2020版高考数学 35 归纳与类比 理(含解析)

课后限时集训（三十五) 归纳与类比
(建议用时：60分钟）
A组基础达标
一、选择题
1．给出下面类比推理(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集）：
①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若a,c∈C,则a －c＝0⇒a＝c”;
②“若a,b，c,d∈R，则复数a＋b i＝c＋d i⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a，b,c,d∈Q，则a＋b错误!＝c＋d错误!⇒a＝c，b＝d”；
③“若a,b∈R，则a－b>0⇒a〉b"类比推出“若a，b∈C，则a －b〉0⇒a〉b"；
④“若x∈R，则｜x|〈1⇒－1<x〈1"类比推出“若z∈C，则｜z｜<1⇒－1〈z〈1”．
其中类比结论正确的个数为（)
A．1 B．2 C．3 D．4
B[类比结论正确的有①②.]
2．如图，根据图中的数构成的规律，得a表示的数
是（）A．12
B．48
C．60
D．144
D[由题图中的数可知，每行除首末两数外，其他数都等于它肩上两数的乘积，所以a＝12×12＝144。

]
3．(2019·郑州调研)平面内凸四边形有2条对角线,凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线，以此类推，凸13边形对角线的条数为( )
A．42 B．65 C．143 D．169
B［由题意得凸n边形的对角线C2n－n，当n＝13时，C错误!－13＝65.所以选B．]
4．某次数学考试成绩公布后，甲、乙、丙、丁四人谈论成绩情况．甲说：“我们四个人的分数都不一样，但我和乙的成绩之和等于丙、丁两人的成绩之和．”乙说:“丙、丁两人中一人分数比我高，一人分数比我低．"丙说：“我的分数不是最高的．”丁说：“我的分数不是最低的．”则四人中成绩最高的是（）
A．甲B．乙C．丙D．丁
D[∵乙说：“丙、丁两人中一人分数比我高，一人分数比我低”，
丙说:“我的分数不是最高的”，
∴成绩最高的只能是甲或丁中的一个人．
∵甲和乙两人的成绩之和等于丙、丁两人的成绩之和，
丙、丁两人中一人分数比乙高，一人分数比乙低，
∴丁的成绩比甲的成绩高，
∴四人中成绩最高的是丁．故选D．］
5．(2019·潍坊模拟)“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法,甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲"字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配,组成了干支纪年法,其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅、…、癸酉，甲戌、乙亥、丙子、…、癸未,甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳，…、癸亥，60个为一周,周而复始,循环记录。

2014年是“干支纪年法"中的甲午年,那么2020年是“干支纪年法”中的( ）
A．己亥年B．戊戌年
C．庚子年D．辛丑年
C［由题意知2014年是甲午年,则2015年到2020年分别为乙未年、丙申年、丁酉年、戊戌年、己亥年、庚子年．］
二、填空题
6．若P0(x0,y0)在椭圆x2
a2＋错误!＝1(a＞b＞0)外，过P0作椭圆的两条
切线的切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在的直线方程是错误!＋错误!＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P（x0，y0）在双曲线错误!－错误!＝1（a＞0，b＞0)外，过P0作双曲线的两条切线,切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程是________．
错误!－错误!＝1 ［类比椭圆的切点弦方程可得双曲线错误!－错误!＝1的切点弦方程为
错误!－错误!＝1。

］
7．观察下列等式：
1＝1
2＋3＋4＝9
3＋4＋5＋6＋7＝25
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
……
照此规律，第n个等式为________．
n＋（n＋1）＋(n＋2)＋…＋(3n－2）＝（2n－1）2[由前4个等式可知，第n个等式的左边第一个数为n,且连续2n－1个整数相加,右边为（2n－1)2,故第n个等式为n＋（n＋1)＋(n＋2）＋…＋(3n－2）＝(2n－1）2.]
8．(2019·银川模拟）周末，某高校一学生宿舍甲、乙、丙、丁四位同学正在做四件不同事情：看书、写信、听音乐、玩游戏．下面是关于他们各自所做事情的一些判断：
①甲不在看书，也不在写信；
②乙不在写信，也不在听音乐；
③如果甲不在听音乐,那么丁也不在写信；
④丙不在看书，也不在写信．
已知这些判断都是正确的，依据以上判断,请问乙同学正在做的事情是：________。

看书［由于这些判断都是正确的，那么由①可知甲在听音乐或玩游戏;由②可知乙在看书或玩游戏；由④可知丙在听音乐或玩游戏；那么甲与丙一个在听音乐一个在玩游戏,由此可知乙肯定在看
书．］
三、解答题
9．给出下面的数表序列:
其中表n(n＝1，2,3，...）有n行，第1行的n个数是1，3，5, (2)
－1,从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n(n≥3）（不要求证明)．
［解］表4为
它的第1，2，3,4行中的数的平均数分别是4,8，16，32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．将这一结论推广到表n(n≥3),即表n（n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列．
10．如图,平面上，点A,C为射线PM上的两点,点B，D为射线PN上的两点,则有错误!＝错误!(其中S△PAB,S△PCD分别为△PAB，△PCD 的面积）;
空间中，点A,C为射线PM上的两点,点B，D为射线PN上的两点，点E，F为射线PL上的两点，求错误!的值(其中V P。

