 g (x ) = log x +1
a ・
x -1
X 2 — 1> 0， 所以 x - 1 X 2-1
即g (x )在(1 ,+a )上是减函数.
又g (x )的值域是(1 ,+a ),
所以 t = 1, ga = 1,
得 g (a )
= 11
心)一fx)=(1-£)-肓-$
,
1 1
又f (x)在迈,2］上的值域为场,
1 1
•-f (2)= 2, f (2
)
= 2
，
⑶设 x € ( —g, 0)，则—x € (0 ,+s ),
又:f(x)为偶函数，
1 1 • •• f (x ) = f ( — x ) = +—. a x
2
，解得a = 5.
1111。