(完整版)数学必修五数列知识总结

数列知识总结
一.知识网络 :
等差数列的
正等差数列性质
有
整
数列的观点
通项及关
前 n 项和
数应
集等比数列
等比数列的用
性质
二.重点提示:
1.数列的定义 :按必定序次摆列的一列数. 数列是定义在正整数集或其有限子集｛1，2，3，，n ｝上的函数当自变量由小到大挨次取值时对应的一列函数值．
2.数列的通项公式和前 n 项和:关于随意数列a n , 其通项是 a n和它的前 n 项和S n
之间的关系是: a n S1
,
(n 1)
S n (n
.
S
n 1 2, n N *)
3.求数列通项公式的方法:
①察看法:找项与项数的关系,而后猜想查验, 即得通项公式 a n ,注意利用前几项得出的通项公式不必定独一 .
②利用通项 a n和它的前 n 项和S n之间的关系是:,
③公式法:利用等差数列,等比数列的通项公式求解.
④其余方法: 迭加,迭乘,待定系数等.
4.证明一个数列是等差数列或等比数列, 常用的两种基本方法 : 一是利用定义; 二是
．．．．
利用等差中项（或等比中项）来进行证明.( 注意:通项的特色与前 n 项和的特色只用于判断)
5.等差数列的性质:
(1) 数列 a n为等差数列，则a m= a n＋（m－n）d,或d a n a m n m
(2) 数列 a n为等差数列的充要条件是:其通项公式能够写成a n= an＋b (a,b为实
．．．．
常数).
(3) 数列 a n 为等差数列的充要条件2a n a
n 1 a n 1,推广
．．．．2a n a n k a n k( n>k. >0)
(4) 数列a n为等差数列:若 m n p q ,则a m a n a p a q.
(5)数列 a n为等差数列,去掉前m项,剩下的项组成等差数列.
推行：数列 a n为等差数列,则每隔k项取m项的和仍组成等差数列.
(6)数列 a n是公差为d的等差数列,则奇(偶)数项组成公差为2 d的等差数列.
推行①:数列a n为公差为 d 等差数列: 则在数列中每隔 k 项取一项组成的数列是公差为 (k 1)d 的等差数列.项数成等差数列的项成等差数列.
推行②:数列a n是公差为 d 的等差数列 ,则项下标成等差数列的项也成等差数列.
(7) 数列a n , b n 项数同样的等差数列 :则ka n , pa n qb n , pa
n
q ( p, q 为常数) 仍为等差数列.
(8) 数列a n 为等差数列,其前n 项和S n能够写成S n an 2 bn, (a, b 为常数).
(9)数列 a n为等差数列:则数列中挨次每连续k项之和组成的数列也是等差数列.
(10)数列 a n为等差数列: S奇表示奇数项的和, S偶表示偶数项的和,
若项数为2n 项时, 则有S奇－S偶 = nd , S奇 / S偶= a n / a n+ 1 ;
若项数为 2n － 1 项时 , 则有奇
－S偶
= a
n, 奇
/
S偶
= n/ (n
－
S S 1), S2 n 1(2n 1)a n .
6.等比数列的性质:
(1) 数列a n 为等比数列: a n a1q n 1, a m a n q m n , a n 2 a
n m
a
n m
.
(2) 数列a n 为等比数列: a n 2 a
n 1 a n 1 ,推行 a n 2 a n m a n m ( n>m >0)
(3) 数列a n 为等比数列: m n p k ,则 a m a n a p a k.
(4)数列 a n为等比数列,取掉前若干项,节余的项也组成等比数列.
推行：数列 a n为等比数列,则每隔k项取m项的和(积)仍组成等比数列.
(5) 数列 a n 为等比数列,则奇(偶)数项组成等比数列.
推行① :数列 a n 为公比为 q 等比数列: 则在数列中每隔 k 项取一项组成的数列
是公比为 q k 1 的等比数列.
推行②:数列 a n 为等比数列 ,则项数成等差数列的项成等比数列.
1 a n } , ka n , a n b n , a n k
(k 为 (6) 数列 a n , b n 为项数同样的等比数列: 则 { } , {
b n a n
常数) 等仍为等比数列.
(7) 数列 a n 为公比为 q(q ≠±1) 的等比数列:则数列中连续 k 项之和(积) 组成的数列
是等比数列.
(8) 数列 a n 为等比数列: ( S 奇 表示奇数项的和, S 偶 表示偶数项的和 )
若项数为 2n 项时,则有 S 偶 / S 奇 = q;若项数为 2n －1 项时, 则有( S 奇 － a 1 )/ S 偶 =
q.
(9) 递推公式为 a n 1 pa n q( p 1) 的递推数列 { a n } , 都能够转变为
a
n 1
q p a n
q 进而结构等比数列.
p
1 p 1
7.等差数列与等比数列比较:
名称
等差数列
等比数列
定义
a n+ 1 ―a n =d
a n 为等差数
a
n 1
q ( q
0 )
a n 为等比数列
a n
列
通项公 a n = a 1＋( n －1) d = a m ＋( n －
a n = a 1q n
－1 = a m q n －m 式 m) d
前 n 项 S n
n a 1 a n
na 1
q 1 , 2
S n a 1 1 q n a 1
a n q
和公式 1
n n
1
q 1 q 1 .
na 1
d
q
2
a ，A ，
b 成等差数列
a ，G ，
b ，成等比数列
中项
A
a b
，或 2 A=a ＋b ．
G
ab ，或 G 2=ab
2
8.等差数列与等比数列的关系:
(1) 各项为正的等比数列 a n ,其对数数列{log a a n }( a 0, a 1) 为等差数列.
(2) 数列 a n 为等差数列,则数列{ C a n }( C 为正常数) 为等比数列.
9.数列乞降的一般方法( 联合于详细的示例解说): ①倒序乞降法:(等差数列的乞降);
②错位相减法:(等比数列和差比数列);
例 1:乞降: a 2a 2 3a 3 4a 4
na n (n N *) .
③裂项相消法:(数列中的各项能够拆成几项, 而后进行消项);
例 2:乞降:
1 1 5
5 1 (2n 1) 1
.
1 3 3 7
(2n 1)
例 3:求数列{
1
} 的前 n 项和.
n
n
1
④通项化归法:(化出通项, 由通项确立乞降方法 );
例 4:求数列:1,
1 , 1 , ,
2 1 , 的前 n 项和 S n .
1 2 1 2 3 1 3
n
⑤分组乞降法:(将一个数列分红几组,每组都能够用乞降公式来求解); 例 5:求数列 2,2 1 ,3 1 ,4 1
, , n
1 , 的前 n 项之和.
2 4 8
2n 1
⑥公式法:( 应用等差或等比数列的乞降公式直接来求解). ⑦.累差迭加法
例 6:已知数列 6,9,14,21,30, , 此中相邻两项之差成等差数列,求它的通项.
⑨∑乞降记法
n
用 a k = a 1
a 2
a 3
a n 。

k 1
例7: 若1 2
2
2 3
2
3 4
2
n(n 1) 2
n( n 1)
( an 2 bn c) , 对 n ∈ N 恒
12
建立, 求 a ,b , c 的值.。