第十二章 第4课 全等三角形的判定(3)(4)——ASA,AAS
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第十二章 全等三角形
第 4 课 全等三角形的判定(3)(4)——ASA，AAS
1．已知：如图，点 A，D，C 在同一直线上，AB∥EC，AC＝CE， ∠ACB＝∠CED. 求证：BC＝DE.
证明：∵AB∥EC，∴∠A＝∠ECD.
在△ABC 和△CDE 中，
∠A＝∠ECD， AC＝CE， ∠ACB＝∠CED， ∴△ABC≌△CDE (ASA)．
∴BC＝DE.
2．如图，已知 AF＝DC，∠1＝∠2，AB∥DE.求证：△ABC≌△DEF.
证明：∵AF＝DC， ∴AF＋FC＝DC＋FC. 即 AC＝DF.
∵AB∥DE.
∴∠A＝∠D.
在△ABC 和△DEF 中，
∠2＝∠1， AC＝DF， ∠A＝∠D， ∴△ABC≌△DEF.
3．如图，点 D 是△ABC 边 BC 的中点，连接 AD，过 C 作 CE⊥AD， 过 B 作 BF⊥AD.求证：CE＝BF.
AC＝AE
∴△ABC≌△ADF(AAS)
∴AD＝AB
3．如图，已知 AD∥BC，点 E 为 CD 上一点，AE，BE 分别平分 ∠DAB，∠CBA.
(1)求证：AE⊥BE； (2)求证：DE＝CE； (3)若 AE＝4，BE＝6，求四边形 ABCD 的面积．
(1)证明：∵AD∥BC ∴∠DAB＋∠ABC＝180° ∵AE、BE 分别平分∠DAB，∠CBA ∴∠EAB＋∠ABE＝90° ∴∠AEB＝90°.∴AE⊥BF
S△ABF＝(BF×2AE)＝12× 2 4＝24
∴四边形ABCD面积是24.
谢谢欣赏
地的距离相等．A地到路段BC的距离AD与B地到路段AC的距离BE
相等吗？为什么？
解：AD＝BE，理由如下： 在△CAD和△CBE中，
∴△CAD≌△CBE， ∴AD＝BE
6．如图，AB⊥AC，BD⊥CD，∠1＝∠2，求证：AE＝DE.
证明：∵AB⊥AC，BD⊥CD，∴∠BAC＝∠CDB＝90°.
∠BAC＝∠CDB， 在△ABC 和△DCB 中，∠2＝∠1，
证明：∵CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠BFD＝∠CED＝90°.
又 D 是 BC 边的中点，∴BD＝CD.
∠BFD＝∠CED，
在△BFD 和△CED 中，∠BDF＝∠CDE，
BD＝CD， ∴△BFD≌△CED.
∴CE＝BF.
4．如图，∠AOD＝∠BOC，∠B＝∠D，点 O 是 AC 的中点．求证： △AOB≌△COD.
A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丙 D．乙
2．如图，AC＝AE，点证明：∵∠BAD＝∠EAC ∴∠BAD＋∠CAD＝∠FAC＋∠CAD 即∠BAC＝∠DAE ∵∠BAD＋∠B＝∠ADE＋∠EDC ∴∠B＝∠ADE
∠BAC＝∠DAF 在△ABC 和△ADE 中∠B＝∠ADE
证明：∵∠AOD＝∠BOC， ∴∠AOD＋∠DOB＝∠BOC＋∠DOB. 即∠AOB＝∠COD. ∵点 O 是 AC 的中点． ∴OA＝OC.
∠B＝∠D， 在△AOB 和△COD 中，∠AOB＝∠COD，
OA＝OC， ∴△AOB≌△COD.
5．如图，从C地看A，B两地的视角∠C是锐角，从C地到A，B两
BC＝CB，
∴△ABC≌△DCB. ∴AB＝DC.
∠AEB＝∠DEC， 在△ABE 和△DCE 中，∠EAB＝∠EDC＝90°，
AB＝DC，
∴△ABE≌△DCE.∴AE＝DE.
1．如图，已知△ABC 的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形 中一定和△ABC 全等的图形是( C )
(2)证明：如图 BE，AD 的延长线交于 F.
答案图 ∵AF∥BC，BE 是角平分线 ∴∠F＝∠CBF＝∠ABF.
又∵AE⊥BE，∴∠AEF＝∠AEB＝90° ∴△ABE≌△AEF(AAS) ∴BE＝EF 又∵∠DEF＝∠BEC，∠F＝∠CBE ∴△CBE≌△DFE(ASA) ∴DE＝CE
(3)解：∵△ABE≌△AFE，∴EF＝EB＝6 ∵∠AEF＝90°，∴AE⊥BF ∵△BEC≌△FED，∴S四边形ABCD＝S△ ABF
第 4 课 全等三角形的判定(3)(4)——ASA，AAS
1．已知：如图，点 A，D，C 在同一直线上，AB∥EC，AC＝CE， ∠ACB＝∠CED. 求证：BC＝DE.
