2016届《创新设计》数学浙江专用(文科)一轮复习第二章函数概念与基本初等函数第6讲对数与对数函数

第6讲对数与对数函数
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是
() A．log a b·log c b＝log c a
B．log a b·log c a＝log c b
C．log a(bc)＝log a b·log a c
D．log a(b＋c)＝log a b＋log a c
解析log a b·log c a＝log a b·1
log a c＝log a b
log a c＝log c b，故选B.
答案 B
2．(2014·郑州一模)函数y＝lg|x－1|的图象是
()
解析当x＝1时，函数无意义，故排除B，D.又当x＝2或0时，y＝0，所以A项符合题意．
答案 A
3．(2014·安徽卷)设a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，则
() A．b＜a＜c B．c＜a＜b
C．c＜b＜a D．a＜c＜b
解析由3＜7＜9得log33＜log37＜log39，∴1＜a＜2，由21.1＞21＝2得b＞2，由0.83.1＜0.80＝1得0＜c＜1，因此c＜a＜b，故选B.
答案 B
4．函数f(x)＝log a(ax－3)在[1,3]上单调递增，则a的取值范围是
( )
A ．(1，＋∞)
B ．(0,1)
C ．(0，1
3)
D ．(3，＋∞)
解析 由于a ＞0，且a ≠1，∴u ＝ax －3为增函数，∴若函数f (x )为增函数，则f (x )＝log a u 必为增函数，因此a ＞1.又y ＝ax －3在[1,3]上恒为正，∴a －3＞0，即a ＞3，故选D. 答案 D
5．(2014·温州高三质检)已知函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，则
( )
A ．f (3)＜f (－2)＜f (1)
B ．f (1)＜f (－2)＜f (3)
C ．f (－2)＜f (1)＜f (3)
D ．f (3)＜f (1)＜f (－2)
解析 因为f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，所以a ＞1，f (1)＜f (2)＜f (3)．又函数f (x )＝log a |x |为偶函数，所以f (2)＝f (－2)，所以f (1)＜f (－2)＜f (3)． 答案 B 二、填空题
6．(2014·陕西卷)已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________. 解析 ∵4a ＝2，∴a ＝log 42＝12， ∴lg x ＝1
2，∴x ＝10＝10. 答案
10
7．函数y ＝log (3x －a )的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫
23，＋∞，则a ＝______.
解析 要使函数有意义，则3x －a ＞0，即x ＞a
3， ∴a 3＝2
3，∴a ＝2. 答案 2
8．(2014·嘉兴高三一模)已知函数f (x )为奇函数，当x ＞0时，f (x )＝log 2x ，则满足不等式f (x )＞0的x 的取值范围是________．
解析 由题意知y ＝f (x )的图象如图所示， 则f (x )＞0的x 的取值范围为(－1,0)∪(1，＋∞)． 答案 (－1,0)∪(1，＋∞) 三、解答题
9．已知函数f (x )＝lg 1－x
1＋x ，
(1)求函数f (x )的定义域； (2)判断函数f (x )的奇偶性； (3)判断函数f (x )的单调性． 解 (1)要使f (x )有意义，需满足
1－x
1＋x
＞0， 即⎩⎨⎧ 1－x ＞0，1＋x ＞0或⎩⎨⎧
1－x ＜0，1＋x ＜0，解得－1＜x ＜1，故函数f (x )的定义域为(－1,1)． (2)由(1)知f (x )的定义域为(－1,1)，关于坐标原点对称，又f (－x )＝lg 1＋x 1－x ＝－
lg 1－x 1＋x
＝－f (x )，∴f (x )为奇函数． (3)由(1)知f (x )的定义域为(－1,1)．设－1＜x 1＜x 2＜1，则f (x 1)－f (x 2)＝lg 1－x 1
1＋x 1－
lg 1－x 21＋x 2＝lg ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1－x 11＋x 1·1＋x 21－x 2＝lg 1－x 1x 2＋x 2－x 11－x 1x 2－(x 2－x 1).
