成都市龙泉二中2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案

成都市龙泉二中2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1． 设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4232()a a a =+，则7
4
S a =（ ） A ．
74 B ．14
5
C ．7
D ．14 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式及其前n 项和，意在考查运算求解能力.
2． 设a ，b
为正实数，11
a b
+≤23()4()a b ab -=，则log a b =（ ） A.0
B.1-
C.1 D .1-或0
【命题意图】本题考查基本不等式与对数的运算性质等基础知识，意在考查代数变形能与运算求解能力. 3． 已知集合
，则
A0或 B0或3
C1
或
D1或3
4． 为得到函数sin 2y x =-的图象，可将函数sin 23y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图象（ ）
A ．向左平移3
π
个单位 B ．向左平移
6π
个单位 C.向右平移
3
π
个单位
D ．向右平移23
π
个单位
5． 在ABC ∆中，若60A ∠=，45B ∠=
，BC =AC =（ ） A
． B
．
C.
D
．
2
6． 在ABC ∆中，2
2
tan sin tan sin A B B A =，那么ABC ∆一定是（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰三角形或直角三角形 7． 运行如图所示的程序框图，输出的所有实数对（x ，y ）所对应的点都在某函数图象上，则该函数的解析式为（ ）
A ．y=x+2
B ．y=
C ．y=3x
D ．y=3x 3
8． 已知函数()sin()(,0)4
f x x x R π
ωω=+
∈>的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ω=的图象，只
要将()y f x =的图象（ ）
A ．向左平移
8π个单位长度 B ．向右平移8π
个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4
π
个单位长度
9． 给出下列命题：①多面体是若干个平面多边形所围成的图形；②有一个平面是多边形，其余各 面是三角形的几何体是棱锥；③有两个面是相同边数的多边形，其余各面是梯形的多面体是棱台．其中 正确命题的个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
10．若函数()()22f x x πϕϕ⎛
⎫=+< ⎪⎝
⎭的图象关于直线12x π=对称，且当
1217212
3x x π
π⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，，，12x x ≠时，()()12f x f x =，则()12f x x +等于（ ）
A
B D 11．如图所示，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A ．4 B ．8
C ．12
D ．20
【命题意图】本题考查三视图、几何体的体积等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力． 12．函数()f x 在定义域R 上的导函数是'
()f x ，若()(2)f x f x =-，且当(,1)x ∈-∞时，'
(1)()0x f x -<，设(0)a f =
，b f =，2(log 8)c f =，则（ ）
A ．a b c <<
B ．a b c >>
C ．c a b <<
D ．a c b <<
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）
13．一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为2cm 和4cm ,侧棱长为2cm ,
则其
表面积为__________2cm .
14．设集合 {}{}
22|27150,|0A x x x B x x ax b =+-<=++≤,满足
A B =∅,{}|52A B x x =-<≤,求实数a =__________.
15．已知tan 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则
42sin cos 335cos sin 66ππααππαα⎛⎫⎛⎫
++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ .
16．设函数3
2
()(1)f x x a x ax =+++有两个不同的极值点1x ，2x ，且对不等式12()()0f x f x +≤ 恒成立，则实数的取值范围是 ．
三、解答题（本大共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
17．（本小题满分12分）
设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率12e =，圆22
127x y +=与直线1x y a b
+=相切，O 为坐标原
点.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点(4,0)Q -任作一直线交椭圆C 于,M N 两点，记MQ QN λ=，若在线段MN 上取一点R ,使
得MR RN λ=-，试判断当直线运动时，点R 是否在某一定直一上运动？若是，请求出该定直线的方 程；若不是，请说明理由.
18．某实验室一天的温度（单位：
）随时间（单位;h ）的变化近似满足函数关系；
(1) 求实验室这一天的最大温差； (2) 若要求实验室温度不高于
，则在哪段时间实验室需要降温？
19．（本小题满分12分）
如图长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16， BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝4，D 1F ＝8，过点E ，F ，C 的平面α与长方体的面
相交，交线围成一个四边形．
（1）在图中画出这个四边形（不必说明画法和理由）； （2）求平面α将长方体分成的两部分体积之比．
20．（本小题满分12分）
在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，1)cos 2cos a B b A c -=， （Ⅰ）求
tan tan A
B
的值；
（Ⅱ）若a =4
B π
=
，求ABC ∆的面积．
21．（本题满分15分）
如图AB 是圆O 的直径，C 是弧AB 上一点，VC 垂直圆O 所在平面，D ，E 分别为VA ，VC 的中点. （1）求证：DE ⊥平面VBC ；
（2）若6VC CA ==，圆O 的半径为5，求BE 与平面BCD 所成角的正弦值.