证明：∵AB∥EC，∴∠A＝∠ECD.
在△ABC 和△CDE 中，
∠A＝∠ECD， AC＝CE， ∠ACB＝∠CED， ∴△ABC≌△CDE (ASA)．
∴BC＝DE.
2．如图，已知 AF＝DC，∠1＝∠2，AB∥DE.求证：△ABC≌△DEF.
证明：∵AF＝DC， ∴AF＋FC＝DC＋FC. 即 AC＝DF.
∵AB∥DE.
∴∠A＝∠D.
在△ABC 和△DEF 中，
∠2＝∠1， AC＝DF， ∠A＝∠D， ∴△ABC≌△DEF.
3．如图，点 D 是△ABC 边 BC 的中点，连接 AD，过 C 作 CE⊥AD， 过 B 作 BF⊥AD.求证：CE＝BF.
AC＝AE
∴△ABC≌△ADF(AAS)
∴AD＝AB
3．如图，已知 AD∥BC，点 E 为 CD 上一点，AE，BE 分别平分 ∠DAB，∠CBA.
(1)求证：AE⊥BE； (2)求证：DE＝CE； (3)若 AE＝4，BE＝6，求四边形 ABCD 的面积．
(1)证明：∵AD∥BC ∴∠DAB＋∠ABC＝180° ∵AE、BE 分别平分∠DAB，∠CBA ∴∠EAB＋∠ABE＝90° ∴∠AEB＝90°.∴AE⊥BF
S△ABF＝(BF×2AE)＝12× 2 4＝24
∴四边形ABCD面积是24.
谢谢欣赏
地的距离相等．A地到路段BC的距离AD与B地到路段AC的距离BE
相等吗？为什么？
解：AD＝BE，理由如下： 在△CAD和△CBE中，
∴△CAD≌△CBE， ∴AD＝BE
6．如图，AB⊥AC，BD⊥CD，∠1＝∠2，求证：AE＝DE.
证明：∵AB⊥AC，BD⊥CD，∴∠BAC＝∠CDB＝90°.
∠BAC＝∠CDB， 在△ABC 和△DCB 中，∠2＝∠1，
证明：∵CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠BFD＝∠CED＝90°.
又 D 是 BC 边的中点，∴BD＝CD.
∠BFD＝∠CED，
在△BFD 和△CED 中，∠BDF＝∠CDE，
BD＝CD， ∴△BFD≌△CED.
∴CE＝BF.
4．如图，∠AOD＝∠BOC，∠B＝∠D，点 O 是 AC 的中点．求证： △AOB≌△COD.
A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丙 D．乙
2．如图，AC＝AE，点证明：∵∠BAD＝∠EAC ∴∠BAD＋∠CAD＝∠FAC＋∠CAD 即∠BAC＝∠DAE ∵∠BAD＋∠B＝∠ADE＋∠EDC ∴∠B＝∠ADE
∠BAC＝∠DAF 在△ABC 和△ADE 中∠B＝∠ADE
证明：∵∠AOD＝∠BOC， ∴∠AOD＋∠DOB＝∠BOC＋∠DOB. 即∠AOB＝∠COD. ∵点 O 是 AC 的中点． ∴OA＝OC.
∠B＝∠D， 在△AOB 和△COD 中，∠AOB＝∠COD，
OA＝OC， ∴△AOB≌△COD.
5．如图，从C地看A，B两地的视角∠C是锐角，从C地到A，B两
BC＝CB，
∴△ABC≌△DCB. ∴AB＝DC.
∠AEB＝∠DEC， 在△ABE 和△DCE 中，∠EAB＝∠EDC＝90°，
AB＝DC，
∴△ABE≌△DCE.∴AE＝DE.
1．如图，已知△ABC 的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形 中一定和△ABC 全等的图形是( C )
(2)证明：如图 BE，AD 的延长线交于 F.
答案图 ∵AF∥BC，BE 是角平分线 ∴∠F＝∠CBF＝∠ABF.
又∵AE⊥BE，∴∠AEF＝∠AEB＝90° ∴△ABE≌△AEF(AAS) ∴BE＝EF 又∵∠DEF＝∠BEC，∠F＝∠CBE ∴△CBE≌△DFE(ASA) ∴DE＝CE
(3)解：∵△ABE≌△AFE，∴EF＝EB＝6 ∵∠AEF＝90°，∴AE⊥BF ∵△BEC≌△FED，∴S四边形ABCD＝S△ ABF