北师大版高中数学选修2--1检测试题答案-教师用卷

北师大版高中数学选修2--1检测试题答案
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 椭圆
x 2
16
+y 29
=1中，以点M(1,2)为中点的弦所在直线斜率为( )
A. 9
16
B. 9
32
C. 9
64
D. −9
32
【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了椭圆的性质以及直线与椭圆的关系，考查直线的斜率，考查分析与计算能力，属于中档题．
在解决弦的中点问题，常用“点差法”，设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化，先设出弦的两端点的坐标，分别代入椭圆方程，两式相减后整理即可求得弦所在的直线的斜率． 【解答】
解：设弦的两端点为A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，
代入椭圆得{x 1
216+y 1
29
=1x 2
216
+
y 229
=1
, 两式相减得(x 1+x 2)(x 1−x 2)
16
+
(y 1+y 2)(y 1−y 2)
9
=0，
即
(x 1+x 2)(x 1−x 2)
16=−
(y 1+y 2)(y 1−y 2)
9
，
∴−9(x 1+x 2)
16(y 1
+y 2
)=y 1−y
2
x 1
−x
2
， 又M(1,2)为弦AB 的中点， ∴ x 1+x 2=2，y 1+y 2=4， ∴−9×216×4=y 1−y
2x 1
−x 2
，
即y 1−y 2
x
1−x 2
=−9
32
，
∴弦所在的直线的斜率为−9
32，
故选D ．
2. 给出如下四个命题：
①若“p 且q ”为假命题，则p 、q 均为假命题；
②命题“若a >b ，则2a >2b −1”的否命题为“若a ≤b ，则2a ≤2b −1”；
③“
，x 2+1≥1”的否定是“，x 2+1<1”； ④在△ABC 中，“A >B ”是“sinA >sinB ”的充要条件． 其中正确的命题的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C
【解析】【分析】
本题以命题的真假判断与应用为载体考查了复合命题，四种命题，全称命题，充要条件等知识点，属于中档题．
根据复合命题真假判断的真值表，可判断①；根据四种命题的定义，可判断②；根据全称命题的否定，可判断③；根据充要条件的定义及三角形正弦定理，可判断④． 【解答】
解：①若“p 且q ”为假命题，则p 、q 存在至少一个假命题，但不一定均为假命题，故错误；
②命题“若a >b ，
则2a >2b −1”的否命题为“若a ≤b ，则2a ≤2b −1”，故正确； ③“
，x 2+1≥1”的否定是“，x 2+1<1”，故正确； ④在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔2RsinA >2RsinB ⇔sinA >sinB ， 故“A >B ”是“sinA >sinB ”的充要条件，故正确． 故选C ．
3. 一动圆P 过定点M(−4,0)，且与已知圆N ：(x −4)2+y 2=16相切，则动圆圆心P
的轨迹方程是( )
A. x 24−y 2
12=1(x ≥2) B. x 24−y 2
12
=1(x ⩽2) C. x 2
4−y 2
12
=1 D. y 2
4−x
2
12
=1 【答案】C
【解析】【分析】
本题考查圆与圆的位置关系，考查双曲线的定义，属于中档题．
动圆圆心为P ，半径为r ，已知圆圆心为N ，半径为4，由题意知，动点P 到两定点的距离之差的绝对值为常数4，P 在以M 、N 为焦点的双曲线上，且2a =4，2c =8，从而可得动圆圆心P 的轨迹方程． 【解答】
解：动圆圆心为P ，半径为r ，已知圆圆心为N ，半径为4， 由题意知：
当动圆与圆N 外切时，|PM |=r ，|PN |=r +4， 所以|PN |−|PM |=4;
当动圆与圆N 内切时，|PM |=r ，|PN |=r −4， 所以||PM |−|PN ||=4;
即动点P 到两定点的距离之差的绝对值为常数4，
故P 在以M 、N 为焦点的双曲线上，且2a =4，2c =8， ∴b =2√3．
∴动圆圆心P 的轨迹方程为x 24
−
y 212
=1．
故选C ．
4. 若点O 与点F 分别为椭圆
x 24+
y 23
=1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，
则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FP
⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( ) A. 2 B. 3 C. 6 D. 8 【答案】C
【解析】【分析】
本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值，考查了综合应用能力、运算能力，属于中档题．
先求出左焦点坐标F ，设P(x 0,y 0)，根据P(x 0,y 0)在椭圆上可得到x 0、y 0的关系式，表
示出向量FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 、OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据数量积的运算将x 0、y 0的关系式代入组成二次函数进而可确定
答案． 【解答】
解：由题意，F(−1,0)，设点P(x 0,y 0)，则有x 0
24
+
y 0
23
=1，解得y 02
=3(1−
x 0
24
)，
因为FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0+1,y 0)，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0,y 0)，
所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 0(x 0+1)+y 02 =
x 0
24
+x 0+3=1
4(x 0+2)2+2，
此二次函数对应的抛物线的对称轴为x 0=−2，
因为−2≤x 0≤2，所以当x 0=2时，OP
⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值22
4
+2+3=6， 故选：C ．
5. 下列命题中真命题的个数是( )
①∀x ∈R ，x 4>x 2；
②若“p ∧q ”是假命题，则p ，q 都是假命题；
③命题“∀x ∈R ，x 3−x 2+1≤0”的否定是“∃x ∈R ，x 3−x 2+1>0”． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B
【解析】【分析】
此题是个基础题．考查命题的否定和复合命题的真假判定方法等基础知识，考查学生对基础知识的记忆和理解．
要说明一个命题不正确，举出反例即可①当x =0时不等式不成立，②根据复合命题真值表可知，“p ∧q ”是假命题，只需两个命题中至少有一个为假即可；③全称命题的否定是特称命题，既要对全称量词进行否定，又要否定结论，故正确． 【解答】 解：易知①当x =0时不等式不成立，对于全称命题只要有一个情况不满足，命题即假； ②错，只需两个命题中至少有一个为假即可； ③正确，全称命题的否定是特称命题， 即只有一个命题是正确的， 故选B ．
6. 已知椭圆x 2
4+y 2
b
2=1(0<b <2)的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，
B 两点，若|BF 2|+|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( )
A. √3
B. √2
C. 3
2
D. 1
【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查椭圆的定义的应用，属中档题.
三角形AF 2B 为焦点三角形，根据椭圆方程，即可求出三角形AF 2B 的周长，欲使|BF 2|+|AF 2|的最大，只须|AB|最小，利用椭圆的性质即可得出答案。

【解析】
解：由椭圆的方程可知：长半轴长为a=2，
由椭圆的定义可知：|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=8，所以|AB|=8−(|AF2|+|BF2|)≥3，
由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，
令x=−c，代入x2
a2+y2
b2
=1,得y=±b2
a
,
即2b2
a
=3，可求得b2=3，即b=√3．
故选A．
7.已知双曲线的离心率为√3，抛物线y2=12x的准线过双曲
线的一个焦点，则双曲线的方程为()
A. x2
3−y2
6
=1 B. x2
6
−y2
3
=1 C. x2
9
−y2
18
=1 D. x2
18
−y2
9
=1
【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了双曲线的标准方程、圆锥曲线的共同特征，解答关键是对于圆锥曲线的共同特征的理解与应用．
利用双曲线x2
a −y2
b
=1(a>0,b>0)的离心率等于√3，抛物线y2=12x的准线过双曲线
