上海市晋元高级中学2019-2020年高二数学上学期9月阶段反馈试题(含解析)
上海市晋元中学2019-2020学年度高二数学第一学期期末考试(详解版)
晋元高级中学 2019学年第一学期期末考试高二年级数学试卷 2020.01一．填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．直线a ，b 分别在长方体的上、下底面所在平面内，则a 与b 的位置关系是 2．已知一个圆柱的轴截面是面积为36的正方形，则这个圆柱的侧面积为3．已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正四棱锥的体积为4. 把一块长是10，宽是8，高是6的长方形木料削成一个体积最大的球，这个球的体积为5．两条相交直线l ，m 都在平面α内，且都不在平面β内，若有甲：l 和m 中至少有一条直线与β相交，乙：平面α与平面β相交，则甲是乙的 条件6．图中的三个直角三角形是一个体积为30cm 3的几何体的三视图，则侧视图中的h＝ cm ．7．过点（﹣1，）且与直线x ﹣y +1＝0的夹角为的直线方程为 ．8．现有n 个正方体，它们的棱长可以构成首项为1，公比为2的等比数列，则这n 个正方体的体积之和为 ．9.已知直线1l ：3410x y ++=和点A （1,2）．设过A 点与1l 垂直的直线为2l .则直线2l 与两坐标轴围成的三角形的面积是 ．10. 已知等比数列{}n a 中0>n a ，且168721=⋅⋅⋅⋅a a a a Λ，则54a a +的最小值为 .11. 一直线过点P (-5,-4),且与两坐标轴围成的三角形面积为5,则此直线方程为 .12. 已知1b >，直线2(1)20b x ay +++=与直线(1)10x b y ---=互相垂直，则a 的最小值等于二．选择题（本大题共4小题，共12分）13．下面四个命题中正确的是（ ）A ．“直线a 、b 不相交”是“直线a 、b 为异面直线”的充分非必要条件B ．“l ⊥平面α”是“直线l 垂直于平面α内无数条直线”的充要条件C ．“a 垂直于b 在平面α内的射影”是“直线a ⊥b ”的充分非必要条件14．下列选项中不正确的是（）A．两直线的斜率存在时，它们垂直的等价条件是其斜率之积为﹣1B．如果方程Ax+By+C＝0表示的直线是y轴，那么系数A，B，C满足A≠0，B＝C＝0C．Ax+Bx+C＝0和2Ax+2Bx+C+1＝0表示两条平行直线的等价条件是A2+B2≠0且C≠1D．（x﹣y+5）+k（4x﹣5y﹣1）＝0表示经过直线x﹣y+5＝0与4x﹣5y﹣1＝0的交点的所有直线15．如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，正确的个数为（）（1）AC⊥BD（2）AC∥截面PQMN（3）AC＝BD（4）异面直线PM与BD所成的角为45°A．1 B．2 C．3 D．416．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点．设点P在线段B 1C1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）A．B．C．D．三．解答题（本大题共5小题，共52分）17.（本题满分8分）已知直线l1：mx+3y+3＝0，直线l2：x+（m﹣2）y+2＝0，求当m为何值时，直线l1与l2分别有如下位置关系：（1）平行；（2）垂直．18. （本题满分8分）在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x﹣2y+1＝0，∠A的平分线所在直线方程为y＝0，若点B的坐标为（1，2）．（1）求点A和点C的坐标；（2）求AC边上的高所在的直线l的方程．19. （本题满分10分）已知圆柱的底面半径为r，上底面圆心为O，正六边形ABCDEF内接于下底面圆P，OA与母线所成角为30°，（1）试用r表示圆柱的表面积S；（2）若圆柱体积为9π，求点C到平面OEF的距离．20. （本题满分12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，E、F分别是A′B′和AB的中点．求：（1）异面直线A′F与CE所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）直线A′F与平面ABC′D′所成的角的大小．（结果用反三角函数值表示）；（3）二面角A﹣CE﹣F的大小．21.（本题满分14分）已知函数f（x）＝x2+3x，数列{a n}的前n项和为S n，且对一切正整数n，点P n（n，S n）都在函数f（x）的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设A＝{x|x＝a n，n∈N*}，B＝{x|x＝2（a n﹣1），n∈N*}，等差数列{b n}的任一项b n∈A∩B，其中b1是A∩B中最的小数，且88＜b8＜93，求{b n}的通项公式；（3）设数列{c n}满足，是否存在正整数p，q（1＜p＜q），使得c1，c p，c q成等比数列？若存在，求出所有的p，q的值；若不存在，请说明理由．晋元高级中学 2019学年第一学期期末考试高二年级数学试卷 2020.01一．填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．直线a ，b 分别在长方体的上、下底面所在平面内，则a 与b 的位置关系是 【答案】平行或异面 2．已知一个圆柱的轴截面是面积为36的正方形，则这个圆柱的侧面积为【答案】36π3．已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正四棱锥的体积为【答案】 5. 把一块长是10，宽是8，高是6的长方形木料削成一个体积最大的球，这个球的体积为【答案】36π5．两条相交直线l ，m 都在平面α内，且都不在平面β内，若有甲：l 和m 中至少有一条直线与β相交，乙：平面α与平面β相交，则甲是乙的 条件【答案】充要6．图中的三个直角三角形是一个体积为30cm 3的几何体的三视图，则侧视图中的h＝ cm ．【答案】67．过点（﹣1，）且与直线x ﹣y +1＝0的夹角为的直线方程为 ．【答案】x +1＝0或x ﹣+4＝08．现有n 个正方体，它们的棱长可以构成首项为1，公比为2的等比数列，则这n 个正方体的体积之和为 ．【答案】9.已知直线1l ：3410x y ++=和点A （1,2）．设过A 点与1l 垂直的直线为2l .则直线2l 与两坐标轴围成的三角形的面积是 ．【答案】1610. 已知等比数列{}n a 中0>n a ，且168721=⋅⋅⋅⋅a a a a Λ，则54a a +的最小值为 .【答案】2211.一直线过点P (-5,-4),且与两坐标轴围成的三角形面积为5,则此直线方程为 .12.已知1b >，直线2(1)20b x ay +++=与直线(1)10x b y ---=互相垂直，则a 的最小值等于【答案】222+二．选择题（本大题共4小题，共12分）13．下面四个命题中正确的是（ ）A ．“直线a 、b 不相交”是“直线a 、b 为异面直线”的充分非必要条件B ．“l ⊥平面α”是“直线l 垂直于平面α内无数条直线”的充要条件C ．“a 垂直于b 在平面α内的射影”是“直线a ⊥b ”的充分非必要条件D ．“直线a 平行于平面β内的一条直线”是“直线a ∥平面β”的必要非充分条件【答案】D14．下列选项中不正确的是（ ）A ．两直线的斜率存在时，它们垂直的等价条件是其斜率之积为﹣1B ．如果方程Ax +By +C ＝0表示的直线是y 轴，那么系数A ，B ，C 满足A ≠0，B ＝C ＝0C ．Ax +Bx +C ＝0和2Ax +2Bx +C +1＝0表示两条平行直线的等价条件是A 2+B 2≠0且C ≠1D ．（x ﹣y +5）+k （4x ﹣5y ﹣1）＝0表示经过直线x ﹣y +5＝0与4x ﹣5y ﹣1＝0的交点的所有直线【答案】D15．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，正确的个数为（ ）（1）AC ⊥BD （2）AC ∥截面PQMN（3）AC ＝BD （4）异面直线PM 与BD 所成的角为45°A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C16．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点O 为线段BD 的中点．设点P 在线段B 1C 1上，直线OP 与平面A 1BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C三．解答题（本大题共5小题，共52分）17.（本题满分8分）已知直线l 1：mx +3y +3＝0，直线l 2：x +（m ﹣2）y +2＝0，求当m 为何值时，直线l 1与l 2分别有如下 位置关系：（1）平行；（2）垂直．【解析】（1）由m（m﹣2）﹣3＝0，解得m＝3或﹣1．经过验证可得：m＝3或﹣1都满足两条直线平行．∴m＝3或﹣1．（2）由m+3（m﹣2）＝0，解得m＝．∴m＝时两条直线相互垂直．18. （本题满分8分）在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x﹣2y+1＝0，∠A的平分线所在直线方程为y＝0，若点B的坐标为（1，2）．（1）求点A和点C的坐标；（2）求AC边上的高所在的直线l的方程．【答案】（1）A（﹣1，0），C（5，﹣6）；（2）x﹣y+1＝0．【解析】（1）由已知点A应在BC边上的高所在直线与∠A的角平分线所在直线的交点，由得，故A（﹣1，0）．由k AC＝﹣k AB＝﹣1，所以AC所在直线方程为y＝﹣（x+1），BC所在直线的方程为y﹣2＝﹣2（x﹣1），由，得C（5，﹣6）．（2）由（1）知，AC所在直线方程x+y+1＝0，所以l所在的直线方程为（x﹣1）﹣（y﹣2）＝0，即x﹣y+1＝0．19. （本题满分10分）已知圆柱的底面半径为r，上底面圆心为O，正六边形ABCDEF内接于下底面圆P，OA与母线所成角为30°，（1）试用r表示圆柱的表面积S；（2）若圆柱体积为9π，求点C到平面OEF的距离．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）连接AP，由题意可知：OA与母线所成角为30°，AP＝r，所以：，（2）∵，∴∴V C﹣OEF＝V O﹣CEF，∴，∴20. （本题满分12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，E、F分别是A′B′和AB的中点．求：（1）异面直线A′F与CE所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）直线A′F与平面ABC′D′所成的角的大小．（结果用反三角函数值表示）；（3）二面角A﹣CE﹣F的大小．【答案】（1）arccos；（2）arccos；（3）arccos．【解析】（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD′为z轴，建立空间直角坐标系，A′（2，0，2），F（2，1，0），C（0，2，0），E（2，1，2），＝（0，1，﹣2），＝（2，﹣1，2），设异面直线A′F与CE所成的角为θ，则cosθ＝|cos＜，＞|＝＝＝．∴异面直线A′F与CE所成的角的大小为arccos．（2）＝（0，1，﹣2），A（2，0，0），B（2，2，0），D′（0，0，2），＝（0，2，0），＝（﹣2，0，2），设平面ABC′D′的法向量＝（x1，y1，z1），则，取x1＝1，得＝（1，0，1），设直线A′F与平面ABC′D′所成的角为α，则sinα＝|cos＜，＞|＝＝＝，∴直线A′F与平面ABC′D′所成的角的大小为arcsin．（3）A（2，0，0），C（0，2，0），E（2，1，2），F（2，1，0），＝（2，﹣1，2），＝（﹣2，2，0），＝（2，﹣1，0），设平面ACE的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，1，﹣），设平面CEF的法向量＝（a，b，c），则，取a＝1，得＝（1，2，0），设二面角A﹣CE﹣F的平面角为θ，则cosθ＝＝＝．∴二面角A﹣CE﹣F的大小为arccos．21.（本题满分14分）已知函数f（x）＝x2+3x，数列{a n}的前n项和为S n，且对一切正整数n，点P n（n，S n）都在函数f（x）的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设A＝{x|x＝a n，n∈N*}，B＝{x|x＝2（a n﹣1），n∈N*}，等差数列{b n}的任一项b n∈A∩B，其中b1是A∩B中最的小数，且88＜b8＜93，求{b n}的通项公式；（3）设数列{c n}满足，是否存在正整数p，q（1＜p＜q），使得c1，c p，c q成等比数列？若存在，求出所有的p，q的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）a n＝2n+2；（2）b n＝12n﹣6；（3）p＝2，q＝12.【解析】（1）∵点P n（n，S n）都在函数f（x）＝x2+3x的图象上，∴．当n＝1时，a1＝S1＝4；当n≥2时，，当n＝1时，也满足．故a n＝2n+2．（2）∵A＝{x|x＝a n，n∈N*}，B＝{x|x＝2（a n﹣1），n∈N*}，∴A＝{x|x＝2n+2，n∈N*}，B＝{x|x＝4n+2，n∈N*}∴A∩B＝B，又∵b n∈A∩B，∴b n∈B即数列{b n}的公差是4 的倍数又A∩B中的最小数为6，∴b1＝6，∴b8＝4k+6，k∈N*，又∵88＜b8＜93∴，解得k＝21．等差数列{b n}的公差为d，由b8＝6+7d＝90得d＝12，故b n＝12n﹣6（3）∵，∴若c1，c p，c q成等比数列，则，即．可得，所以﹣2p2+4p+1＞0，从而又p∈N*，∴p＝2，此时q＝12．故当且仅当p＝2，q＝12，使得c1，c p，c q成等比数列．。
2019-2020年高二上学期9月月考数学试题含答案
2019-2020年高二上学期9月月考数学试题含答案考试范围：必修5第一、二章考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1、数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式为A 12-=n a nB )21()1(n a n n --=C )12()1(--=n a n n D)12()1(+-=n a n n2．已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则公比q =A ．21-B ．2-C ．2D ．21 3．若∆ABC 中，sin A :sin B :sin C =2:3:4，那么cos C =A. 14-B. 14C. 23-D. 234．设数}{n a 是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是A ．1B ．2C ．2±D ．45．在各项均为正数的等比数列{}n b 中，若783b b ⋅=，则3132l o g l o g b b ++……314log b +等于A. 5B. 6C. 7D.86．在ABC ∆中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是（ ）A. b=10, A=450, C=600B. a=6, c=5, B=600C. a=7, b=5, A=600D. a=14, b=16, A=450 7．在ABC ∆中，若cos cos a B b A =，则ABC ∆的形状一定是（ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形 8．在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°,60°，则塔高为（ ） Am 3400Bm 33400 Cm 33200 Dm 32009．等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，且132+=n nT S n n ，则55b a （ ） A32 B 149 C 3120 D 9710．已知数列{}n a 中，11,a =前n 项和为n S ，且点*1(,)()n n P a a n N +∈在直线10x y -+=上，则1231111nS S S S ++++=（ ） A.(1)2n n + B.2(1)n n + C.21n n + D.2(1)n n +二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．已知{}n a 为等差数列，3822a a +=，67a =，则5a =____________ 12. 已知数列｛a n ｝的前n 项和是21n S n n =++, 则数列的通项a n =__ 13．在△ABC 中,若a 2+b 2<c 2,且sin C =23,则∠C = 14．△ABC 中，a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°，ABC S ∆=23，那么b = 15．在钝角△ABC 中，已知a=1,b=2,则最大边c 的取值范围是____________ 。
