(完整版)普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题和答案_全国1卷

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绝密★启用前
2017 年一般高等学校招生全国一致考试
理科数学
本试卷 5 页， 23 小题，满分150 分。

考试用时120 分钟。

注意事项： 1．答卷前，考生务势必自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用 2B 铅笔将试卷种类（B）填涂在答题卡相应地点上。

将条形码横贴在答题
卡右上角“条形码粘贴处”。

2．作答选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答
案信息点涂黑；如需要变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案。

答案不可
以答在试卷上。

3．非选择题一定用黑色笔迹的钢笔或署名笔作答，答案一定写在答题卡各题目
指定地区内相应地点上；如需变动，先划掉本来的答案，而后再写上新答案；
禁止使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生一定保证答题卡的整齐。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：此题共12 小题，每题 5 分，共 60 分。

在每题给出的四个选项中，只有一
项是切合题目要求的。

1．已知会合A x | x 1 ，B { x |3x1} ，则
A．A I B { x | x 0}B．A U B R
C．A U B{ x | x 1}D．A I B
2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图. 正方形内切圆中的黑色部分和白色部分对于正方形的中心成中心对称. 在正方
形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是
A．1
B．48
C．1
D．
2 4
3．设有下边四个命题
p1：若复数 z 知足1
R ，则 z R ； p2：若复数 z 知足z2R ，则z R ；
z
p3：若复数 z1, z2知足 z1z2 R ，则z1z2；p4：若复数 z R ，则 z R . 此中的真命题为
A．p1, p3B．p1, p4C．p2, p3D．p2, p4
4．记S n为等差数列{ a n} 的前 n 项和．若 a4 a5 24 ， S6 48 ，则 { a n} 的公差为A．1 B． 2 C． 4 D． 8
5．函数f ( x)在( , ) 单一递减，且为奇函数．若 f (1) 1，则知足 1 f ( x 2) 1 的 x 的取值范围是
A．[ 2,2] B．[ 1,1] C．[0,4] D．[1,3]
6．(1 1
)(1 x)6 睁开式中 x2的系数为x2
A． 15 B． 20 C． 30 D．35 7．某多面体的三视图以下图，此中正视图和左视图都由正方形和等腰
直角三角形构成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形. 该多
面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为
A． 10
B． 12
C． 14
D． 16
8．右边程序框图是为了求出知足3n2n1000 的最小偶
数 n ，那么在和两个空白框中，能够分别填入
A．B．C．D．A 1000 n n 1
和
A 1000和 n n 2 A1000和 n n 1 A 1000和 n n 2
9．已知曲线
C1 : y cos x,C 2 : y sin(2 x 2
) ，则下3
面结论正确的选项是
A．把C1上各点的横坐标伸长到本来的 2 倍，纵坐标不变，再把获得的曲线向右平移π个
6 单位长度，获得曲线 C 2
B．把C1上各点的横坐标伸长到本来的 2 倍，纵坐标不变，再把获得的曲线向左平移
π12
个单位长度，获得曲线 C2
C．把C上各点的横坐标缩短到本来的 1 倍，纵坐标不变，再把获得的曲线向右平移π个
1 2 6
单位长度，获得曲线 C 2
D ．把 C 1 上各点的横坐 短到本来的
1
倍， 坐 不 ，再把获得的曲 向左平移
π
2
12
个 位 度，获得曲
C 2
10．已知 F 抛物 C : y 2
4 x 的焦点， F 作两条相互垂直的直 l 1, l 2 ，直 l 1 与 C 交
于 A 、B 两点，直 l 2 与 C 交于 D 、 E 两点， | AB |+| DE | 的最小
A ． 16
B ． 14
C ． 12
D ．10
11． xyz 正数，且 2x
3y 5z ，
A ． 2x 3y 5z
B ．
C ． 3y
5z 2x
D ．
5z 2x 3 y
3 y 2x
5z
12．几位大学生响 国家的 呼吁，开 了一款 用 件。

激 大家学 数学的 趣，
他 推出了“解数学 取 件激活 ”的活
. 款 件的激活 下边数学 的
答案：已知数列
1， 1， 2，1， 2， 4， 1， 2， 4，8， 1， 2， 4， 8， 16，⋯，此中第一
是 20 ，接下来的两 是 20 , 21 ，再接下来的三 是 20 , 21 , 22 ，依此 推。