的一个焦点，求出a，c，可得b，即可求出双曲线的方程．【解答】
解：∵双曲线x2
a2−y2
b2
=1(a>0,b>0)的离心率为√3，抛物线y2=12x的准线过双曲线
的一个焦点，
∴c
a =√3，−p
2
=−c=−3，
∴a=√3，c=3，∴b=√6，
∴双曲线的方程为x2
3−y2
6
=1．
故选A．
8.已知直线y=−x+1与椭圆x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)相交于A、B两点，若椭圆的离
心率为√2
2
，焦距为2，则线段AB的长是()
A. 2√2
3B. 4√2
3
C. √2
D. 2
【答案】B
【解析】【分析】
此题考查椭圆的方程、性质，直线与椭圆的位置关系，联立方程组求解出点的坐标，运
用距离公式，属于中档题，求出椭圆的方程为x2
2+y2=1，联立{
x2
2
+y2=1
y=−x+1
得出A(0,1)，
B(4
3,−1
3
)，即可得出两点距离．
【解答】
解：∵e=√2
2
，2c=2，c=1，∴a=√2，c=1，
则b=√a2−c2=1，
∴椭圆的方程为x2
2
+y2=1，
联立{x2
2
+y2=1 y=−x+1
化简得：3x 2 −4x=0，
解得x=0或x=4
3
，
代入直线得出y=1或y=−1
3
，
则A(0,1)，B(4
3,−1
3
)，
∴|AB|=4√2
3
．故选B．
9.已知椭圆x2
a2+y2
b2
=1上一点A关于原点的对称点为点B,F为其右焦点，
若AF⊥BF，设∠ABF=α，且α∈[π
6,π
4
]，则该椭圆离心率e的取值范围为()
A. [√2
2,√3−1] B. [√2
2
,1) C. [√2
2
,√3
2
] D. [√3
3
,√6
3
]
【答案】A
【解析】【分析】
此题考查了椭圆的定义及其性质，作出对应的图象，设椭圆的左焦点为F′，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′为矩形，因此|AB=|FF′|=2c，|AF|=2csinα，|BF|=2ccosα，可得
e=c
a =1
cosα+sinα
=
√2(α+π
4
)
，求出即可．
【解答】
解：如图所示，设椭圆的左焦点为F′，连接AF′，BF′，
∵AF⊥FB，
∴四边形AFBF′为矩形，
因此|AB=|FF′|=2c，
则|AF|=2csinα，|BF|=2ccosα，∵|AF′|+|AF|=2a，
∴2ccosα+2csinα=2a，
即c(cosα+sinα)=a，
则e=c
a
=1
cosα+sinα
=
√2(α+π
4
)
，
∵α∈[π
6,π
4 ]，
∴α+π
4∈[5π
12
,π
2
]，
则sin(α+π
4)∈[√6+√2
4
,1]，
√2sin(α+π
4)∈[√3+1
2
,√2]，
则e=c a=
√2(α+π
4)
∈[√2
2
,√3−1]．
故选A．
10.若椭圆x2
a2+y2
b2
=1过抛物线y2=8x的焦点，且与双曲线x2−y2=1有相同的焦点，
则该椭圆的方程是()
A. x2
4+y2
2
=1 B. x2
3
+y2=1 C. x2
2
+y2
4
=1 D. x2+y2
3
=1
【答案】A
【解析】抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0)，则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线x2−y2=1有相同的焦点，∴a=2，c=√2，∵c2=a2−b2，∴b2=2，
∴椭圆的方程为x2
4+y2
2
=1．
11.长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AA1=2，AD=1，E为CC1的中点，则异面直
线BC1与AE所成角的余弦值为()
A. √1010
B. √30
10 C. 2√15
10
D. 3√10
10
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查异面直线所成角，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．
以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值． 【解答】 ↵
解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，
则B(1,2，0)，C 1(0,2，2)，A(1,0，0)，E(0,2，1)， BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，2)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2，1)， 设异面直线BC 1与AE 所成角为θ， 则cosθ=
