河北省唐山一中2015届高三上学期12月调研考试数学理试题 Word版含答案(已解析)

河北省唐山一中2015届高三上学期12月调研考试
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合1122M x x ⎧
⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，{}
2N x x x =≤，则M N = ( ) A ．1[0,)2
B ．1(,1]2-
C ．1[1,)2-
D ．1(,0]2- 【答案】A
【解析】
集合M={x|-12＜x ＜12}，N={x|2x ≤x}={x|0≤x≤1}，则M∩N={x|0≤x ＜12
} 故答案为：A
【考点】集合的运算
【难度】1
2．复数5)z i i i -+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数为( )
A ．2i -
B ．2i +
C ．4i -
D ．4i +
【答案】A
【解析】
由5)i i i -+-i ）i|+5i 4i •i=2+i ，得z =2-i 故答案为：A
【考点】复数综合运算
【难度】 1
3．设向量11(1,0),(,)22
a b == ，则下列结论中正确的是( )
A ．||||a b =
B ．2
a b = C ．//a b D ．()a b b -⊥ 【答案】D
【解析】
∵()0a b b -⋅=则a b -与b 垂直，
故答案为：D
【考点】平面向量基本定理;平面向量坐标运算
【难度】 1
4．下列关于命题的说法错误的是( )
A ．命题“若0232=+-x x ，则1=x ”的逆否命题为“若1≠x ，则0232≠+-x x ”；
B ．“2a =”是“函数()log a f x x =在区间(0,)+∞上为增函数”的充分不必要条件；
C ．若命题p ：,21000n n N ∃∈>，则p ⌝：,21000n n N ∀∈≤；
D ．命题“(,0),23x x x ∃∈-∞< ”是真命题．
【答案】D
【解析】
因为命题“若2
x -3x+2=0，则x=1”的逆否命题为
“若x≠1，则2x -3x+2≠0”，所以A 正确；
由a=2能得到函数f （x ）=log a x 在区间（0，+∞）上为增函数，
反之，函数f （x ）=log a x 在区间（0，+∞）上为增函数，
a 不一定大于2，所以“a=2”是“函数f （x ）=log a x 在区间（0，+∞）上
为增函数”的充分不必要条件，所以选项B 正确；
命题P ：∃n ∈N ，2n ＞1000，的否定为
￢P ：∀n ∈N ，2n ≤1000，所以C 正确；
因为当x ＜0时恒有23x x >，
所以命题“∃x ∈（-∞，0），23x x <”为假命题，
故答案为：D
【考点】命题及其关系
【难度】 2
5．右图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，
则由图可估计样本的重量的中位数为( )
A ．11
B ．11.5
C ．12
D ．12.5
【答案】C
【解析】
由题意，[5，10]的样本有5×0.06×100=30，[10，15]的
样本有5×0.1×100=50由于[10，15]的组中值为12.5，
由图可估计样本重量的中位数12.
故答案为：C
【考点】样本的数据特征
【难度】 2
6．现有四个函数：①sin y x x =⋅；②cos y x x =⋅；③|cos |y x x =⋅；④2x y x =⋅的图象（部分）如下：
x
则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是( )
A ．①④③②
B ．①④②③
C ．④①②③
D ．③④②①
【答案】
【解析】B
分析函数的解析式，可得：
①y=x•sinx 为偶函数；②y=x•cosx 为奇函数；
③y=x•|cosx|为奇函数，④y=2x x ⋅为非奇非偶函数且当x ＜0时，
③y=x•|cosx|≤0恒成立则从左到右图象对应的函数序号应为：①④②③
故答案为：B
【考点】函数的奇偶性
【难度】 2 7．对于平面α、β、γ和直线a 、b 、m 、n ,下列命题中真命题是( )
A ．若,,,,a m a n m n αα
⊥⊥⊂⊂则a α⊥ B ．若//,a b b α
⊂,则//a α C ．若//,,,a b αβαγβγ== 则//a b D ．若,,//,//a b a b ββαα⊂⊂,则//βα 【答案】C
【解析】
对于A ：根据线面垂直的垂直的判定定理可知，
m ，n 必须是相交直线，所以A 错误．
对于B ：根据直线和平面平行的判定定理可知，
a 必须在平面α外，所以B 错误．
对于C ：根据面面平行的性质定理可知，
两个平行平面同时和第三个平面相交，
则交线平行，所以C 正确．
对于D ：根据面面平行的判定定理可知，
直线a ，b 必须是相交直线，
才能得到面面平行．所以D 错误．
故答案为：C
【考点】点线面的位置关系
【难度】 2
