初中数学方程与不等式之一元二次方程经典测试题含答案解析

初中数学方程与不等式之一元二次方程经典测试题含答案解析
一、选择题
1．用配方法解方程：x 2﹣2x ﹣3=0时，原方程变形为（ ）
A ．（x+1）2=4
B ．（x ﹣1）2=4
C ．（x+2）2=2
D ．（x ﹣2）2=3
【答案】B
【解析】
试题分析：将原方程的常数项﹣3变号后移项到方程右边，然后方程两边都加上1，方程左边利用完全平方公式变形后，即可得到结果．
解：x 2﹣2x ﹣3=0，
移项得：x 2﹣2x=3，
两边加上1得：x 2﹣2x+1=4，
变形得：（x ﹣1）2=4，
则原方程利用配方法变形为（x ﹣1）2=4．
故选B ．
2．从4-，2-，1-，0，1，2，4，6这八个数中，随机抽一个数，记为a ．若数a 使关于x 的一元二次方程()22
240x a x a --+=有实数解．且关于y 的分式方程1311y a y y
+-=--有整数解，则符合条件的a 的值的和是（ ） A ．6-
B ．4-
C ．2-
D ．2
【答案】C
【解析】
【分析】
由一元二次方程()22240x a x a --+=有实数解，确定a 的取值范围，由分式方程1311y a y y
+-=--有整数解，确定a 的值即可判断． 【详解】
方程()22
240x a x a --+=有实数解， ∴△=4(a −4)2−4a 2⩾0，
解得a ⩽2
∴满足条件的a 的值为−4，−2，−1，0，1，2 方程1311y a y y
+-=-- 解得y=2
a +2 ∵y 有整数解
∴a=−4，0，2，4，6
综上所述，满足条件的a 的值为−4，0，2，
符合条件的a 的值的和是−2
故选：C
【点睛】
本题考查了一元二次方程根据方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围；以及分式方程解的定义：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫分式方程的解．
3．若关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +m ＝0没有实数根，则实数m 的取值是( )
A ．m ＜1
B ．m ＞﹣1
C ．m ＞1
D ．m ＜﹣1
【答案】C
【解析】
试题解析：关于x 的一元二次方程2x 2x m 0-+=没有实数根， ()2
24241440b ac m m ∆=-=--⨯⨯=-<，
解得： 1.m >
故选C ．
4．若代数式226(3)1x x m x ++=+-，则m =（ ）
A ．-8
B ．9
C ．8
D ．-9
【答案】C
【解析】
【分析】
已知等式右边利用完全平方公式化简，利用多项式相等的条件求出m 的值即可．
【详解】 226(3)1x x m x ++=+-=x 2+6x+8，
可得m=8，
故选：C.
【点睛】
此题考查配方法的应用，解题关键在于掌握计算公式.
5．设O e 的半径为3，圆心O 到直线l 的距离OP m =，且m 使得关于x 的方程
2610x m -+-=没有实数根，则直线l 与O e 的位置关系为（ ）
A ．相离
B ．相切
C ．相交
D ．无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】
欲求圆与AB 的位置关系，关键是求出点C 到AB 的距离d ，再与半径r=2进行比较，即可求解．若d ＜r ，则直线与圆相交；若d=r ，则直线于圆相切；若d ＞r ，则直线与圆相离．
【详解】
∵关于x 的方程6x 2x+m-1=0没有实数根，
∴△=b 2-4ac ＜0，
即48-4×6×（m-1）＜0，
解这个不等式得m ＞3，
又因为⊙O 的半径为3，
所以直线与圆相离．
故选：A ．
【点睛】
此题考查直线与圆的位置关系，一元二次方程根的判别式．解题关键在于通过比较圆心到直线距离d 与圆半径大小关系完成判断．
6．某商品原价为100元，第一次涨价40%，第二次在第一次的基础上又涨价10%，设平均每次增长的百分数为x ，那么x 应满足的方程是（ ）
A ．40%10%2x +=
B ．100(140%)(110%)(1)x ++=+
C ．2(140%)(110%)(1)x ++=+
D ．2(10040%)(10010%)100(1)x ++=+ 【答案】C
【解析】
【分析】
设平均每次增长的百分数为x ，根据“某商品原价为100元，第一次涨价40%，第二次在第一次的基础上又涨价10%”，得到商品现在的价格，根据“某商品原价为100元，经过两次涨价，平均每次增长的百分数为x ”，得到商品现在关于x 的价格，整理后即可得到答案．
【详解】
解：设平均每次增长的百分数为x ，
∵某商品原价为100元，第一次涨价40%，第二次在第一次的基础上又涨价10%， ∴商品现在的价格为：100(140%)(110%)++，
∵某商品原价为100元，经过两次涨价，平均每次增长的百分数为x ，
∴商品现在的价格为：2
(1)x +，
∴2100(140%)(110%)100(1)++=+x ，
整理得：2(140%)(110%)(1)x ++=+，
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．
7．方程250x x -=的解是（ ）
A ．5x =-
B ．5x =
C ．10x =,25x =-
D ．10x =,25x =
【答案】D
【解析】
【分析】 提取公因式x 进行计算.
