3.2.2 奇偶性(学生版)

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3.2.2奇偶性
【知识梳理】
知识点一
函数奇偶性的定义
前提条件:奇(偶)函数的定义域关于原点对称.
奇偶性定义
图象特点偶函数
一般地,设函数f (x )的定义域为I ,如果∀x ∈I ,都有-x ∈I ,且f (-x )=f (x ),那么函数f (x )就叫做偶函数关于y 轴对称
奇函数一般地,设函数f (x )的定义域为I ,如果∀x ∈I ,都有-x ∈I ,且f (-x )=-f (x ),那么函数f (x )就叫做奇函数
关于原点对称
知识点二用奇偶性求解析式
如果已知函数的奇偶性和一个区间[a ,b ]上的解析式,想求关于原点的对称区间[-b ,-a ]上的解析式,其解决思路为:
(1)“求谁设谁”,即在哪个区间上求解析式,x 就应在哪个区间上设.(2)要利用已知区间的解析式进行代入.
(3)利用f (x )的奇偶性写出-f (x )或f (-x ),从而解出f (x ).
知识点三奇偶性与单调性
若函数f (x )为奇函数,则f (x )在关于原点对称的两个区间[a ,b ]和[-b ,-a ]上具有相同的单调性;若函数f (x )为偶函数,则f (x )在关于原点对称的两个区间[a ,b ]和[-b ,-a ]上具有相反的单调性.
【基础自测】
1.下列函数中奇函数的个数为()
①f (x )=x 3;②f (x )=x 5;③f (x )=x +1
x ;
④f (x )=1
x
2.
A .1
B .2
C .3
D .4
2.设函数f (x )2+x ,x ≥0,(x ),x <0,
且f (x )为偶函数,则g (-2)等于(
)
A .6
B .-6
C .2
D .-2
3.若f (x )=(x +a )(x -4)为偶函数,则实数a =________.
4.函数f (x )为偶函数,若x >0时,f (x )=x ,则x <0时,f (x )=________.
5.已知偶函数f (x )在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f (2x -1)<f
x 的取值范围是________.
【例题详解】
一、判断函数的奇偶性例1
判断下列函数的奇偶性:
(1)f (x )=x 3+x 5;(2)f (x )=|x +1|+|x -1|;(3)f (x )=2x 2+2x
x +1
.
(4)()33
f x x =
+-;(5)(
)(1f x x =-
(6)(
)f x =(7)()2223,00,0
23,0x x x f x x x x x ⎧-+>⎪
==⎨⎪---<⎩
.(8)(多选)已知()y f x =是定义在R 上的偶函数,但不是奇函数,则下列函数中为偶函数的有(

A .()y f x =
B .()=y xf x
C .()()
y f x f x =+-D .()y f x x
=+跟踪训练1判断下列函数的奇偶性
(1)1()f x x x
=+
;(2)()2||f x x =-;
(3)()f x =;(4)()1
x
f x x =
-;(5)()()(
)2
2
54,61
54,16x x f x x x ⎧+--<≤-⎪=⎨--≤<⎪⎩.(6)设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是()
A .f (x )+|g (x )|是偶函数
B .f (x )-|g (x )|是奇函数
C .|f (x )|+g (x )是偶函数
D .|f (x )|-g (x )是奇函数
二、由奇偶性求解析式
命题角度1求对称区间上的解析式例2
(1)已知()y f x =是奇函数,当0x <时,()()1f x x x =-+,则当0x >时,()f x =(

