压轴题

34、（本小题满分12分）
如图，⊙O 的半径为1，正方形ABCD 顶点B 坐标为（5，0），顶点D 在⊙O 上运动。

（1）当点D 运动到与点A 、O 在同一条直线上时，试证明直线CD 与⊙O 相切；
（2）当直线CD 与⊙O 相切时，求OD 所在直线
对应的函数关系式；
（3）设点D 的横坐标为x ，正方形ABCD 的面积
为S ，求S 与x 之间的函数关系式，并求出S 的最大值与最小值． 答案：
34、（本小题满分12分）
（1）因为A 、D 、O 三点在同一条直线上，
∵∠ADC ＝90° 即∠CDO ＝90° ∴CD 是⊙O 的切线． 2分 （2）如图当切点在第二象限时，
过点A 做AM ⊥OB 于M,设正方形边长为a,
222AO AB OB +=即()2
2215a a +-=
解得a=4 2分
则A 点坐标为9
,5
⎛ ⎝设y OD =kx 可得y OD =同理当切点D 的函数关系式为y
（3）过点D 做AN 222DN BN BD +=因为正方形的面积S ＝13－5x ． ∵D 点在圆上运动， ∴－1≤x ≤1．
∴ S 的最大值是1842．（2011连AC 、BD 交于P 点．
（1）如图1，当OA=OB ，AO AD =4
1
时，求tan∠BPC；
答案 （1）过C 作CE∥OA 交BD 于E ，设AD=x ，AO=OB=4x ，则OD=3x ，
由△BCE∽△BOD 得CE=21OD=2
3
x ，
再由△ECP∽△DAP 得
3
2
==CE AD PE PD ； 由勾股定理可知BD=5x ，DE=25x ，则
3
2
=-PD DE PD ，可得PD=AD=x ， 则∠BPC=∠DPA=∠A，tan∠BPC=tan∠A=
21
=AO CO 。

44．（2011年安徽省巢湖市七中模拟）．如图1，已知抛物线的顶点为A(O ，1)，矩形CDEF 的顶点C 、F 在抛物线上，D 、E 在x 轴上，CF 交y 轴于点B(0，2)，且其面积为8． (1)求此抛物线的解析式；
(2)如图2，若P 点为抛物线上不同于A 的一点，连结PB 并延长交抛物线于点Q ，过点P 、Q 分别作x 轴的垂线，垂足分别为S 、R ． ①求证：PB ＝PS ； ②判断△SBR的形状；
③试探索在线段SR 上是否存在点M ，使得以点P 、S 、M 为顶点的三角形和以点Q 、R 、M 为顶点的三角形相似，若存在，请找出M 点的位置；若不存在，请说明理由．
图1 图2
2
114
y x =+ ………… (3分)
(2)解：
①过点B 作BN BS ⊥，垂足为N ．
∵P 点在抛物线y=
214x 十l 上．可设P 点坐标为21
(,1)4
a a +． D
C
P
O
A
B
图 1
∴PS ＝2
114
a +，OB ＝NS ＝2，BN ＝a 。

∴PN=PS —NS=2
114
a - ………………………… (5分)
在Rt △PNB 中．
PB 2
＝22
222
22
11(1)(1)4
4
PN BN a a a +=-+=+
∴PB ＝PS ＝
2
114
a +………………………… (6分) ②根据①同理可知BQ ＝QR 。

∴12∠=∠， 又∵ 13∠=∠， ∴23∠=∠，
同理∠SBP ＝5∠………………………… (7分) ∴2523180∠+∠=︒ ∴5390∠+∠=︒ ∴90SBR ∠=︒.
∴ △SBR 为直角三角形．………………………… (8分)
③ 若以P 、S 、M 为顶点的三角形与以Q 、M 、R 为顶点的三角形相似，
∵90PSM MRQ ∠=∠=︒，
∴有∆PSM ∽∆MRQ 和∆PSM ∽△QRM 两种情况。

当∆PSM ∽∆MRQ 时．∠SPM ＝∠RMQ ，∠SMP ＝∠RQM ． 由直角三角形两锐角互余性质．知∠PMS+∠QMR ＝90︒。

∴90PMQ ∠=︒。

………………………… (9分) 取PQ 中点为N ．连结MN ．则MN ＝12PQ=1
()2
QR PS +．…………………… (10分) ∴MN 为直角梯形SRQP 的中位线,
∴点M 为SR 的中点 …………………… (11分) 当△PSM ∽△QRM 时，
RM QR QB
MS PS BP
== 又
RM RO
MS OS
=，即M 点与O 点重合。

