数学_2011-2012学年安徽省安庆市重点中学高三(下)联考数学试卷(理科)(含答案)

2011-2012学年安徽省安庆市重点中学高三（下）联考数学试卷
（理科）
一、选择题（本题共10小题，每小题仅有一个选项符合题意，每小题5分，共50分）． 1. 集合A ={x|y =x 1
2
}，B ={y|y =log 2x ，x ∈R}，则A ∩B 等于（ ） A [0, +∞) B (0, +∞) C R D ⌀ 2. 如果复数2−bi 1+2i
（其中i 为虚数单位，b 为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b 等于
（ ）
A √2
B 2
3 C −2
3
D 2
3. 把函数y =sinx(x ∈R)的图象上所有点向左平行移动π
3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的1
2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ）
A y =sin(2x −π3
)，x ∈R B y =sin(x 2
+π6
)，x ∈R C y =sin(2x +π
3
)，x ∈
R D y =sin(2x +
2π3
)，x ∈R
4. 在极坐标中，定点A(1, π)，动点B 在直线ρsin(θ+π
4)=√2
2
上运动，则AB 的最短长度是（ ）
A 1
2
B 1
C π
3
D √2
5. 下列四种说法中，错误的个数是（ ）
①A ={0, 1}的子集有3个；
②“若am 2<bm 2，则a <b”的逆命题为真；
③“命题p ∨q 为真”是“命题p ∧q 为真”的必要不充分条件；
④命题“∀x ∈R ，均有x 2−3x −2≥0”的否定是：“∃x ∈R ，使得x 2−3x −2≤0” A 0个 B 1个 C 2个 D 3个
6. 已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ） A √33
B √23
C √22
D √32
7. 已知a 为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式
(2a √x −
1√x
)6
的展开式中含x 2项的系数是（ ）
A −6144
B 192
C −6
D 6144 8.
若实数x ，y 满足不等式组{x −2≤0
y −1≤0x +2y −a ≥0，目标函数t =x −2y 的最大值为2，则实数a 的
值是（ ）
A 2
B 0
C 1
D −2
9. 设a >b >0，则a 2
2+1
ab +1
a 2−a
b 的最小值是（ ） A √2
2 B 2√2 C
3 D 4
10. 已知x ∈[−1, 1]，关于x 的不等式tan 2x −4atanx +2+2a ≤0有有限个解，则a 的取值是（ ） A −tan 21+22(2tan1+1)或−1
2
B
tan 21+2
2(2tan1−1)
或−
tan 21+2
2(2tan1+1)
C
tan 21+2
2(2tan1−1)
或−
tan 21+2
2(2tan1+1)
或−12
D −
12
或
tan 21+2
2(2tan1−1)
二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填写在答题卡相应横线上）． 11. 函数y =log 2x +log x (2x)的值域是________．
12. 如图是一个组合几何体的三视图，则该几何体的体积是________．
13. 设f(x)={x 2，x ∈[0,1)1x
,x ∈[1,e 2
]（其中e 为自然对数的底数），则∫f e 2
0(x)dx 的值为________．
14. 已知A 、B 、C 是圆O:x 2+y 2
=1上三点，且A(1, 0)，OA →+OB →=OC →，则AB →
⋅OA →
=________．