2022-2023学年上海市晋元高级中学高二上学期期末数学试题(解析版)
2022-2023学年上海市晋元高级中学高二上学期期末数学试题一、填空题1．直线l 过点()1,2P 且倾斜角为2π，则直线l 的方程为_________． 【答案】x =1【详解】∵直线l 过点()1,2P 且倾斜角为2π， ∴直线l 的方程为x =1 故答案为：x =12．若109n n C C =，则20n C 的值为__________.【答案】20【分析】通过已知得出n 的值，即可利用公式计算得出答案.【详解】109n n C C =，()()!!10!10!9!9!n n n n ∴=--，即109n =-，19n ∴=，19202020120201n C C C ∴====， 故答案为：20.3．已知一个圆锥的底面积为π，侧面积为2π，则该圆锥的体积为________.【解析】利用圆的面积公式和圆锥侧面积公式可得到方程组，解方程组求出圆锥的底面半径和圆锥的母线长，再利用勾股定理求出圆锥的高，最后利用圆锥的体积公式求出体积即可.【详解】设圆锥的底面半径、高、母线长分别为r ，h ，l ，则22r rl ππππ⎧=⎨=⎩解得12r l =⎧⎨=⎩所以h .圆锥的体积V ＝13Sh .【点睛】考查了圆锥的侧面积公式和圆锥体积公式，考查了数学运算能力.4．某校从高一新生中随机抽取了一个容量为20的身高样本，数据从小到大排序如下（单位：cm ）：152，155，158，164，164，165，165，165，166，167，168，168，169，170，170，170，171，x ，176，178，若样本数据的85百分位数是173，则x 的值为______．【答案】175【分析】根据百分位数的意义求解.【详解】第85百分位数是173，因为200.8517⨯=，所以1711732x+=，175x = 故答案为：1755．已知直线l 的一个方向向量为()1,2,1d =-，平面α的一个法向量为()5,,3n x =，若//l α，则实数x =__________.【答案】1-【分析】通过已知得出d n ⊥，即可利用垂直向量的数量积为零列式求解. 【详解】//l α，d n ∴⊥，5230d n x ∴⋅=+-=， 解得=1x -， 故答案为：1-.6．如图，已知正三棱柱111ABC A B C 的底面边长为1cm ，高为5cm ，一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达1A 点的最短路线的长为___________.【答案】61【分析】曲面最值问题一般都化曲为平，变成两点间线段最短.【详解】如图将正三棱柱侧面展开2次，可知曲面上的最小值即为对角线226561+=7．设有4位志愿者随机选择到四个不同的核酸检测点进行服务，每个检测点可接纳多位志愿者，则四个核酸检测点都有志愿者到位的概率是__________.（结果用最简分数表示） 【答案】332【分析】先根据分步乘法原理得4位志愿者到核酸点位的可能性和四个核酸检测点都有志愿者的情况，再根据古典概型公式求解即可.【详解】由题知，4位志愿者到核酸点位的可能性共有4444256n =⨯⨯⨯=种，其中四个核酸检测点都有志愿者到位的共有44A 24m ==种，所以四个核酸检测点都有志愿者到位的概率是24325632m P n ===. 故答案为：332. 8．平面直角坐标系内，点()()1,26,14A B ､到直线l 的距离分别为4和9，则满足条件的直线l 有__________条. 【答案】3【分析】动直线和点的距离不变，可理解为直线是圆的切线，从而利用两圆的位置关系得出两圆公切线的条数，即是直线l 的条数．【详解】由已知可把直线l 看成是以(1,2)A 为圆心，4为半径的圆的切线， 同时是以(6,14)B 为圆心，9为半径的圆的切线，由于两圆圆心距13=49AB +，所以两圆相外切， 根据外切的两圆的公切线有3条可知，满足条件的直线l 有3条． 故答案为：3．9．我们知道：111C C C m m mn n n ---=+，相当于从两个不同的角度考察组合数：①从n 个不同的元素中选出m 个元素并成一组的选法种数是C mn ；②对n 个元素中的某个元素A ，若A 必选，有11C m n --种选法，若A不选，有1C mn -种选法，两者结果相同，从而得到上述等式，试根据上述思想化简下列式子：01122C C C C C C C C m m m k m kk n k nk n k n ---++++=__________(1,)k m n m n ≤<≤∈N ､.【答案】C mn k +【分析】根据题意，分某k (1,)k m n m n ≤<≤∈N ､个元素中选取个数为0,1,2,3,,k 讨论求解即可得答案.【详解】根据题意，从n k +个不同元素中选出m 个元素并成一组的选法种数是C mn k +，若对其中的某k (1,)k m n m n ≤<≤∈N ､个元素分别选或不选，则k (1,)k m n m n ≤<≤∈N ､个元素一个都没有选，有0C C mk n 种选法；有一个元素被选取，有11C C m k n -种选法；有两个元素被选取，有22C C m k n-种选法；有三个元素被选取，有33C C m k n -种选法；有k 个元素被选取，有C C km kk n-种选法；所以01122C =C C C C C C C C m m m m k m k n k k n k n k n k n ---+++++，(1,)k m n m n ≤<≤∈N ､，故答案为：C mn k +.10．已知()()1122,,A x y B x y ､为圆22:4M x y +=上的两点，且12122x x y y +=-，设()00,P x y 为弦AB 的中点，则003410x y +-的最大值为__________. 【答案】15【分析】由12122x x y y +=-可知o 120AMB =∠，则1MP =，可得P 点轨迹为圆.又0034105x y +-=，求出圆上一点到直线34100x y +-=距离的最大值即可.【详解】注意到()()1122,,MA x y MB x y ==，， 则1212cos 2x x y y MA MB MA MB AMB +=⋅=⋅⋅∠=-，又2MA MB ==，则o 120AMB =∠，又由垂径定理可知，o 60AMP ∠=，则o2cos601MP ==.故P 点轨迹是以M 为圆心，半径为1的圆.注意到0034105x y +-=，表示P 到直线34100x y +-=距离的5倍，又圆上一点到34100x y +-=13+=，则003410x y +-的最大值为15. 故答案为：1511．在直三棱柱111ABC A B C 中，AB BC AC a ===，1AA b =，若该三棱柱的六个顶点都在同一个球面上，且2a b +=，则该球的表面积的最小值为______. 【答案】167π 【解析】如图所示：1O ，2O 分别为111A B C △和ABC 的中心，易知球心O 为12O O 中点，2234a b R +，276416412777S a ππ⎡⎤⎛⎫=-+≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，得到答案.【详解】如图所示：1O ，2O 分别为111A B C △和ABC 的中心，易知球心O 为12O O 中点，在2Rt AOO △中：23AO =，22b OO =，故2234a bR =+故()2222222764164444343412777a a b a S R a πππππ⎛⎫⎡⎤-⎛⎫⎛⎫==+=+=-+≥ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭， 故该球的表面积的最小值为167π. 当67a =，87b =时等号成立. 故答案为：167π.【点睛】本题考查了三棱柱的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.12．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为1AA 的中点，M 在侧面11AA B B 上，若1D M CP ⊥，则BCM △面积的最小值为___________.5【分析】取AB 的中点N ，AD 的中点Q ，连接11,,,D Q QN B N AC ，容易证得⊥CP 平面11D QNB ，要使1⊥CP D M ，进而得1∈M B N ，进而得当1⊥BM B N 时，BM 最小，此时，BCM △的面积最小，再根据几何关系求解即可.【详解】如图，取AB 的中点N ，AD 的中点Q ，连接11,,,.D Q QN B N AC 由于CP 在面ABCD 内的射影为AC ，QN AC ⊥，故⊥QN CP 因为CP 在面11ADD A 内的射影为DP ，1⊥D Q DP ，所以1⊥D Q CP . 又1D Q QN Q ⋂=，所以⊥CP 平面11D QNB . 要使1⊥CP D M ，必须点M 在平面11D QNB 内， 又点M 在侧面11AA B B 内，所以点M 在平面11D QNB 与平面11AA B B 的交线上，即1∈M B N . 因为CB ⊥平面11ABB A ，BM ⊂平面11ABB A ，所以CB BM ⊥， 所以1=2BCMSCB BM ⨯⨯ 当1⊥BM B N 时，BM 最小，此时，BCM △的面积最小. 又111,2BB BN ==，故152B N =. 由1Rt B BN 的面积可得1152==552BM ⨯，所以155=1=2510BCMS⨯⨯. 故答案为：510【点睛】关键点点睛：本题考查空间线面垂直的证明，解题的关键在于根据题意寻求M 的轨迹，即1∈M B N ，进而根据几何关系求解，考查空间想象能力，运算求解能力，是中档题.二、单选题13．“2m =是“直线210x my ++=与直线210mx y +-=平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分也不必要条件 D ．充要条件【答案】D【解析】根据两条直线平行的条件以及充要条件的定义可得答案.【详解】因为直线210x my ++=与直线210mx y +-=平行等价于2220m ⨯-=且2(1)0m ⨯--≠，即2m =，所以“2m =是“直线210x my ++=与直线210mx y +-=平行”的充要条件. 故选：D【点睛】结论点睛：本题考查充要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等； （4）p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对的集合与p 对应集合互不包含．14．设A ，B 是两个事件，以下说法正确的是（ ） A ．若()()1P A P B +=，则事件A 与事件B 对立 B ．若()()1P A P B +=，则事件A 与事件B 互斥 C ．若()()()P A B P A P B =+，则事件A 与事件B 互斥 D ．若()()()P A B P A P B ⋂=，则事件A 与事件B 相互独立 【答案】D【分析】由互斥事件，对立事件，相互独立事件的定义求解即可 【详解】对于A ，B ：例如抛掷一枚均匀的骰子，记事件A 为“出现偶数点”，事件B 为“出现1点或2点或3点”， 则()()0.5,0.5P A P B ==，()()1P A P B +=， 但事件A ，B 既不互斥也不对立，故A ，B 错误；对于C ：在不同的试验下，即使()()()P A B P A P B =+，也不能说明事件A 与事件B 一定互斥， 故C 错误；对于D ：根据相互独立事件的定义可知：若()()()P A B P A P B ⋂=，则事件A 与事件B 相互独立，故D 正确； 故选：D15．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和．已知1414,2a a =-=，则数列{}n S （ ） A ．无最大项，有最小项 B ．有最大项，无最小项 C ．无最大项，无最小项 D ．有最大项，有最小项【答案】D【分析】求出公比q ，求出n S ，然后分析{}n S 的性质即可．【详解】设公比为q ，则34118a q a ==-，12q =-，11412(1)811113212n n nn a q S q ⎡⎤⎛⎫-⨯--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭-⎢⎥⎛⎫⎣⎦===---⎢⎥ ⎪-⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭， 当n 为偶数时，81132n n S ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，对应函数为减函数，即24683S S S >>>>-，当n 为奇数时，81132n n S ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，对应函数为增函数，即13583S S S <<<<-，所以{}n S 有最大项为2S ，最小项为1S ． 故选：D ．【点睛】本题考查等比数列的前n 项和形成的数列的最值问题，解题关键是求得n S 后按奇偶数分类，得出奇数项递增，偶数项递减，但所有偶数项比83-大，所有奇数项比83-小，即可确定最值．16．在三棱台111A B C ABC -中，点D 在11A B 上，且1//AA BD ，点M 是三角形111A B C 内（含边界）的一个动点，且有平面//BDM 平面11A ACC ，则动点M 的轨迹是（ ）A ．三角形111ABC 边界的一部分 B ．一个点 C ．线段的一部分D ．圆的一部分【答案】C【分析】过D 作11//DE AC 交11B C 于E ，连接BE ，证明平面//BDE 平面11AAC C ，得M DE ∈，即得结论．【详解】如图，过D 作11//DE AC 交11B C 于E ，连接BE ，1//BD AA ，BD ⊄平面11AAC C ，1AA ⊂平面11AACC ，所以//BD 平面11AAC C ， 同理//DE 平面11AAC C ，又BD DE D ⋂=，,BD DE ⊂平面BDE ，所以平面//BDE 平面11AAC C ，所以M DE ∈，（M 不与D 重合，否则没有平面BDM ），故选：C ．三、解答题17．（1）若直线1l 过点()1,2P -，且与直线3450x y -+=垂直，求直线1l 的方程； （2）若直线2l 过点()1,2Q -，且与圆221x y +=相切，求直线2l 的方程. 【答案】（1）4320x y +-=；（2）1x =或3450x y ++=.【分析】（1）根据垂直列出直线1l 的方程，代入()1,2P -，求出直线1l 的方程；（2）考虑直线2l 的斜率不存在和存在两种情况，结合点到直线距离公式列出方程，求出直线方程. 