M
∴点M 为原点O 。

综上所述，当点M 为SR 的中点时，∆PSM ∽△MRQ ； 当点M 为原点时，∆PSM ∽△QRM …………(12分)
46．（2011灌南县新集中学一模）（12分）在等腰三角形ABC 中，AB=AC ，O 为AB 上一点，以O 为圆心、OB 长为半径的圆交BC 于D ，DE ⊥AC 交AC 于E. (1)试判断DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由. (2)若⊙O 与AC 相切于F ，AB=AC=5cm ，5
3
sin =A ，求⊙O 的半径的长.
答案：（1）DE 是⊙O 的切线。

证明:连接OD ，∵OB=OD
， ∴∠B=∠ODB ∵AB=AC ， ∴∠B=∠C ∴∠ODB=∠C ∴OD ∥AC 又 DE ⊥AC ∴DE ⊥OD ∴DE 是⊙O 的切线
（2）解：如图，⊙O 与AC 相切于F 点，连接OF ，
则： OF ⊥AC ， 在Rt △OAF 中，sinA=
5
3
=OA OF ∴OA=OF 35
又AB=OA+OB=5 ∴53
5
=+OF OF ∴OF=815cm
. （2011浙江杭州育才初中模拟）（本小题满分12分）在△ABC 中，∠AOB=90°，OA=OB=10，
分别以边OA 、OB 所在的直线为坐标轴建立平面直角坐标系，点P 自点A 出发沿线段AB 匀速运动至点B 停止。

同时点D 自原点O 出发沿x 轴正方向匀速运动。

在点P 、D 运动的过程中，始终满足PO=PD ，过点O 、D 向AB 做垂线，垂足分别为点C 、E,设OD=x (1)AP=(用含x 的代数式表示)
（2）在点P 、D 运动的过程中，线段PC 与BE 是否相等？若相等，请给予证明，若不相等，说明理由。

（3）设以点P 、O 、D 、E 为顶点的四边形面积为y ，请直接写出y 与x 的函数关系式，并写出自变量的取值范围。

（原创）
答案：解：（1）AP=
2
x （2分） （2）PC=BE （1分）
C A
B
x
y
O
D
0≤x ＜10时PC=AC-AP=2
x BE=2BD=2(10-x)= （ 4分） （3）当0＜x ＜10时，
215
2542
y x x =-++ （3分）
当10＜x ＜20时，5
2
y x =
（2分） 52. （浙江杭州金山学校2011模拟）（根据2010年中考数学考前知识点回归＋巩固 专题
13 二次函数题目改编）
如图，以矩形OABC 的顶点O 为原点，OA 所在的直线为x 轴，OC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．已知OA ＝3，OC ＝2，点E 是AB 的中点，在OA 上取一点D ，将△BDA 沿BD 翻折，使点A 落在BC 边上的点F 处． （1）直接写出点E 、F 的坐标；
（2）设顶点为F 的抛物线交y 轴正半轴．．．于点P ，且以点E 、F 、P 为 顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；
（3）在x 轴、y 轴上是否分别存在点M 、N ，使得四边形MNFE 的周 长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．
答案：解：（1）(31)
E ，；(12)
F ，．………………………………………2分 （2）在Rt EBF △中，90B ∠=
，
EF ∴=
设点P 的坐标为(0)n ，，其中0n >，
∵顶点(1
2)F ，， ∴设抛物线解析式为2
(1)2(0)y a x a =-+≠．
①如图①，当EF PF =时，22
EF PF =，
221(2)5n ∴+-=．
解得10n =（舍去）；24n =．
(04)P ∴，．
24(01)2a ∴=-+．
解得2a =．
∴抛物线的解析式为22(1)2y x =-+ …………………………………………………2分
②如图②，当EP FP =时，22
EP FP =，
22(2)1(1)9n n ∴-+=-+．
解得5
2
n =-
（舍去）．…………2分
③当EF EP =时，3EP =<，这种情况不存在．…………………………………1分 综上所述，符合条件的抛物线解析式是2
2(1)2y x =-+． （3）存在点M N ，，使得四边形MNFE 的周长最小．
如图③，作点E 关于x 轴的对称点E '，作点F 关于y 轴的对称点F '，连接E F ''，分别与
x 轴、y 轴交于点M N ，，则点M N ，就是所求点．……………………………………1分
(31)E '∴-，，(12)F NF NF ME ME '''-==，，，． 43BF BE ''∴==，．
FN NM ME F N NM ME F E ''''∴++=++=5==．
又EF =
∴5FN NM ME EF +++=，此时四边形MNFE
的周长最小值是5 59、（2011年浙江杭州27模）如图，在⊙O 中，OA 、OB 是半径，且OA⊥OB，OA=6，点C 是AB 上异于A 、B 的动点。