15. 用α、β、γ三个字母组成一个长度为(n +1)(n ∈N ∗)个字母
的字符串，要求由α开始，相邻两个字母不同．例如：n =1时，排出的字符串是αβ或αγ；n =2时，排出的字符串是αβα、αβγ、αγα、αγβ（如图）．若记这种(n +1)个字符串中，最后一个字母仍是α的字符串的个数为a n ，可知a 1=0，a 2=2，a 3=2，a 4=6，…，则数列{a n }的第n 项a n 与第n −1项a n−1(n ≥2, n ∈N ∗)________．
三、解答题（本大题共6小题，共计75分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 16. 设函数f(x)=cos x
4
(sin x
4
+cos x
4
)−1
2
(I)求函数y =f(x)取最值时x 的取值集合；
(II)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a ，b ，c ，且满(2a −c)cosB =bcosC ，求函数f(A)的取值范围．
17. 对批量（即一批产品中所含产品件数）很大的一批产品进行抽样质量检查时，采取随机的一件一件地抽取进行检查．若检查4件产品未发现不合格产品，则停止检查并认为该批产品合格；若在查到第4件或在此之前发现不合格产品，则也停止检查并认为该批产品不合格．假定该批产品的不合格率为1
10，检查产品的件数为X ．
（1）求随机变量X 的分布列和数学期望；
（2）求通过抽样质量检查，认为该批产品不合格的概率．
18. 设多面体ABCDEF ，已知AB // CD // EF ，平面ABCD ⊥平面ADE ，其中△ADE 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，点G 为BC 边中点．若∠ADC =120∘，AD =AB =2，CD =4，EF =3． （1）求证：FG ⊥平面ABCD ；
（2）求二面角F −BD −C 的大小．
19. 已知数列{a n } 中，a 1＝1，a 2=1
4，且a n+1=
(n−1)a n n−a n
(n ＝2, 3, 4,…)．
（1）求a 3、a 4的值； （2）设b n =1
a
n+1
−1(n ∈N ∗)，试用b n 表示b n+1并求{b n } 的通项公式；
（3）设c n =sin3
cosb
n ⋅cosb n+1
(n ∈N ∗)，求数列{c n }的前n 项和S n ．
20. 设a >0，函数f(x)=lnx −ax ，g(x)=lnx −2(x−1)x+1
（1）证明：当x >1时，g(x)>0恒成立；
（2）若函数f(x)无零点，求实数a 的取值范围；
（3）若函数f(x)有两个相异零点x 1、x 2，求证：x 1x 2>e 2．
21.
已知抛物线C 1:x 2=y ，圆C 2:x 2+(y −2)2=1的圆心为M ，点P
在抛物线C1上，设点P 坐标(x 0, x 02
)，且x 0≠0，x 0≠±1，过点P 作圆C 2的两条切线，并且分别交抛物线C 1于A 、B 两点．
（1）设PA 、PB 的斜率分别为k 1、k 2，试求出k 1+k 2关于x 0的表达式；
（2）若PM →⋅AB →
=0时，求x 0的值；
（3）若x 0=−2，求证：直线AB 与圆C 2相切．
2011-2012学年安徽省安庆市重点中学高三（下）联考数学试卷
（理科）答案
1. A
2. C
3. C
4. D
5. D
6. A
7. C
8. A
9. B 10. D
11. (−∞, −1]∪[3, +∞) 12. π+√33
13. 7
3 14. −3
2
15. a n +a n−1=2n−1，(n ≥2)
16. 解：(1)∵ 函数f(x)=cos x
4(sin x
4+cos x
4)−1
2=1
2sin x
2+
1+cos x
2
2
−12=12 (sin x 2+cos x
2)=
√2
2sin(x 2
+π
4)，…
故当 x 2
+π4
=kπ+π