【详解】（1）设直线1:430l x y C ++=，将()1,2P -代入得：460C -++=，解得：2C =-， 故直线1l 的方程为4320x y +-=；（2）当直线2l 的斜率不存在时，1x =，此时与圆221x y +=相切，满足要求， 当直线2l 的斜率存在时，设直线()2:21l y k x +=-2211k k+=+，解得：34k =-，故直线()23:214l y x +=--，整理得：3450x y ++=， 故直线2l 的方程为1x =或3450x y ++=.18．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为菱形，PD ⊥平面ABCD ，2PD AD ==，60BAD ∠=︒，E 为BC 的中点.(1)求证：ED ⊥平面PAD ；(2)求点C 到平面PAB 的距离.【答案】(1)证明见解析 (2)2217【分析】（1）根据题意得到DE AD ⊥，PD DE ⊥，再根据线面垂直的判定即可证明.（2）利用空间向量法求解即可.【详解】（1）连接BD ，如图所示：因为底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，所以BCD △为等边三角形，又因为E 为BC 的中点，所以DE BC ⊥.因为//AD BC ，所以DE AD ⊥.又因为PD ⊥平面ABCD ，DE ⊂平面ABCD ，所以PD DE ⊥.因为PD AD D ⋂=，所以ED ⊥平面PAD .（2）以D 为原点，,,DA DE DP 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：()002P ,,，()2,0,0A ，()3,0B ，()3,0C -，()2,0,2PA =-，()3,0AB =-，()3,3,0CA =-设平面PAB 的法向量(),,n x y z =， 则22030n PA x z n AB x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1y =，解得(31,3n =,， 则3332217313CA nd n ⋅-===++. 19．已知圆C 经过()0,1A ，()()4,0B a a >两点．(1)如果AB 是圆C 的直径，证明：无论a 取何正实数，圆C 恒经过除A 外的另一个定点，求出这个定点坐标．(2)已知点A 关于直线3y x =-的对称点A '也在圆C 上，且过点B 的直线l 与两坐标轴分别交于不同两点M 和N ，当圆C 的面积最小时，试求BM BN ⋅的最小值.【答案】(1)证明见解析，定点为()4,1(2)min 8BM BN ⋅=【分析】（1）设点(),P x y 是圆C 上任意一点，由AB 是圆C 的直径，得0AP BP ⋅=，从而可求出圆C 的方程，即可得出结论；（2）根据题意可得点C 在直线3y x =-上，要使圆C 的面积最小，则圆C 是以AA '为直径的圆，从而可求出圆C 的方程，进而可求得B 点的坐标，设出直线l 的方程，分别求出,M N 的坐标，再根据两点间距离公式结合基本不等式即可得解．【详解】（1）设点(),P x y 是圆C 上任意一点，因为AB 是圆C 的直径，所以0AP BP ⋅=，即()()()()(),14,410x y x y a x x y y a -⋅--=-+--=，所以圆C 的方程为：()()()410x x y y a -+--=，则4x =，1y =时等式恒成立，故定点为()4,1，所以无论a 取何正实数，圆C 恒经过除A 外的另一个定点，定点坐标为()4,1；（2）因点A 关于直线3y x =-的对称点A '也在圆C 上，所以点C 在直线3y x =-上，又圆C 的面积最小，所以圆C 是以AA '直径的圆，设过点A 与直线3y x =-垂直的直线方程为1y x =-+，由方程组31y x y x =-⎧⎨=-+⎩得()2,1C -，则()()22201122AC =-+--=所以圆C 的方程为()()22218x y -++=， 当4x =时，1a =或3a =-，又0a >，所以1a =，即()4,1B ，由题意知直线l 斜率存在且不为零，设直线l 的方程为()14y k x -=-，当0x =时14y k =-，当0y =，时14x k=-， 所以222222111||||16161424228BM BN k k k k k k ⋅=+⋅+=++≥⋅+=， （当且仅当221k k =，即1k =±时取等号） 则当1k =±时，min 8BM BN ⋅=20．正ABC 的边长为4,CD 是AB 边上的高，E F ､分别是AC 和BC 边的中点，现将ABC 沿CD 翻折成直二面角A DC B --.(1)求证：直线AB 平面DEF ；(2)求二面角E DF C --的余弦值；(3)在线段BC 上是否存在一点P ，使AP DE ⊥？若存在，请指出P 点的位置，若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明过程见详解 (2)217(3)存在，靠近B 的三等分点【分析】(1)判定线面关系，可以从线线关系寻找，由线段中点，可利用中位线性质的线线平行，再利用线面平行判定定理确定；(2)求二面角，一般利用空间直角坐标系，结合空间向量的数量积解决：先建立空间直角坐标系，再分别计算两平面的法向量，最后利用空间向量数量积求夹角的余弦值，经判断所求二面角为锐角即可得出结论；(3)确定点的位置，一般利用空间直角坐标系求出点的坐标，再明确位置关系.要求点P 的坐标，只需列两个独立条件，一个为在直线上，另一个为垂直，利用这两个条件可得点P 的位置，进而求解.【详解】（1）如图，在ABC 中，由E F ､分别是AC BC ､中点，得EF AB ∥，又AB ⊄平面,DEF EF ⊂平面,DEF AB ∴平面DEF .（2）由题知，AD CD ⊥，平面ADC ⊥平面BDC ，且交线为DC ，AD ∴⊥平面BDC ，因为,BD DC ⊂平面BDC ，所以,AD BD AD DC ⊥⊥，又已知BD CD ⊥，,,AD BD CD ∴两两垂直，以点D 为坐标原点，直线DB DC DA ､､为x 轴､y 轴､z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则()()()()()0,0,2,2,0,0,0,23,0,3,1,3,0A B C E F ，平面CDF 的法向量为()0,0,2DA =，设平面EDF 的法向量为(),,n x y z =，则·0·0DF n DE n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即00x z ⎧=⎪+=，取()3,3,3n =-， 21cos<,7DA nDA n DA n >==，∴二面角E DF C --（3）设(),,0P x y ，因为AP DE ⊥，则320,AP DE y y =-=∴=又()()2,,0,,,0BP x yPC x y =-=-，()(),2,BP PC x yxy y ∴-=-+=∥ 把y =41,33x BP BC =∴=， ∴在线段BC 上存在点43P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，即靠近B 的三等分点，使AP DE ⊥.21．设各项均为整数的无穷数列{}n a 满足11a =，且对所有*n ∈N ，1n n a a n +-=均成立.（1）求123a a a ++的所有可能值；（2）若数列{}n a 使得无穷数列13521n a a a a -、、、、、是公差为1的等差数列，求数列{}n a 的通项公式； （3）求证：存在满足条件的数列{}n a ，使得在该数列中有无穷多项为2021.【答案】（1）1-，3，7；（2）1,22,2n n n a n n +⎧⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩为奇数为偶数；（3）证明见解析． 【分析】（1）用列举法写出23,a a 的值，计算出123a a a ++可得； （2）题意可得出奇数项数列的通项公式，然后由相邻两项差的绝对值求得偶数项．（3）利用（2）中数列构造一个循环数列，，则可证明．【详解】数列各项均为整数，（1）11a =，211a a -=，则20a =或2，322a a -=，20a =时，32a =-或2，22a =时，30a =或4，所以1231,3,3,7a a a ++=-，即可能值为1-，3，7；（2）由已知21n a n -=，则22121n n a a n --=-，2122n n a a n +-=，即2221,(1)2n n a n n a n n -=--+=，所以21n a n =-， 所以1,22,2n n n a n n +⎧⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩为奇数为偶数； （3）由（2）可知存在一个数列{}n a 奇数项为从1开始的连续自然数，易知40412021a =， 然后从第4041项开始，构造奇数项为公差为－1的等差数列，（如404240414041a a =+，4043404240422020a a =-=），这样由（2）知，当21n k =+，Z k ∈，2020k ≥时，80832n n a -=， 2,n k k Z =∈时，2021k ≥时，111n n n n a a n a a n -+⎧-=-⎪⎨-=⎪⎩，解得80822n n a +=， 则当奇数取至1时，重复第一段的数列，得到一个周期数列，在此周期数列中存在无穷多项为2021．即证．【点睛】关键点点睛：本题考查数列递推公式的应用，数列通项公式的求解，解题关键是通过（2）构造一个循环数列，以此解决出现无穷多项为2021的数出现的问题．第（3）小题难度较大．。
2019-2020学年上海市金山中学高二上学期9月月考数学试题(解析版)
2019-2020学年上海市金山中学高二上学期9月月考数学试题一、单选题1．平面向量a ，b 共线的充要条件是（ ） A.a ，b 方向相同 B.a ，b 两向量中至少有一个为零向量 C.λ∃∈R ，b a λ=D.存在不全为零的实数私1λ，2λ，120a b λλ+=r r r【答案】D【解析】根据向量共线定理，即非零向量a 与向量b 共线的充要条件是必存在唯一实数λ，使得b a λ=成立，即可得到答案.【详解】若,a b 均为零向量，则显然符合题意，且存在不全为零的实数12,λλ，使得120a b λλ+=r r r；若0a ≠r r，则由两向量共线知，存在0λ≠，使得b a λ=， 即0a b λ-=，符合题意，故选D. 【点睛】该题考查的是有关向量共线的充要条件，在解题的过程中，需要明确向量共线包括方向相同与方向相反，不一定非得有零向量，再者要注意零向量与任何向量是共线的，要理解向量共线的充要条件，即可得到结果.2．已知20a b =≠，且关于x 的方程20x a x a b ++⋅=有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( ) A ．0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】根据方程有实根得到24cos 0a a b θ∆=-≥，利用向量模长关系可求得1cos 2θ≤，根据向量夹角所处的范围可求得结果.【详解】关于x 的方程20x a x a b ++⋅=有实根 240a a b ∴∆=-⋅≥ 设a 与b 的夹角为θ，则24cos 0a a b θ-≥又20a b =≠ 24c o s 0b b θ∴-≥ 1c o s 2θ∴≤又[]0,θπ∈ ,3πθπ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦本题正确选项：B 【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够利用方程有实根得到关于夹角余弦值的取值范围，从而根据向量夹角范围得到结果.3．已知数列{}n a ，对于任意的正整数n ，()()20161,1201612,20173n n n a n -⎧≤≤⎪=⎨⎛⎫-⋅≥⎪ ⎪⎝⎭⎩，设n S 表示数列{}n a 的前n 项和.下列关于lim n n S →+∞的结论，正确的是（ ） A.lim 1n n S →+∞=- B.lim 2015n n S →+∞= C.()()()*2016,12016lim 1.2017n n n S n N n →+∞⎧≤≤⎪=∈⎨-≥⎪⎩D.以上结论都不对 【答案】B【解析】根据题意，结合等比数列的求和公式，先得到当2017n ≥时，2016120153n n S -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再由极限的运算法则，即可得出结果.【详解】因为数列{}n a ，对于任意的正整数n ，()()20161,1201612,20173n n n a n -⎧≤≤⎪=⎨⎛⎫-⋅≥⎪ ⎪⎝⎭⎩，n S 表示数列{}n a 的前n 项和，所以122016...1a a a ====，201723a =-，201829a =-，...… ， 所以当2017n ≥时，2016201620162113311201620161201513313n n n n S ---⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-， 因此20161lim lim 201520153n n n n S -→+∞→+∞⎡⎤⎛⎫=+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 故选：B 【点睛】本题主要考查数列的极限，熟记等比数列的求和公式，以及极限的运算法则即可，属于常考题型.二、填空题4．与()3,4a =-同向的单位向量为b =______. 【答案】34,55⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】先由题意设()3,4b a a =-，0a >，根据模为1，即可求出结果. 【详解】因为b 与()3,4a =-同向，所以设()3,4b a a =-，0a >，又b 为单位向量，所以291b a =+=，解得15a =， 因此34,55b ⎛⎫- ⎪⎝=⎭r .故答案为：34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查求向量的坐标，熟记向量模的计算公式，以及向量共线的坐标表示即可，属于基础题型.5．已知向量(1,)a k =，(9,6)b k =-，若//a b ，则k =_________． 【答案】【解析】试题分析：由于//a b ，所以()122169860x y x y k k k -=--=--=，解得34k =-．【考点】向量共线坐标表示的应用．6．已知{}|A x y x R ==∈，{}2|1,B y y x x R ==-+∈，则A B =______.【答案】[]2,1-【解析】先分别化简集合A 与集合B ，再求交集，即可得出结果. 【详解】因为{}{}||2A x y x R x x ==∈=≥-，{}{}2|1,|1B y y x x R y y ==-+∈=≤，因此[]2,1AB =-.故答案为：[]2,1- 【点睛】本题主要考查集合的交集运算，熟记交集的概念即可，属于基础题型.7．若向量a 、b 的夹角为150，3a =，4b =，则2a b +=r r______.【答案】2【解析】根据向量的模的计算公式，结合题中条件，即可求出结果. 【详解】因为向量a 、b 的夹角为150，3a =，4b =，所以cos1503462a b a b ⎛⎫⋅==⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭，因此，22a b +===r r .故答案为：2 【点睛】本题主要考查求向量的模，熟记向量的模的计算公式即可，属于基础题型. 8．已知点()1,5A -和向量()2,3a =，若3AB a =，则点B 的坐标为_________． 【答案】【解析】试题分析：设点，，因此，得，得点．【考点】平面向量的坐标表示．9．向量2411a b ()()，，，==．