8．点)2,4(-P 与圆422=+y x 上任一点连线的中点的轨迹方程是( )
A ．22(2)(1)1x y -++=
B ．22
(2)(1)4x y -++=
C ．22(4)(2)4x y ++-=
D ．22(2)(1)1x y ++-=
【答案】A
【解析】
设圆上任意一点为（x 1，y 1），中点为（x ，y ），
代入224x y +=得22
(24)(22)4x y -++=，
化简得22(2)(1)1x y -++=．
故答案为：A
【考点】圆的标准方程与一般方程
【难度】 2 9．已知函数00
x a e ,x f (x )ln x,x ⎧⋅≤=⎨->⎩，其中e 为自然对数的底数，若关于x 的方程0f (f (x ))=，
有且只有一个实数解，则实数a 的取值范围为( )
A ．()0,-∞
B ．()()001,,-∞
C ．()01,
D ．()()011,,+∞
【答案】B
【解析】
故a ＜
0或a
＞1，故a ∈（-∞，0）∪（0，1） 故答案为：B
【考点】零点与方程
【难度】 2
10．某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的表面积为( )
A ．3π
B ．π4
C ．π2
D ．π2
5
【答案】A
【解析】
故答案为：A
【考点】空间几何体的三视图与直观图
【难度】2
11．已知b为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式6
的展开式中的常数项
是( )
A．-20 B．20C．-540 D．540
【答案】C
【解析】
第一次循环：b=3，a=2；
第二次循环得：b=5，a=3；
第三次循环得：b=7，a=4；
第四次循环得：b=9，a=5；
故答案为：C
【考点】算法和程序框图
【难度】 3
12．设等差数列{}n a 满足：22222233363645sin cos cos cos sin sin 1sin()
a a a a a a a a -+-=+，公差(1,0)d ∈-．若当且仅当9n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是( )
A ．74,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．43,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．74,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．43,3
2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【答案】B
【解析】
故答案为：B
【考点】等差数列
【难度】 3
第II 卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．用数学归纳法证明：)12(312)()2)(1(-
⨯⨯⨯⨯=+++n n n n n n （+∈N n ）时，从“1+==k n k n 到”时，左边应增添的代数式为_______________.
【答案】2
【解析】 首先写出当n=k 时和n=k+1时等式左边的式子，
当n=k 时，左边等于 （k+1）（k+2）…（k+k ）=（k+1）（k+2）…（2k ），①
当n=k+1时，左边等于 （k+2）（k+3）…（k+k ）（2k+1）（2k+2），②
故从n=k 到n=k+1的证明，
左边需增添的代数式是由
②①得到(21)(22)(1)k k k +++ =2（2k+1）故答案为：2 【考点】数学归纳法
【难度】3
14．已知正项等比数列}{n a 满足5672a a a +=，若存在两项n m a a ,使得12a =，则19m n
+的最小值为 . 【答案】4
【解析】
设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，
∵7652a a a =+，则654
1112a q a q a q ⋅=⋅+⋅
故答案为：4
【考点】均值定理
【难度】 3
15．已知椭圆2
215
x y +=，椭圆的中心为坐标原点O ，点F 是椭圆的右焦点，点A 是椭圆短轴的一个端点，过点F 的直线l 与椭圆交于M N 、两点，与OA 所在直线交于E 点，若12,,EM MF EN NF λλ== ，则12λλ+=__________.
【答案】10-
【解析】
故答案为：
【考点】椭圆
【难度】3
16.对于定义在D 上的函数()f x ，若存在距离为d 的两条直线1y kx m =+和2y kx m =+，使得对任意x D ∈都有12()kx m f x kx m +≤≤+恒成立，则称函数()()f x x D ∈有一个宽度为d 的通道.给出下列函数：
①1()f x x =；②()sin f x x =；③()f x =ln ()x f x x
= 其中在区间[1,)+∞上通道宽度可以为1的函数有 (写出所有正确的序号).