A .()
1x x -B .()
1x x -+C .()
1x x --D .()
1x x +(2)已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且当0x ≥时,()(1)f x x x =-+.求当0x <时,()f x 的解析式.
(3)已知f (x )是R 上的奇函数,且当x ∈(0,+∞)时,f (x )=x (1+x ),求f (x )的解析式.
跟踪训练2
(1)若函数()f x 为R 上的奇函数,当0x >时,()32
f x x x =+,则当0x <时,()f x =______.
(2)若函数()f x 是定义在R 上的偶函数,当0x ≥时,()()12f x x x =+-.则当0x <时,()f x =______,若()()12f m f m +<-,则实数m 的取值范围是_______.
(3)已知()f x 是定义在R 上的偶函数,当0x ≥时,2()23f x x x =-.(i)求()f x 在(,0)-∞上的解析式;(ii)解不等式()2f x <.
命题角度2构造方程组求解析式
例3
若定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足2()()31f x g x x x +=++.则()f x =_______.
跟踪训练3设f (x )是偶函数,g (x )是奇函数,且f (x )+g (x )=
1
x -1
,求函数f (x ),g (x )的解析式.三、由奇偶性求参数例4
(1)若函数(),0
()(2),0x x b x f x ax x x -≥⎧=⎨+<⎩
,(a ,b ∈R )为奇函数,则()f a b +的值为(

A .2-
B .1
-C .1
D .4
(2)若函数()(21)()
x
f x x x a =
+-为奇函数,则(1)f =___________.
(3)已知2()(3)f x ax b x b =+++是定义在[3,2]a a -上的偶函数,则a b +=________.
跟踪训练4
(1)已知定义域为[12,1]a a -+的奇函数32()(1)f x x b x x =+-+,则a b +=_______.
(2)若函数21
x
x
y a =+是偶函数,则正数a 的值为________.四、利用函数的奇偶性与单调性比较大小例5
(1)若偶函数()f x 在(],1∞--上是增函数,则(

A .()()
3
122f f f ⎛⎫
-<-< ⎪⎝⎭
B .()()3212
f f f ⎛⎫
<-<- ⎪⎝

C .()()3212f f f ⎛⎫
<-<- ⎪
⎝⎭
D .()()3122
f f f ⎛⎫
-<-< ⎪⎝

(2)定义在R 上的偶函数()f x 满足:
对任意的[)()12120,,x x x x ∈+∞≠,有()()
2121
0f x f x x x -<-,则()2f -、()2.7f 、
()3f -的大小关系为(

A .()()()2.732f f f <-<-
B .()()()2 2.73f f f -<<-
C .()()()
32 2.7f f f -<-<D .()()()
3 2.72f f f -<<-
(3)定义在R 上的奇函数f (x )为增函数,偶函数g (x )在区间[0,+∞)上的图象与f (x )的图象重合,设a >b >0,下列不等式中成立的有________.(填序号)①f (a )>f (-b );②f (-a )>f (b );③g (a )>g (-b );④g (-a )<g (b );
⑤g (-a )>f (-a ).
跟踪训练5(1)设偶函数f (x )的定义域为R ,当x ∈[0,+∞)时,f (x )是增函数,则f (-2),f (π),f (-3)的大小关系是(
)
A .f (π)>f (-3)>f (-2)
B .f (π)>f (-2)>f (-3)
C .f (π)<f (-3)<f (-2)
D .f (π)<f (-2)<f (-3)
(2)已知偶函数f (x )在[0,+∞)上单调递减,则f (1)和f (-10)的大小关系为()
A .f (1)>f (-10)
B .f (1)<f (-10)
C .f (1)=f (-10)
D .f (1)和f (-10)关系不定
五、由函数奇偶性解不等式例6
(1)已知函数()f x 为偶函数,当[)0,x ∈+∞时,()1f x x =-,则()0x f x ⋅<的解集是(

A .{}1x x >-
B .{}1x x <
C .{01x x <<或}
1x <-D .{}
11x x -<<(2)设()f x 是定义在R 上的偶函数,且在[)0,∞+单调递增,则()()14f x f -<的解集为()
A .()
,5-∞B .()
3,5-C .()
2,4-D .()
0,4(3)已知()y f x =是R 上的奇函数,且当0x >时,()2
3f x x x =-,则不等式()0f x ≤的解集为______.
跟踪训练6
(1)已知函数()24
4
x f x x +=,若()()132f a f a +<-,则实数a 的取值范围是()
A .2,3⎛
⎫-∞ ⎪