【命题意图】本题考查空间点、线、面位置关系，线面等基础知识，意在考查空间想象能力和运算求解能力．
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C 的参数方程为⎩⎨
⎧==α
αsin cos 2y x （α为参数），过点)0,1(P 的直线交曲线C 于B A 、两点.
（1）将曲线C 的参数方程化为普通方程； （2）求||||PB PA ⋅的最值.
成都市龙泉二中2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案（参考答案） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1． 【答案】C.
【解析】根据等差数列的性质，4231112()32(2)a a a a d a d a d =+⇒+=+++，化简得1a d =-，∴17
4
176
7142732a d
S d a a d d
⋅+
===+，故选C.
2． 【答案】B.
【解析】2
3
2
3
()4()()44()a b ab a b ab ab -=⇒+=+
，故
11a b
a b ab
++≤⇒≤2322
()44()1184()82()()a b ab ab ab ab ab ab ab ab ++⇒≤⇒=+≤⇒+≤
，而事实上12ab ab +≥=， ∴1ab =，∴log 1
a b
=-，故选B.
3． 【答案】B 【解析】
，
，故
或
，解得
或
或
，又根据集合元素的互异性
，所以
或。

4． 【答案】C 【解析】
试题分析：将函数sin 23y x π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位，得2sin 2sin 233y x x ππ⎛
⎫=-
-=- ⎪⎝
⎭的图象，故选C ．
考点：图象的平移. 5． 【答案】B 【解析】
考点：正弦定理的应用.
6． 【答案】D 【解析】
试题分析：在ABC ∆中，2
2
tan sin tan sin A B B A =，化简得
22sin sin sin sin cos cos A B
B A A B
=，解得 sin sin sin cos sin cos cos cos B A
A A
B B A B =⇒=，即s i n 2s i n 2
A B =，
所以22A B =或22A B π=-，即A B =或2
A B π
+=
，所以三角形为等腰三角形或直角三角形，故选D ．
考点：三角形形状的判定．
【方法点晴】本题主要考查了三角形形状的判定，其中解答中涉及到二倍角的正弦、余弦函数公式、以及同角三角函数基本关系的运用，其中熟练掌握三角恒等变换的公式是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中得出sin 2sin 2A B =，从而得到A B =或2
A B π
+=是试
题的一个难点，属于中档试题． 7． 【答案】 C
【解析】解：模拟程序框图的运行过程，得； 该程序运行后输出的是实数对
（1，3），（2，9），（3，27），（4，81）；
这组数对对应的点在函数y=3x
的图象上．
故选：C ．
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题目．
8． 【答案】A 【解析】
试题分析：由()f x 的最小正周期是π，得2ω=，即()sin(2)4f x x π
=+sin 2()8
x π
=+，因此它的图象可由()sin 2g x x =的图象向左平移
8
π
个单位得到．故选A ． 考点：函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象与性质． 【名师点睛】三角函数图象变换方法：
9．【答案】B
【解析】111]
试题分析：由题意得，根据几何体的性质和结构特征可知，多面体是若干个平面多边形所围成的图形是正确的，故选B．
考点：几何体的结构特征．
10．【答案】C
【解析】
考点：函数的图象与性质.