【答案】①③④
【考点】函数综合
【难度】3
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

其中第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22题～第24题为选考题，考生根据要求任选一题作答。

并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号方框涂黑。

注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡指定位置答题。

如果不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答的第一题评分。

17．（本小题满分12分）
在ABC ∆中，已知2,1AB AC ==，且cos2A+2sin
22C B +=1． (1)求角A 的大小和BC 边的长；
(2)若点P 在ABC ∆内运动（包括边界）,且点P 到三边的距离之和为d,设点P 到,BC CA 的距离分别为x,y ，试用x,y 表示d ，并求d 的取值范围.
【答案】见解析
【解析】
解：（Ⅰ）cos2A+22sin
12B C += 解得：22()12sin 2sin 12
B C A +-+= 即sinA=sin 2B C +，所以，2
B C A +=；
∴ 3A=180 ， A=60
； 由余弦定理：2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅⋅
=2221221cos603+-⋅⋅⋅= ，
∴
（Ⅱ）由题意得：
当P 与C 点重合时，d 当P 在AB 上时，d 取最大值， 此时有sin sin x y AB B A
+=；
将 sin sin60A == 、1sin 2B = 代入得：
22
x +=，即 y
0(1d x y x =++=
∴d= x+y+0=（
x 的取值范围为0到1，所以d
所以d 的取值范围为2【考点】解斜三角形
【难度】3
18．（本小题满分12分）
甲、乙、丙三位同学彼此独立地从A 、B 、C 、D 、E 五所高校中，任选2所高校参加自主招生考试（并且只能选2所高校），但同学甲特别喜欢A 高校，他除选A 校外，在B 、C 、D 、E 中再随机选1所；同学乙和丙对5所高校没有偏爱，都在5所高校中随机选2所即可．
（1）求甲同学未选中E 高校且乙、丙都选中E 高校的概率；
（2）记X 为甲、乙、丙三名同学中未参加E 校自主招生考试的人数，求X 的分布列及数学期望.
【答案】见解析
【考点】随机变量的分布列
【难度】3 19．（本小题满分12分）
如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知11AB BB C C ⊥侧面，1AB BC ==，12BB =，
13
BCC π
∠=
.
(1)求证：1C B ABC ⊥平面；
(2)设1CE CC λ=
(0≤λ≤1)，且平面1AB E 与1BB E 所成的锐二面角的大小为30°，试求λ
的值.
【答案】见解析 【解析】
解：（1）因为侧面AB ⊥
11BB C C ,1BC ⊂侧面11BB C C ，
故
1AB BC ⊥,在1BCC ∆中, 1111,2,,3BC CC BB BCC π
===∠=
由余弦定理得：
2222211112cos 12212cos
3
3
BC BC CC BC CC BCC π
=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=，
所以
1BC =
故222
11BC BC CC +=,所以
1BC BC ⊥,而1,BC AB B C B =⊥∴ 平面ABC （2）由（1）可知，
1,,AB BC BC 两两垂直.以B 为原点，
1,,BC BA BC 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.
则
1(0,0,0),(0,1,0),(1B A B -，(1,0,0)C
,1C .
所以1(1CC =- ,
所以()CE λ=-
,(1)E λ∴-
则
1(1,1),(1,1AE AB λ=--=--
. 设平面
1AB E 的法向量为(,,)n x y z =
， 则由1n AE n AB ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ,得100n AE n AB ⎧⋅=⎪
⎨⋅=⎪⎩
,
即1-)00x y z x y λ⎧-+=⎪⎨--+=⎪⎩（，
令z =
333
333,,(,2222x y n λλλλλλ--==∴=----
是平面
1AB E 的一个法向量.
AB ⊥ 侧面11BB C C ,(0,1,0)BA =
是平面1BEB 的一个法向量，
cos ,n BA
n BA n BA
⋅〈〉==
=
∴ .