若向量()b a b λ⊥+，则实数λ的值是________． 【答案】-3【解析】【详解】试题分析：∵(2,4),(1,1)a b ==，∴()26,2a b b ⋅==，又∵()b a b λ⊥+，∴()2()0b a b a b b λλ⋅+=⋅+=，∴620λ+=，∴3λ=-【考点】本题考查了向量的坐标运算点评：熟练运用向量的坐标运算是解决此类问题的关键，属基础题 10．在Rt ABC ∆中，90C =∠，3AC =，则AB AC ⋅=______. 【答案】9【解析】先由题意，得到0CA CB ⋅=，再由()AB AC CB CA AC ⋅=-⋅，结合题中数据，即可求出结果. 【详解】因为在Rt ABC ∆中，90C =∠，3AC =，所以0CA CB ⋅=， 因此()29AB AC CB CA AC CB CA CA ⋅=-⋅=-⋅+=. 故答案为：9 【点睛】本题主要考查向量数量积的运算，熟记数量积的运算法则即可，属于常考题型.11．平面上不共线的四点O 、A 、B 、C 满足1344OC OA OB =+uuu r uu r uu u r，则AB BC=______. 【答案】4【解析】先由题中条件，得到1144OC OB OA OB -=-uu u r uu u r uu r uu u r ，推出14BC BA =uu u r uu r，从而可得出结果. 【详解】因为1344OC OA OB =+uuu r uu r uu u r ，所以1144OC OB OA OB -=-uu u r uu u r uu r uu u r，即14BC BA =uu u r uu r，因此4ABBC=【点睛】本题主要考查向量的线性运算，熟记向量线性运算法则即可，属于基础题型.12．平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若()2,4AB =uu u r ，()1,3AC =uu u r，则AD BD ⋅=uuu r uu u r______.【答案】8【解析】先由题意，得到AD AC AB =-，BD AD AB =-，求出两向量的坐标，即可得出结果. 【详解】因为平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，所以AB AD AC +=，又()2,4AB =uu u r ，()1,3AC =uu u r，因此()1,1AD AC AB =-=--，所以(3,5)BD AD AB =-=--，所以(1)(3)(1)(5)8AD BD ⋅=-⋅-+-⋅-=u u u r u u u r.故答案为：8 【点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，熟记平面向量的数量积运算，以及平面向量基本定理即可，属于常考题型. 13．若正方形边长为，点在线段上运动，则的取值范围是________. 【答案】【解析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，设出点坐标，代入所求表达式，化简后求得表达式的取值范围. 【详解】以为坐标原点建立平面直角坐标系如下图所示，依题意设，而，所以，函数对称轴，开口向下，故时有最小值；时，有最大值.故取值范围为.【点睛】本小题主要考查平面向量的坐标运算，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 14．已知函数()()2lg 1xf x x x =+>，且()yg x =与()11y fx -=+互为反函数，则()g x =______.【答案】()2lg 11xx x +->【解析】先由()y g x =与()11y f x -=+互为反函数，得到()1()g x f x +=，进而可求出结果. 【详解】因为()y g x =与()11y fx -=+互为反函数，所以()1()g x f x +=；又()()2lg 1xf x x x =+>，所以()()()12lg 11xg x f x x x =-=+->.故答案为：()2lg 11xx x +->【点睛】本题主要考查由两函数互为反函数求解析式的问题，熟记反函数的概念即可，属于常考15．已知函数()22224x ax af x x x a+-=+-在定义域内恒正，则实数a 的取值范围是______. 【答案】118,322⎛⎤⎧⎫--⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭U 【解析】根据题意，分别讨论分子分母对应的方程是同解方程，分子分母对应的方程不是同解方程两种情况，根据二次函数性质，列出不等式的，求解，即可得出结果. 【详解】因为所给的函数分子与分母都是二次三项式，对应的函数图像都是开口向上的抛物线； 若分子分母对应的方程是同解方程，则有12422a aa ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，即12a =；若分子分母对应的方程不是同解方程，要保证函数()22224x ax a f x x x a+-=+-在定义域内恒正，则需要分子分母的判别式都小于0；即24(2)0142(4)0a a a ⎧-⋅-<⎨-⋅⋅-<⎩，解得13280a a ⎧<-⎪⎨⎪-<<⎩，即1832a -<<-；当132a =-，由21208x x ++≠得，函数()f x 定义域为14x x ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭，则222024x ax a x x a +->+-可化为221132160128x x x x -+>++，即22115162560124x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭>⎛⎫+ ⎪⎝⎭，显然在定义域内恒成立；所以132a =-满足题意； 综上，实数a 的取值范围是118,322⎛⎤⎧⎫--⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭U . 故答案为：118,322⎛⎤⎧⎫--⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭U 【点睛】本题主要考查由不等式恒成立求参数的问题，熟记三个二次之间的关系即可，属于常考16．设(),1A a ，()2,B b ，()4,5C 为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则实数a ，b 满足的关系式为（ ） A.453a b -= B.543a b -=C.4514a b +=D.5412a b +=【答案】A【解析】先由题意得到(),1OA a =，()2,OB b =uu u r，()4,5OC =，根据向量数量积，分别求出OA 与OB 在OC 方向上的投影，进而可求出结果. 【详解】因为(),1A a ，()2,B b ，()4,5C 为坐标平面上三点，O 为坐标原点，所以(),1OA a =，()2,OB b =uu u r，()4,5OC =，因此OA 在OC 方向上的投影为cos ,16OA OC OA OA OC OA OA OC⋅⋅<>=⋅==；OB 在OC 方向上的投影为cos ,16OB OC OB OB OC OB OB OC⋅⋅<>=⋅==，又OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，=，即453a b -=. 故选：A 【点睛】本题主要考查求向量的投影，熟记向量数量积的定义与几何意义即可，属于常考题型.三、解答题17．如果由矩阵1112m x m y m -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭表示的关于x ，y 的二元一次方程组无解，求实数m 的值. 【答案】1m =【解析】先由题意，得到()()11D m m =+-，()21x D m =-+，()21y D m =+，对满足0D =的m 进行讨论，即可得出结果. 【详解】由题意可得：方程组为12mx y x my m +=-⎧⎨+=+⎩，()()1111m D m m m ⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，()11212x D m m m -⎛⎫==-+ ⎪+⎝⎭，()21112y m D m m -⎛⎫==+ ⎪+⎝⎭， 当1m =-时，0x y D D D ===，方程组有无数个解； 当1m =时，0D =，0x D ≠，0y D ≠，方程组无解. 所以1m =. 【点睛】本题主要考查矩阵与二元一次方程组，熟记二元一次方程组的矩阵表示即可，属于常考题型.18．在ABC ∆中，边a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对应的边.（1）若2(2)sin 0(2)sin 1sin (2)sin c a b Ab a BC a b A-=-+-，求角C 的大小； （2）若4sin 5A =，23C π=，c =ABC ∆的面积. 【答案】(1)3C π=;(2)1825-. 【解析】试题分析：（1）先根据行列式定义得()()2sin 2sin 2sin c C a b A b a B =-+-，再根据正弦定理化角为边得222c a b ab =+-，最后根据余弦定理求角C 的大小；（2）先根据正弦定理求a ，再根据两角和正弦公式求sin B ，最后根据三角形面积公式求面积. 试题解析：（1）由题意，()()2sin 2sin 2sin c C a b A b a B =-+-； 由正弦定理得()()2222c a b a b a b =-+-，∴222c a b ab =+-，∴2221cos 22a b c C ab +-==，∴3C π=；（2）由4sin 5A =，c =，且sin sin a c A C =，∴85a =；由23a c A C π<⇒<=，∴3cos 5A =,∴()4sin sin sin cos cos sin 10B AC A C A C =+=+=；∴1sin 2ABC S ca B ∆==. 19．已知()2111111af x xx =-，()x R ∈.（1）当1a =时，求方程()0f x =的解集；（2）若方程()0f x =有且只有一个实数解，求实数a 的值并解该方程. 【答案】（1）{}1,1-（2）当1a =-，或3a =-时，解都为-1 【解析】先由题意计算行列式，得到2()(1)(1)2f x a x a x =++--， （1）由1a =，将方程()0f x =化为2220x -=，求解，即可得出结果；（2）根据题意，得方程2()(1)(1)20f x a x a x =++--=有且只有一个实数解，分别讨论10a +=与10a +≠两种情况，即可得出结果. 【详解】因为()22211111111111111a x xf x xa x x x --=-=-+ ()()2222()()112x x a x x a x a x =---++=++--，（1）当1a =时，方程()0f x =可化为2220x -=，解得1x =±， 所以方程的解集为{}1,1-；（2）由题意可得，方程2()(1)(1)20f x a x a x =++--=有且只有一个实数解，当10a +=，即1a =-时，方程可化为220x --=，解得1x =-；当10a +≠，即1a ≠-时，只需2(1)8(1)0a a ∆=-++=，即2690a a ++=，解得3a =-，此时方程为：22420x x ---=，即2210x x ++=，解得1x =-；综上，当1a =-或3a =-时，方程的解都是1-. 【点睛】本题主要考查求方程的解，以及由方程根的个数求参数，熟记一元二次方程的解法，以及行列式的计算方法即可，属于常考题型.20．某商店采用分期付款的方式促销一款价格每台为6000元的电脑.商店规定，购买时先支付货款的13，剩余部分在三年内按每月底等额还款的方式支付欠款，且结算欠款的利息.已知欠款的月利率为0.5%.（1）到第一个月底，货主在第一次还款之前，他欠商店多少元？（2）假设货主每月还商店a 元，写出在第()1,2,,36i i =⋅⋅⋅个月末还款后，货主对商店欠款数表达式.（3）每月的还款额a 为多少元（精确到0.01元）？【答案】（1）4020元；（2）表达式为3(10.5%)14000(10.5%)(1,2, (36)0.5%+-+-=i a n 元；（3）121.69元【解析】（1）因为购买电脑时，货主欠商店23的货款，即4000元，又按月利率0.5%，即可求出结果；（2）设第i 个月底还款后的欠款数为i y ，根据题意，14000(10.5%)=+-y a ，221(10.5%)4000(10.5%)(10.5%)=+-=+-+-y y a a a ，进而得出1(10.5%)-=+-i i y y a ，整理，即可得出结果；（3）由题意得到360=y ，由（2）的结果，即可求出结果. 【详解】（1）因为购买电脑时，货主欠商店23的货款，即6000400032⨯=， 又按月利率0.5%，到第一个月底的欠款数应为()400010.5%4020+=元， 即到第一个月底，欠款余额为4020元；（2）设第i 个月底还款后的欠款数为i y ，则有14000(10.5%)=+-y a ，221(10.5%)4000(10.5%)(10.5%)=+-=+-+-y y a a a ，3232(10.5%)4000(10.5%)(10.5%)(10.5%)=+-=+-+-+-y y a a a a ，……11(10.5%)4000(10.5%)(10.5%)...(10.5%)--=+-=+-+--+-n n i i y y a a a a整理得：3(10.5%)14000(10.5%)(1,2,...,36)0.5%+-=+-=i i y a n ；（3）由题意可得：360=y ，所以363(10.5%)14000(10.5%)00.5%+-+-=a ，因此36364000(10.5%)0.5%121.69(10.5%)1+⋅=≈+-a 【点睛】本题主要考查数列的应用，熟记等比数列的求和公式，即可求解，属于常考题型. 21．在直角坐标平面中，已知点()11,2P ，()222,2P，()333,2P ，…，(),2nnP n ，其中n 是正整数，对平面上任一点0A ，记1A 为0A 关于点1P 的对称点，2A 为1A 关于点2P 的对称点，…，n A 为1n A -关于点n P 的对称点.（1）求向量02A A uuuu r的坐标；（2）当点0A 在曲线C 上移动时，点2A 的轨迹是函数()y f x =的图像，其中()f x 是以3为周期的周期函数，且当(]0,3x ∈时，()lg f x x =.求以曲线C 为图像的函数在(]1,4上的解析式；（3）对任意偶数n ，用n 表示向量0n A A uuuu r的坐标.【答案】（1）()2,4（2）()()lg 14g x x =--（3）()4213n n ⎛⎫- ⎪⋅⎪⎝⎭【解析】（1）先设点0(,)A x y ，由题意求出1(2,4)--x y A ，进而得到()22,4++x A y ，从而可求出向量02(2,4)=A A uuuu r；（2）先由题意，得到()y f x =是由曲线C 按向量02A A uuuu r平移得到的；根据图像变换，以及函数周期，即可得出结果；（3）先由1n A -为2-n A 关于点1n P -的对称点，n A 为1n A -关于点n P 的对称点，得到212--=n n n n P P A A ，再由向量的运算法则，结合向量的坐标表示，以及等比数列的求和公式，即可求出结果. 【详解】（1）设点0(,)A x y ，因为1A 为0A 关于点()11,2P 的对称点，所以1(2,4)--x y A ， 又2A 为1A 关于点()222,2P 的对称点，所以()()()242,84----x A y ，即()22,4++x A y ，因此02(2,4)=A A uuuu r； （2）由（1）02(2,4)=A A uuuu r，因为点0A 在曲线C 上移动时，点2A 的轨迹是函数()y f x =的图像， 所以()f x 的图像由曲线C 向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到， 因此，设曲线C 是函数()y g x =的图像，因为()f x 是以3为周期的周期函数， 所以()g x 也是以3为周期的周期函数， 当(]0,3x ∈时，()lg f x x =，所以当(]2,1∈-x 时，()()lg 24=+-g x x ； 于是，当(]1,4x ∈时，()()lg 14g x x =--；（3）由题意，1n A -为2-n A 关于点1n P -的对称点，n A 为1n A -关于点n P 的对称点. 所以在21--∆n n n A A A 中，1n P -为21n n A A --的中点，n P 为1-n n A A 的中点， 所以212--=n n n n P P A A ，因此()00224212341...2...--=+++=+++n n n n n A A A A A A A A PP P P P P uuuu r uuuu r uuuu r uuuuuu r uuu r uuu r uuuuu r，()()()2431221,2243,22...(1),22-⎡⎤=--+--++---⎣⎦n n n n()()()22314(14)2421,21,2...1,2,,143+-⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎡⎤=+++== ⎪⎣⎦ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭nn n n n .【点睛】本题主要考查平面向量的综合，熟记平面向量基本定理、向量的线性运算、向量的坐标表示，以及等比数列的求和公式即可，属于常考题型.。