|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE
⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AE
⃗⃗⃗⃗⃗ |=
√5⋅√6
=
√30
10
． ∴异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为√30
10
．
故选B ．
12. 设p ：√2x −1⩽1，q:(x −a )[x −(a +1)]⩽0，若q 是p 的必要而不充分条件，
则实数a 的取值范围是( )
A. [0,1
2]
B. (0,1
2)
C. (−∞,0)∪[1
2,+∞)
D. (−∞,0)∪(1
2,+∞)
【答案】A
【解析】【分析】
此题考查不等式求解，考查充分必要条件及由集合的关系求参数． 【解答】
解：由p ：√2x −1⩽1，解得1
2≤x ≤1； 由q:(x −a )[x −(a +1)]⩽0，解得a ≤x ≤a +1； 若q 是p 的必要而不充分条件， 则{a ≤1
2a +1≥1， 解得a ∈[0,12]． 故选A ．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 点P 是椭圆x 2
16+y
2
9=
1上一点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF 1|·|PF 2|=12，则∠F 1PF 2的大小______． 【答案】
【解析】【分析】
本题考查椭圆的定义、简单几何性质以及余弦定理的应用，属于中档题． 利用椭圆的定义，结合余弦定理和已知条件，转化求解即可． 【解答】 解：由椭圆
x 216
+
y 29
=1，可得a =4，b =3，
则2a =8，c 2=a 2−b 2=16−9=7，
设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，可得{m +n =2a =8
mn =124c 2=m 2+n 2
−2mncos∠F 1PF 2，
化简可得cos ∠F 1PF 2=1
2，
， ，
故答案为
．
14. (1)已知a →=(x,4,1),b →
=(−2,y,−1),c →
=(3,−2,z )，a
⃗ //b ⃗ ,b ⃗ ⊥c ⃗ ，则z =_______． (2)若双曲线
y 216
−x 2
m =1的离心率e =2，则m =________
(3)已知方程
x 2
m 2+n
−
y 23m 2−n
=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n
的取值范围是________．
(4)在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，则A 1B 与平面A 1B 1CD 所成角的大小为________ (5)若点(3,1)是抛物线y 2=2px(p >0)的一条弦的中点，且弦的斜率为2，则p 的值为_________． 【答案】(1)2； (2)48； (3)(−1,3)； (4)π
6； (5)2． 【解析】(1) 【分析】
本题考查了平面向量的数量积，平面向量平行及垂直的性质与判定.先根据向量平行得出x
2=4
y =1
−1，解得x =2，y =4，再由垂直得出−6+8−z =0，解得z =2; 【解答】
解：∵a ⇀//b ⇀
，∴x
2=4
y =1
−1，解得x =2，y =4，
又∵b ⇀
⊥c ⇀，∴−6+8−z =0，解得z =2; 故答案为2；
(2)
【分析】
本题主要考查双曲线的性质，根据双曲线方程得出a 值，再根据离心率公式求得c ，进而得出m 值． 【解答】
解：由题意可知a =4，又e =2，即c
a =2， ∴c =2a =8，
因此，m =c 2−a 2=64−16=48;
故答案为48；
(3)
【分析】
本题主要考查双曲线的性质，根据双曲线两焦点间的距离为4，得出c =2，再对焦点分情况讨论． 【解答】
解：∵双曲线两焦点间的距离为4，∴c =2，
当焦点在x 轴上时可得，4=(m 2+n)+(3m 2−n)，解得m 2=1， 因为该方程表示双曲线，故有(m 2+n)(3m 2−n)>0， 解得−1<n <3，即n 的取值范围是(−1,3)； 当焦点在y 轴上时可得，−4=(m 2+n)+(3m 2−n)， 解得m 2=−1，无解，
综上可得n 的取值范围是(−1,3)； 故答案为(−1,3)；
(4)
【分析】