求 足以下条件的最小整数 N : N 100 且 数列的前 N 和 2 的整数 。

那么 款 件的激活 是
A ． 440
B ． 330
C ． 220
D ．110
二、填空 ：本 共
4 小 ，每小
5 分，共 20 分。

13．已知向量 a ， b 的 角 60°， | a |=2 ， | b |=1 ， | a +2 b |= .
x 2y 1 14． x, y 足 束条件
2x y 1， z
3x 2y 的最小 .
x y 0
15．已知双曲
C :
x 2 y 2 1(a
0,b
0) 的右 点 A ，以 A 心， b 半径做 A ，
a 2
b 2
A 与双曲 C 的一条 近 交于 、 两点。

若
MAN
60o ，
C 的离心率
M N
________。

16．如 ， 形 片的 心
O ，半径
5 cm ， 片上的等 三角形
ABC 的中心 O 。

D 、
、 O 上的点，△ ，△
，△
分 是以
， ，
底 的等腰三角形。

E F
DBC ECA FAB BC CA AB
沿虚 剪开后，分 以
BC ，CA ， AB 折痕折起△ DBC ，△ ECA ，△ FAB ，使得 D 、 E 、 F 重合，获得三棱 。

当△
ABC 的 化 ，所得三棱 体 （ 位：
cm 3）的最大
_______。

三、解答题：共70 分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21 题为必考题，
每个试题考生都一定作答。

第22、 23 题为选考题，考生依据要求作答。

（一）必考题：共60 分。

a2 17．（12 分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a， b， c，已知△ ABC的
面积为
3sin A （1）求sin B sin C ;
（ 2）若6cos B cosC1,a 3 ，求△ABC的周长.
18.（ 12 分）
如图，在四棱锥P-ABCD中， AB//CD，且BAP CDP90o.
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，APD 90o，求二面角A- PB- C的余弦值 .
19．（ 12 分）
为了监控某种部件的一条生产线的生产过程，查验员每日从该生产线上随机抽取16 个部件，并丈量其尺寸（单位：cm）．依据长久生产经验，能够以为这条生产线正常状态下生
产的部件的尺寸听从正态散布N ( , 2 ) ．
（ 1）假定生产状态正常，记X表示一天内抽取的16 个部件中其尺寸在(3 , 3 ) 以外的部件数，求P( X 1) 及X的数学希望；
（ 2）一天内抽检部件中，假如出现了尺寸在( 3 ,3 ) 以外的部件，就以为这
条生产线在这天的生产过程可能出现了异样状况，需对当日的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下边是查验员在一天内抽取的16 个部件的尺寸：
1
16
1 16
x )2
1 16
x i 2
16x 2 )2
经计算得 x
x i
9.97 ， s
( x i
( ，
16 i 1
16 i 1
16 i 1
此中 x i 为抽取的第 i 个部件的尺寸， i
1,2, ,16 ．
用样本均匀数 x 作为 的预计值 ?
，用样本标准差 s 作为 的预计值 ? ，利用预计值
判断能否需对当日的生产过程进行检查？剔除 ( ? 3 ? ? 3 ? ,
) 以外的数据， 用剩下的数据 预计 和 （精准到 0.01 ）．
附：若随机变量
Z 听从正态散布 N ( , 2 ) ，则 P(
3
Z
3 ) 0.997
4 ，
0.997 4 16 0.959 2 ，
0.09 ．
20. （ 12 分）
已知椭圆 ：
x
2
y 2 =1
1
2 3
3
）， 4（ 1，
C
a 2
2
（ a >b >0），四点 P （ 1,1
）， P （ 0,1
）， P （– 1，
P
b
2
3
）中恰有三点在椭圆 C 上 .
2
（ 1）求 C 的方程；
（ 2）设直线 l 不经过 P 2 点且与 C 订交于 A ， B 两点。

若直线 P 2 A 与直线 P 2B 的斜率的和为
–1，证明： l 过定点 .
21. （ 12 分）
已知函数 f ( x) ae 2x (a 2)e x
x
（ 1）议论 f (x) 的单一性；
（ 2）若 f (x) 有两个零点，求 a 的取值范围 .
（二）选考题：共 10 分。

请考生在第 22、23 题中任选一题作答。

假如多做，则按所做的第一题计分。

22． [ 选修 4―4：坐标系与参数方程
] （ 10 分）
在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为
x 3cos ,
（ θ 为参数），直线 l 的参数方
y sin ,
x a 4t ,
程为
1 （t 为参数） .
y t,
（1）若 a =- 1，求 C 与 l 的交点坐标；
（2）若 上的点到
l 的距离的最大值为
17 ，求 a .
C
23． [ 选修 4— 5：不等式选讲 ] （ 10 分）
已知函数 f ( x)
x 2
ax 4, g(x) | x 1| | x 1|
（1）当a 1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；
（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包括 [ – 1， 1] ，求a的取值范围 .
2017 年一般高等学校招生全国一致考试
理科数学参照答案
一、选择题：此题共12 小题，每题 5 分，共 60 分。

