高考微点十 计数原理、概率、随机变量及分布列

高考微点十 计数原理、概率、随机变量及分布列
牢记概念公式，避免卡壳
1.概率及计算公式
(1)古典概型的概率计算公式 P (A )＝
事件A 包含的基本事件数m
基本事件总数n
.
(2)互斥事件的概率：P (A ∪B )＝P (A )＋P (B ).
(3)对立事件的概率：P (A －
)＝1－P (A ). 2.排列、组合数公式
(1)排列数：A m n ＝n (n －1)…(n －m ＋1)＝
n ！
（n －m ）！
.
(2)组合数：C m n ＝A m n A m
m ＝n （n －1）…（n －m ＋1）m ！＝n ！m ！（n －m ）！
(n ，m ∈N *
且m ≤n ). 3.二项式定理 (1)二项式定理
(a ＋b )n ＝C 0n a n b 0＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N *
).
(2)二项展开式通项与二项式系数
T k ＋1＝C k n a n －k b k ，其中C k n (k ＝0，1，2，…，n )叫做二项式系数.
4.离散型随机变量的分布列的两个性质
(1)p i ≥0(i ＝1，2，…，n )；(2)p 1＋p 2＋…＋p n ＝1. 5.离散型随机变量的数学期望与方差 (1)数学期望E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n ；
(2)方差D (X )＝(x 1－E (X ))2·p 1＋(x 2－E (X ))2·p 2＋…＋(x n －E (X ))2·p n . 6.相互独立事件、独立重复试验的概率 (1)若A ，B 相互独立，则P (AB )＝P (A )·P (B ). (2)条件概率，P (B |A )＝
P （AB ）
P （A ）
.
(3)n 次独立重复试验：P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )
n －k
. 活用结论规律，快速抢分
1.古典概型的两个特点：(1)有限性；(2)等可能性.
2.二项式系数的性质 (1)各二项式系数之和
①C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n . ②C 1n ＋C 3n ＋…＝C 0n ＋C 2n ＋…＝2
n －1. (2)二项式系数的性质
①C r n ＝C n －
r n ，C r n ＋C r －
1n ＝C r n ＋1.
②二项式系数最值：中间一项或中间两项的二项式系数最大. 3.离散型随机变量数学期望、方差的性质. (1)期望的性质
①E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ： ②若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ； ③若X 服从两点分布，则E (X )＝p . (2)方差的性质 ①D (aX ＋b )＝a 2D (X ).
②若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p ). ③若X 服从两点分布，则D (X )＝p (1－p ).
高效微点训练，完美升级
1.山城农业科学研究所将5种不同型号的种子分别试种在5块并成一排的试验田里，其中A ，B 两型号的种子要求试种在相邻的两块试验田里，且均不能试种在两端的试验田里，则不同的试种方法数为( ) A.12 B.24 C.36
D.48
解析 因为A ，B 两型号的种子试种方法数为2×2＝4，所以一共有4A 33＝24(种)
试种方法. 答案 B
2.在二项式⎝ ⎛⎭
⎪⎫3x 2－12x n 的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式的第4
项为( ) A.7x 6 B.－7x 19
3 C.358x 203
D.－74x 7
解析 由二项式系数的性质，知n ＝8， 则
T r ＋1＝C r 8
(3
x 2)
8－r ⎝ ⎛
⎭⎪⎫－12x r ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12r C r 8x
16＋r 3， ∴展开式中第4项T 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－123C 38x 19
3＝－7x 193.
答案 B
3.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为( ) A.0.6
B.0.5
C.0.4
D.0.3
解析 2名男同学和3名女同学，共5名同学，从中取出2人，有C 25＝10种情况，2人都是女同学的情况有C 23＝3种，故选中的2人都是女同学的概率为310＝0.3. 答案 D
4.经统计，某市高三学生期末数学成绩X ～N (85，σ2)，且P (80 <X <90)＝0.3，则从该市任选一名高三学生，其成绩不低于90分的概率是( ) A.0.35 B.0.65 C.0.7
D.0.85
解析 ∵数学成绩X ～N (85，σ2)，且P (80<X <90)＝0.3，∴P (X ≥90)＝1－P （80<X <90）
2＝0.35，故选A.
答案 A
5.袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是( ) A.25 B.35 C.18125
D.54125
解析 袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次
取到黄球的概率p 1＝35，∴3次中恰有2次抽到黄球的概率是p ＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫352⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝54
125. 答案 D
6.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( ) A.－40 B.－20 C.20
D.40
解析 令x ＝1，则(1＋a )(2－1)5＝2，∴a ＝1. ∴原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x －1x 5.
又⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x －1x 5展开式的通项T r ＋1＝(－1)r C r 5·25－r x 5－2r ， 令5－2r ＝1，得r ＝2，对应的常数(－1)2C 25·23x ·
1x ＝80， 令5－2r ＝－1，得r ＝3，对应的常数(－1)3C 35·221x ·x ＝－40，
故所求展开式中常数项为80－40＝40. 答案 D
7.已知随机变量X 服从二项分布B ⎝ ⎛
⎭⎪⎫4，12，则E (3X ＋1)＝( )
A.3
B.4
C.6
D.7
解析 ∵随机变量X 服从二项分布B ⎝ ⎛
⎭⎪⎫4，12，
∴E (X )＝4×1
2＝2，则E (3X ＋1)＝3E (X )＋1＝7. 答案 D
8.袋子中装有大小、形状完全相同的2个白球和2个红球，现从中不放回地摸取2个球，已知第二次摸到的是红球，则第一次摸到红球的概率为( ) A.16 B.13 C.12
D.15
解析 设“第二次摸到红球”为事件A ，“第一次摸到红球”为事件B ，∵P (A )＝
2×1＋2×24×3＝12，P (AB )＝24×3＝1
6，∴P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝13
，∴在第二次摸到
红球的条件下，第一次摸到红球的概率为1
3，故选B. 答案 B
9.为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼.某校篮球运动员进行投篮练习，他前一球投进则后一球投进的概率为3
4，他前一球投不进则后一球投进的概率为14.若他第1球投进的概率为3
4，则他第2球投进的概率为________.