过点C 作CD⊥OA 于点D ，作CE⊥OB 于点E ，连接DE ，点G 、H 在线段DE 上，且DG=GH=HE 。

（1）①当点C 在AB 上运动时，在CD 、CG 、DG 中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；若不存在，请说明理由；
②求3
1CD 2+CH 2
之值。

答案：（1）①解：线段DG 的长度不变。

………………（4分）
∵点C 是AB 上的点，OA=6。

∴OC=OA=6
∵四边形OECD 是矩形，∴ED=OC=6……………（5分）
∵DG=GH=HE，∴DG=3
1
ED=2…………………（6分）
②解：如右图，过点H 作HF⊥CD 于点F ， ∵EC⊥CD，∴HF//EC ∴△DHF∽△DEC， ∴6
4
==DE DH DC DF ， ∴CD DF 3
2
=
……………………（7分） 从而CF=CD －FD=3
1
CD
在Rt△CHF 中，CH 2=HF 2+CF 2=HF 2+9
1CD 2
在Rt△HFD 中，HF 2=DH 2－DF 2
=9
416-CD 2………………（9分）
∴CH 2
=9
416-CD 2+91CD 2=16－31CD 2
∴163
1
1631312222=-+=+CD CD CH CD ……………………………………（11
、（2011年浙江杭州28模）如图，点P 是菱形ABCD 的对角线BD 上一点，连结CP 并延
长，交AD 于E ，交BA 的延长线于点F ．试问：
(1) 图中△APD 与哪个三角形全等？
(2) 猜想：线段PC 、PE 、PF 之间存在什么关系？并说明理由．
答案：解：(1) △APD≌△CPD 1分 (2) 猜想：PF PE PC ∙=2
证明：∵△APD≌△CPD
∴∠DAP=∠DCP ∵CD ∥BF
O
B E
C
H
G
D A
F
∴∠DCP=∠F
∴∠DAP= ∠F 又∵∠APE=∠FPA
∴△APE ∽△FPA ∴
PA
PE FP AP = ∴ PF PE PA ∙=2
∵△APD≌△CPD
∴PA=PC ∴PF PE PC ∙=2
62. （2011年杭州市模拟）（本题12分）矩形OABC 在直角坐标系中的位置如图所示，A 、
C 两点的坐标分别为(6,0)A 、(0,3)C ，直线3
4
y x =
与BC 边相交于点D . (1) 若抛物线2
(0)y ax bx a =+≠经过D 、A 两点，试确定此抛物线的表达式；
(2) 若以点A 为圆心的⊙A 与直线OD 相切，试求⊙A 的半径；
(3) 设(1)中抛物线的对称轴与直线OD 交于点M ，在对称轴上是否存在点Q ，以Q 、O 、
M 为顶点的三角形与OCD ∆相似，若存在,试求出符合条件的Q 点的坐标；若不存在，试
说明理由. 答案： （1）x x y 4
9
832+-
= （2）∵CD=4，OC=3，OD=53432=+. sin ∠CDO=5
3
，过A 作AH ⊥OD 于H ， 则AH=OAsin ∠DOA=6×53=5
18=3.6， ∴当直线OD 与⊙A 相切时，r=3.6.
（3）设抛物线的对称轴与x 轴交于点Q 1，则点Q 1符合条件.∵CB ∥OA ，∴∠Q 1OM=∠ODC ， ∴Rt △Q 1OM ∽Rt △CDO. ∵对称轴x =32=-
a
b
，∴Q 1点的坐标为Q 1（3，0）. 又过O 作OD 的垂线交抛物线的对称轴于点Q 2，则点Q 2也符合条件.∵对称轴平行于y 轴， ∴∠Q 2MO=∠DOC ，∴Rt △Q 2MO ∽Rt △DOC. 在Rt △Q 2Q 1O 和Rt △DCO 中，Q 1O=CO=3， ∠Q 2=∠ODC ，∴Rt △Q 2Q 1O ≌Rt △DCO ，∴CD= Q 1Q 2=4，∵Q 2位于第四象限， ∴Q 2（3，-4）.因此，符合条件的点有两个，分别是Q 1（3，0），Q 2（3，-4）.
第24题
63．（2011年海宁市盐官片一模）如图，抛物线24y ax bx a =+-经过(10)A -，、(04)C ，两点，与x 轴交于另一点B ． （1）求抛物线的解析式；
（2）已知点(1)D m m +，在第一象限的抛物线上，求点D 关于直线BC 对称的点的坐标； （3）在（2）的条件下，连接BD ，点P 为抛物线上一点，且45DBP ∠=°，求点P 的坐标．
答案：解：（1）∴抛物线的解析式为234y x x =-++．
（2）∴点D 的坐标为(34)，
． 由（1）知45OA OB CBA =∴∠=，
°． 设点D 关于直线BC 的对称点为点E ．
(04)C ，，CD AB ∴∥，且3CD =， 45ECB DCB ∴∠=∠=°， E ∴点在y 轴上，且3CE CD ==．
1OE ∴=，(01)E ∴，．
即点D 关于直线BC 对称的点的坐标为（0，1）． （3）作PF AB ⊥于F ，DE BC ⊥于E ．
由（1）有：445OB OC OBC ==∴∠=，
°， 45DBP CBD PBA ∠=∴∠=∠ °，．
(04)(34)C D ，，，，CD OB ∴∥且3CD =． 45DCE CBO ∴∠=∠=°，
DE CE ∴==
． 4OB OC ==
，BC ∴=
2
BE BC CE ∴=-=
，
3
tan tan 5
DE PBF CBD BE ∴∠=∠=
=． 设3PF t =，则5BF t =，54OF t ∴=-，
(543)P t t ∴-+，． P 点在抛物线上，
∴23(54)3(54)4t t t =--++-++，
0t ∴=（舍去）或2225t =
，266525P ⎛⎫
∴- ⎪⎝⎭
，． 65、（2011四川凉山州，28，12分）如图，抛物线与x 轴交于A （1x ，0）、B （2x ，0）
两点，且12x x <，与y 轴交于点()0,4C -，其中12x x ，是方程2
4120x x --=的两个根。

