初三数学培优专题试卷

一、选择题（每题5分，共25分）
1. 下列选项中，不是二次方程的是（）
A. x^2 - 5x + 6 = 0
B. 2x^2 + 3x - 1 = 0
C. x^3 - 2x^2 + 3x - 6 = 0
D. 4x^2 - 4x + 1 = 0
2. 已知一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0（a ≠ 0）的两根为 x1 和 x2，那么下列选项中，正确的是（）
A. x1 + x2 = -b/a
B. x1 x2 = c/a
C. x1^2 + x2^2 = b^2 - 4ac/a
D. x1^2 - x2^2 = (x1 + x2)^2 - 4x1x2
3. 下列函数中，为反比例函数的是（）
A. y = x^2 + 1
B. y = 2x + 3
C. y = 1/x
D. y = 2/x^2
4. 已知等差数列 {an} 的首项为 a1，公差为 d，那么下列选项中，正确的是（）
A. a1 + a2 + a3 = 3a1 + 3d
B. a1 + a2 + a3 = 3a1 + 2d
C. a1 + a2 + a3 = 3a1 + d
D. a1 + a2 + a3 = 3a1
5. 下列选项中，不是等比数列的是（）
A. 2, 4, 8, 16, ...
B. 1, 2, 4, 8, ...
C. 1, 3, 9, 27, ...
D. 1, 3, 6, 9, ...
二、填空题（每题5分，共25分）
6. 已知一元二次方程 x^2 - 4x + 3 = 0，则其两根之和为 __________，两根之
积为 __________。

7. 若反比例函数 y = k/x（k ≠ 0）的图象经过点（2，3），则 k = __________。

8. 等差数列 {an} 的首项为 2，公差为 3，那么第 10 项 an = __________。

9. 等比数列 {an} 的首项为 3，公比为 2，那么第 6 项 an = __________。

10. 若直角三角形的两直角边长分别为 3 和 4，则斜边长为 __________。

三、解答题（每题10分，共40分）
11. 解一元二次方程：x^2 - 6x + 9 = 0。

12. 已知等差数列 {an} 的首项为 3，公差为 2，求第 10 项 an。

13. 已知等比数列 {an} 的首项为 2，公比为 3，求第 6 项 an。

14. 已知直角三角形的两直角边长分别为 5 和 12，求斜边长。

四、综合题（每题15分，共30分）
15. 已知一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0（a ≠ 0）的两根为 x1 和 x2，且满
足 x1 + x2 = -b/a，x1 x2 = c/a，求证：x1^2 + x2^2 = b^2 - 4ac/a。

16. 已知等差数列 {an} 的首项为 2，公差为 3，求证：第 n 项 an = 3n - 1。

答案：
一、选择题
1. C
2. B
3. C
4. A
5. D
二、填空题
6. 6；3
7. 6
8. 27
9. 192
10. 13
三、解答题
11. 解：由题意得 (x - 3)^2 = 0，解得 x1 = x2 = 3。

12. 解：an = a1 + (n - 1)d = 2 + (10 - 1) 3 = 2 + 27 = 29。

13. 解：an = a1 r^(n - 1) = 2 3^(6 - 1) = 2 3^5 = 486。

14. 解：根据勾股定理，斜边长 c = √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5。

四、综合题
15. 证明：由题意得 x1 + x2 = -b/a，x1 x2 = c/a，代入得 (x1 + x2)^2 - 2x1x2 = b^2/a^2 - 2c/a^2，化简得 x1^2 + x2^2 = b^2 - 4ac/a。

16. 证明：由题意得 an = a1 + (n - 1)d = 2 + (n - 1) 3 = 3n - 1。