2
，k ∈z 时，f(x)取最值，
此时x 取值的集合：{x|x =kπ+π
2 }，k ∈z ． …
(2)∵ (2a −c)cosB =Bcosc ，∴ (2sinA −sinC)cosB =sinBcosC ， 2sinAcosB =sinCcosB +sinBcosC =sin(B +C)=sinA ． … ∴ 2conB =1，∴ B =π
3．
∵ f(A)=
√2
2sin( A 2+π4)，且 0<A <
2π3
，
∴ π4
<A 2
+π4
<7π12
，
∴ 1
2<f(A)≤
√2
2，故函数f(A)的取值范围为(12, √22
]． … 17. 解：（1）由题设知X =1，2，3，4， P(X =1)=
110，
P(X =2)=9
10×1
10=9
100， P(X =3)=
910×
910
×
110
=
81
1000
，
P(X =4)=(9
10
)3=
729
1000
，…
∴ 随机变量X 的分布列
数学期望EX =3.439…
（2）认为该批量产品合格的概率是9
10×9
10×9
10×9
10， 从而该批量产品不合格的概率是P =1−(9
10)4=0.3439，
∴ 认为该批量产品不合格的概率是0.3439…
18. （1）证明：取AD 边中点H ，在等腰直角三角形ADE 中有
EH ⊥AD
又面ADE ⊥面ABCD ，∴ EH ⊥面ABCD ，
连接GH ，由于AB // CD // EF ，且AB =2，CD =4
∴ 在梯形ABCD 中，HG // AB 且HG =3，∴ HG // EF 且HG =EF ， ∴ 四边形EFGH 为平行四边形 ∴ FG // EH 且FG =EH
∴ FG ⊥面ABCD…
（2）解法一：在梯形ABCD 中，∠ADC =120∘，∴ ∠DAB =60∘ 又AB =AD =2，∴ ∠ADB =60∘且BD =2，
∴ 在△BDC 中，BD =2，CD =4，∠BDC =60∘，∴ BD ⊥BC ， 又由（1）知FG ⊥面ABCD ，而FG ⊂面FBC ，∴ 面FBC ⊥面ABCD ∴ BD ⊥面FBC ，∴ ∠FBG 为二面角F −BD −C 的平面角．…
而在Rt △FGB 中，FG =EH =1,BG =1
2BC =√3，∴ ∠FBG =30∘，∴ 所求二面角大小为
30∘…
解法二：建立如图所示的空间坐标系，A(1, 0, 0)，D(−1, 0, 0)，E(0, 0, 1)，B(0,√3，0)，HG =3，∠DHG =60∘，∴ G(−3
2，
3√32，0)∴ F(−32，3√3
2
，1)… ∴ 面BDC 的法向量n 1→
=(0,0,1)
令面BDF 的法向量n 2
→
=
(x,y,z)，则{n 2
→
⋅DF →
=0˙∴ {
(x,y,z)⋅(1,√3，0)=0(x,y,z)⋅(−1
2，
3√3
2
，1)=0
令y =−1，∴ n 2→
=(√3,−1,2√3)，… 记<
n 1→,n 2
→>为θ，则cosθ=
|n 1→||n 1→|
˙=
(0,0,1)⋅(√3，−1，2√3)
1×4
=
√3
2
，θ=30∘
∴ 二面角大小为30∘．…
19. ∵ 数列{a n } 中，a 1＝1，a 2=1
4， 且a n+1=(n−1)a n n−a n
(n ＝2, 3, 4,…)，
∴ a 3=(2−1)a 22−a 2
=
14
2−14=1
7，
a 4=
(3−1)a 33−a 3=
2×
173−17
=1
10， ∴ a 3=17
，a 4=1
10
．
当n ≥2时，
1a n+1
−1=
n−a n (n−1)a n
−1=
n(1−a n )(n−1)a n
=
n
n−1(
1
a n
−1)，
∴ 当n ≥2时，b n =n
n−1b n−1
， 故b n+1=
n+1n
b n ,n ∈N ∗，
累乘得b n ＝nb 1，
∵ b 1＝3，∴ b n ＝3n ，n ∈N ∗． ∵ c n =sin3
cosb
n ⋅cosb n+1
=sin(3n+3−3n)