在每题给出的四个选项中，只有一
项是切合题目要求的。

1. A 2． B 3． B 4． C 5． D 6． C
7． B 8． D 9． D 10． A 11． D 12． A
二、填空题：此题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分。

13．2 3 14． -5 15．2 3
16．4 15cm3 3
三、解答题：共 70 分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21 题为必考题，
每个试题考生都一定作答。

第22、 23 题为选考题，考生依据要求作答。

（一）必考题：共60 分。

17．（12 分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积
为
a2
3sin A （1）求 sin B sin C;
（2）若 6cos B cos C=1，a=3，求△ABC的周长 .
解：（ 1）
由题设得1 a2 1 a ac sin B
3sin A
，即 c sin B
3sin A 2 2
由正弦定理得1
sin C sin B sin A 2
2
3sin A
故 sin B sin C 。

3（2）
由题设及（ 1）得cosB cosC sin B sin C 1
，即 cos(B
1 2
C)
2 2
所以 B ，故 A
C
3 3
由题设得1
bc sin A a2 ，即 bc 8 2 3sin A
由余弦定理得 b2 c2 bc 9 ，即 (b c)2 3bc 9 ，得 b c33 故ABC 的周长为 3 33
18.（ 12 分）解：
（1）由已知BAPCDP 90o，得AB AP ， CD PD 因为 AB / / CD ，故 AB PD ，进而 AB 平面 PAD
又AB 平面 PAB ，所以平面 PAB 平面 PAD
（2）在平面PAD内作PF AD ，垂足为 F
由（ 1）可知，AB 平面 PAD ，故 AB PF ，
可得 PF 平面 ABCD
uuur uuur 以 F 为坐标原点，FA的方向为x轴正方向，| AB |为单
位长，成立以下图的空间直角坐标系 F xyz
由（ 1）及已知可得
2
,0,0), P(0,0,
2
), B(
2 2
A(
2
,1,0), C ( ,1,0)
2 2 2
uuur
( 2 2 uuur
( 2,0,0),
uuur 2
,0,
2 uuur
所以 PC ,1,
2 ), CB PA (
2
), AB (0,1,0)
2 2
设 n ( x, y, z) 是平面PCB的法向量，则
uuur
2 x 2 z
n PC 0, y 0,
uuur 即 2 2
n CB 0 y 0
可取 n (0, 1, 2)
设 m ( x, y, z) 是平面PAB的法向量，则
uuur
2 x 2 z
m PA 0, 0,
uuur 即 2 2
m AB 0 y 0
可取 m (1,0,1)
则 cos n, m
n m 3 | n || m | 3
所以二面角 A
3 PB C 的余弦值为
3
19．（ 12 分）解：
（1）抽取的一个部件的尺寸在( 3 ,3 )
以内的概率为0.9974 ，进而部件的尺寸在
(3 ,3 ) 以外的概率为，故 X ~ B(16,0.0026) ，所以
P( X 1) 1 P( X 16
X 的数学希望为
（2）（ i ）假如生产状态正常，一个部件尺寸在( 3 , 3 ) 以外的概率只有，
一天内抽取的 16 个部件中，出现尺寸在(
3 ,
3 )
以外的部件的概率只有
0.0408 ，发生的概率很小。

所以一旦发生这类状况，就有原因以为这条生产线在
这天的生产过程可能出现了异样状况，需对当日的生产过程进行检查，可见上
述监控生产过程的方法是合理的。

（ ii ）由x9.97, s 0.212 ，得的预计值为? 9.97,的预计值为?0.212 ，由样本数据能够看出有一个部件的尺寸在( ? 3 ?, ? 3 ?) 以外，所以需对当日
的生产过程进行检查。