本题主要考查直线与平面所成的二面角.建立空间直角坐标系进行求解． 【解答】
解：以D 为原点，DA 、DC 、DD 1分别为x ，y ，z 轴，建立直角坐标系， 设正方体的棱长为1，则A 1(1,0,1)，C(0,1，0)，∴DA 1⇀
=(1,0,1),DC ⇀
=(0,1,0)， 设平面A 1B 1CD 的一个法向量n ⇀
=(x,y,z)，则有
{
n ⇀
·DA 1⇀
=0
n ⇀
·DC ⇀
=0
，整理得{x +z =0
y =0
， 令z =−1，x =1，则n ⇀=(1,0,1)，A 1B ⇀
=(0,1,−1)，
∴cos <n ⇀
,A 1B ⇀
>=
√2×√
2
=1
2，
所以直线A1B与平面A1B1CD所成角的大小是π
；
6
；
故答案为π
6
(5)
【分析】
本题主要考查抛物线与直线的位置关系．
【解答】
解：过点(3,1)且斜率为2的直线方程为y=2x−5，
代入y2=2px，可得(2x−5)2=2px，
=6
即4x2−(20+2p)x+25=0，∴20+2p
4
解得p=2；
故答案为2．
15.已知下列命题：其中所有真命题的序号是________．
①命题“存在x∈R，x2+1>3x”的否定是“任意x∈R，x2+1<3x”；
②已知p，q为两个命题，若“p或q”为假命题，则“(¬p)且(¬q)为真命题”；
③“a>2”是“a>5”的充分不必要条件；
④“若xy=0，则x=0且y=0”的逆否命题为真命题．
【答案】②
【解析】【分析】
此题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点有含有量词的命题的否定，充分条件和必要条件的判断，以及四种命题和复合命题真假的真假关系，比较基础，①根据特称命题的否定是全称命题进行判断；②根据复合命题与简单命题之间的关系判断；③根据充分条件和必要条件的定义进行判断；④根据逆否命题与原命题之间的关系进行判断．【解答】
解：①命题“存在x∈R，x2+1>3x”的否定是“任意x∈R，x2+1≤3x”，所以是假命题；
②已知p，q为两个命题，若“p或q”为假命题，p，q都为假命题，则“(¬p)且(¬q)为真命题”，所以②是真命题；
③“a>2”是“a>5”的必要不充分条件，所以是假命题；
④“若xy=0，则x=0且y=0”为假命题，所以逆否命题是假命题．
故答案为②．
16.如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E是棱CC1上的一个动点，平面BED1
交棱AA1于点F.给出下列命题：
①存在点E，使得A1C1//平面BED1F；
②对于任意的点E，平面A1C1D⊥平面BED1F；
③存在点E，使得平面BED1F
④对于任意的点E，四棱锥B1−BED1F的体积均不变．
其中正确命题的序号是______.(写出所有正确命题的序号)．
【答案】①②④
【解析】【分析】
当E为CC1的中点时，则F也为AA1的中点，可证A1C1//平面BED1F，可判断①；根据对于任意的点E，都有BD1⊥平面A1C1D，可判断②；用反证法证明不存在点E，使得
B1D⊥平面BED1F，可判断③；根据V B
1−BED1F =V E−BB
1D1
+V F−BB
1D1
，而两个三棱锥的
体积为定值，可判断④.本题考查了空间中直线与平面的平行，垂直关系及棱锥的体积计算，解答的关键是熟练掌握线面垂直的性质定理与判定定理．
【解答】
解：对①，由面面平行的性质定理可得BF//D1E，BE//D1F，
可得截面BED1F为平行四边形，
当E为CC1的中点时，则F也为AA1的中点，∴EF//A1C1，
∴A1C1//平面BED1F；故①正确；
对②，由三垂线定理可得BD1⊥A1C1，BD1⊥A1D，
可得BD1⊥平面A1C1D，BD1⊂平面BED1F，
∴平面A1C1D⊥平面BED1F，故②正确；
对③，假设B1D⊥平面BED1F，
则B1D在平面BCC1B1和平面ABB1A1上的射影B1C，
B1A分别与BE，BF垂直，
可得E与C1重合，F与A1重合，而B，A1，C1，D1四点不共面，
∴不存在这样的点E，故③错误；
对④，V B
1−BED1F =V E−BB
1D1
+V F−BB
1D1
，
CC1//AA1//平面BB1D1，∴四棱锥B1−BED1F的体积为定值，故④正确．故答案为①②④．
三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）
17. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C:
x 2a 2
+y 2
b 2=1(a >b >0)过点P(2,1)，且离心
率e =√3
2．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)直线l 方程为y =1