2019-2020年高二上学期9月月考数学(文)试卷 含解析
2019-2020年高二上学期9月月考数学（文）试卷含解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1．若x∈R，则x=2”是“（x﹣2）（x﹣1）=0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件2．椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，焦距是短轴长的两倍，则m的值为（）A． B． C． D． 43．椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则椭圆的离心率是（）A． B． C． D．4．若圆x2+y2=4上每个点的横坐标不变．纵坐标缩短为原来的，则所得曲线的方程是（）A． B． C． D．5．以双曲线﹣=1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程是（）A． y2=4x B． y2=16x C． y2=8x D． y2=﹣8x6．方程mx+ny2=0与mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）的曲线在同一坐标系中的示意图应是（）A． B． C． D．7．已知命题p：若实数x，y满足x2+y2=0，则x，y全为0；命题q：若，下列为真命题的是（）A． p∧q B． p∨q C．￢p D．（￢p）∧（￢q）8．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P．若=2，则椭圆的离心率是（）A． B． C． D．9．若双曲线的顶点为椭圆长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1，则双曲线的方程是（）A． x2﹣y2=1 B． y2﹣x2=1 C． x2﹣y2=2 D． y2﹣x2=210．已知命题p：存在实数m使m+1≤0，命题q：对任意x∈R都有x2+mx+1＞0，若p且q 为假命题，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2] B． [2，+∞） C．（﹣∞，﹣2]∪（﹣1，+∞） D． [﹣2，2]11．正三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y2=4x上，则这个正三角形的边长为（）A． B． C． 8 D． 1612．如图所示，F为双曲线C：﹣=1的左焦点，双曲线C上的点P i与P7﹣i（i=1，2，3）关于y轴对称，则|P1F|+|P2F|+|P3F|﹣|P4F|﹣|P5F|﹣|P6F|的值是（）A． 9 B． 16 C． 18 D． 27二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题纸的横线上，填在试卷上的答案无效.13．命题“存在x∈R，x2﹣2x+1≤0”的否定是．14．椭圆x2+ny2=1与直线y=1﹣x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则n的值是．15．过抛物线y2=4x的焦点作直线l，交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于．16．已知三个数2，m，8构成一个等比数列，则圆锥曲线+=1离心率为．三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知双曲线方程是9x2﹣y2=﹣81．求它的实轴和虚轴的长、焦点坐标、离心率和渐近线方程．18．求下列各曲线的标准方程．（1）已知椭圆的两个焦点分别是（﹣2，0），（2，0），并且经过点（，﹣）．（2）已知抛物线焦点在x轴上，焦点到准线的距离为6．19．已知a＞0，命题p：函数y=a x为减函数．命题q：当x∈[，2]时，函数f（x）=x+＞恒成立，如果p或q为真命题，p且q为假命题，求a的取值范围．20．已知p：x2﹣7x+10≤0，q：m≤x≤m+1，若q是p的充分条件，求m的取值范围．21．已知△ABC的顶点A，B的坐标分别为（﹣4，0），（4，0），C 为动点，且满足，求点C的轨迹方程，并说明它是什么曲线．22．已知圆C方程为（x﹣3）2+y2=12，定点A（﹣3，0），P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线CP相交于点Q．（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹E的方程．（Ⅱ）过点C倾斜角为30°的直线交曲线E于A、B两点，求|AB|．2014-2015学年吉林省松原市扶余一中高二（上）9月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1．若x∈R，则x=2”是“（x﹣2）（x﹣1）=0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：函数的性质及应用．分析：根据充分必要条件的定义进行判断．解答：解：∵x=2⇒（x﹣2）（x﹣1）=0，（x﹣2）（x﹣1）=0推不出x=2，∴x=2是（x﹣2）（x﹣1）=0的充分不必要条件，故选：A．点评：本题考查了充分必要条件，是一道基础题．2．椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，焦距是短轴长的两倍，则m的值为（）A． B． C． D． 4考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据椭圆的方程求解，a，b，c的值，即可得到答案．解答：解：∵椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，∴椭圆x2+=1的焦点在y轴上，＞1，2a=2，2b=2，2c=2，∵焦距是短轴长的两倍，∴2=4，m=，故选：A点评：本题综合考查了椭圆的几何性质，计算较容易．3．椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则椭圆的离心率是（）A． B． C． D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：由题意可得 cos60°==，从而得到椭圆的离心率的值．解答：解：由题意可得 cos60°==，∴椭圆的离心率是=，故选 B．点评：本题考查椭圆的标准方程，以及简单性质的应用，得到 cos60°=，是解题的关键．4．若圆x2+y2=4上每个点的横坐标不变．纵坐标缩短为原来的，则所得曲线的方程是（）A． B． C． D．考点：伸缩变换；椭圆的标准方程．专题：计算题．分析：在曲线C上任取一个动点P（x，y），根据图象的变换可知点（x，3y）在圆x2+y2=4上．代入圆方程即可求得x和y的关系式，即曲线的方程．解答：解：在曲线C上任取一个动点P（x，y），根据图象的变换可知点（x，3y）在圆x2+y2=4上，∴x2+9y2=4，即则所得曲线为．故选C．点评：本题主要考查变换法求解曲线的方程，理解变换前后坐标的变化是关键考查了学生分析问题的能力及数学化归思想．5．以双曲线﹣=1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程是（）A． y2=4x B． y2=16x C． y2=8x D． y2=﹣8x考点：抛物线的标准方程；双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线方程，算出它的右顶点为F（2，0），也是抛物线的焦点．由此设出抛物线方程为y2=2px，（p＞0），结合抛物线焦点坐标的公式，可得p=4，从而得出该抛物线的标准方程．解答：解：∵双曲线的方程为﹣=1，∴a2=4，得a=2，∴抛物线的焦点为F（2，0），设抛物线方程为y2=2px，（p＞0），则=2，得2p=8∴抛物线方程是y2=8x．故选：C．点评：本题给出抛物线焦点与已知双曲线的右焦点重合，求抛物线的标准方程，着重考查了双曲线、抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．6．方程mx+ny2=0与mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）的曲线在同一坐标系中的示意图应是（）A． B． C． D．考点：曲线与方程．专题：作图题；分类讨论．分析：当 m和n同号时，抛物线开口向左，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示焦点在y 轴上的椭圆，当m和n异号时，抛物线 y2=﹣开口向右，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示双曲线．解答：解：方程mx+ny2=0 即 y2=﹣，表示抛物线，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示椭圆或双曲线．当 m和n同号时，抛物线开口向左，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示焦点在y轴上的椭圆，无符合条件的选项．当m和n异号时，抛物线 y2=﹣开口向右，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示双曲线，故选 A．点评：本题考查根据曲线的方程判断曲线的形状，体现了分类头论的数学思想，分类讨论是解题的关键．7．已知命题p：若实数x，y满足x2+y2=0，则x，y全为0；命题q：若，下列为真命题的是（）A． p∧q B． p∨q C．￢p D．（￢p）∧（￢q）考点：复合命题的真假．专题：规律型．分析：分别判断命题p，q的真假，利用复合命题与简单命题真假之间的关系进行判断即可．解答：解：若实数x，y满足x2+y2=0，则x，y全为0，∴p为真命题．当a=1，b=﹣1时，满足a＞b，但不成立，∴q为假命题．∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，￢p为假命题，（￢p）∧（￢q）为假命题，故选：B．点评：本题主要考查复合命题与简单命题真假之间的关系，先判断简单命题p，q的真假是解决本题的关键．8．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P．若=2，则椭圆的离心率是（）A． B． C． D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先求出点B的坐标，设出点P的坐标，利用=2，得到a与c的关系，从而求出离心率．解答：解：如图，由于BF⊥x轴，故x B=﹣c，y B =，设P（0，t），∵=2，∴（﹣a，t）=2（﹣c，﹣t）．∴a=2c，∴e==，故选 D．点评：本题考查椭圆的简单性质以及向量坐标形式的运算法则的应用，体现了数形结合的数学思想．9．若双曲线的顶点为椭圆长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1，则双曲线的方程是（）A． x2﹣y2=1 B． y2﹣x2=1 C． x2﹣y2=2 D． y2﹣x2=2考点：椭圆的简单性质；双曲线的标准方程．专题：计算题．分析：根据椭圆方程求得其长轴的端点坐标和离心率，进而可得双曲线的顶点和离心率，求得双曲线的实半轴和虚半轴的长，进而可得双曲线的方程．解答：解：由题意设双曲线方程为，离心率为e椭圆长轴的端点是（0，），所以a=．∵椭圆的离心率为∴双曲线的离心率e=，⇒c=2，∴b=，则双曲线的方程是y2﹣x2=2．故选D．点评：本题主要考查了双曲线的性质和椭圆的标准方程．要记住双曲线和椭圆的定义和性质．10．已知命题p：存在实数m使m+1≤0，命题q：对任意x∈R都有x2+mx+1＞0，若p且q 为假命题，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2] B． [2，+∞） C．（﹣∞，﹣2]∪（﹣1，+∞） D． [﹣2，2]考点：复合命题的真假．专题：规律型．分析：先求出命题p，q为真命题的等价条件，利用p且q为假命题，即可求实数m的取值范围．解答：解：若存在实数m使m+1≤0，则m≤﹣1，∴p：m≤﹣1．若对任意x∈R都有x2+mx+1＞0，则对应的判别式△=m2﹣4＜0，解得﹣2＜m＜2，即q：﹣2＜m＜2，∴p且q为真时，有，即﹣2＜m≤﹣1．∴若p且q为假命题，则m＞﹣1或m≤﹣2，即实数m的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪（﹣1，+∞）．故选：C．点评：本题主要考查复合命题与简单命题真假之间的关系，先求出p且q为真时的等价条件是解决本题的关键．11．正三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y2=4x上，则这个正三角形的边长为（）A． B． C． 8 D． 16考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：根据抛物线方程先设其中一个顶点是（x，2 ），根据正三角形的性质=tan30°=求得x，进而可得另两个顶点坐标，最后求得这个正三角形的边长．解答：解：设其中一个顶点是（x，2 ）因为是正三角形所以=tan30°=即解得x=12所以另外两个顶点是（12，4 ）与（12，﹣4 ）则这个正三角形的边长为故选B．点评：本题主要考查抛物线的应用．利用抛物线性质解决解三角形问题的关键．12．如图所示，F为双曲线C：﹣=1的左焦点，双曲线C上的点P i与P7﹣i（i=1，2，3）关于y轴对称，则|P1F|+|P2F|+|P3F|﹣|P4F|﹣|P5F|﹣|P6F|的值是（）A． 9 B． 16 C． 18 D． 27考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：首先设右焦点为F′，由点P i与P7﹣i（i=1，2，3）关于y轴对称以及双曲线的对称性得出|FP1|=|F′P6|，|FP2|=|F′P5|，|FP3|=|F′P4|，然后根据双曲线的定义得出|F′P6|﹣|P6F|=2a=6，|F′P5|﹣|P5F|=2a=6，|F′P4|﹣|P4F|=2a=6，进而求出结果．