【详解】
提取公因式x 得：x·
(x −5)=0，所以10x =,25x =. 故本题答案选D ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的计算，掌握提取公因式这一知识点是解题的关键.
8．一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（ ）
A ．原数与对应新数的差不可能等于零
B ．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大
C ．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30
D ．当原数取50时，原数与对应新数的差最大
【答案】D
【解析】
【分析】
设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解．
【详解】
解：设原数为m ，则新数为
21100
m ， 设新数与原数的差为y 则2211100100
y m m m m =-
=-+， 易得，当m ＝0时，y ＝0，则A 错误 ∵10100
-< 当1m 50122100b a ﹣﹣﹣===⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭
时，y 有最大值．则B 错误，D 正确． 当y ＝21时，21100
m m -+＝21 解得1m ＝30，2m ＝70，则C 错误．
故答案选：D ．
【点睛】
本题以规律探究为背景，综合考查二次函数性质和解一元二次方程，解题时要注意将数字
规律转化为数学符号．
9．下列方程中，有实数根的是（ ）
A 0=
B 1+=
C 10=
D x - 【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次根式的性质逐项分析即可．
【详解】
A ．∵x 2+2≥2， 0≥≠，故不正确；
B ．∵x-2≥0且2-x≥0，∴x=20=，故不正确；
C 0≥110≥≠，故不正确；
D ．∵x+1≥0，-x≥0，
∴-1≤x ≤0．
x -，
∴x+1=x 2，
∴x 2-x-1=0，
∵∆=1+4=5＞0，
∴x 1，x 2（舍去），
x -有实数根，符合题意．
故选D ．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质，无理方程的解法，以及一元二次方程的解法，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
10．今年深圳的房价平均20000元/平方米，政府要控房价预计后年均价在16000元/平方米，若每年降价均为x%，则下列方程正确的是（ ）
A ．220000(1x%)16000+=
B ．220000(1x%)16000-=
C ．220000(12x%)16000+=
D ．()
2200001x %16000-=
【解析】
【分析】
已知今年房价及每年降价率，可依次算出降价后明年及后年的房价.
【详解】
解：根据每年降价均为x%，则第一次降价后房价为20000(1-x%)元，第二次在20000(1-x%)元基础上又降低x%，变为20000(1-x%)(1-x%)元，即220000(1-x%)，进而可列出方程：
220000(1x%)16000-=
故选B
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中增长率与下降率问题，关键是公式a(1x%)n b ±=的应用，理解公式是解决本题的关键.
11．一元二次方程x 2＝－3x 的解是（ ）
A ．x ＝0
B ．x ＝3
C ．x 1＝0，x 2＝3
D ．x 1＝0，x 2＝－3 【答案】D
【解析】
【分析】
先移项，然后利用因式分解法求解．
【详解】
解：（1）x 2=-3x ，
x 2+3x=0，
x （x+3）=0，
解得：x 1=0，x 2=-3．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
12．聪聪、明明、伶伶、俐俐四人共同探究代数式2235x x -+的值的情况他们做了如下分工，聪聪负责找值为0时x 的值，明明负责找值为4时x 的值，伶伶负责找最小值，俐俐负责找最大值，几分钟，各自通报探究的结论，其中正确的是（ ）
（1）聪聪认为找不到实数x ，使2235x x -+的值为0；
（2）明明认为只有当1x =时，2235x x -+的值为4；
（3）伶伶发现2235x x -+有最小值；（4）俐俐发现2235x x -+有最大值
A ．（1）（2）
B ．（1）（3）
C ．（1）（4）
D ．（1）（2）（4）
【答案】B
【解析】
解一元二次方程，根据判别式即可判断（1）（2），将式子2x 2﹣3x +5配方为2（x ﹣34）2+
318
，根据平方的非负性即可判断（3）（4）． 【详解】 解：（1）2x 2﹣3x +5＝0，△＝32﹣4×2×5＜0，方程无实数根，故聪聪找不到实数x ，使2x 2﹣3x +5的值为0正确，符合题意，
（2）2x 2﹣3x +5＝4，解得x 1＝1，x 2＝
12
，方程有两个不相等的实数根，故明明认为只有当x ＝1时，2x 2﹣3x +5的值为4错误，不符合题意， （3）∵2x 2﹣3x +5＝2（x ﹣
34）2+318， 又∵（x ﹣
34）2≥0， ∴2（x ﹣34
）2+318≥318， ∴2x 2﹣3x +5有最小值，故伶伶发现2x 2﹣3x +5有最小值正确，符合题意，
（4）由（3）可知2x 2﹣3x +5没有最大值，故俐俐发现2x 2﹣3x +5有最大值错误，不符合题意，
故选：B ．
【点睛】
本题考查解一元二次方程和配方法的应用，掌握一元二次方程求根公式和配方法是解决本题的关键．
13．下列方程中，是一元二次方程的为（ ）
A ．x 2+3x=0
B ．2x+y=3
C ．210x x -=
D ．x （x 2+2）=0
【答案】A
【解析】
【分析】
本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）二次项系数不为0；（4）是整式方程． 由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】
A. 符合一元二次方程定义，正确；
B. 含有两个未知数，错误；
C. 不是整式方程，错误；
D. 未知数的最高次数是3，错误．
【点睛】
考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键.