⎭B .233,,4322⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
C .()
4,+∞D .()
2,4,3⎛
⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝
⎭(2)已知()f x 是定义在R 上的奇函数,且对任意()12,,0x x ∈-∞且12x x ≠,都有()()
1212
0f x f x x x -<-,若()10f =,
则不等式()0xf x <的解集为________.
(3)已知函数()32
f x x bx x =++为定义在[]21,3a a --上的奇函数,则不等式()()210f x f x b ++->的解集为
__________.
六、函数奇偶性的应用例7
已知函数f (x )对∀x ,y ∈R ,都有f (x +y )=f (x )+f (y ),当x <0时,f (x )>0,且f (1)=-2.
(1)证明函数f (x )在R 上的奇偶性;(2)证明函数f (x )在R 上的单调性;
(3)当x ∈[1,2]时,不等式f (x 2-mx )+f (x )<4恒成立,求实数m 的取值范围.
跟踪训练7
已知函数f (x )对于任意x ,y ∈R ,总有f (x )+f (y )=f (x +y ),且当x >0时,f (x )<0,f (1)=-23
.
(1)求证:f (x )是奇函数;(2)求证:f (x )在R 上是减函数;
(3)求f (x )在[-3,3]上的最大值和最小值.
【课堂巩固】
1.下列图象中,不可能是()()1
R f x ax a x
=+
∈的图象的是()
A .
B .
C .
D .
2.函数()f x =)
A .
B .
C .
D .
3.若函数2()(2)23f x ax a b x a =++-+是定义在()()22,00,3a a -⋃-上的偶函数,则=a ()
A .2
-B .1
-C .1
D .2
4.已知()f x 是偶函数,当0x ≥时,()2
2f x x x =-,若()3f a =,则=a (

A .1±
B .3±
C .1-或3
D .1±或3
±
5.若定义在R 上的函数()f x 为奇函数,且()f x 在(),0∞-上单调递增,()10f =,则()0xf x ≥的解集为()
A .[][)1,01,-⋃+∞
B .[]
1,1-C .(][)
,11,-∞-⋃+∞D .(][){}
,11,0-∞-+∞⋃ 6.若奇函数()f x 在()0,∞+单调递增,且()10f =,则满足()
02
f x x <-的x 的取值范围是()
A .()(),10,1-∞-⋃
B .()()1,02,-⋃+∞
C .()()
1,01,-⋃+∞D .()()
1,01,2- 7.若()11
e 1
x a f x +=+-为奇函数,则实数=a ______.
8.函数()f x 是偶函数,当0x ≥时,()(1)f x x x =+,则(1)f -=________.
9.已知()f x 是偶函数,当0x ≥时,()2
2f x x x =-,则当0x <时,()f x 的解析式为______,不等式
()
0f x x
<的解集是______.
10.已知函数()211
202320233
x x
f x x =+
-+,则不等式()()12f x f x +>的解集为______.11.定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()e x
f x
g x +=,当()0,x ∈+∞时,()()2g x kf x ≥恒成
立,则实数k 的取值范围______.
12.已知函数()21ax b
f x x +=
+是定义在()1,1-上的奇函数,且12
25
f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.求,a b 的值.13.已知定义在R 上的偶函数()f x ,当0x ≥时,2()43f x x x =-+.(1)求函数()f x 在R 上的解析式;
(2)若函数()f x 在区间[]1
2a --,上单调递增,求实数a 的取值范围.【课时作业】
1.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是增函数的是()
A .21y x =-+
B .2(1)y x =-
C .3
y x =D .1
y x
=
2.已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数,当0x ≥时,()(2
1f x x =-,则当0x <时,()f x 的表达
式是()
A .(2
1x B .(2
1x --C .(2
1x D .(2
1x -+3.()2
f x ax bx =+是定义在[]1,2a a -上的偶函数,那么()f x 的最小值是(

