《线段垂直平分线》 知识清单

《线段垂直平分线》知识清单
一、线段垂直平分线的定义
线段垂直平分线，顾名思义，是指一条直线，它垂直于一条线段并
且平分这条线段。

也就是说，如果直线MN 是线段AB 的垂直平分线，那么 MN 垂直于 AB，并且点 A 和点 B 到直线 MN 的距离相等。

二、线段垂直平分线的性质
1、线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
这是线段垂直平分线最重要的性质之一。

例如，若点 C 在线段 AB
的垂直平分线 l 上，那么 AC ＝ BC。

这个性质在解决很多几何问题中
都非常有用，通过证明某点在垂直平分线上，就可以得出该点到线段
两端点的距离相等。

2、到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分
线上
这个性质是上述性质的逆定理。

比如，如果已知 AC ＝ BC，那么
点 C 一定在线段 AB 的垂直平分线上。

这为我们判断一个点是否在某
线段的垂直平分线上提供了依据。

三、线段垂直平分线的判定
判定一条直线是否为线段的垂直平分线，通常有以下几种方法：
1、定义法
如果一条直线既垂直于线段又平分线段，那么它就是线段的垂直平分线。

2、性质法
若直线上的点到线段两端点的距离相等，那么这条直线是线段的垂直平分线。

四、线段垂直平分线的作法
1、尺规作图法
（1）分别以线段的两个端点 A、B 为圆心，以大于线段 AB 长度一半的长为半径画弧，两弧相交于点 C 和点 D。

（2）过点 C 和点 D 作直线 CD，则直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线。

2、折纸法
将一张纸对折，使线段的两个端点重合，然后展开纸张，折痕所在的直线就是线段的垂直平分线。

五、线段垂直平分线的应用
1、证明线段相等
如果已知某点在一条线段的垂直平分线上，那么可以利用垂直平分线的性质得出该点到线段两端点的距离相等，从而证明线段相等。

2、构建等腰三角形
通过作线段的垂直平分线，可以找到到线段两端点距离相等的点，从而构建等腰三角形，为解决问题提供新的条件。

3、确定最短路径
在一些实际问题中，如要在直线同侧找到两点到直线上一点的距离之和最短，可以通过作其中一点关于直线的对称点，然后利用线段垂直平分线的性质找到最短路径。

六、与线段垂直平分线相关的定理和推论
1、三角形三边垂直平分线的性质
三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三角形三个顶点的距离相等。

2、直角三角形斜边中线定理
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

其证明过程通常会用到线段垂直平分线的性质。

七、常见的考题类型
1、证明题
要求证明某条直线是线段的垂直平分线，或者利用线段垂直平分线的性质证明线段相等、角相等之类的结论。

2、计算题
给出线段的长度和相关条件，计算与线段垂直平分线有关的线段长度或角度大小。

3、作图题
让考生根据给定的条件，用尺规作出线段的垂直平分线。

4、应用题
将线段垂直平分线的知识应用到实际生活中的问题，如道路规划、建筑设计等，要求考生建立数学模型并求解。

总之，线段垂直平分线是初中几何中非常重要的一个概念，它不仅有丰富的理论知识，还有广泛的实际应用。

熟练掌握线段垂直平分线的相关知识，对于提高我们的几何解题能力和解决实际问题的能力都具有重要意义。

在学习过程中，要多做练习，加深对概念和性质的理解，灵活运用所学知识解决各种问题。