cos(3n+3)⋅cos3n =tan(3n +3)−tan3n ，
∴ S n ＝c 1+c 2+...+c n
＝(tan6−tan3)+(tan9−tan6)+...+(tan(3n +3)−tan3n) ＝tan(3n +3)−tan3．
20. （1）证明：g′(x)=1
x −4
(x+1)2=(x−1)2
x(x+1)2，由于已知x >1，∴ g ′(x)>0恒成立∴ g(x)在(1, +∞)递增，∴ g(x)>g(1)=0 ∴ x >1时，g(x)>0恒成立．
（2）f(x)=lnx −ax 的定义域是(0, +∞)，f′(x)=1
x −a =
1−ax x
，
由于a >0，x >0，令f′(x)>0，解得0<x <1
a ， ∴ f(x)在(0,1
a
)上递增，在(1
a
，+∞)上递减．
∴ f(x)≤f(1
a )=−lna −1，欲使函数f(x)无零点，则只要−lna −1<0，即lna >−1，∴ a >1
e ．
故所求a 的范围是(1
e ，+∞)．
（3）因为f(x)有两个相异的零点，又由于x >0，
故不妨令x 1>x 2>0，且有lnx 1=ax 1，lnx 2=ax 2，∴ lnx 1+lnx 2=a(x 1+x 2)，lnx 1−lnx 2=a(x 1−x 2)，
要证x 1x 2>e 2⇔ln(x 1x 2)>2⇔lnx 1+lnx 2>2⇔a >2
x 1+x 2
⇔
lnx 1−lnx 2x 1−x 2
>2
x
1+x 2
⇔
lnx 1−lnx 2>
2(x 1−x 2)x 1+x 2
⇔ln
x 1x 2
>
2(
x 1
x 2−1)x 1x 2
+1
令t =x
1x 2
，则t >1，故只要证明lnt >
2(t−1)
t+1
，t >1时恒成立，
而由（1）知t >1时，lnt −
2(t−1)t+1
>0恒成立，即lnt >
2(t−1)t+1
恒成立，从而证明x 1x 2>e 2．
故x 1x 2>e 2． 21. 解：（1）由于x 0≠±1，知过P 作圆M 的切线，切线斜率存在，
设过点P 的切线方程：y =k(x −x 0)+x 02
，
即kx −y −kx 0+x 02
=0与圆C 2相切， 故有：
00
2√1+k 2
=1，
整理得：(x 02−1)k 2+2x 0(2−x 02)k +(2−x 02)2−1=0． 依题意，k 1，k 2是上述方程的两根，
故有k 1+k 2=
2x 0(x 0
2−2)x 0
2−1．…
（2）设A(x 1，x 12)，B(x 2，x 22
)，(x 1≠x 2)
由{y =k(x −x 0)+x 02
y =x 2，
得x 2−kx +kx 0−x 02
=0，
又方程有一根为x 0， 则另一根为k −x 0，
∴ x 1=k 1−x 0，x 2=k 2−x 0， ∴ k AB =
x 12−x 2
2x 1−x 2
=x 1+x 2=k 1+k 2−2x 0，
由（1）知k AB =
2x 0(x 0
2−2)x 0
2−1−2x 0=−2x
x 0
2−1，
又x 0≠0，所以k PM =
x 0
2−2x 0
，PM →⋅AB →
=0，
∴ −2x
x 0
2−1⋅(
x 0
2−2x 0
)=−1，
解得x 02=3，
∴ x 0=±√3…
（3）证明：由（1），（2）知k AB =x 1+x 2， 当x 0=−2时，k 1+k 2=−8
3
，k 1k 2=1，
∴ k AB =k 1+k 2−2x 0=43，x 1x 2=(k 1−x 0)(k 2−x 0)=k 1k 2−x 0(k 1+k 2)+x 02
=1+2×(−83
)+4=−1
3
，
而AB ：y −x 12=(x 1+x 2)(x −x 1)，
即y =(x 1+x 2)x −x 1x 2=43x +1
3， ∴ AB 方程：4x −3y +1=0， 而圆C 2的圆心M(0, 2)， 点M 到AB 的距离是
√42+32
=1，
圆C 2的半径为1， ∴ AB 与圆C 2相切．…。