（1）求抛物线的解析式；
（2）点M 是线段AB 上的一个动点，过点M 作MN ∥BC ，交AC 于点N ，连接CM ，当CMN △的面积最大时，求点M 的坐标；
（3）点()4,D k 在（1）中抛物线上，点E 为抛物线上一动点，在x 轴上是否存在点F ，使以A D E F 、、、为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，求出所有满足条件的点F 的坐标，若不存在，请说明理由。

【答案】
（1）∵2
4120x x --=，∴12x =-，26x =。

∴(2,0)A -，(6,0)B 。

又∵抛物线过点A 、B 、C ，故设抛物线的解析式为(2)(6)y a x x =+-，将点C 的坐标代入，求得13
a =。

∴抛物线的解析式为214
433
y x x =
--。

（2）设点M 的坐标为（m ，0），过点N 作NH x ⊥轴于点H （如图（1））。

28题图
∵点A 的坐标为（2-，0），点B 的坐标为（6，0）， ∴8AB =，2AM m =+。

∵MN BC ，∴MN ABC △∥△。

∴
NH AM CO AB =，∴248NH m +=，∴2
2
m NH +=。

∴11
22
CMN ACM AMN S S S AM CO AM NH =-=- △△△ 2121(2)(4)3224m m m m +=+-=-++ 21
(2)44
m =--+。

∴当2m =时，CMN S △有最大值4。

此时，点M 的坐标为（2，0）。

（3）∵点D （4，k ）在抛物线214
433
y x x =
--上， ∴当4x =时，4k =-，∴点D 的坐标是（4，4-）。

① 如
边
形的边时，AF
DE ，
∵D （4，4-），4DE =。

∴1(6,0)F -，2(2,0)F 。

② 如图（3），当AF 为平行四边形的对角线时，设(,0)F n ， 则平行四边形的对称中心为（
2
2
n -，0）。

∴E '的坐标为（6n -，4）。

把E '（6n -，4）代入214
433
y x x =
--，得216360n n -+=。

解得 8n =±
图（1）
图（2）
3(8F -
，4(8F +。

图（3）。