高三数学测试卷一

考试时间：120分钟满分：100分
一、选择题（每题5分，共50分）
1. 若函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 在 $x = 1$ 处取得最小值，则 $a$、$b$、$c$ 应满足的条件是（）。

A. $a > 0, b = 0, c$ 可取任意实数
B. $a < 0, b = 0, c$ 可取任意实数
C. $a \neq 0, b \neq 0, c$ 可取任意实数
D. $a = 0, b \neq 0, c$ 可取任意实数
2. 已知等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，若 $S_3 = 9$，$S_5 = 21$，则该数列的公差为（）。

A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
3. 设 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，$B =
\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$，则 $AB$ 的值为（）。

A. $\begin{bmatrix} 5 & 7 \\ 11 & 15 \end{bmatrix}$
B. $\begin{bmatrix} 7 & 5 \\ 15 & 11 \end{bmatrix}$
C. $\begin{bmatrix} 5 & 11 \\ 7 & 15 \end{bmatrix}$
D. $\begin{bmatrix} 11 & 7 \\ 15 & 5 \end{bmatrix}$
4. 若直线 $l: 2x - 3y + 6 = 0$ 与圆 $x^2 + y^2 = 9$ 相切，则圆心到直线$l$ 的距离为（）。

A. 3
B. $\frac{3}{2}$
C. $\frac{9}{2}$
D. 6
5. 已知函数 $f(x) = \log_2(x - 1) + 3$ 的定义域为 $D$，则 $D$ 等于（）。

A. $x > 1$
B. $x \geq 1$
C. $x > 0$
D. $x \geq 0$
6. 若 $i$ 是虚数单位，则复数 $z = 3 + 4i$ 的模长为（）。

A. 5
B. 7
C. 9
D. 12
7. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若 $a = 3, b = 4, c = 5$，则角A、B、C的大小分别为（）。

A. $A = 90^\circ, B = 45^\circ, C = 45^\circ$
B. $A = 45^\circ, B = 90^\circ, C = 45^\circ$
C. $A = 90^\circ, B = 45^\circ, C = 90^\circ$
D. $A = 45^\circ, B = 45^\circ, C = 90^\circ$
8. 若函数 $y = \sqrt{x^2 - 1}$ 的图像关于 $x$ 轴对称，则 $x$ 的取值范围
是（）。

A. $x \geq 1$
B. $x \leq -1$ 或 $x \geq 1$
C. $x > 1$
D. $x < -1$ 或 $x > 1$
9. 若 $a > b > 0$，则不等式 $\frac{1}{a} - \frac{1}{b} < 0$ 成立的充要条件是（）。

A. $a > b$
B. $a < b$
C. $a \leq b$
D. $a \geq b$
10. 已知函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$ 的图像在 $x = 1$ 处取得极值，则该极值为（）。

A. $-2$
B. $2$
C. $3$
D. $-3$
二、填空题（每题5分，共25分）
11. 若 $a^2 + b^2 = 1$，则 $a^4 + b^4$ 的最大值为______。

12. 已知等差数列 $\{a_n\}$ 的第一项为 $a_1$，公差为 $d$，则 $a_5 + a_6 + a_7$ 的值为______。

13. 设 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，则 $A^2$ 的值为______。

14. 若直线 $l: 2x - 3y + 6 = 0$ 与圆 $x^2 + y^2 = 9$ 相切，则圆心到直线$l$ 的距离为______。

15. 若函数 $y = \log_2(x - 1) + 3$ 的定义域为 $D$，则 $D$ 等于______。

三、解答题（每题15分，共60分）
16. （本小题满分15分）已知函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$。

（1）求函数 $f(x)$ 的导数 $f'(x)$；
（2）求函数 $f(x)$ 的极值点；
（3）求函数 $f(x)$ 的单调区间。

17. （本小题满分15分）已知等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，若$S_3 = 9$，$S_5 = 21$。

（1）求该数列的公差；
（2）求该数列的通项公式；
（3）求该数列的前 $n$ 项和公式。

18. （本小题满分15分）已知三角形ABC的边长分别为 $a = 3, b = 4, c = 5$。

（1）求三角形ABC的面积；
（2）求三角形ABC的内角A、B、C的正弦值；
（3）求三角形ABC的余弦定理。

答案：
一、1. A 2. B 3. A 4. C 5. A 6. A 7. A 8. B 9. A 10. B
二、11. 2 12. $3d$ 13. $\begin{bmatrix} 7 & 8 \\ 6 & 10
\end{bmatrix}$ 14. $\frac{3}{2}$ 15. $x > 1$
三、16. （1）$f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$；
（2）极值点为 $x = 1$；
（3）单调递增区间为 $(-\infty, 1)$ 和 $(2, +\infty)$，单调递减区间为 $(1, 2)$。

17. （1）公差为 $d = 2$；
（2）通项公式为 $a_n = 2n - 1$；
（3）前 $n$ 项和公式为 $S_n = n^2$。

18. （1）三角形ABC的面积为 $6$；
（2）$\sin A = \frac{3}{5}$，$\sin B = \frac{4}{5}$，$\sin C =
\frac{3}{5}$；
（3）余弦定理为 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$。