2021-2022年高三上学期月考(三)数学(理)试题 含答案

2021年高三上学期月考（三）数学（理）试题 含答案
1. 设是虚数单位，则等于 ．0 ． . D. .已知实数满足则的最大值为 ．
． . D .
3．执行如图所示的程序框图，输出的结果是
． . . D. 4. 等比数列中，，则“”是“” 的
A.充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 函数的单调减区间为
A ．
B ．)(8,8
Z k k k ∈⎥⎦
⎤
⎝
⎛
+
-
πππ
π
C ．)(8,83Z k k k ∈⎥⎦⎤ ⎝
⎛+-
ππππ D ．)(83,8Z k k k ∈⎥⎦⎤ ⎝
⎛
++ππππ 6. 设，分别为双曲线：的左、右焦点，为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线某条渐近
线于、两点，且满足，则该双曲线的离心率为
. . . D . 7. 中，,3
,15,10π
=∠==BAC AC AB ，点是边的中点，点在直线上，且，直线与相交于点，
则为 .
. .
D .
8. 已知函数2|log |,02()sin(),2104
x x f x x x π
<<⎧⎪
=⎨≤≤⎪⎩，若存在实数，，，，满足，且1234()()()()f x f x f x f x ===，则的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题：
9. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是
____________.
10. 的展开式的常数项是 ．
11.在等差数列中，，，若此数列的前10项和，前18项和，则数列的前18项和___________．
12.在极坐标系中，直线与曲线相交于、两点，若，则实数的值为 .
14. 设函数
1
1
()lg
m
x x
i
i m a
f x
m
-
=
+
=
∑
，其中是给定的正整数，且，如果不等式在区间有解，则实
数的取值范围是 .
天津一中xx-1高三数学（理）三月考答案
一选择题
1．设是虚数单位，则等于 （D ）
A 、0
B 、
C 、
D 、
5.已知实数满足则的最大值为( C)
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10
3执行如图所示的程序框图，输出的结果是(C)
． . . D .
4等比数列中，，则“”是“” 的（ A ）
A.充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件5函数的单调减区间为（ B ）
A ．
B ．)(8,8
Z k k k ∈⎥⎦
⎤
⎝
⎛
+
-
πππ
π
C ．)(8,83Z k k k ∈⎥⎦⎤ ⎝
⎛
+-
ππππ D ．)(83,8Z k k k ∈⎥⎦⎤ ⎝
⎛
++ππππ 6设，分别为双曲线：的左、右焦点，为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线某条渐近线于、
两点，且满足，则该双曲线的离心率为（ A ） . . .
D .
7中，
,3
,15,10π
=∠==BAC AC AB ，点是边的中点，点在直线上，且，直线与相交于点，
则为(A) .
. . D .
8已知函数2|log |,02()sin(),2104
x x f x x x π
<<⎧⎪
=⎨≤≤⎪⎩，若存在实数，，，，满足，且1234()()()()f x f x f x f x ===，则的取值范围是（B ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10的展开式的常数项是
． -12
11在等差数列中，，，若此数列的前10项和，前18项和，则数列的前18项和___________． 12在极坐标系中，直线与曲线相交于、两点，若，则实数的值为 .
13如图，在和中，，，⊙是以为直径的圆, 的延长线与的延长线交于点, 若，，则的长为 ．
14设函数1
1
()lg
m x
x i i
m a f x m
-=+=∑，其中是给定的正整数，且，如果不等式在区间有解，则实
数的取值范围是 . 三、解答题
15函数()sin()(0,||)2
f x x π
ωϕωϕ=+><的部分图象如下图所示，将的图象向右平移个单
位后得到函数的图象. (1)求函数的解析式；
(2) 若的三边为成单调递增等差数列，且，求的值.
15【解析】
1 6已知甲、乙两个盒子，甲盒中有2个黑球和2个红球，乙盒中有2个黑球和3个红球，从甲、乙两盒中各取一球交换.
（Ⅰ）求交换后甲盒中有2个黑球的概率；
（Ⅱ）设交换后甲盒中黑球的个数为，求的分布列及数学期望.
16【解析】
（Ⅰ）①互换的黑球，此时甲盒子恰好有2黑球的事件记为A1，则：②互换的是红球，此时甲甲盒子恰好有2黑球记为A2，则：
故甲盒中有2个黑球的概率12131
()()5102
P P A P A =+=+= （2）设甲盒中黑球的个数为， 则：
；；因而的分布列为：
∴ E ＝×1＋×2＋×3＝
17在直角梯形中，，，，如图，把沿翻折，使得平面平面． （1）求证：；
（2）若点为线段中点，求点到平面的距离；
（3）在线段上是否存在点，使得与平面所成角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
（2）由（1）得平面，所以．以点为原点，所在的直线为轴，所在直线为轴，利用三维空间直角坐标系即可求的点面距离，即首先求出线段MC 与面ADC 的法向量的夹角，再利用三角函数值即可求的点面距离.此外，该题还可以利用等体积法来求的点面距离，即三棱锥M -ADC 的体积，分别以M 点为顶点和以A 点为定点来求解三棱锥的体积，解出高即为点面距离.
（2）解法1：因为平面，所以．以点为原点，所在的直线为轴，所在直线为轴,过点作垂直平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知，得，，，，．所以，，．……7分．设平面的法向量为，则，，所以令，得平面的一个法向量为…9分
所以点到平面的距离为……10分．
解法2：由已知条件可得，，所以．
由（1）知平面，即为三棱锥的高，
又，所以……7分．
由平面得到，设点到平面的距离为，
则
11
(22)
32
B ACD
V h
-
=⨯⨯……8分．
所以，，……9分．
因为点为线段中点，所以点到平面的距离为……10分．
18设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点． （Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）求四边形面积的最大值．
18【解析】
（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为， 直线的方程分别为，．··················································································································2分
如图，设001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，，其中， 且满足方程， 故．① 由知，得0212215(6)77714x x x x k
=
+==
+； 由在上知，得．
所以， 化简得， 解得或． ······································································································································· 6分 （Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为
21112
22
2(1214)
5
5(14)
x kx k k h k +-+++=
=
+
D
F B y A
O E
2 h． ········································································9分又，所以四边形的面积为
，
当，即当时，上式取等号．所以的最大值为．······································································12分解法二：由题设，，．
设，，由①得，，
故四边形的面积为 ·······················································································································································9分
，
当时，上式取等号．所以的最大值为．··················································································12分19各项均为正数的数列{a n}中，设，，且，．
（1）设，证明数列{b n}是等比数列；
（2）设，求集合()
{}*
,,|2,,,,
m r k
m k r c c c m k r m k r
+=<<∈N．
【答案】（1）详见解析，（2）{}
111
(1,3,4),(21,2,2)
i i i
i i
+++
---（）．
20设(是自然对数的底数，)，且．
（Ⅰ）求实数的值，并求函数的单调区间；
（Ⅱ）设，对任意，恒有成立．求实数的取值范围； （Ⅲ）若正实数满足，，试证明：)
()()(22112211x f x f x x f λλλλ+<+而
0222)()()(=-⋅≥-+=-'+'='--x x x x e e e e x f x f x g （当且仅当时取“=”
）
所以．……………………………………………………………………………9分 （Ⅲ）证明：不妨设，由得：
)]()([)(22112211x f x f x x f λλλλ+-+
)1()1(1)(22112211212211-------+-=+x e x e x x e x x x x λλλλλλ
)(1222111121x x x x x x e e e -+---=λλλλ
)1(122212122x x x x x e e e -+--+-=λλλλ
]
1[12122122)(x x x x x e e e ---+-=λλλ。