两边平方并化简得2
2-5+3=0λλ，所以λ=1或
3
2λ=
（舍去）
【考点】利用直线方向向量与平面法向量解决计算问题 【难度】3
20．(本小题满分12分）
已知抛物线2
2(0)y px p =>上点T (3，t )到焦点F 的距离为4． (1)求t ，p 的值；
(2)设A 、B 是抛物线上分别位于x 轴两侧的两个动点，且5OA OB ⋅=
（其中 O 为坐标原点）．
(ⅰ)求证：直线AB 必过定点，并求出该定点P 的坐标； (ⅱ)过点P 作AB 的垂线与抛物线交于C 、D 两点，求四边形ACBD 面积的最小值． 【答案】见解析 【解析】
解：（1）由已知得3422
p
p +
=⇒=， 所以抛物线方程为2
4y x =，
代入可解得t =±
（2）(ⅰ)设直线AB 的方程为x my t =+，
211,4y A y ⎛⎫
⎪⎝⎭、 222,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 联立24y x x my t
⎧=⎨=+⎩得2440y my t --=，
则124y y m +=，124y y t =-. 由5OA OB ⋅=
得：
2
121212()52016
y y y y y y +=⇒=-或124y y =（舍去）， 即4205t t -=-⇒=，所以直线AB 过定点(5,0)P ；
(ⅱ)由(ⅰ)
得21|||AB y y -
同理得21|||CD y y =-= 则四边形ACBD 面积1
||||2
S AB CD =
⋅
=
= 令22
1
(2)m m μμ+
=≥，
则S =μ的增函数， 故96min S =.当且仅当1m =±时取到最小值96. 【考点】抛物线 【难度】4
21.（本小题满分12分）
已知函数()ln f x x a x =+在1x =处的切线l 与直线20x y +=
垂直，函数
(1)求实数a 的值；
(2)若函数()g x 存在单调递减区间，求实数b 的取值范围； (3)设1212,()x x x x <是函数()g x 的两个极值点，若，求12()()g x g x -的最小值． 【答案】见解析 【解析】
解：（1）∵()ln f x x a x =+，∴∵l 与直线20x y +=垂直，∴
1a =.
（2由题知()0g x '<在()0,+∞上有解，0x > 设()(
)2
11u x x b x =--+，则()010u =>，
b 的取值范围是()3,+∞. ，所以令()0g x '=
12121,1x x b x x ∴+=-=
120
x x << ，
，所以()h t 在()
0,1单调递减，
【考点】导数的综合运用 【难度】4 22．（本小题满分10分）(选修4-1几何证明选讲)
如图，已知PE 切⊙O 于点E ，割线PBA 交⊙O 于B A 、两点，∠APE 的平分线和BE AE ,分别交于点D C ,. 求证：(1) DE CE =； (2)
.CA PE
CE PB =
【答案】见解析 【解析】
【难度】3 23．（本小题满分10分）(选修4-4极坐标与参数方程选讲)
在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐
标方程分别为4sin ρθ=，cos()4
π
ρθ-
＝
(1)求C 1与C 2交点的极坐标；
(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为3312
x t a b y t ⎧=+⎪
⎨=+⎪⎩
(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值． 【答案】见解析
【解析】
【考点】曲线参数方程 【难度】3
24．(本小题满分10分）（选修4-5不等式选讲） 设函数5
()||||,2
f x x x a x R =-
+-∈． 求证：（1）当2
1
-
=a 时，不等式ln ()1f x >成立． （2）关于x 的不等式a x f ≥)(在R 上恒成立，求实数a 的最大值． 【答案】见解析 【解析】
解：(1) 证明：由51()||||22f x x x =-++1222153225222x x x x x ⎧
-+ <-⎪⎪
⎪
= -≤≤⎨⎪
⎪
- >⎪⎩
得函数()f x 的最小值为3，从而()3f x e ≥>，所以ln ()1f x >成立.
(2) 由绝对值的性质得555
()|||||()()|||222
f x x x a x x a a =-+-≥---=-，
所以()f x 最小值为5||2a -，从而5
||2
a a -≥，解得54a ≤，因此a 的最大值为54.
【考点】绝对值不等式
【难度】3。