【方法点晴】本题主要考查函数的图象与性质，涉及数形结合思想、函数与方程思想、转化化归思想，考查逻
辑推理能力、化归能力和计算能力，综合程度高，属于较难题型．首先利用数形结合思想和转化化归思想可得
()
2122k k π
π
ϕπ⨯
+=
+∈Z ，解得3π
ϕ=
，从而()23f x x π⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭，再次利用数形结合思想和转化化归思想
可得()()()()1122x f x x f x ，，，关于直线1112x π=-对称，可得12116
x x π
+=-，从而
()
12113
3f x x ππ⎛⎫
+=-+= ⎪⎝⎭．
11．【答案】C
【解析】由三视图可知该几何体是四棱锥，且底面为长6，宽2的矩形，高为3，所以此四棱锥体积为
123123
1
=⨯⨯，故选C. 12．【答案】C 【解析】
考点：函数的对称性，导数与单调性．
【名师点睛】函数的图象是研究函数性质的一个重要工具，通过函数的图象研究问题是数形结合思想应用的不
可或缺的重要一环，因此掌握函数的图象的性质是我们在平常学习中要重点注意的，如函数()f x 满足：
()()f a x f a x +=-或()(2)f x f a x =-，则其图象关于直线x a =对称，如满足(2)2()f m x n f x -=-，
则其图象关于点(,)m n 对称．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）
13．【答案】20 【解析】
考点：棱台的表面积的求解.
14．【答案】
7
,3
2
a b
=-=
【解析】
考点：一元二次不等式的解法；集合的运算.
【方法点晴】本题主要考查了集合的综合运算问题，其中解答中涉及到一元二次不等式的解法、集合的交集和集合的并集的运算、以及一元二次方程中韦达定理的应用，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，同时考查了转化与化归思想的应用，其中一元二次不等式的求解是解答的关键. 15．【答案】3-
【解析】
考点：三角恒等变换.1111]
【方法点晴】本题主要考查三角恒等变换，涉及转化化归思想和换元思想，考查逻辑推理能力、化归能力，具
有一定的综合性，属于较难题型. 首先利用换元思想设3
π
θα=+，从而将已知条件化简为tan 2θ=．从而将所
求式子转化为
()()sin cos cos sin 22πθπθππθθ++-⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，进而化为sin cos sin cos θθ
θθ
+-
-，然后分子分母同除以cos θ将弦化切得
tan 1
3tan 1
θθ+-
=--. 1111]
16．【答案】1(,1],22⎡⎤-∞-⎢⎥⎣⎦
【解析】
试题分析：因为12()()0f x f x +≤,故得不等式()()
()3322
12121210x x a x x a x x ++++++≤,即
()()
()()()2
2
1212121212123120x x x x x x a x x x x a x x ⎡⎤⎡⎤++-+++-++≤⎣⎦⎣⎦
,由于
()()2'321f x x a x a =+++,令()'0f x =得方程()23210x a x a +++=,因()2410a a ∆=-+> , 故
()12122133x x a a x x ⎧
+=-+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
，代入前面不等式,并化简得()1a +()2
2520a a -+≥,解不等式得1a ≤-或122a ≤≤，因此, 当1a ≤-或122a ≤≤时, 不等式()()120f x f x +≤成立,故答案为1(,1],22⎡⎤
-∞-⎢⎥⎣⎦
.
考点：1、利用导数研究函数的极值点；2、韦达定理及高次不等式的解法.
【思路点晴】本题主要考查利用导数研究函数的极值点、韦达定理及高次不等式的解法，属于难题.要解答本题首先利用求导法则求出函数()f x 的到函数，令()'0f x =考虑判别式大于零，根据韦达定理求出1212,x x x x +的值，代入不等式12()()0f x f x +≤，得到关于的高次不等式，再利用“穿针引线”即可求得实
数的取值范围.111]
三、解答题（本大共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
17．【答案】（1）22
143
x y +=；（2）点R 在定直线1x =-上. 【解析】
试
题解析：
（1）由12e =，∴2214e a =，∴22
34a b =
=
，
解得2,a b ==，所以椭圆C 的方程为22
143
x y +=
.
设点R 的坐标为00(,)x y ，则由MR RN λ=-⋅，得0120()x x x x λ-=--，
解得112
12
21212011224
424()
41()814
x x x x x x x x x x x x x x x λλ
++
⋅-+++=
==+-+++
+
又221212222
64123224
24()24343434k k x x x x k k k
---++=⨯+⨯=+++， 21222
3224
()883434k x x k k -++=+=++，从而12120
1224()1()8x x x x x x x ++==-++， 故点R 在定直线1x =-上.
