2013版高二数学(人教B版)选修2-1课件3-2-5《距离》

y、z 轴建立空间直角坐标系，则 D(0,0,0)，C(0,2,0)，
D1(0,0,3)，C1(0,2,3)，B1(2,2,3)，B(2,2,0)，E(1,2,0)，F(1,2,3)，
D→1F＝(1,2,0)，D→E＝(1,2,0)
D→1F∥D→E，∴D1F∥DE， 又∵B→F＝(－1,0,3)，E→C1＝(－1,0,3)． ∴B→F∥E→C1，∴BF∥EC1，由 D1F∩BF＝F. ∴平面 BD1F∥平面 C1DE. (2)由(1)可知平面 BD1F 与平面 C1DE 间的距离等于 D1 到平面 C1DE 的距离， 设平面 C1DE 的法向量 n＝(x，y，z)， 由nn··DE→→CE1＝＝00 ，得x－＋x2＋y＝3z＝0 0 ，
之．设 B 点到平面 EFG 的距离为 x.
由平几知识易求 EF＝2 2，
GH＝ 22＋(4 2×34)2＝ 22.
S△EFB＝12×2×2＝2，
S△EFG＝12×2 2× 22＝2 11.
由 VB－EFG＝VG－EFB，得 13·S△EFG·x＝13·S△EFB·GC，
即13×2 11x＝13×2×2，
＝VA1－ABD，即13× 43×( 2a)2d＝13×12a2×a，
解得
d＝
33a.∴点
A
到截面
A1BD
的距离为
3 3 a.
[说明] 点与面的距离是点面距、线面距、面面距的 基础，也是本节的重点内容，应熟练掌握公式 d＝|A→|Bn·|n|. 同时等积法也是一种比较简捷的方法．
已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分 别是AB、AD的中点，CG垂直于ABCD所在 的平面，且CG＝2，求点B到平面EFG的距 离．[解析] 解法 1：(等积变换)根据 VB－EFG＝VG－EFB 求
(1)两个平面的公垂线：和两个平行平面 同时________的直线，叫做这两个平面的公 垂线．
(2)两个平面的公垂线：________夹在平 行平面间的部分，叫做两个平行平面的公垂 线段．
(3)两个平行平面的距离：两个平行平面 的________的长度，叫做两个平行平面的距 离．
[答案] 1.最小距离
即点
A
到截面
A1BD
的距离为
3 3 a.
解法二：如右图所示，建立空间直角坐标系 D1－xyz，则
A1(a,0,0)，A(a,0，a)，B(a，a，a)，D(0,0，a)．
设平面 A1BD 的法向量 n＝(x，y，z)，则
n·D→B＝(x，y，z)·(a，a，0)＝0， n·A→1B＝(x，y，z)·(0，a，a)＝0，
3，1) 过 C 作 AB 的垂线交 AB 于 F.易得 BF＝ 3， ∴B(1,2 3，0)．
∴A→B＝(0,2 3，0).B→E＝(－1，－ 3，1)， 设平面 ABE 的一个法向量为 n＝(x，y，z)， 则由nn··AB→ →BE＝ ＝00， ， 得2－x3－y＝03， y＋z＝0， ∴y＝0，x＝z，不妨取 n＝(1,0,1)， ∵A→A1＝(0,0,2)， ∴A1B1 到平面 ABE 的距离 d＝|A→A|n1|·n|＝ 2.
如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中， 棱长为1，E、F分别为A1B1、CD的中点，G 为AB的中点．
(1)求证：平面 B1GC∥平面 AEC1F； (2)求平面 B1GC 与平面 AEC1F 之间的距离．
[解析] (1)证明：如图所示建立空间直角坐标系， 可得有关的坐标 A(1,0,0)、B(1,1,0)、E(1，12，1)、F(0，12， 0)、G(1，12，0)、C(0,1,0)、B1(1,1,1)、C1(0,1,1)．
[解析] (1)证明：如图乙所示，建立空间直角坐标系，
设 A1(a,0,0)，则 C1(0,2,0)，F(0,1,0)，E(0,0,1)，A(a,0,4)，
B(0,0,4)，D(0,2,2)，G(a2，1,0)．
∴B→1D＝(0,2,2)，A→B＝(－a,0,0)，B→D＝(0,2，－2)，
d＝|n·|nA→|G|＝
6 6.
即平面
B1GC
与平面
AEC1F
之间的距离等于
6 6.