14．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（）
A．方程有两个相等的实数根
B．方程有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【答案】B
【解析】
试题分析：先求出△=42﹣4×3×（﹣5）=76＞0，即可判定方程有两个不相等的实数根．故答案选B.
考点：一元二次方程根的判别式．
15．代数式245
x x
++的最小值是（）
A．5 B．1 C．4 D．没有最小值
【答案】B
【解析】
【分析】
此题考查了配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算．
【详解】
∵x2+4x+5=x2+4x+4-4+5=（x+2）2+1
∵（x+2）2≥0，
∴（x+2）2+1≥1，
∴当x=-2时，代数式x2+4x+5的最小值为1．
故选：B．
【点睛】
此题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．
16．湛江市2009年平均房价为每平方米4000元．连续两年增长后，2011年平均房价达到每平方米5500元，设这两年平均房价年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（）
A．5500（1+x）2=4000 B．5500（1﹣x）2=4000 C．4000（1﹣x）2=5500 D．4000（1+x）2=5500
【答案】D
【分析】
根据下一年的房价等于上一年的房价乘以（1+x），可以列出2011年的房价，2011年将达到每平方米5500元，故可得到一个一元二次方程．
【详解】
设年平均增长率为x，
那么2010年的房价为：4000（1+x），
2011年的房价为：4000（1+x）2=5500．
故选：D．
17．关于x的方程(2-a)x2+5x-3=0有实数解,则整数a的最大值是()
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】
【分析】
由于关于x的方程（2-a）x2+5x-3=0有实数根，分情况讨论：
①当2-a=0即a=2时，此时方程为一元一次方程，方程一定有实数根；
②当2-a≠0即a≠2时，此时方程为一元二次方程，如果方程有实数根，那么其判别式是一个非负数，由此可以确定整数a的最大值．
【详解】
解：∵关于x的方程(2−a)x2+5x−3=0有实数根，
∴①当2−a=0即a=2时，此时方程为一元一次方程，方程一定有实数根；
②当2−a≠0即a≠2时，此时方程为一元二次方程，
如果方程有实数根，那么其判别式是一个非负数，
∴△=25+12(2−a)≥0，
解之得a≤49 12
，
∴整数a的最大值是4.
故选D.
【点睛】
本题考查了一元二次方程与根的判别式，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的性质与根的判别式.
18．我校图书馆三月份借出图书70本，计划四、五月份共借出图书220本，设四、五月份借出的图书每月平均增长率为x，则根据题意列出的方程是()
A．70(1+x)2＝220
B．70(1+x)+70(1+x)2＝220
C．70(1﹣x)2＝220
D．70+70(1+x)+70(1+x)2＝220
【解析】
【分析】
根据题意，找出等量关系，列出方程即可.
【详解】
三月份借出图书70本
四月份共借出图书量为70×(1+x )
五月份共借出图书量为70×(1+x )2
则70(1+x )+70(1+x )2＝220．
故选：B ．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，分析题干，列出方程是解题关键.
19．若关于x 的一元二次方程ax 2+bx+6=0的一个根为x=﹣2，则代数式6a ﹣3b+6的值为（ ）
A ．9
B ．3
C ．0
D ．﹣3
【答案】D
【解析】
分析：根据关于x 的一元二次方程260ax bx ++=的一个根为2x =-，可以求得2a b -的值，从而可以求得636a b -+的值．
详解：∵关于x 的一元二次方程260ax bx ++=的一个根为x =−2，
∴()()22260a b ，
⨯-+⨯-+= 化简，得
2a −b +3=0，
∴2a −b =−3，
∴6a −3b =−9，
∴6a −3b +6=−9+6=−3，
故选D.
点睛：考查一元二次方程的解，解题的关键是明确题意，建立所求式子与已知方程之间的关系.
20．为执行“均衡教育"政策，某县2017年投入教育经费2500万元，预计到2019年底三年累计投入1.2亿元．若每年投人教育经费的年平均增长百分率为x ，则下列方程正确的是（ ）
A ．()225001 1.2x +=
B ．()2
2500112000x += C ．()()225002********* 1.2x x ++++=
D．()()2
x x
++++=
2500250012500112000
【答案】D
【解析】
【分析】
设每年投入教育经费的年平均增长百分率为x，根据题意可得，2017年投入教育经费+2017年投入教育经费×（1+增长率）+2017年投入教育经费×（1+增长率）2=1.2亿元，据此列方程．
【详解】
设每年投入教育经费的年平均增长百分率为x，
由题意得，2500+2500×（1+x）+2500（1+x）2=12000．
故选：D．
【点睛】
此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．。