解答：解：设右焦点为F′，∵双曲线C上的点P i与P7﹣i（i=1，2，3）关于y轴对称∴P1和P6，P2和P5，P3和P4分别关于y轴对称∴|FP1|=|F′P6|，|FP2|=|F′P5|，|FP3|=|F′P4|，∵|F′P6|﹣|P6F|=2a=6，|F′P5|﹣|P5F|=2a=6，|F′P4|﹣|P4F|=2a=6，∴|P1F|+|P2F|+|P3F|﹣|P4F|﹣|P5F|﹣|P6F|=（|F′P6|﹣|P6F|）+（|F′P5|﹣|P5F|）+（|F′P4|﹣|P4F|）=18故选C．点评：本题考查了双曲线的性质，灵活运用双曲线的定义，正确运用对称性是解题的关键，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题纸的横线上，填在试卷上的答案无效.13．命题“存在x∈R，x2﹣2x+1≤0”的否定是∀x∈R，x2﹣2x+1＞0 ．考点：特称命题．专题：简易逻辑．分析：特称命题的否定是全称命题结果即可．解答：解：∵特称命题的否定是全称命题，∴命题“存在x∈R，x2﹣2x+1≤0”的否定是：∀x∈R，x2﹣2x+1＞0．故答案为：∀x∈R，x2﹣2x+1＞0．点评：本题考查特称命题与全称命题的否定关系，注意否定的形式．14．椭圆x2+ny2=1与直线y=1﹣x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则n的值是．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：联立方程组，转化为二次方程，借助韦达定理，求出中点坐标，再利用斜率得到等式，即可求出答案．解答：解：设M（x1，y1），N（x2，y2），中点（x，y），椭圆x2+ny2=1与直线y=1﹣x交于M，N两点化简可得：（1+n）x2﹣2nx﹣n﹣1=0所以x1+x2=，x=，y=，因为过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，所以=，即n=，故答案为：点评：本题综合考查了直线与圆锥曲线位置关系，二次方程的系数的运用．15．过抛物线y2=4x的焦点作直线l，交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于8 ．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线方程得它的准线为l：x=﹣1，从而得到线段AB中点M到准线的距离等于4．过A、B分别作AC、BD与l垂直，垂足分别为C、D，根据梯形中位线定理算出|AC|+|BD|=2|MN|=8，结合抛物线的定义即可算出AB的长．解答：解：∵抛物线方程为y2=4x，∴抛物线的焦点为F（1，0），准线为l：x=﹣1设线段AB的中点为M（3，y0），则M到准线的距离为：|MN|=3﹣（﹣1）=4，过A、B分别作AC、BD与l垂直，垂足分别为C、D根据梯形中位线定理，可得|AC|+|BD|=2|MN|=8再由抛物线的定义知：|AF|=|AC|，|BF|=|BD|∴|AB|=|AF|+|BF||AC|+|BD|=8．故答案为：8点评：本题给出过抛物线y2=4x焦点的一条弦中点的横坐标，求该弦的长度．着重考查了抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．16．已知三个数2，m，8构成一个等比数列，则圆锥曲线+=1离心率为或．考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由1，m，9构成一个等比数列，得到m=±3．当m=3时，圆锥曲线是椭圆；当m=﹣3时，圆锥曲线是双曲线，由此入手能求出离心率．解答：解：∵2，m，8构成一个等比数列，∴m=±4．当m=4时，圆锥曲线+=1是椭圆，它的离心率是；当m=﹣4时，圆锥曲线+=1是双曲线，它的离心率是．故答案为：或．点评：本题考查圆锥曲线的离心率的求法，解题时要注意等比数列的性质的合理运用，注意分类讨论思想的灵活运用．三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知双曲线方程是9x2﹣y2=﹣81．求它的实轴和虚轴的长、焦点坐标、离心率和渐近线方程．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：把方程化简为：，求出a，b，c 再根据几何性质写出答案．解答：解：∵双曲线方程是9x2﹣y2=﹣81，∴双曲线标准方程为：，实轴长：18，虚轴长为6，a=9，b=3，c=3，焦点坐标（0，±3），离心率：e=，渐近线方程为：y=±3x．点评：本题主要考察了双曲线的方程，几何性质，属于比较简单的计算题．18．求下列各曲线的标准方程．（1）已知椭圆的两个焦点分别是（﹣2，0），（2，0），并且经过点（，﹣）．（2）已知抛物线焦点在x轴上，焦点到准线的距离为6．考点：椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由题意可设椭圆的标准方程为（a＞b＞0），设焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），因为椭圆经过点P（，﹣），利用椭圆的定义可得2a=|PF1|+|PF2|，再利用b2=a2﹣c2即可得出．（2）抛物线焦点在x轴上，可设标准方程为y2=±2px（p＞0）．根据焦点到准线的距离为6，可得p=6，即可得到抛物线的标准方程．解答：解：（1）由题意可设椭圆的标准方程为（a＞b＞0），∵椭圆经过点（，﹣）．∴．∴．∵c=2，∴b2=a2﹣c2=10﹣4=6．所求椭圆的标准方程为．（2）∵抛物线焦点在x轴上，可设标准方程为y2=±2px（p＞0）．∵焦点到准线的距离为6，∴p=6．∴抛物线的标准方程为y2=±12x．点评：本题考查了圆锥曲线的定义、标准方程及其性质，属于基础题．19．已知a＞0，命题p：函数y=a x为减函数．命题q：当x∈[，2]时，函数f（x）=x+＞恒成立，如果p或q为真命题，p且q为假命题，求a的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：由a＞0，命题p：函数y=a x为减函数．可得0＜a＜1．命题q：当x∈[，2]时，函数f（x）=x+＞恒成立，可得，利用基本不等式即可得出．由p或q为真命题，p且q为假命题，可得p，q中必然一个真命题一个为假命题．解出即可．解答：解：由a＞0，命题p：函数y=a x为减函数．∴0＜a＜1．命题q：当x∈[，2]时，函数f（x）=x+＞恒成立，∴，∵x∈[，2]时，函数f（x）=x+=2，当且仅当x=1时取等号．∴，又a＞0，∴．∵p或q为真命题，p且q为假命题，∴p，q中必然一个真命题一个为假命题．①当p真q假时，，解得，a的取值范围是．②当q真p假时，，解得a≥1，a的取值范围是[1，+∞）．点评：本题考查了指数函数的单调性、基本不等式、不等式组的解法、“或”“且”“非”命题的真假的判断等基础知识，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．20．已知p：x2﹣7x+10≤0，q：m≤x≤m+1，若q是p的充分条件，求m的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：规律型．分析：求出p的等价条件，利用q是p的充分条件，确定m的取值范围．解答：解：由x2﹣7x+10≤0，解得2≤x≤5，即p：2≤x≤5．，设A={x|2≤x≤5}∵命题q可知：m≤x≤m+1，设B={x|m≤x≤m+1}，∵q是p的充分条件，∴B⊆A，，解得：2≤m≤4．∴m的取值范围是2≤m≤4．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，比较基础．21．已知△ABC的顶点A，B的坐标分别为（﹣4，0），（4，0），C 为动点，且满足，求点C的轨迹方程，并说明它是什么曲线．考点：椭圆的标准方程；正弦定理．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由，可知，即|AC|+|BC|=10＞|AB|=8，根据椭圆的定义可知：点C的轨迹是椭圆（去掉左右顶点）．解答：解：由，可知，即|AC|+|BC|=10＞|AB|=8，满足椭圆的定义．设椭圆方程为，则a′=5，c′=4，∴=3，则轨迹方程为（x≠±5），图形为椭圆（不含左，右顶点）．点评：本题考查了椭圆的定义，属于基础题．22．已知圆C方程为（x﹣3）2+y2=12，定点A（﹣3，0），P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线CP相交于点Q．（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹E的方程．（Ⅱ）过点C倾斜角为30°的直线交曲线E于A、B两点，求|AB|．考点：轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由题意可得点Q满足双曲线的定义，且求得a，c的值，再由b2=c2﹣a2求得b，则点Q的轨迹E的方程可求；（Ⅱ）由题意得到直线AB的方程，和双曲线方程联立后利用弦长公式得答案．解答：解：（Ⅰ）由点Q是线段AP垂直平分线上的点，∴|AQ|=|PQ|，又∵，满足双曲线的定义．设E的方程为，则，，则轨迹E方程为；（Ⅱ）直线AB的倾斜角为30°，且直线过C（3，0），∴直线AB的方程为，由，消去y得5x2+6x﹣27=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），∴有，．则|AB|=．点评：本题考查了轨迹方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，涉及直线与圆锥曲线的关系问题，常用根与系数的关系解决，是压轴题．参与本试卷答题和审题的老师有：1619495736；sdpyqzh；caoqz；minqi5；刘长柏；maths；ywg2058；qiss；孙佑中；sxs123（排名不分先后）菁优网2015年9月15日。
上海市晋元高级中学2018-2019学年高二9月月考数学试题解析
上海市晋元高级中学2018-2019学年高二9月月考数学试题解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱11A B 中点，点Q 在侧面11DCC D 内运动，若1PBQ PBD ∠=∠，则动点Q 的轨迹所在曲线为（ ）A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识，意在考查空间想象能力. 2． 已知数列｛n a ｝满足nn n a 2728-+=（*∈N n ）.若数列｛n a ｝的最大项和最小项分别为M 和m ，则=+m M （ ）A ．211 B ．227 C ． 32259 D ．32435 3． 下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）A.xy e -= B.3y x = C.ln y x = D.y x = 4． 已知1()21xf x =+，则331(log 2)(log )2f f +=（ ） A ．12B ．1C ．2D ．4 5． 已知数列{}n a 的各项均为正数，12a =，114n n n na a a a ++-=+，若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为5，则n =（ ）A ．35B ． 36C ．120D ．1216． 我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大的创举，这个伟大创举与我国古老的算法——“辗转相除法”实质一样，如图的程序框图源于“辗转相除法”．当输入a ＝6 102，b ＝2 016时，输出的a 为（ ）A ．6B ．9C ．12D ．187． 已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为4cm ，高为10cm ，则一质点自点A 出发，沿着三棱 柱的侧面，绕行两周到达点1A 的最短路线的长为（ ）A ．16cmB ．123cmC ．243cmD ．26cm8． 已知向量(,2)a m =，(1,)b n =-（0n >），且0a b ⋅=，点(,)P m n 在圆225x y +=上，则|2|a b +=（ ）A 34B ．C ．42D ．329． 下列函数中，与函数()3x xe ef x --=的奇偶性、单调性相同的是（ ）A ．(2ln 1y x x =+B ．2y x =C ．tan y x =D ．xy e =10．已知全集R U =，集合{|||1,}A x x x R =≤∈，集合{|21,}xB x x R =≤∈，则集合U AC B 为（ ）A.]1,1[-B.]1,0[C.]1,0(D.)0,1[-【命题意图】本题考查集合的运算等基础知识，意在考查运算求解能力.11．若关于的不等式2043x ax x +>++的解集为31x -<<-或2x >，则的取值为（ ） A ． B ．12 C ．12- D ．2-12．已知三个数1a -，1a +，5a +成等比数列，其倒数重新排列后为递增的等比数列{}n a 的前三项，则能使不等式1212111n na a a a a a +++≤+++成立的自然数的最大值为（ ）A ．9B ．8 C.7 D ．5二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．幂函数1222)33)(+-+-=m m xm m x f （在区间()+∞,0上是增函数，则=m ．14．函数)(x f （R x ∈）满足2)1(=f 且)(x f 在R 上的导数)('x f 满足03)('>-x f ，则不等式1log 3)(log 33-<x x f 的解集为 .【命题意图】本题考查利用函数的单调性解抽象不等式问题，本题对运算能力、化归能力及构造能力都有较高要求，难度大.15．已知()f x 是定义在R 上函数，()f x '是()f x 的导数，给出结论如下： ①若()()0f x f x '+>，且(0)1f =，则不等式()x f x e -<的解集为(0,)+∞； ②若()()0f x f x '->，则(2015)(2014)f ef >； ③若()2()0xf x f x '+>，则1(2)4(2),n n f f n N +*<∈；④若()()0f x f x x'+>，且(0)f e =，则函数()xf x 有极小值0； ⑤若()()xe xf x f x x'+=，且(1)f e =，则函数()f x 在(0,)+∞上递增．其中所有正确结论的序号是 ．16．甲、乙两个箱子里各装有2个红球和1个白球，现从两个箱子中随机各取一个球，则至少有一 个红球的概率为 ．三、解答题（本大共6小题，共70分。
上海市晋元高级中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷
上海市晋元高级中学2024-2025学年高三上学期期中考试数
学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
A ．仅①②
B ．仅①③
C ．仅②③
D ．①②③都可以
16．已知点()12,,,N,2n A A A n n γL 均在圆O 上，若有120
n OA OA OA +++=uuur uuuu r uuuu r r L ，则必有
12,,,n A A A L 平分圆O .则满足要求的n 的个数为（ ）
A ．0个
B ．仅有1个
C ．仅有2个
D ．3个或以上
(1)求异面直线EF 与BC 所成角的大小；
(2)求作平面CEF 与正方体各面相交所得截面，保留痕迹并简要说明截面特征；
(3)若某正四棱锥的表面积与正方体的表面积相等，求该正四棱锥体积最大时侧棱与底面所成角的大小．
21．已知函数()()()1e e ,R x x f x a b ax a b -=---Î.
