2007年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学(一)》试卷【附答案】

2007年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》试卷
考试说明：
1、考试时间为150分钟；
2、满分为150分；
3、答案请写在试卷纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，否则无效；
4、密封线左边各项要求填写清楚完整。

一、填空题：（只需在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，本题共有8个空格，每一空格5分，共40分）
1．函数()
2lg 1
-=
x y 的定义域是______________________。

2．设x y 3
sin 5=，则
_________________________________
=
dx dy。

3．极限_________________________1lim
10
2=+⎰
∞→dx x x n n 。

4
．积分
⎰=+_
______________________________sin 1cot dx x x。

5．设,1111x
x
y -+
+=则()_______________________5=y 。

姓名：_____________准考证号：______________________报考学校 报考专业：
6．积分
________________________________sin sin 0
97=-⎰
π
dx x x 。

7．设()y x e y x u 32sin ++-=，则________________________=du 。

(超纲,去掉)
8．微分方程()
032=+++dy y y y x xdx 的通解________________________。

二．选择题：（本题共有4个小题，每一个小题5分，
共20分，每个小题给出的选项中，只有一项符合要求）
1．设()()⎪⎩
⎪⎨⎧+⎪
⎭⎫ ⎝⎛--+=x x x x x f ln 2311sin 132
11
≥<x x ，则1=x 是()x f 的 【 】。

().A 连续点， ().B 跳跃间断点， ().C 无穷间断点， ().D 振荡间断点。

2. 下列结论中正确的是 【 】。

().A 若1lim
1
=+∞
→n
n n a a ，则n n a ∞
→lim 存在，
().B 若A a n n =∞→lim ，则1lim lim lim 1
1==∞
→+∞
→+∞→n n n n n
n n a a a a ， ().C 若A a n n =∞
→lim ，B b n n =∞
→lim ，则B b n n A a n =∞
→)(lim ，
().D 若数列{}n a 2收敛，且0122→--n n a a ()∞→n ，则数列{}n a 收敛。

3．设()⎰=x
dt t
t
x 0sin α，()()⎰+=x t dt t x sin 011β，则当0→x 时，()x α是()x β的
【 】。

().A 高阶无穷小， ().B 等价无穷小， ().C 同阶但非等价无穷小， ().D 低阶无穷小。

4．已知函数⎪⎩
⎪⎨
⎧
==
t
t
y t t
x ln ln ，则=→dx dy e x lim 【 】。

().A 2e ， ().B
2
1e ， ().C 2
e - ， ().D 21e -。

三．计算题：（计算题必须写出必要的计算过程，只
写出答案的不给分，本题共10个小题，每小题7分，共70分）
1．设x
x y 42ln 1cos ln
+=，求
dx
dy 。

2．由方程22ln arctan
y x x y +=所确定的y 是x 的函数，求dx
dy 。

3．计算极限x
x
x cos 1lim 0
-+
→。

4．计算积分xdx e
x cos 2
sin 3⎰
+。

5．计算积分
()
⎰+dx e xe x x
2
1。

6．计算积分
()⎰
+40
2
21tan π
dx x e x 。

7．求经过点()1,1,1且平行于直线⎩⎨
⎧=--=--1
520
32z y x z y x 的直线方程。

8．计算积分
⎰⎰-D
dxdy x y ，其中222
:a y x
D ≤+。

(超纲,去掉)
姓名：_____________准考证号：______________________报考学校 报考专业：
9．任给有理数a ，函数()x f 满足()()10
+-=
⎰x
dt t a f x f ，求()x f
10．将函数()x
x x f --=
31
在点10=x 处展开成幂级数，并指出收敛区间（端点不考虑）。

四．综合题： （本题共3小题，共20分）
1．（本题10分）设直线ax y =与抛物线2
x y =所围
成的图形的面积为1S ，直线1,==x ax y 与抛物线2
x y =所围成的面积为2S ，当
1<a 时，，试确定a 的值，使得21S S S +=最小。

2．（本题6分）证明：
()(
)
()⎰
⎰
⎰
-=10
210
][2dx x f x x dx dy y f x x (超纲,去掉)
3．（本题4分）当π<<x 0时，求证π
x
x >2sin 。

2007年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》参考答案
一．填空题： 1．()()∞+⋃.33,2 2．5ln 5cos sin 33
sin 2'x
x x y =
3．0 4．C x
x
++sin 1sin ln
5．()()
6
51!
52x y -⨯=
6．
9
4 7．()()()()
dy e y x dx e y x du y x y x 3332cos 2cos 2+++--++-=(超纲,去掉) 8．(
)C y
y
x =++2
2
2ln
二．选择题：
1。

A ， 2。

D ， 3。

C ， 4。

D 。

三．计算题：
1．解。

()
x x y 4ln 1ln 2
1
cos ln 2+-
= ()
x
x x x x x x x y 4343'ln 1ln 2tan 2ln 11
ln 421tan 2+--=+⋅
--= 2。

解：方程两边对x 求导数，得
'
'2
2'22'222'222211
yy x y xy y x yy x y x y xy y x y x x y xy x y +=-⇒++=+-⇒++=-⋅⎪⎭
⎫
⎝⎛+）（ ()y
x y
x y y x y y x -+=
⇒+=-⇒''。