ABE,V P.CDF分别为四面体P。

ABE，P­CDF的体积)．
［解］设PM与平面PDF所成的角为α，
则A到平面PDF的距离h1＝PA sin α，C到平面PDF的距离h2＝PC sin α，∴V P。

ABE＝V A。

PBE＝错误!S△PBE·h1,
V P.CDF＝V C。

PDF＝错误!S△PDF·h2，
∴错误!＝错误!＝错误!
＝错误!.
B组能力提升
1．(2018·重庆二模）为培养学生分组合作能力，现将某班分成A，B，C三个小组，甲、乙、丙三人分到不同组．某次数学建模考试中三人成绩情况如下：在B组中的那位的成绩与甲不一样，在A 组中的那位的成绩比丙低,在B组中的那位的成绩比乙低．若甲、乙、丙三人按数学建模考试成绩由高到低排序，则排序正确的是( ）
A．甲、丙、乙B．乙、甲、丙C．乙、丙、甲D．丙、乙、甲
C［在B组中的那位的成绩与甲不一样，说明甲不在B组,在B 组中的那位的成绩比乙低，说明乙不在B组，所以丙在B组，且乙的成绩高于丙，在A组中的那位的成绩比丙低，说明甲在A组，且甲的成绩低于丙，所以甲、乙、丙三人按数学建模考试成绩由高到低排序是乙、丙、甲，故选C.］
2．如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当错误!⊥错误!时，其离心率为错误!，此类椭圆被称为“黄金椭圆"．类比“黄金椭圆”,可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于（)
A.错误!B．错误!
C.错误!－1 D．错误!＋1
A［设“黄金双曲线”方程为错误!－错误!＝1，
则B(0，b),F(－c，0),A（a,0)．
在“黄金双曲线”中，
因为错误!⊥错误!,所以错误!·错误!＝0.
又错误!＝（c,b)，错误!＝(－a，b)．
所以b2＝ac.而b2＝c2－a2，所以c2－a2＝ac.
在等号两边同除以a2,得e＝错误!.]
3．（2018·广州一模)我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中，用图1的三角形形象地表示了二项式系数规律,俗称“杨辉三角”．现将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到图2所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记第n行各数字的和为S n,如S1＝1,S2＝2，S3＝2，S4＝4,…，则S126＝________。

图1 图2 64[题图2中的三角形数表，从上往下数,第1次全行的数都为1的是第1行，有1个1，第2次全行的数都为1的是第2行，有2个1，第3次全行的数都为1的是第4行,有4个1，依此类推,第n 次全行的数都为1的是第2n－1行，有2n－1个1.第1行，1个1，第2行，2个1，第3行，2个1，第4行，4个1；第1行1的个数是第2行1的个数的错误!，第2行与第3行1的个数相同，第3行1的个数是第4行1的个数的错误!；第5行,2个1，第6行，4个1，第7行，
4个1，第8行,8个1；第5行1的个数是第6行1的个数的错误!，第6行与第7行1的个数相同，第7行1的个数是第8行1的个数的错误!.根据以上规律,当n ＝8时，第28－1行有128个1，即S 128＝128,第127行有64个1，即S 127＝64，第126行有64个1，即S 126＝64.]
4．对于三次函数f （x ）＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d （a ≠0)，给出定义：设f ′(x ）是函数y ＝f (x ）的导数，f ″(x ）是f ′(x ）的导数，若方程f ″(x ）＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0）)为函数y ＝f (x ）的“拐点"．某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个
三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心．若f （x )＝13
x 3－错误!x 2＋3x －错误!,请你根据这一发现，
(1)求函数f （x ）的对称中心;
（2）计算f 错误!＋f 错误!＋f 错误!＋f 错误!＋…＋f 错误!.
[解］ （1）f ′(x ）＝x 2－x ＋3，f ″(x ）＝2x －1,
由f ″(x )＝0，即2x －1＝0，解得x ＝错误!。

f 错误!＝错误!×错误!3－错误!×错误!2
＋3×错误!－错误!＝1。

由题中给出的结论,可知函数f （x )＝错误!x 3－错误!x 2＋3x －错误!的对称中心为错误!。

学必求其心得，业必贵于专精
（2）由（1)知函数f(x）＝错误!x3－错误!x2＋3x－错误!的对称中心为错误!，所以f错误!＋f错误!＝2，
即f（x）＋f(1－x）＝2.
故f错误!＋f错误!＝2,
f错误!＋f错误!＝2，
f错误!＋f错误!＝2，
…,
f错误!＋f错误!＝2。

所以f错误!＋f错误!＋f错误!＋f错误!＋…＋f错误!＝错误!×2×2 018＝2 018。

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