剔除 ( ? 3 ?, ? 3 ?) 以外的数据9.22 ，剩下数据的均匀数为
1
9.22)
15
所以的预计值为
16
x i216 216 9.97 2
i 1
剔除 ( ? 3 ?, ? 3 ?) 以外的数据9.22 ，剩下数据的样本方差为
1
22
15
所以的预计值为
20.（ 12 分）解：
（1）因为P3, P4两点对于y 轴对称，故由题设知 C 经过P3, P4两点
又由
1 1 1 3
知， C 不经过点P1，所以点P2在 C 上a 2 b 2 a 2 4b 2
1
1, a2 4
所以
b2 解得
1 3 b
2 1
1
a2 4b2
故 C 的方程为x
2
y2 1 4
（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1, k2
假如 l 与x轴垂直，设l : x t ，由题设知t 0 ，且| t | 2，可得A, B的坐标分别为
(t, 4 t 2 ),( t ,
4 t 2 )
2
2
则 k 1
k 2
4 t 2 2
4 t 2
2
1 ，得 t
2 ，不切合题设
2t
2t
进而可设 l : y
kx m(m 1) ，将 y
kx
m 代入 x 2
y 2
1得
4
(4 k 2 1) x 2 8kmx 4m 2 4 0 由题设可知 16(4 k 2 m 2 1) 0
设
A(x 1, y 1 ), B(x 2 , y 2 ) ，则 x 1 x 2
8km 1
, x 1 x
2
4m 2 4
4k 2
4k 2 1
而
k 1
y 1 1
y 2 1
k 2
x 2
x 1
kx 1 m 1 kx 2 m
1
x 1
x 2
2kx 1x 2 (m 1)(x 1 x 2 )
x 1x 2
由题设 k 1 k 2
1 ，故 (
2 k 1)x 1x 2 (m 1)( x 1
x 2 ) 0
即
(2 k 1) 4m 2
4 (m 1) 8km 0
4k 2
1
1
4k 2
解得 k
m 1
2
当且仅当 m
1 时，
0，于是 l : y
m 1 x m ，
2
所以 l 过定点 (2, 1)
21. （ 12 分）解：
（1） f ( x) 的定义域为 (
,
) ，
f (x)
2ae 2 x (a
2) e x 1 (ae x 1)(2e x 1)
（ i ）若 a 0 ，则 f ( x) 0 ，所以 f ( x) 在 ( ,
) 单一递减
（ ii ）若 a
0 ，则由 f (x) 0 的 x
ln a
当 x (
, ln a)
当 x ( ln a,
)
时， f ( x)
0 ； 时， f ( x)
所以 f (x) 在 ( , ln a) 单一递减，在 ( ln a,
) 单一递加。

（2）（ i ）若 a 0 ，由（ 1）知， f ( x) 至多有一个零点
（ ii ） 若 a
0 ， 由 （ 1 ） 知 ， 当 x
ln a 时 ， f ( x) 取 得 最 小 值 ， 最 小 值 为
f ( ln a)
1 1 ln a
a
① 当 a
1
f ( ln a) 0 ，故 f ( x) 只有一个零点；
时，因为
② 当 a
(1, ) 时，因为
1 1 ln a 0 ，即 f ( ln a) 0 ，故 f ( x) 没有零
a
点；
③ 当 a
(0,1)
1 ln a 0 ，即 f ( ln a)
0 又
时， 1
a
又 f (
2) ae 4 (a 2)e 2 2
2e 2
2 0 ，故 f ( x) 在 (
, ln a) 有一
个零点。

设正整数 n 0 知足 n
ln(
3
1)，
a
则 f (n 0 ) e n 0 (ae n 0 a 2) n 0
e n
n 0
2n
n 0 0
因为 ln(
3
1)
ln a ，所以 f ( x) 在 ( ln a,
) 有一个零点
a
综上， a 的取值范围为 (0,1)
22．解：
（1）曲线 C 的一般方程为
x 2
y 2 1，
9
当 a 1 时，直线 l 的一般方程为 x
4y 3 0
x 4 y 3 0,
x 3,
x
21
25
由 x 2
解得
或
y 2
y 0
24
9
1
y
25
进而 C 与 l 的交点坐标为 (3,0),(
21 , 24)
25 25
（2）直线 l 的一般方程为 x
4y a 4
0 ，故 C 上的点 (3cos ,sin ) 到 l 的距离为
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|3cos 4sina 4 | d
17
当 a 4 时， d 的最大值为a
9 ，由题设得
a
9 17 ，所以a 8 ；
17 17
当 a 4 时， d 的最大值为 a 1
，由题设得 a 1 17 ，所以a 16
17 17
综上， a 8 或 a 16
23．解：
（1）当a 1 时，不等式 f ( x)g( x) 等价于
x2x | x 1| | x
1| 40①
当 x1时，①式化为x23x 40 ，无解；
当 1 x
1 时，
①式化为x2x
2
0 ，进
而 1 x
1；
当 x 1 时，①式化为x2 x 4 0 ，进而 1 x 1 17
2
所以 f (x) g(x) 的解集为 { x | 1 x 1 17 }
2
（2）当x [ 1,1]时，g( x) 2
所以 f (x) g(x) 的解集包括 [ 1,1]，等价于当 x [ 1,1]时 f (x) 2
又 f (x) 在 [ 1,1]的最小值必为 f ( 1) 与 f (1)之一，所以 f ( 1) 2 且 f (1) 2 ，得
1 a 1
所以 a 的取值范围为[1,1]
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