2x +m ，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求△PAB 面积的最大值．
【答案】解：(1)椭圆C ：x 2a
2+
y 2b 2
=1(a >b >0)过点P(2,1)，且离心率e =√
3
2
，
可得：{4
a 2
+1
a 2−c 2=1c a
=√3
2, 解得a =2√2，c =√6，则b =√2， 椭圆方程为：
x 28
+y 22=1；
(2)直线方程为y =1
2x +m ，设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，
联立方程组{y =1
2x +m
x 28+y 22=1，整理得：x 2+2mx +2m 2−4=0，
x 1+x 2=−2m ，x 1x 2=2m 2−4，
因为直线与椭圆有两个交点，
所以Δ=(2m )2−4(2m 2−4)>0， 解得−2<m <2．
当点P 在直线AB 上时m =0，故−2<m <0或0<m <2． 利用弦长公式得：
|AB|=√1+k 2·|x 1−x 2| =√1+k 2·√(x 1+x 2)2−4x 1x 2 =√1+1
4
×√4m 2−4(2m 2−4)
=√5(4−m 2)， P 到l 的距离d =
5，
S △PAB =12|AB|·d =12·√5(4−m 2)2|m|
√5
=√m 2(4−m 2)≤
m 2+(4−m 2)
2
=2，
当且仅当m 2=2，即m =±√2时，△PAB 面积取到最大值，最大值为2．
【解析】本题主要考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
(1)利用已知条件列出方程组，然后求解a ，b 即可得到椭圆方程；
(2)联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式结合点到直线的距离公式表示三角形的面积，然后通过基本不等式求解最值即可．
18. 如图，
四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．
(1)证明：PB//平面AEC ；
(2)设AP =1，AD =√3，
三棱锥P −ABD 的体积V =√3
4，求A 到平面PBC 的距离． 【答案】
解：(1)证明：设BD 与AC 的交点为O ，连结EO ，
∵ABCD 是矩形， ∴O 为BD 的中点 ∵E 为PD 的中点， ∴EO//PB ．
EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ∴PB//平面AEC ；
(2)∵AP =1，AD =√3，PA ⊥平面ABCD ，三棱锥P −ABD 的体积V =√3
4，
∴V =13×1
2PA ⋅AB ⋅AD =
√3
6
AB =
√3
4
， ∴AB =3
2，PB =√1+(32)2=√132
．
∵PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，
∴PA ⊥BC ，
又AB ⊥BC ，PA ∩AB =A ，PA ，AB ⊂平面PAB ∴BC ⊥平面PAB ，
作AH ⊥PB 交PB 于H ， ∵AH ⊂平面PAB
∴BC ⊥AH ，PB ∩BC =B ，PB ，BC ⊂平面PBC ． 故AH ⊥平面PBC ． 则△ABH ∽△PBA ， AH =
PA⋅AB PB
=
3√13
13
， ∴A 到平面PBC 的距离3√1313
．
【解析】本题考查直线与平面垂直，点到平面的距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力，为中档题．
(1)设BD与AC的交点为O，连结EO，通过直线与平面平行的判定定理证明PB//平面AEC；
(2)通过AP=1，AD=√3，三棱锥P−ABD的体积V=√3
，求出AB，作AH⊥PB交PB
4
于H，说明AH就是A到平面PBC的距离．通过解三角形求解即可．
19.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F位于直线x+y−1=0上．
(Ⅰ)求抛物线方程；
(Ⅱ)过抛物线的焦点F作倾斜角为45°的直线，交抛物线于A，B两点，求线段AB 的中点C的横坐标．
【答案】解：(Ⅰ)∵抛物线y2=2px(p>0)的焦点F位于直线x+y−1=0上，=1⇒p=2，
∴F(1,0)，p
2
∴抛物线方程为y2=4x；
(Ⅱ)∵抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0)，且直线AB倾斜角为45°，
∴直线AB的方程为y=x−1，
设点A(x1,y1)、B(x2,y2).