考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系. 18．【答案】
【解析】（1）∵f （t ）=10﹣=10﹣2sin （
t+
），t ∈[0，24），
∴≤t+＜
，故当
t+
=
时，函数取得最大值为10+2=12，
当
t+
=
时，函数取得最小值为10﹣2=8，
故实验室这一天的最大温差为12﹣8=4℃。

（2）由题意可得，当f （t ）＞11时，需要降温，由（Ⅰ）可得f （t ）=10﹣2sin （t+），
由10﹣2sin （t+
）＞11，求得sin （
t+
）＜﹣，即
≤
t+
＜
，
解得10＜t ＜18，即在10时到18时，需要降温。

19．【答案】 【解析】解：
（1）交线围成的四边形EFCG （如图所示）． （2）∵平面A 1B 1C 1D 1∥平面ABCD ， 平面A 1B 1C 1D 1∩α＝EF ， 平面ABCD ∩α＝GC ， ∴EF ∥GC ，同理EG ∥FC . ∴四边形EFCG 为平行四边形， 过E 作EM ⊥D 1F ，垂足为M ， ∴EM ＝BC ＝10，
∵A 1E ＝4，D 1F ＝8，∴MF ＝4. ∴GC ＝EF ＝
EM 2＋MF 2＝
102＋42＝116，
∴GB ＝GC 2－BC 2＝116－100＝4（事实上Rt △EFM ≌Rt △CGB ）．
过C 1作C 1H ∥FE 交EB 1于H ，连接GH ，则四边形EHC 1F 为平行四边形，由题意知，B 1H ＝EB 1－EH ＝12－8＝4＝GB .
∴平面α将长方体分成的右边部分由三棱柱EHG -FC 1C 与三棱柱HB 1C 1­GBC 两部分组成． 其体积为V 2＝V 三棱柱EHG -FC 1C ＋V 三棱柱HB 1C 1­GBC ＝S △FC 1C ·B 1C 1＋S △GBC ·BB 1 ＝12×8×8×10＋1
2
×4×10×8＝480， ∴平面α将长方体分成的左边部分的体积V 1＝V 长方体－V 2＝16×10×8－480＝800. ∴V 1V 2＝800480＝53
， ∴其体积比为53（3
5也可以）．
20．【答案】
【解析】（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）由1)cos 2cos a B b A c -=及正弦定理得
1)sin cos 2sin cos sin sin cos +cos sin A B B A C A B A B -==， （3分）
cos 3sin cos A B B A =
，∴tan tan A
B
=6分）
（Ⅱ）tan A B ==3
A π
=
，sin 42sin sin 3
a B
b A π
π=
=
=， （8分）
sin sin()4C A B =+=
， （10分） ∴ABC ∆
的面积为111
sin 2(32242
ab C =⨯
=（12分） 21．【答案】（1）详见解析；（2
.
【解析】（1）∵D ，E 分别为VA ，VC 的中点，∴//DE AC ，…………2分 ∵AB 为圆O 的直径，∴AC BC ⊥，…………4分 又∵VC ⊥圆O ，∴VC AC ⊥，…………6分 ∴DE BC ⊥，DE VC ⊥，又∵VC
BC C =，∴DE VBC ⊥面；…………7分
（2）设点E 平面BCD 的距离为d ，由D BCE E BCD V V --=得11
33
BCE BCD DE S d S ∆∆⨯⨯=⨯⨯
，解得
2
d =，…………12分 设BE 与平面BCD 所成角为θ
，∵8BC ==，
BE =sin 146
d BE θ=
=
.…………15分 22．【答案】（1）1222=+y x .（2）||||PB PA ⋅的最大值为，最小值为2
1
. 【解析】
试
题解析：解：（1）曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==α
α
sin cos 2y x （α为参数），消去参数α
得曲线C 的普通方程为12
22
=+y x （3分） （2）由题意知，直线的参数方程为⎩⎨⎧=+=θθsin cos 1t y t x （为参数），将⎩⎨⎧=+=θ
θsin cos 1t y t x 代入1222
=+y x 得01cos 2)sin 2(cos 2
22=-++θθθt t （6分）
设B A ,对应的参数分别为21,t t ，则]1,2
1
[sin 11sin 2cos 1||||||22221∈+=+==⋅θθθt t PB PA .
∴||||PB PA ⋅的最大值为，最小值为2
1
. （10分）
考点：参数方程化成普通方程．。