(1)当3a =，0b =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)当1b =时，()f x 既存在极大值，又存在极小值，求a 的取值范围；
(3)当12a <<，1b =时，1
x ，2x 分别为()f x 的极大值点和极小值点，且()()120f x kf x +>，
求实数k 的取值范围.
=由图象可得函数()
y f x
=与y m 所以实数m的取值范围为(1,2).故答案为：()
1,2。
2019-2020年高二9月零次考试数学试题 含答案
2019-2020年高二9月零次考试数学试题含答案一、填空题：（每题3分，共36分）1. 用辅助角公式可化简为2. 已知全集U=R，集合，则=3. 若数列的递推公式为，则4. 等差数列中，，则5. 在中，已知则6. 在中，已知,则形状是7. 不等式解集为8. 已知则角＝9. 函数单调递增区间10. 若函数，是定义域为上的偶函数，则的值域为11. 若数列的满足，且，则数列中最小值是12. 在等差数列中有如下结论：若其中，则有，将上述结论类比到等比数列中可得：二、选择题：（每题4分，共16分）13. 设集合，若，则（）（A）（B）（C） (D)14. 下列命题成立的是（）(A) 若存在,则与都存在(B) 若与都存在,则存在(C)若存在,则与都存在(D) 若与都存在,则存在15. 某命题与自然数有关,如果当该命题成立,那么可推到时命题也成立,现为了推得当时该命题不成立,那么需已知（）(A)时命题不成立 (B)时命题成立(C)时命题不成立 (D)时命题成立16. 若数列前项和为，则数列（）(A)是等比数列，且不是等差数列。
(B)是等差数列，且不是等比数列。
(C)可以是等差数列也可以是等比数列。
(D)可能是等比数列，且不可能是等差数列。
三、解答题17. 已知：，试用表示。
18. 已知数列。
（1）求；（2）求数列的前n项和19. 工程技术中经常用到二个函数，一个叫双曲正弦，另一个叫双曲余弦，它们有着与三角学中的正弦函数与余弦函数形式类似的许多运算公式。
如两倍角双曲正弦的公式为：（１）试证：（２）类比其它三角公式，写出一个与上述双曲函数有关的运算公式，并加以证明。
220．已知函数的定义域为，且，点P是图像上的任意一点，过点P分别作直线和轴的垂线，垂足分别是,N，M。
（１）求的值；（２）是否是定值，若是求出定值，若不是说明理由；（３）求四边形OMPN面积最小值。
21．某县位于沙漠地带，为治理沙漠，该县重视植树造林，到xx年底该县绿化率为40%，从xx年起，原有沙漠面积的20%将要被绿化，同时原有绿化面积的5%将被沙漠化，该县全县面积为,xx年底的绿化面积为，从xx年起经过年后绿化面积为。
上海市晋元高级中学2020-2021年高二上学期9月阶段反馈数学试题
上海市晋元高级中学2019-2021年高二上学期9月阶段反馈数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．方程组250380x y x y --=⎧⎨+-=⎩的增广矩阵是_________.2．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且317S a =，则数列{}n a 的公比q 的值为____3．若22lim 2n n pn q n →∞⎛⎫-= ⎪+⎝⎭，则p q +=____________ 4．若线性方程组的增广矩阵为2012m n ⎛⎫⎪⎝⎭，若该线性方程组的解为11⎛⎫ ⎪⎝⎭，则m n +=__________． 5．设数列{}n a 的通项公式为,131,32n n n n a n ≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫-> ⎪⎪⎝⎭⎩，则数列{}n a 的前n 项和n S 为____________6．已知数列{}n a 满足：11a =1=，则使25n a <成立的n 的最大值为_______7．观察下列等式，211=，22343++=，2345675++++=，2456789107++++++=，从中可以归纳出一个一般性的等式是：__________()2*(21)n n =-∈N .8．已知函数()2xf x =，等差数列{}n a 的公差为2，若()2468104f a a a a a ++++=，则()()()()212310log f a f a f a f a ⋅⋅⋅⋅=⎡⎤⎣⎦___________.9．在数列{}n a 中，11a =，()122n n n a a n N a *+=∈+，则22020是这个数列的第______________项．10．利用数学归纳法证明不等式“()*11112,23212n n n n N +++⋯+>≥∈-”的过程中，由“n k =”变到“1n k =+”时，左边增加了_____项．11．已知四个数1234,,,a a a a 依次成等比数列，且公比()0q q >不为1.将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列，则q 的取值集合是_______12．用[]x 表示大于x 的最小整数，例如[3]4=，[1.2]2=，[ 1.3]1-=-．已知数列{}n a 满足11a =，21n n n a a a +=+，则122019111[]111a a a +++=+++______________．二、单选题13．数列{}n a 中，若12a =，123n n a a +=+，则10a =（ ）A ．29B ．2563C ．2569D ．2557 14．用数学归纳法证明：()2211111n n a a a a a a ++-++++=≠-，在验证1n =时，左边为（ ）A ．1B ．1a +C ．21a a ++D ．都不正确 15．在等比数列{}n a 中，1401a a <<=，则使不等式12121110n n a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立的n 的最大值是（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8 16．已知*121(0)()()()(1)()n n a f f f f f n N n n n-=+++++∈，又函数1()()12F x f x =+-是R 上的奇函数，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A ．n a n =B ．2n a n =C ．1n a n =+D ．223n a n n =-+三、解答题17．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且2215n S n n =-+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）n 为何值时，n S 取得最大值并求其最大值．18．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，22n n S a =-.（1）求数列{}n a 的通项公式.（2）若2,21log ,2n n n a n k b a n k=-⎧=⎨=⎩，k *∈N ，求数列{}n b 的前2n 项和2n T . 19．已知数列{}n a 中，134a =，112n n a a +=-（n *∈N ）. （1）求证：数列1{}1n a -是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）设1()n n b a n N *+=∈，12231n n n S b b b b b b +=+++，试比较n a 与8n S 的大小.20．在一次人才招聘会上，有A 、B 两家公司分别开出了它们的工资标准：A 公司允诺第一年月工资数为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；B 公司允诺第一年月工资数为2000元，以后每年月工资在上一年的月工资增加基础上递增5%，设某人年初被A 、B 两家公司同时录取，试问：（1）若该人分别在A 公司或B 公司连续工作n 年，则他在第n 年的月工资收入分别是多少?（2）该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不计其它因素），该人应该选择哪家公司，为什么?（3）在A 公司工作比在B 公司工作的月工资收入最多可以多多少元（精确到1元），并说明理由.21．设数列{}()1,2,n a n =是等差数列，且公差为d ，若数列{}n a 中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.（1）若14,2a d ==，求证：该数列是“封闭数列”；（2）试判断数列()*27N n a n n =-∈是否是“封闭数列”，为什么?（3）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，若公差11,0d a =>，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使1211111lim 9n n S S S →∞⎛⎫+++=⎪⎝⎭；若存在，求{}n a 的通项公式，若不存在，说明理由.参考答案1．125318-⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】理解方程增广矩阵的涵义，即可由二元线性方程组，写出增广矩阵.【详解】由题意，方程组的增广矩阵为其系数以及常数项构成的矩阵.故方程组250380x y x y --=⎧⎨+-=⎩等价于2538x y x y -=⎧⎨+=⎩， 故二元方程组的增广矩阵为125318-⎛⎫ ⎪⎝⎭ 故答案为：125318-⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】 本题主要考查二元一次方程组的增广矩阵的定义，需理解并熟记二元一次方程组增广矩阵的定义，属于基础题，2．2或-3【解析】【分析】根据等比数列的通项公式及前n 项和为n S 把317S a =转化成1a 和公比q 的关系即可解出q【详解】因为等比数列{}n a 满足317S a =，所以212311111+77a a a a a a q a q a +=⇒++=，即2172-3q q q ++=⇒=或【点睛】本题主要考查了等比数列的前n 项和为n S 以及通项式。
上海市晋元高级中学2021-2022年高二数学上学期9月阶段反馈试题(含解析)
上海市晋元高级中学2021-2021年高二数学上学期9月阶段反馈试题（含解析）一、填空题1.二元一次方程组2538x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为__________．【答案】125318-⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】由题意，方程组的增广矩阵为其系数及常数项构成的矩阵，故方程组2538x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵是125318-⎛⎫⎪⎝⎭，故答案为125318-⎛⎫⎪⎝⎭.2.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且317S a =，则数列{}n a 的公比q 的值为____ 【答案】2或-3 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式及前n 项和为n S 把317S a =转化成1a 和公比q 的关系即可解出q【详解】因为等比数列{}n a 满足317S a =，所以212311111+77a a a a a a q a q a +=⇒++=，即2172-3q q q ++=⇒=或【点睛】本题主要考查了等比数列的前n 项和为n S 以及通项式。
能够熟练的应用等比数列的前n 项和为n S 以及通项式是解决本题的关键。
本题属于基础题。
3.若22lim 2n n pn q n →∞⎛⎫-=⎪+⎝⎭，则p q +=____________ 【答案】2- 【解析】 【分析】通过极限的运算法则，推出,p q 的方程，求解，即可得出结果.【详解】由22lim 2n n pn q n →∞⎛⎫-= ⎪+⎝⎭可得2222lim 2→∞⎛⎫--= ⎪+⎝⎭n n pn pn q n ， 即2(2)2lim 2→∞--=+n p n pnq n ， 所以202p p q -=⎧⎨-=⎩，解得24p q =⎧⎨=-⎩，因此2+=-p q .故答案：2-【点睛】本题主要考查由极限求参数的问题，熟记极限的运算法则即可，属于常考题型.4.若线性方程组的增广矩阵为2012m n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若该线性方程组的解为11⎛⎫ ⎪⎝⎭，则m n +=__________．【答案】3 【解析】 【分析】根据增广矩阵的定义增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是方程组的等号右边的值，从而求出结果．【详解】解：由增广矩阵的定义：增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是方程组的等号右边的值而线性方程组的增广矩阵为2012m n ⎛⎫⎪⎝⎭，可直接写出线性方程组为202x y mnx y +=⎧⎨+=⎩即把x ＝1，y ＝1，代入得2n 1m ==，，解得m n +＝3． 故答案为：3【点睛】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意线性方程组的性质的合理运用．5.设数列{}n a 的通项公式为,131,32nn n n a n ≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫-> ⎪⎪⎝⎭⎩，则数列{}n a 的前n 项和n S 为____________【答案】(1),13214511,32432nn n n n S n +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+⋅-> ⎪⎪⎝⎭⎩【解析】 【分析】根据等差数列与等比数列的求和公式，分13n ≤≤和3n >两种情况讨论，即可求出结果.【详解】因为,131,32nn n n a n ≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫-> ⎪⎪⎝⎭⎩，当13n ≤≤时，(1)2n n n S +=； 当3n >时，则434511122111123...6122212-⎡⎤⎛⎫⎛⎫---⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+++-+-++-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭n nn S 145112432⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭n； 综上，(1),13214511,32432nn n n n S n +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+⋅-> ⎪⎪⎝⎭⎩. 