将y=x−1代入y2=4x，得x2−6x+1=0．
则x1+x2=6，x1·x2=1．
故线段AB的中点C的横坐标为3．
【解析】本题主要考查直线与抛物线的综合问题和两点间的距离公式．
(Ⅰ)先求出焦点进而求出p，从而求出抛物线的方程；
(Ⅱ)先根据抛物线的焦点坐标和直线的倾斜角可表示出直线AB的方程，然后联立直线方程与抛物线方程可得到两根之和与两根之积，进而可得到中点C的横坐标．
20.如图，棱锥P−ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平
面ABCD，PA=AD=2，BD=2√2．
(1)求证：BD⊥平面PAC；
(2)求二面角P−CD−B余弦值的大小；
(3)求点C到平面PBD的距离．
【答案】证明：(1)∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴PA⊥BD，
∵底面ABCD是矩形，AD=2，BD=2√2，
∴AB=√BD2−AD2=√(2√2)2−22=2，
∴ABCD是正方形，∴BD⊥AC，
又∵PA∩AC=A，PA、AC⊂平面PAC，PA⊥BD
∴BD⊥平面PAC．
解：(2)∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
∴PA⊥CD，
∵正方形ABCD 中，AD ⊥CD ，
又PA ∩AD =A ，PA 、AD ⊂平面PAD ， ∴CD ⊥平面PAD ，
又∵PD ⊂平面PAD ，∴CD ⊥PD ，
∴∠PDA 是二面角P −CD −B 的平面角， ∵PA =AD =2，PA ⊥AD ，
∴∠PDA =45°，∴cos ∠PDA =cos45°=√2
2，
∴二面角P −CD −B 余弦值为√2
2
．
(3)以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，
则C(2,2，0)，B(2,0，0)，D(0,2，0)，P(0,0，2)，
PB
⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，−2)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，−2)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2，−2)， 设平面PBD 的法向量n
⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x −2z =0
n ⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2y −2z =0，取x =1，得n
⃗ =(1,1，1)， ∴点C 到平面PBD 的距离： d =
|PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||n
⃗ |=
√3
=
2√3
3
． 【解析】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值、点到平面的距离的求法，考
查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，是中档题．
(1)推导出PA ⊥BD ，BD ⊥AC ，从而BD ⊥平面PAC ．
(2)推导出PA ⊥CD ，AD ⊥CD ，从而∠PDA 是二面角P −CD −B 的平面角，由此能求出二面角P −CD −B 余弦值．
(3)以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点C 到平面PBD 的距离．
21. 如图，直二面角D −AB −E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE =EB ，F
为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ．
(Ⅰ)求证AE⊥平面BCE；
