绝对值与相反数-【帮课堂】2022-2023学年七年级数学上册同步精品讲义(苏科版)(原卷版)

绝对值与相反数
知识点一、绝对值
在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值. 数a“a的绝
对值”.
1.因为距离不可能为负，所以一个数的绝对值都是非负数；
2.数轴上表示一个数的点离原点越远，这个数的绝对值就越大，反之，数轴上表示一个数的点离原点越近，这个数的绝对值就越小；
3.数轴上表示0的点到原点的距离为0
绝对值图示：
例：如果|x|＝6，|y|＝4，且x＜y．试求x、y的值.
【解答】见解析
【解析】因为|x|＝6，所以x＝6或x＝－6；
因为|y|＝4，所以y＝4或y＝－4；
由于x＜y，故x只能是－6，因此x＝－6，y＝±4.
知识点二、相反数
1.相反数的定义：符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数，其中一个数叫做另一个数的相反数.（1）0的相反数是0；
（2）相反数是成对出现的，单独的一个数不能说是相反数（类似倒数）.
2.相反数的几何意义：在数轴上位于原点两侧且到原点的距离相等的两个点所表示的数互为相反数.（1）数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等；
（2）数轴上与原点距离是a（a是一个正数）的点有两个，分别在原点的左右两边，它们表示的数互为相反数.
3.相反数的性质
任何数都有相反数，且仅有一个．正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0．
4.相反数的特征
若a与b互为相反数，则a＝－b，反之，若a＝－b，则a与b互为相反数.
（1）求一个数或一个字母的相反数，只要在它的前面添上“－”号即可；
（2）求一个式子的相反数，要在这个式子整体前面添上“－”，如a－b的相反数为－（a－b），括号不要忘记了！
例：下列说法中，正确的是（）
A. 0没有相反数
B. －0.5的相反数是
C. 的相反数是2
D. 1是相反数
【解答】B
【解析】A选项0有相反数，0的相反数就是0；
C选项互为相反数的两个数要满足符号不同，数字部分相同；
D选项相反数是成对出现的，单独的一个数不能说是相反数.
故B选项正确.
知识点三、多重符号化简
1.相反数的定义是多重符号化简的依据，如－（－1）表示－1的相反数，所以－（－1）＝1；
2.由相反数的性质由内向外化简，当最前面的符号是“＋”时，可省略，当最前面的符号是“－”时，去掉“－”号，写出括号内的相反数；
3.先省略所有的“＋”号，用“－”号的个数去掉结果的符号，当“－”号的个数是偶数时，化简的结果为正数；当“－”号的个数是奇数时，化简的结果为负数.
4.多重符号化简后，最终的结果符号是由“－”号的个数决定的，与“＋”号的个数无关.
例：化简
【解答】
【解析】
知识点四、绝对值的性质
1.绝对值的性质
正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0，即
2.绝对值的非负性
对于任何一个有理数a
（1）若几个非负数的和为0，则每个加数分别为0；
（2）绝对值是某个正数的数有两个，且它们互为相反数.
知识点五、比较有理数的大小
在上个专题中，讲解了用数轴比较有理数的大小，这个专题中我们将学习利用绝对值比较有理数的大小. 先将有理数进行分类，然后分别比较大小.
1.正数比较大小，绝对值大的正数大；
2.负数比较大小，绝对值大的负数小；
3.正数要大于负数；
4.正数大于0，负数小于0.
例：比较.
【解答】
【解析】将
两个都是负数，我们可以比较它们的绝对值大小，
巩固练习
一．选择题
1．﹣2023的绝对值等于（ ）
A．﹣2023B．2023C．±2023D．2022
2．化简|―1
2
|，下列结果中，正确的是（ ）
A．1
2B．―1
2
C．2D．﹣2
3．若x的相反数是2022，则x的值是（ ）
A．2022B．1
2022C．﹣2022D．―1
2022
4．如果实数a与3互为相反数，那么a是（ ）
A．1
3B．―1
3
C．3D．﹣3
5．下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．|+1|与|﹣1|B．﹣（﹣1）与1C．|﹣（﹣3）|与﹣|﹣3|D．﹣|+2|与+（﹣2）6．如图，a，b是数轴上的两个有理数，下面说法中正确的是（ ）
A．a＞b B．b＞a C．|a|＞|b|D．|b|＞|a|
7．若|﹣a|＝2，|2b|＝6，那么b﹣2a的值是（ ）
A．1或7B．±1C．±7D．±1或±7
8．已知0≤a≤4，那么|a﹣2|+|3﹣a|的最大值与最小值的和等于（ ）
A．1B．5C．8D．6
二．填空题
9．已知|6x﹣2|＝2﹣6x，则x的取值范围是 ．
10．比较大小：﹣（﹣13
5
） ﹣|﹣1.35|．（填“＜”、“＞”或“＝”）
11．π﹣1的相反数是 ．
12．已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：|2a+b|﹣|2c﹣b|﹣|c﹣a|＝ ．
13．绝对值小于2.5的非负整数有 ．
14．（1）如果一个数的绝对值等于2021，那么这个数是 ；
（2）若|2+x|﹣1＝7，则x＝ ．
三．解答题
15．化简下列各数：
（1）﹣（+3.5）;（2）﹣{﹣[+（―2
3
）]}．
16．化简下列各数：
①+（﹣3）；②﹣（+5）；③﹣（﹣3.4）；④﹣[+（﹣8）]；⑤﹣[﹣（﹣9）]．
17．若|x+3|+|y﹣5|＝0，那么x+y的值是多少？
18．已知|x|＝3，|y|＝7．
（1）若x＜y，求x+y的值；
（2）若xy＜0，求x﹣y的值．
19．请根据图示的对话解答下列问题．
（1）a＝ ，b＝ ．
（2）已知|m﹣a|+|b+n|＝0，求mn的绝对值．
20．如图，图中数轴的单位长度为1．请回答下列问题：
（1）如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是 ；
（2）如果点B、E表示的数是互为相反数，那么点|D|＝ ；
求出此时图中表示的5个点所表示的有理数（填在表格中）．哪一个点表示的数的绝对值最小，是多少？
点A B C D E
对应数
21．已知表示数a的点在数轴上的位置如图所示．
（1）在数轴上表示出a的相反数的位置．
（2）若数a与其相反数相距20个单位长度，则a表示的数是多少？
（3）在（2）的条件下，若数b表示的数与数a的相反数表示的点相距5个单位长度，求b表示的数是多少？
22．已知a为整数
（1）|a|能取最 （填“大”或“小”）值是 ．此时a＝ ．
（2）|a|+2能取最 （填“大”或“小”）值是 ．此时a＝ ．
（3）2﹣|a﹣1|能取最 （填“大”或“小”）值是 ．此时a＝ ．
（4）|a﹣1|+|a+2|能取最 （填“大”或“小”）值是 ．此时a＝ ．
23．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且|a|＝|b|，化简|c﹣a|+|c﹣b|+|a+b|．
24．先阅读，后探究相关的问题
【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|可以看作|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
（1）如图，先在数轴上画出表示点2.5的相反数的点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则点B和点C表示的数分别为 和 ，B，C两点间的距离是 ；
（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离表示为 ；如果|AB|＝3，那么x为 ；（3）若点A表示的整数为x，则当x为 时，|x+4|与|x﹣2|的值相等；
（4）要使代数式|x+5|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是 ．。