A .1
B .
43
C .
427
D .0
4.函数()221x
f x x =-的图象大致为()
A .
B .
C .
D .
5.已知函数()f x 是R 上的偶函数,当0x ≥时()1f x x =-,则不等式()0xf x <的解集是()A .()()∞+⋃,10,1-B .(,1)(0,1)-∞- C .(,1)(1,)-∞-+∞ D .(1,1)-6.已知函数()f x 的定义域为R ,若函数()2f x x -为偶函数,函数()2f x x -为奇函数,则()1f =()
A .1
B .3
C .1-
D .3-7.定义在R 上的偶函数()f x 在(0,)+∞上是减函数,则下列判断正确的是()A .311224f f f ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B .113422f f f ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
C .311242f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
<<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D .131224f f f ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
-<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
8.函数()()()2e e -=-++x x f x ax bx c 是偶函数的充分必要条件是().
A .0b =
B .0
ac =C .0a =且0c =D .0a =,0c =且0
b ≠
9.已知定义在R 上的偶函数()f x 在(],0-∞上是增函数,且()10f -=,则使()0f x >的x 的取值范围是()A .()1,0-B .()0,1C .()1,1-D .()(),11,-∞-⋃+∞10.已知函数()y f x =是R 上的奇函数,且是(,0)-∞上的严格减函数,若(1)0f =,则满足不等式(1)()0x f x ->的x 的取值范围为(
)A .(,1)-∞-B .(1,0)-C .(0,1)D .(1,)+∞11.(多选)下列函数中是偶函数,且在(1,)+∞为增函数的是(
)A .()||
f x x =B .2()23f x x x =--C .2()2||1f x x x =--D .1,0()1,0
x x f x x x -+<⎧=⎨+>⎩12.(多选)已知函数()f x 是偶函数,在区间()0,∞+上单调递增,下列结论正确的有()
A .()()
12f f <B .()()32f f ->-C .若()()2f x f =,则2x =或2-D .若()()1f a f >,则1a >13.已知函数()22x x m f x m
-=+是奇函数,则()f m =____________;14.已知函数()()()2223f x x x x ax b =--++是偶函数,则()f x 的值域是__________.
15.设函数()f x 是定义在R 上的偶函数,记2()()g x f x x =-,且函数()g x 在区间[0,)+∞上是增函数,则不等式2(2)(2)4f x f x x +->+的解集为_____
16.若函数()f x 是定义在()1,1-上的奇函数,当()1,0x ∈-时,()31f x x =-,则函数()f x 的解析式为
_________;若函数()f x 是定义在()1,1-上的偶函数,且在(]1,0-上为增函数.则不等式()1212f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝
⎭的解集为_________.
17.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,当0x ≥时,()22f x x x =-.
(1)求函数()f x 的增区间;
(2)求出函数()f x 在R 上的解析式;
(3)若函数()()22g x f x ax =-+,[]1,2x ∈,求函数()g x 的最小值.18.设a 为实数,函数()()20a f x x x x
=+
≠.(1)讨论函数()f x 的奇偶性;(2)当2a =时,证明:函数()f x 在区间()1,+∞上单调递增;
(3)在(2)的条件下,若[]1,5x ∃∈,使()22f x m m <-成立,求实数m 的取值范围.
19.已知函数()f x 是定义在[]3,3-上的奇函数,当03x <≤时,()212
f x x x =
+.
(1)求()1f -.
(2)求函数()f x 的解析式.
(3)若()()31210f a f a ++->,求实数a 的取值范围.20.已知函数()f x 对任意实数x y 、恒有()()()f x y f x f y +=+,当0x >时()0f x <,且()12f -=.
(1)求()f x 在区间[]2,4-上的最小值;
(2)若()222f x m am <-+对所有的][1,1,1,1x a ⎡⎤∈-∈-⎣⎦恒成立,求实数m 的取值范围.。

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