(Ⅱ)求二面角B−AC−E的大小；
(Ⅲ)求点D到平面ACE的距离．
【答案】解：(Ⅰ)∵BF⊥平面ACE，
∴BF⊥AE，
∵二面角D−AB−E为直二面角，
∴平面ABCD⊥平面ABE，又BC⊥AB，∴BC⊥平面ABE，∴BC⊥AE，又BF⊂平面BCE，BF∩BC=B，∴AE⊥平面BCE．
(Ⅱ)连接AC、BD交于G，连接FG，
∵ABCD为正方形，∴BD⊥AC，
∵BF⊥平面ACE，BG⊥AC，⇒AC⊥平面BFG，
∴FG⊥AC，∠FGB为二面角B−AC−E的平面角，由(I)可知，AE⊥
平面BCE，∴AE⊥EB，
又AE=EB，AB=2，AE=BE=√2，
在直角三角形BCE中，CE=√BC2+BE2=√6，BF=BC⋅BE
CE
=
2√2√6=2
√3
，
在正方形中，BG=√2，在直角三角形BFG中，sin∠FGB=BF
BG =√3
√2
=√6
3
，
∴二面角B−AC−E为arcsin√6
3
．
(Ⅲ)由(II)可知，在正方形ABCD中，BG=DG，D到平面ACE的距离等于B到平面ACE的距离，BF⊥平面ACE，线段BF的长度就是点B到平面ACE的距离，即为D到
平面ACE的距离所以D到平面的距离为
√3=2√3
3
．
另法：过点E作EO⊥AB交AB于点O.OE=1．
∵二面角D−AB−E为直二面角，∴EO⊥平面ABCD．设D到平面ACE的距离为h，
∵V D−ACE=V E−ACD，∴1
3S△ACB⋅ℎ=1
3
S△ACD⋅EO．
∵AE⊥平面BCE，∴AE⊥EC.∴ℎ=1
2
AD⋅DC⋅EO
1
2
AE⋅EC
=
1
2
×2×2×1
1
2
√2×√6
=2√3
3
，
∴点D到平面ACE的距离为2√3
3
．
【解析】本题考查平面与平面的位置关系、
线面垂直的判定、空间中的距离、
立体几何综合题(探索性问题、轨迹问题等)
以及利用空间向量求点、线、面之间的距离的知识点，属于中档题．
(Ⅰ)要证AE⊥平面BCE，
只需证明AE 垂直平面BCE 内的两条相交直线BF 、BC 即可； (Ⅱ)连接AC 、BD 交于G ，
连接FG ，说明∠FGB 为二面角B −AC −E 的平面角， 然后求二面角B −AC −E 的大小； (Ⅲ)利用V D−ACE =V E−ACD ，
求点D 到平面ACE 的距离，也可以利用空间直角坐标系， 向量的数量积，证明垂直，求出向量的模．
22. 设命题p ：方程
x 2a+6
+
y 2a−7
=1表示中心在原点，
焦点在坐标轴上的双曲线；命题q ：存在x ∈R ，使得x 2−4x +a <0． (1)写出命题q 的否定¬q ；
(2)若“p 且¬q 为真，求实数a 的取值范围． 【答案】解：(1)¬q ：对任意的x ∈R ，x 2−4x +a ≥0； (2)因为“p 且¬q ”为真， 所以p 真，¬q 真，
又p 真时，(a +6)(a −7)<0 得−6<a <7， ¬q 真时，Δ=16−4a ≤0 得a ≥4， 所以，a 的取值范围为[4,7)． 【解析】本题考查了复合命题的判断． (1)利用特称命题的否定为全称命题进行解答；
(2)先求出命题p ，q 为真时a 的范围，再由题意得到不等式组，从而求出a 的范围．
23. 已知命题p ：方程x 2
2m +y 2
1−m =1表示焦点在y 轴上的椭圆，命题q ：双曲线x 2
5−y 2
m
=1的离心率e ∈(1,2)，若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求实数m 的取值范围． 【答案】解：p ：0<2m <1−m ，得0<m <1
3， q ：1<√
5+m √5
<2，得0<m <15，
因为p 且q 为假，p 或q 为真，则p 假q 真，或p 真q 假， p 假q 真⇒{0<m <15m≤0或m≥
13
⇒1
3≤m <15， q 假p 真⇒{m ≤0
或m ≥15
0<m<13
，m ∈⌀，
综上可知1
3≤m <15．
【解析】利用椭圆以及双曲线的性质求解两个命题是真命题时的m范围，利用复合命题的真假转化求解即可，本题考查复合命题的真假的判断与应用，椭圆以及双曲线的简单性质的应用．。