∵－1＜x 1＜x 2＜1，∴1－x 1x 2＋x 2－x 1＞1－x 1x 2－(x 2－x 1)＝(1＋x 1)(1－x 2)＞0， ∴1－x 1x 2＋x 2－x 11－x 1x 2－(x 2－x 1)＞1， ∴lg 1－x 1x 2＋x 2－x 1
1－x 1x 2－(x 2－x 1)＞0，
即f (x 1)－f (x 2)＞0，
∴f (x )在(－1,1)上是减函数．
10．设x ∈[2,8]时，函数f (x )＝1
2log a (ax )·log a (a 2x )(a >0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－1
8，求a 的值．
解 由题意知f (x )＝1
2(log a x ＋1)(log a x ＋2) ＝12()log 2
a x ＋3log a x ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a x ＋322－18.
当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－3
2. 又∵x ∈[2,8]，∴a ∈(0,1)． ∵f (x )是关于log a x 的二次函数，
∴函数f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得． 若12⎝ ⎛
⎭⎪⎫log a 2＋322－18＝1，则a ＝2， 此时f (x )取得最小值时，x ＝ ＝2∉[2,8]，舍去．
若12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a 8＋322－18＝1，则a ＝12， 此时f (x )取得最小值时，x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12
＝22∈[2,8]，符合题意， ∴a ＝12.
能力提升题组
(建议用时：35分钟)
11．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋1
5
，则f (log 220)＝
( )
A ．1 B.45 C ．－1 D ．－4
5
解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)，得f (x )＝f (x ＋4)，因为4＜log 220＜5，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)＝－f ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫log 245＝－＝－1.
答案 C
12．当0＜x ≤1
2时，4x ＜log a x ，则a 的取值范围是
( )
A.⎝
⎛⎭⎪⎫0，22
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫
22，1 C ．(1，2)
D ．(2，2)
解析 由题意得，当0＜a ＜1时，要使得4x
＜log a x ⎝ ⎛
⎭⎪⎫0＜x ≤12，即当0＜x ≤12时，
函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方．
又当x ＝12时，4＝2，即函数y ＝4x 的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，把点⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，2代入函数y ＝
log a x ，得a ＝22，若函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方，则需2
2＜a ＜1(如图所示)．
当a ＞1时，不符合题意，舍去． 所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫
22，1.
答案 B
13．(2015·绍兴高三模拟)已知函数f (x )＝ln x
1－x
，若f (a )＋f (b )＝0，且0＜a ＜b ＜1，则ab 的取值范围是________． 解析 由题意可知ln
a 1－a ＋ln
b 1－b
＝0， 即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a
1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b 1－b ＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )
＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛
⎭⎪⎫a －122＋14，
又0＜a ＜b ＜1，∴0＜a ＜1
2， 故0＜－⎝ ⎛
⎭⎪⎫a －122＋14＜14.
答案 ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，14
14．已知f (x )＝lg(a x －b x )(a >1>b >0)． (1)求f (x )的定义域；
(2)是否存在实数a ，b ，当x ∈(1，＋∞)时，f (x )的值域为(0，＋∞)，且f (2)＝lg 2？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由． 解 (1)由a x
－b x
>0及a >1>b >0，得⎝ ⎛⎭
⎪⎫a b x
>1，故x >0.
∴f (x )的定义域为(0，＋∞)．
(2)令g (x )＝a x －b x ，由a >1>b >0知，g (x )在(0，＋∞)上为增函数． 当x ∈(1，＋∞)时，f (x )取到一切正数等价于x ∈(1，＋∞)时，g (x )>1. 故g (1)＝1，得a －b ＝1.① 又f (2)＝lg 2，故a 2－b 2＝2.② 由①②解得a ＝32，b ＝1
2. 15．已知函数f (x )＝－x ＋log 2
1－x
1＋x
. (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－12 014的值；
(2)当x ∈(－a ，a ]，其中a ∈(0,1)，a 是常数时，函数f (x )是否存在最小值？若存在，求出f (x )的最小值；若不存在，请说明理由． 解 (1)由f (x )＋f (－x )＝log 21－x 1＋x ＋log 21＋x 1－x
＝log 21＝0.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛
⎭⎪⎫－12 014＝0.
(2)f (x )的定义域为(－1,1)， ∵f (x )＝－x ＋log 2(－1＋
2
x ＋1
)， 当x 1<x 2且x 1，x 2∈(－1,1)时，f (x )为减函数， ∴当a ∈(0,1)，x ∈(－a ，a ]时f (x )单调递减， ∴当x ＝a 时，f (x )min ＝－a ＋log 21－a
1＋a .。