[例4] 如图甲所示，在直三棱柱ABC－ A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4， EB1＝1，D、F、G分别为CC1、B1C1、A1C1 的中点，EF与B1D相交于点H.
(1)求证：B1D⊥平面ABD； (2)求证：平面EGF∥ABD； (3)求平面EGF与平面ABD的距离． [分析] 根据已知条件建立空间直角坐 标系，利用向量的坐标运算求解．
[例 2] 如图，在已知直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中， 底面为直角梯形 AB∥CD，且∠ADC＝90°，AD＝1，CD ＝ 3，BC＝ 2，AA1＝2.E 是 CC1 的中点．求 A1B1 与平面 ABE 的距离．
[分析] 转化为A1B1上一点到平面ABE的 距离．
[解析] 如图以 D 为原点，D→A，D→C，D→D1分别为 x 轴， y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则 A1(1,0,2)，A(1,0,0)，E(0，
2．它在一个平面内正射影
[例1] 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的 棱长为a，求点A到截面A1BD的距离．
[分析] 可先确定A到截面的垂线段，再 利用向量求对应向量的模，也可借助平面的 法向量求解．
[解析] 解法一：如图作AH⊥平面A1BD 于 H ， 连 结 A1H 、 BH 、 DH ， 由 Rt△AHA1≌Rt△AHB≌Rt△AHD ， 知 HA1 ＝ HB＝HD，故H是△A1BD的外心，
3．点到直线的距离 (1)点到直线垂线段的作法 在立体几何中，点到直线的垂线段是由 三垂线定理确定的． (2)点到直线距离的求法 ①几何法
由三垂线定理将立体几何问题转化为平 面几何中的解直角三角形问题，进行求解．
②向量法
设 l 是过点 P 平行于向量 s 的直线．A 是直线 l 外一定点，
向量P→A在 s 上的射影的大小为
又是 A1D＝DB＝BA1＝ 2a， ∴△A1BD 是正三角形， ∴H 是△A1BD 的中心． ∴A→H＝13(A→A1＋A→D＋A→B)．
∴|A→H|2＝19(A→A1＋A→D＋A→B)·(A→A1＋A→D＋A→B) ＝19(|A→A1|2＋|A→D|2＋|A→B|2)＝a32，
∴|A→H|＝
3 3 a.
，则点 A 到直线 l
的距离 d＝
(其中 s0 为 s 的单位向量)
4．点到平面的距离的求法 (1)几何法
①由点到平面的距离的定义转化为平面 几何中的解直角三角形问题，进行求解．
②由已知点和平面内不共线的三点构成 三棱锥，转化为体积问题，进而用等积法求 解．
(2)向量法 如图，BO⊥平面α，垂足为O，则点B到 平面α的距离就是线段BO的长度．
解得
x＝22×121＝2
11 11 .
即点 B 到平面 EFG 的距离为21111.
解法 2：(向量法)要求点 B 到平面 EFG 的距离，只需在 平面 EFG 上任取一点，如点 E，并求出平面 EFG 的法向量 n，则向量B→E在向量 n 上的投影向量的模即为点 B 到平面 EFG 的距离，即
d＝|B→|En·|n|， 为此，只要建立适当的坐标系，求出B→E与 n 代入上述 公式即可． 如图所示．
1．知识与技能 了解距离的概念．
会求点面距、线面距和面面距．
2．过程与方法 利用向量的方法求点面、线面和面面 距．
3．情感态度与价值观 培养学生转化的数学思想、增强应用意 识，提高解决实际问题的能力．
重点：点与面的距离． 难点：利用向量法求距离问题．
1．空间中两点的距离公式 若 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 dAB＝|AB|＝ (x1－x2)2＋(y1－y1)2＋(z1－z2)2. 2．向量的模长公式 若 a＝(x，y，z)，则|a|＝ a·a＝ x2＋y2＋z2.
2由1可知平面bd1f与平面c1de间的距离等于d12由1可知平面bd1f与平面c1de间的距离等于d1到平面c1de的距离设平面c1de的法向量nxyz由?????nde00nec1得?????x2y0x3z0得?????y12xz13x令x6得n632d1到平面c1de的距离dd1c1d1到平面c1de的距离dnd1c1n32677平面bd1f与平面c1de间的距离为67
∴A→E＝(0，12，1)，A→F＝(－1，12，0)． G→B1＝(0，12，1)，G→C＝(－1，12，0)， F→C1＝(0，12，1)． ∴A→E＝F→C1＝G→B1，A→F＝G→C.AE∥GB1，AF∥GC.AE 綊
FC1. ∴四边形 AEC1F 为平行四边形，且平面 B1GC∥平面
AEC1F.