解析 设该篮球运动员投进第n －1(n ≥2，n ∈N *)个球的概率为p n －1，第n －1个球投不进的概率为1－p n －1，则他投进第n 个球的概率为p n ＝34p n －1＋14(1－p n －1)＝1
4＋12p n －1，∴p n －12＝12⎝ ⎛
⎭
⎪⎫p n －1－12.
∴p n －12＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫p 1－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1×14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1.
∴p n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＋1
2(n ∈N *)，∴p 2＝58.
答案 58
10.若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________(用数字作答).
解析 f (x )＝x 5＝(1＋x －1)5，它的通项为T k ＋1＝C k 5(1＋x )
5－k
·(－1)k ，令5－k ＝3，则k ＝2.
所以T 3＝C 25(1＋x )3(－1)2＝10(1＋x )3，∴a 3＝10.
答案 10
11.(多填题)某商场在儿童节举行回馈顾客活动，凡在商场消费满100元者即可参加射击赢玩具活动，具体规则如下：每人最多可射击3次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直射击到3次为止.设甲每次击中的概率为p (p ≠0)，射击次数为Y ，若Y 的数学期望E (Y )＝74，则p 的值是________，获奖概率为________. 解析 依题意，P (Y ＝1)＝p ，P (Y ＝2)＝(1－p )p ，
P(Y＝3)＝(1－p)2，
则E(Y)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝7 4，
解之得p＝5
2或p＝
1
2，
又p∈(0，1)，所以p＝1 2.
获奖概率为p＋(1－p)p＋(1－p)2p＝7 8.
答案1
2
7
8
12.有编号为1，2，3，…，n的n个学生，入坐编号为1，2，3，…，n的n个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，已知X＝2时，共有6种坐法.
(1)求n的值；
(2)求随机变量X的概率分布列.
解(1)因为当X＝2时，有C2n种坐法，
所以C2n＝6，即n（n－1）
2＝6，
n2－n－12＝0，解得n＝4或n＝－3(舍去)，所以n＝4.
(2)因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，由题意知X的可能取值是0，2，3，4，
所以P(X＝0)＝
1
A44＝
1
24，
P(X＝2)＝C24×1
A44＝
6
24＝
1
4，
P(X＝3)＝C34×2
A44＝
8
24＝
1
3，
P(X＝4)＝1－1
24－
1
4－
1
3＝
3
8，
所以X的概率分布列为：
13.某省会城市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学生的高度赞誉，在推出的第二季名师云课中，数学学科共计推出36节云课，为了更好地将课程内容呈现给学生，现对某一时段云课的点击量进行统计：
(1)现从 3 000的节数；
(2)为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间[0，1 000]内，则需要花费40分钟进行剪辑，若点击量在区间(1 000，3 000]内，则需要花费20分钟进行剪辑，点击量超过3 000，则不需要剪辑，现从(1)中选出的6节课中随机取出2节课进行剪辑，求剪辑时间X的分布列与数学期望.
解(1)根据分层抽样可知，选出的6节课中点击量超过3 000的节数为12
36×6＝2.
(2)由分层抽样可知，(1)中选出的6节课中点击量在区间[0，1 000]内的有1节，点击量在区间(1 000，3 000]内的有3节，点击量在(3 000，＋∞)内的有2节，故X的可能取值为0，20，40，60.
P(X＝0)＝C22
C26＝
1
15，
P(X＝20)＝C13C12
C26＝
6
15＝
2
5，
P(X＝40)＝C12＋C23
C26＝
5
15＝
1
3，
P(X＝60)＝C13
C26＝
3
15＝
1
5，
则X的分布列为
即E(X)＝0×1
15＋20×
2
5＋40×
1
3＋60×
1
5＝
100
3.
14.某商场销售某种品牌的空调，每周周初购进一定数量的空调，商场每销售一台空调可获利500元，若供大于求，则多余的每台空调需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时每台空调仅获利润200元.
(1)若该商场周初购进20台空调，求当周的利润(单位：元)关于当周需求量n (单位：台，n ∈N )的函数解析式f (n )；
(2)该商场记录了去年夏天(共10周)空调需求量n (单位：台)，整理得下表：
以1020台空调，X 表示当周的利润(单位：元)，求X 的分布列及数学期望. 解 (1)当n ≥20时，f (n )＝500×20＋200×(n －20)＝200n ＋6 000； 当n ≤19时，f (n )＝500×n －100×(20－n )＝600n －2 000， ∴f (n )＝⎩⎨⎧200n ＋6 000（n ≥20），600n －2 000（n ≤19）(n ∈N ).
(2)由(1)得f (18)＝8 800，f (19)＝9 400， f (20)＝10 000，f (21)＝10 200，f (22)＝10 400，
∴P (X ＝8 800)＝0.1，P (X ＝9 400)＝0.2，P (X ＝10 000)＝0.3，P (X ＝10 200)＝0.3，P (X ＝10 400)＝0.1， X 的分布列为
∴E (X )＝8 400×0.1＝9 860.。