2020版广西高考人教A版数学(理)一轮复习考点规范练:27 平面向量的数量积与平面向量的应用 Word版含解析

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8.设 m,n 为非零向量,则“存在负数 λ,使得 m=λn”是“m·n<0”的
( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 m,n 为非零向量,若存在 λ<0,使 m=λn,即两向量反向,夹角是 180°,则 m·n=|m||n|cos 180°=|m||n|<0.反过来,若 m·n<0,则两向量的夹角为(90°,180°],并不一定反向,即不一定存在负数 λ,使得 m=λn,所以是充分不必要条件.故选 A.
5.在四边形 ABCD 中,������������=(1,2),������������=(-4,2),则该四边形的面积为( )
A. 5
B.2 5
C.5
D.10
答案 C
解析依题意得,������������·������������=1×(-4)+2×2=0,
∴������������ ⊥ ������������.
3
3
5
25
A.-5
B.5
C. 5
D.- 5
答案 A 解析∵向量 a 与 b 的夹角为 θ,且 a=(-2,1),a+2b=(2,3),
������ + 2������ - ������
∴b= 2 =(2,1),
������·������ - 4 + 1 3
∴cos θ=|��2
B.3a-3b
33
C.5a-5b
44
D.5a-5b
答案 D 高清试卷 下载可打印
解析∵a·b=0,∴������������ ⊥ ������������.
∵|a|=1,|b|=2,∴AB= 5.
又 CD⊥AB,∴由射影定理,得 AC2=AD·AB.
45
4 4 5 ������������ 5 4
则向量������������在向量������������方向上的投影为
������������·������������ 4 2 10
|������������| = 10 = 5 .
11.设 e1,e2 是夹角为 60°的两个单位向量,若 a=e1+λe2 与 b=2e1-3e2 垂直,则 λ= .
D 项,(a+b)·(a-b)=a2-a·b+b·a-b2=a2-b2,故等式恒成立.
综上,故选 B.
2.已知 a,b 为单位向量,其夹角为 60°,则(2a-b)·b=( )
A.-1
B.0
C.1
D.2
答案 B
解析由已知得|a|=|b|=1,a 与 b 的夹角 θ=60°,
则(2a-b)·b=2a·b-b2
=2|a||b|cos θ-|b|2
=2×1×1×cos 60°-12=0,故选 B.
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3.已知向量 a,b 满足|a|=2,|b|=1,(a+b)·b=0,则向量 a,b 的夹角为( )
A.30°
B.60°
C.150°
D.120°
答案 D
解析设向量 a,b 的夹角为 θ,则(a+b)·b=a·b+b2=|a|·|b|cos θ+|b|2=0,
10.已知 A(1,2),B(3,4),C(-2,2),D(-3,5),则向量������������在向量������������方向上的投影为 .
2 10
答案 5
解析由 A(1,2),B(3,4),C(-2,2),D(-3,5),得������������=(2,2),������������=(-1,3),������������·������������=2×(-1)+2×3=4,|������������|= 1 + 9 = 10,
答案 B
解析 A 项,设向量 a 与 b 的夹角为 θ,则 a·b=|a||b|cos θ≤|a||b|,所以不等式恒成立;
B 项,当 a 与 b 同向时,|a-b|=||a|-|b||;当 a 与 b 非零且反向时,|a-b|=|a|+|b|>||a|-|b||.
故不等式不恒成立;
C 项,(a+b)2=|a+b|2 恒成立;
9.已知向量 a=(1, 3),b=( 3,1),则 a 与 b 的夹角的大小为 .
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π
答案 6
������·������ 2 3 3
π
解析设 a 与 b 的夹角为 θ,则 cos θ=|������||������| = 2 × 2 = 2 ,且两个向量夹角范围是[0,π],故所求的夹角为6.
∴AD= 5 = 5 .∴������������ = 5 = 5.
4
4
4
∴������������ = 5������������ = 5(������������ ‒ ������������)=5(a-b),故选 D.
7.设向量 a 与 b 的夹角为 θ,且 a=(-2,1),a+2b=(2,3),则 cos θ=( )
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考点规范练 27 平面向量的数量积与平面向量 的应用
考点规范练 A 册第 18 页
基础巩固
1.对任意平面向量 a,b,下列关系式不恒成立的是( )
A.|a·b|≤|a||b|
B.|a-b|≤||a|-|b||
C.(a+b)2=|a+b|2 D.(a+b)·(a-b)=a2-b2
1
答案4
解析∵e1,e2 是夹角为 60°的两个单位向量,
1
∴|e1|=|e2|=1,e1·e2=2.
1
1
∴四边形 ABCD 的面积为2|������������||������������|=2 ×

20=5.
6.在△ABC 中,边 AB 上的高为 CD.若������������=a,������������=b,a·b=0,|a|=1,|b|=2,则������������=( )
11
A.3a-3b
即 2×1×cos θ=-1,
1
所以 cos θ=-2.
又 θ∈[0°,180°],所以 θ=120°,故选 D.
4.已知向量 p=(2,-3),q=(x,6),且 p∥q,则|p+q|的值为( )
A. 5
B. 13
C.5
D.13
答案 B
解析由题意,得 2×6+3x=0,解得 x=-4.|p+q|=|(2,-3)+(-4,6)|=|(-2,3)|= 13.
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