若 AB 是平面 α 的任一条斜线段，则在 Rt△BOA 中， |B→O|＝|B→A|·cos∠ABO＝B→|AB→·OB→|O.
如果令平面 α 的单位法向量为 n0，则 B 点到平面 α 的 距离为|B→O|＝|A→B·n0|.
求一个点到平面的距离，可以分以下几步 完成：
①求出该平面的一个单位法向量； ②找出从该点出发的平面的任一条斜线段 对应的向量；
得yz＝＝13－x 12x
，令 x＝6，得 n＝(6，－3,2)，
∴D1 到平面 C1DE 的距离 d＝|D→1C1·|nn||＝|－37×2|＝67，
∴平面 BD1F 与平面 C1DE 间的距离为67.
[说明] 平面α∥平面β，则α、β间的距 离就是α内任一点到β的距离，这是立体几何、 空间向量中转化思想方法的典型实例．
建立空间直角坐标系 C－xyz. 则 G(0,0,2)，E(－2，－4,0)，F(－4，－2,0)，B(0，－ 4,0)，G→E＝(－2，－4，－2)，G→F＝(－4，－2，－2)，B→E＝ (－2,0,0)． 设平面 EFG 的法向量为 n＝(x，y，z)，
由G→E·n＝0，G→F·n＝0，得 x＝－t，y＝－t，z＝3t，令 t＝1. 即 n＝(－1，－1,3)，于是点 B 到平面 EFG 的距离 d＝|B→|En·|n|＝ 211＝21111.
[说明] 求直线与平面间的距离，往往 转化为点到平面的距离求解，且这个点要适 当选取，以求解过程最简单为准则．
已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面 ABCD，且PD＝1，E、F分别为AB、BC的中 点．求直线AC到平面PEF的距离．
[解析] 建立如图所示的空间直角坐标系，则
P(0,0,1)，A(1,0,0，)，C(0,1,0)，E(1，12，0)，F(12，1,0)，
1．距离的概念
图形F1内的任何一点与图形F2内的任一 点间的距离的________，叫做图形F1与图形 F2的距离．
2．点到平面的距离
一点到______的距离叫做这一点到这个 平面的距离．
3．直线与与它平行平面的距离
一条直线上________到它平行的平面的 距离，叫做这条直线到平面的距离．
4．两个平行平面的距离
P→E＝(1，12，－1)，P→F＝(12，1，－1)，设平面 PEF 的 法向量为 n＝(a，b，c)，则
a＋12b－c＝0 12a＋b－c＝0
，取 n＝(1,1，32)，
A→E＝(0，12，0)，
1
∴d＝|A→|En·|n|＝
2＝ 17
17 17 .
2
即直线
AC
到平面
PEF
的距离为17 17 . Nhomakorabea(2)显然，点 G 到平面 AEC1F 的距离即为所求． 设平面 AEC1F 的法向量为 n＝(x，y，z)，则 n⊥A→E， n⊥A→F.
由nn··AA→ →EF＝ ＝00 ，得2－y＋x＋z＝2y0＝0
，令 y＝2，得 n＝(1,2，
－1)，因为A→G＝(0，12，0)．故所求距离为
[例3] 如图，正四棱柱ABCD－ A1B1C1D1中，侧棱AA1＝3，底面边长AB＝2， E、F分别为棱BC、B1C1的中点．
(1)求证：平面BD1F∥平面C1DE； (2)求平面BD1F与平面C1DE间的距离．
[分析] 首先用面面平行的判定定理证 明(1)，然后两平行平面间的距离就是平面 BD1F内任一点到平面C1DE的距离，转化为 点面[解距析来] 求(1)解如图．分别以 DA、DC、DD1 所在直线为 x、
即aaxy＋ ＋aayz＝＝00.， ∴xy＋ ＋yz＝＝00.，
令 y＝－1，则 x＝z＝1，∴n＝(1，－1,1)．
∴A→B·n＝(0，a,0)·(1，－1,1)＝－a.
∴点 A 到截面 A1BD 的距离为 d
＝|A→|Bn·|n|＝|－3a|＝
3 3 a.
解法三：设 A 点到平面 A1BD 的距离为 d，则 VA－A1BD