【点睛】本题主要考查数列的求和，熟记等差数列与等比数列的求和公式即可，属于常考题型.6.已知数列{}n a 满足：11a =1=，则使25n a <成立的n 的最大值为_______ 【答案】4 【解析】 【分析】1=得到关于的通项 公式后可得{}na 的通项公式，解不等式后可得使25n a <成立的n 的最大值.【详解】易知为等差数列，首项为11a =，公差为1()111n n =+-⨯=，∴2n a n =，令225n <，∴5n <，∴4n ≤.故答案为： 4【点睛】本题考查等差数列的通项的求法及数列不等式的解，属于容易题.7.观察下列等式，211=，22343++=，2345675++++=，2456789107++++++=，从中可以归纳出一个一般性的等式是：__________()2*(21)n n =-∈N .【答案】(1)(2)(32)n n n n +++++⋯+- 【解析】 【分析】通过观察前几个式子的变化规律，总结规律即可得到答案.【详解】根据题意，第一个式子从1开始，左边按顺序加有1项；第二个式子从2开始，有3项；第三个式子从3开始，有5项，于是可归纳出，第n 个式子从n 开始，有21n -项，于是答案为：(1)(2)(32)n n n n +++++⋯+-.【点睛】本题主要考查归纳法，意在考查学生的逻辑推理能力和数感，难度不大.8.已知函数()2xf x =，等差数列{}x a 的公差为2，若()2468104f a a a a a ++++=，则()()()()212310log f a f a f a f a ⋅⋅⋅⋅=⎡⎤⎣⎦___________.【答案】6- 【解析】 【分析】根据指数运算出2468102a a a a a ++++=，再利用等差中项的性质得出625a =，并得出56825a a =-=-，然后再利用等差数列的性质和指数、对数的运算法则求出()()()()212310log f a f a f a f a ⋅⋅⋅⋅⎡⎤⎣⎦的值.【详解】依题意有246810625a a a a a a ++++==，625a ∴=，且56282255a a =-=-=-. 则()()()110123101105610825556255a a a a a a a a a a +⎛⎫++++==+=+=⨯-+=- ⎪⎝⎭，而()()()()1231061231022a a a a f a f a f a f a ++++-⋅⋅⋅⋅==，因此，()()()()62123102log log 26f a f a f a f a -⋅⋅⋅⋅==-⎡⎤⎣⎦. 故答案为：6-.【点睛】本题考查等差数列基本性质的计算，同时也考查了等差数列的定义以及指数、对数的运算，解题时充分利用等差中项的性质，可简化计算，考查计算能力，属于中等题. 9.在数列{}n a 中，11a =，()122nn n a a n N a *+=∈+，则22020是这个数列的第______________项．【答案】2019 【解析】 【分析】 在等式122n n n a a a +=+两边取倒数，可得出数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，求出数列{}n a 的通项公式，再令22020n a =，解出n 的值即为所求结果. 【详解】在等式122n n n a a a +=+两边取倒数得11211222n n n n n a a a a a +=+=+， 所以11112n n a a +-=且111a ，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111a 为首项，以12为公差的等差数列， 所以，()1111122n n n a +=+-=，21n a n ∴=+，令2212020n a n ==+，得2019n =， 因此，22020是这个数列的第2019项，故答案为：2019. 【点睛】本题考查数列通项的求法，解题的关键就是利用倒数法求解，另外要熟悉等差数列定义的应用，考查分析问题和求解问题的能力，属于中等题. 10.利用数学归纳法证明不等式“()*11112,23212n n n n N +++⋯+>≥∈-”的过程中，由“n k =”变到“1n k =+”时，左边增加了_____项． 【答案】2k . 【解析】 【分析】分析题意，根据数学归纳法的证明方法得到1n k =+时，不等式左边的表示式是解答该题的突破口，当1n k =+时，左边11111112321221k k k +=+++⋯+++⋯+--，由此将其对n k =时的式子进行对比，得到结果.【详解】当n k =时，左边11112321k =++++-…， 当1n k =+时，左边11111112321221kk k +=+++⋯+++⋯+--， 观察可知，增加的项数是1121(21)222k k k k k ++---=-=，故答案是2k .【点睛】该题考查的是有关数学归纳法的问题，在解题的过程中，需要明确式子的形式，正确理解对应式子中的量，认真分析，明确哪些项是添的，得到结果.11.已知四个数1234,,,a a a a 依次成等比数列，且公比()0q q >不为1.将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列，则q 的取值集合是_______【答案】⎪⎪⎩⎭【解析】 【分析】因为公比不为1，所以不能删去1a 和4a ，设{}n a 的公差为d ，分类讨论，即可得出结论。
2019年上海市晋元高级中学附属学校高二数学文联考试题含解析
2019年上海市晋元高级中学附属学校高二数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 某电子管正品率为，次品率为，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P(ξ＝3)＝()A. B. C. D.参考答案：Cξ＝3表示第3次首次测到正品，而前两次都没有测到正品，故其概率是，本题选择C选项.点睛：准确理解并运用二项分布的概率公式是求解该类问题的关键，表示在独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率.2. 等差数列的前项和为，若则的值为（）A． B．50 C．55 D．110参考答案：C3. 幂函数图像过点，则= ( )A. B.2 C. D.1参考答案：B略4.参考答案：C5. 函数f(x)＝1＋x－sin x在(0,2π)上是()A．增函数B．在(0，π)上递增，在(π，2π)上递减C．减函数D．在(0，π)上递减，在(0,2π)上递增参考答案：A6. 函数的导数为（）A． B．C． D．参考答案：A7. “”是“”的 ( )A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．非充分非必要条件参考答案：A略8. 不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有（）个A．3个B．4个 C.6个D．7个参考答案：D空间中不共面的四个定点构成三棱锥，如图：三棱锥,①当平面一侧有一点，另一侧有三点时，即对此三棱锥进行换底，则三棱锥有四种表示形式，此时满足条件的平面个数是四个；②当平面一侧有两点，另一侧有两点时，即构成的直线是三棱锥的相对棱，因三棱锥的相对棱有三对，则此时满足条件的平面个数是三个，所以满足条件的平面共有个，故选D.9. 设a，b，c，d∈R，且a＞b，c＜d，则下列结论中正确的是（）A．a+c＞b+d B．a﹣c＞b﹣d C．ac＞bd D．＞参考答案：B【考点】不等关系与不等式．【分析】利用不等式的基本性质即可选出答案．【解答】解：∵c＜d，∴﹣c＞﹣d，又a＞b，∴a﹣c＞b﹣d．故答案为 B．10. 总体编号为01,02,……19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为（）A．08 B．07 C．02 D．01参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 定义：曲线上的点到直线的距离的最小值称为曲线到直线的距离；现已知抛物线到直线的距离等于，则实数的值为.参考答案：6略12. 已知两个命题r(x)：sinx＋cosx>m，s(x)：x2＋mx＋1>0.如果对?x∈R，r(x)与s(x)有且仅有一个是真命题．求实数m的取值范围___________．参考答案：略13. 若三角形的一边长为，这条边所对的角为，另两边之比为，则此三角形的面积是________．参考答案：解析：设两边为，则，得，得三角形的面积是．14. 已知正项等比数列中，，则其前3项的和的最小值是．参考答案：15. 已知满足关系，则的取值范围是．参考答案：16. 观察下列等式照此规律，第n个等式为________．参考答案：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2略17. 在中，若，则。
2025届上海市晋元中学化学高二第一学期期中教学质量检测试题含解析
2025届上海市晋元中学化学高二第一学期期中教学质量检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题只有一个选项符合题意）1、分析下图所示的四个原电池装置，其中结论正确的是( )A．①②中Mg作负极，③④中Fe作负极B．②中Mg作正极，电极反应式为2H2O+2e-=2OH-+H2↑C．③中Fe作负极，电极反应式为Fe-2e-=Fe2+D．④中Cu作正极，电极反应式为2H++2e-=H2↑2、下列装置为某实验小组设计的Cu－Zn 原电池，关于其说法错误的是A．装置甲中电子流动方向为：Zn→电流表→CuB．装置乙比装置甲提供的电流更稳定C．装置乙盐桥中可用装有琼胶的Na2CO3饱和溶液D．若装置乙中盐桥用铁丝替代，反应原理发生改变3、反应A(g)＋3B(g)2C(g)＋2D(g)，在不同情况下测得反应速率，其中反应速率最快的是A．v(D)＝0.5 mol·L－1·s－1B．v(C)＝0.8 mol·L－1·s－1C．v(B)＝0.9 mol·L－1·s－1D．v(A)＝0.3 mol·L－1·s－14、K2FeO4是一种多功能、高效水处理剂。
它属于（）A．酸B．碱C．盐D．氧化物5、根据下列操作和现象，所得结论正确的是实验操作及现象实验结论A向2mL5%的双氧水中分别滴加2滴0.1mol/L的Fe2(SO4)3和0.1mol/L的CuSO4溶液，前者产生气泡较快对双氧水分解催化效率：Fe3+>Cu2+B 向2mL0.1mol/L酸性KMnO4溶液中分别滴加3mL0.1mol/L和3mL0.2mol/L的H2C2O4溶液，后者首先褪色（提示：反应的部分关系为2MnO4-+5H2C2O4—2Mn2++10CO2）其他条件不变时，H2C2O4的浓度越大，化学反应速率越快C 取两支试管a和b，各加入5ml0.1mol/LNa2S2O3溶液；另取两支试管c和d，各加入5ml0.1mol/LH2SO4溶液；将a、d放入热水浴中，b、c放入冷水浴中，一段时间后分别混合，热水浴中先出现浑浊。
2022-2023学年上海市晋元高级中学高二上学期期中考试数学试卷带讲解
2.已知 ，则向量 在向量 方向上的数量投影为___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用向量的数量积转化求解向量 ， 在方向上的数量投影即可．
【详解】解：设向量 与 的夹角是 ，则向量 在 方向上的数量投影为： ．
故答案为：
3.若圆锥的侧面展开图是半径为1，圆心角为 的半圆，则这个圆锥的轴截面面积等于______.
故选：D.
16.已知球O 体积为 ，高为1的圆锥内接于球O，经过圆锥顶点的平面 截球O和圆锥所得的截面面积分别为 ，若 ，则 （）
A.2B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，求出球O半径，平面 截球O所得截面小圆半径，圆锥底面圆半径，再求出平面 截圆锥所得的截面等腰三角形底边长及高即可计算作答.
所以，数列 的各项和为 故答案为：
5.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点， ，若异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为 ，则λ的值为________.
【答案】
【解析】
【分析】由已知，根据题意建立空间直角坐标系，分别表示出各点坐标，然后通过异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为 ，即可列式计算.
4.已知无穷等比数列 的前 项和为 ，且 ， ，则数列 的各项和为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意先求得等比数列的公比为 ，进而得 ，再求极限即可.
【详解】解：因为 ，
所以，等比数列的公比不等于 ，故设等比数列 的公比为 ，
所以， ，
所以， ，解得 ，
所以， ，
因为数列 为无穷等比数列，
【详解】球O半径为R，由 得 ，平面 截球O所得截面小圆半径 ，由 得 ，
上海市晋元高级中学2022年高三化学月考试卷含解析
上海市晋元高级中学2022年高三化学月考试卷含解析一、单选题（本大题共15个小题，每小题4分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，共60分。
）1. ．在一定条件下，RO3nˉ与氟气可发生如下反应：RO3n－+ F2 +2OH－=RO4－+ 2F－+H2O（已配平），从而可知在RO3n－中，R元素的化合价是（）A．+4 B．+5 C．+6 D．+7参考答案：B略2. 已知I-、Fe2+、SO2、Cl-、H2O2都有还原性，它们在酸性溶液中还原性的强弱顺序为Cl- < Fe2+ < H2O2 < I- < SO2。
则下列反应不能发生的是Ａ、2Fe3+ + SO2 +2 H2O ＝ 2Fe2+ + SO42- + 4H+Ｂ、I2 + SO2 + 2H2O ＝ H2SO4 + 2HIＣ、H2O2 + H2SO4＝ SO2 + O2 + 2H2OD、2Fe3++ 2I-＝ 2Fe2+ + I2参考答案：C3. 下列单质或化合物性质的描述正确的是A．NaHSO4水溶液显中性 B．SiO2与酸、碱均不反应C．NO2溶于水时发生氧化还原反应 D．Fe在足量Cl2中燃烧生成FeCl2和FeCl3参考答案：C 略4. 25℃时，0.1 mol Na2CO3与盐酸混合所得的一组体积为1 L的溶液，溶液中部分微粒与pH 的关系如右图所示。
下列有关溶液中离子浓度关系叙述正确的是A．W点所示的溶液中：c(Na+)+ c(H+)=2c(CO32－)+ c(OH－)+ c(Cl－)B．pH=4的溶液中：c(H2CO3)+ c(HCO3－)+ c(CO32-－)<0.1 mol·L－1C．pH=8的溶液中：c(H+)+ c(H2CO3)+ c(HCO3－)= c(OH－)+c(Cl－)D．pH=11的溶液中：c(Na+)>c(Cl－)>c(CO32-－)>c(HCO3－)>c(H2CO3)参考答案：B略5. 氯化钠是一种重要的化工原料。