3．解:令x t =
，21
2sin lim cos 1lim cos 1lim 20
==-=-+
++
→→→t t t
t x x o t o t x 4．解：原式＝
()⎰+=+++C e x d e x x 2
sin 32sin 33
12sin 331
5．解：
()
⎰+dx e xe x x
2
1＝()
⎰⎰
⎰+++-=⎪⎭
⎫
⎝⎛+-=++dx e e x e xd e e xd x x
x x x 111111)
1(2
＝()()()1ln 1ln 11111
x x x x x x x d e x x x
e C x e C e e e e ---+--=--++=-+-++++++⎰
6．解：
()⎰
+4
2
21tan π
dx x e x ＝
()
=+=+⎰⎰
⎰4
24
4
2
22
2tan 2sec tan 2sec
π
π
π
xdx e xdx e dx x x e
x x
x
＝
＝240
24
24
240
2tan tan 2tan 2tan π
ππ
π
π
e x
e
xdx e
xdx e
x
e
x
x
x
x
==+-⎰⎰
7．解：平行于直线⎩⎨
⎧=--=--1520
32z y x z y x 的直线的方向向量应是
→
→→→
→
→
→-+-=----=k j i k
j i
S 375
2
1
312
所求直线方程为
3
1
7111--=-=--z y x 8. 解：a
y x D dxdy
x y I D
2
2
2
:
≤+
-=
⎰⎰
(超纲,去掉)
令a y
x y x 2
2
2
2
sin ,cos ≤=+
==ρθ
ρθρ
()()()()
()
[]
a
a
a a d d d d d I a 3
3
454
24
540
3
402454543
2
20
3242221123
sin cos cos sin cos sin 3sin cos cos sin )sin (cos 3sin cos =
+++-=
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣
⎡--++++=
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+-+-=-=⎰⎰⎰⎰
⎰
ππ
πππ
ππππππθθθθθθθθθθθθθθθρ
θθθρ
9．解：原方程两边对x 求导数得
()()()()()()()()()()()i
a f f f x x f x f x f x f x a a f x a f x f x a f x f ±==+='===+''∴-=---=-'-=''-='λλ
即对应的特征方程为方程由得由原方程令满足0
1)2(0)1(1
00
)
2(0
)()()1(2
()()()()()()()x
a
a
x x f a
a
c a c a a f c f x c x x f x c x x f c f x
c x c x f sin sin 1cos cos sin 1cos sin cos 0cos sin sin cos 110sin cos )2(22222121-+
=∴-=
∴+==='+-='+===+=∴即得有通解
10．解：
()()
()()
3
1 12
1212121211112
1
12111
00<<-<-⎪⎭⎫
⎝
⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛---=---=+∞
=∞
=∑∑x x x x x x x x x x f n n n n
即收敛区间为
四、综合题： 1．解：
()()
()()()()()
()()()()()()()
62
2212
1
S 1 31
2
2312262622-2 3
10S 0,0.
0 021
2312623132 )
,()0,0( 0 62
221 10 0221
0 21312323132 S S )
,((0,0) 10 min min 23332
10202122min 2333332
1202122-=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛==<∴<
+=+==
=≤≤<--='+
--=-++-=-+-=+===≤-=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=<<∴>=''=
='-='+
-=---+-=-+-=+===<<⎰⎰⎰⎰S S a a S a S S a a a S a a S a a a a a dx
ax x dx x ax S S S a a x y ax y a S S a a a S a a S a a S a a a a a a a ax
x dx x ax S a a x y ax y a a a a 时取到
的最小值在时在又的最小值为时故在时单调减小在和的交点坐标是与时当时在令和的交点坐标是与时当
2．解法一：用二重积分交换积分次序即可证得。

(超纲,去掉)
()[]
()()
(
)()(
)
()⎰⎰⎰⎰
⎰⎰
-=-==⎪⎩⎪⎨
⎧≤≤≤≤⎩⎨⎧≤≤≤≤=dx
x f x x dy y f y y dy dx y f y y
x x x y dx dy y f I y y
x x 210
210
10
221
2
2
1
0y 10x 积分区域 解法二：用一元函数分部积分法可证得
()[]
()()()
()
()
()
()
()
()
()
()()()()()()()()[]
(
)
()dx
x f x x dx dy y f dx x f x dv v f v vdv v vf dx x f x vdv
dx v x x v dx
x f x du u f u du u
u uf dx x f x du u
dx u x x u dx x f x dx x f x x f x x f x dx x xf x f x x dy
y f xd
dy
y f x dx dy y f x
x
x u x x
x x
x x
210
10
2
102101
1
21
010102210
1
0 1
0 2
10
2
2102
210
21010
10
10
2
2
2
2
22
12
1
2 , , 21
22
21 212212221-=∴==⋅======⋅==
==-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--=-=⎰⎰
⎰⎰⎰⎰
⎰
⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰
⎰
⎰
⎰
⎰
→→令第二个积分令第一个积分从从
3证明：令
()()()()()()()()π
ππππππ
x x x x x f x f x f x f x
x x x x x x x x x x x x f x
x
x f >
><<=>∴<'>><<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-='-=
2sin 12sin
0 ,,00 ,2
2tan ,02cos , 0 2tan 22cos 2sin
2cos 2
12sin 2
2即即内单调减少在从而时当。