无穷级数收敛方法综述

重庆三峡学院毕业设计（论文）题目：数项级数收敛方法综述
专业：数学与应用数学
年级：2006级
学号：200606030161
作者：王超
指导老师：杜祥林（教授）
完成时间：2010年5月
目录
摘要 (I)
Abstract ............................................... 错误！未定义书签。

1引言. (1)
2 数项级数收敛的定义 (2)
2．1 级数的定义 (2)
2．2 数项级数收敛的定义 (2)
3 数项级数收敛的性质 (3)
4 数项级数的收敛方法 (4)
4．1 数项级数的常用收敛方法 (4)
4．2 正项数项级数的收敛方法 (10)
4．2．1 同号级数的定义 (10)
4．2．2 正项级数的收敛方法 (10)
4．3 交错级数的收敛方法 (28)
4．3．1 变号级数与交错级数的定义 (28)
4．3．2 交错级数的收敛方法 (28)
4．4 一般项级数的收敛方法 (30)
4．4．1 绝对收敛与条件收敛 (30)
4．4．2 一般收敛级数判别法 (30)
5 数项级数的收敛方法的优缺点比较 (34)
5．1 数项级数的收敛方法概述 (34)
5．2 各种收敛方法优缺点比较 (35)
5．2．1 对于级数收敛的判别方法优缺点比较 (35)
5．2．2 对于正项级数收敛的判别方法优缺点比较 (35)
5．2．3 对于一般项级数收敛的判别方法优缺点比较 (37)
致谢 (38)
参考文献 (38)
数项级数收敛方法综述
王超
（重庆三峡学院数学与计算机科学学院数学与应用数学专业2006级重庆万州 404000）
摘要：研究无穷级数的一个主要目的，就是判断一个级数是否收敛。

因此，判断一个级数收敛的方法就显得格外重要。

由于篇幅有限，本文只着重考察数项级数的收敛方法。

本文采用总——分——总结构，来综述数项级数的收敛方法。

首先，引言部分描述无穷级数的由来、重要性，然后进一步说明研究无穷级数的收敛方法的重要性；其次从特殊的级数——数项级数出发，综述数项级数的收敛方法；同时，勾勒出本文的写作思路、创作方法。

使笔者与读者产生思维碰撞，起到了总揽全局的作用。

其次，从数项级数的收敛的定义、收敛的性质出发，挖掘出较为常规的数项级数收敛方法；再将数项级数分为两类：正项级数和一般项级数（包括交错级数），分别对两类级数的收敛方法进行综述，并加以论证和综合举例，浅谈各类方法的特点，从而，让读者徜徉其中，达到各个击破的目的。

最后，呼应引言，概述所有的收敛方法，再进一步透彻分析各种方法，分析它们的解题思想，比较它们的优缺点，推导出它们的适用范围，使读者进一步加深认识，从而理论得到升华，鞭辟入里。

进一步，提高了读者的逻辑思维能力。

关键词：数项级数；总——分——总；收敛方法；正项级数；交错级数；一般项级数；逻辑思维
Review the Method of Judging the Several Series of Convergence
Wang Chao
(Grade 2006, Mathematics and Applied Mathematics, College of Mathematics and Computer Science, Chongqing Three Gorges University, Wanzhou, Chongqing 404000 )
Abstract:A main purpose of the infinite series studying is judging a Infinite series of convergence. Therefore, the method of judging converge is especially important.Due to the limited space, this article only focuses on several series convergence method.
This article is based on the structure of total--points--total to review several series convergence method.Firstly, the introduction section describes the origin of the infinite series, further study, and the importance of the infinite series convergence method of importance, then base on the special series of several series, the paper presents several series convergence method. At the same time, to outline the thoughts and methods of this paper. And to make the author and the readers sparkle collision of thinking overarching role. Secondly, from the convergence of several series of definitions, the convergence of the nature, excavate relatively conventional several method converges, Then several series is divided into two categories: positive series and general series (including staggered series), two kinds of methods were reviewed, and demonstrated, for example, and discuss the method of characteristics, thus, let the reader roam among them and have a intensive understanding. Finally, summarizes all the convergence of citations, further thorough analysis of various methods, analyzes their thoughts, problem solving, and their advantages and disadvantages are deduced, the scope for further understanding of the readers, thus theory and exact. To improve the reader’s logical thinking ability.
Keywords: Several Series；Total—points—total；The method of judging convergence；Positive series.
2010届数学与应用数学专业毕业设计（论文）
1引言
自然界中，量的函数关系是多种多样的。

为了便于研究，人们常用一定的式子表示函数关系。

能用“初等”式子表示的函数（即所谓初等函数），只是多种多样的函数关系中较少的一部分。

为了表示更复杂的函数关系，就需要引进更多的表示函数的工具。

函数项级数和含参变量积分正好是这样的工具。

无穷级数分为函数项级数和数项级数。

函数项级数是表示函数，特别是表示非初等函数的一个重要数学工具。

例如，有的微分方程的解不是初等函数，但其解却可表示为函数项级数。

函数项级数又是研究函数（初等函数和非初等函数）性质的一个重要工具。

因此，函数项级数在自然科学、工程技术和数学本身都有广泛的应用。

数项级数是函数项级数的特殊形式，它又是函数项级数的基础。

由此可见，研究无穷级数尤为重要。

判断无穷级数的敛散性是无穷级数研究中的主要工作。

现代宇宙学中，科学家们认为芝诺悖论的根本症结在于不懂得无穷级数求和是一个有限值。

在严密的无穷小算法中，无穷级数求和为有限值，必须首先判断该级数是否收敛，因此研究无穷级数收敛方法尤为重要。

由于篇幅有限，本文只综述数项级数的收敛方法。

首先，从数项级数的定义入手，了解和掌握数项级数收敛的定义，挖掘出部分和数列收敛判别法、余和判别法；其次，掌握数项级数收敛的性质，推导出夹逼定理和奇、偶子级数收敛判别法、Cauchy 收敛准则；再次，讨论特殊的级
数——正项级数的收敛方法：有界性判别法，比较判别法，
Cauchy 积分判别法，Alembert D J ' 判别法（比率判别法），Cauchy 根值判别法，Cauchy 根值判别法的推广I 、II ，Rabbe 判别法，Gauss 判别法，对数判别法以及Kumner 判别法；再次，研究一般项级数的收敛方法：交错级数的Leibniz 判别法，Abel 判别法，Dirichlet 判别法。

同时，对上述每一种方法进行论证，并加以综合举例，简要说明其优缺点。

在本文的第五部分专门汇总，采用总——分——总的格式：首先对所列举方法进行全面概述，然后分三大类进行优缺点比较，最后给出最适合的题型来作为总结。

此外，笔者主要参考刘玉莲《数学分析》、华东师大第三版《数学分析》、李克典《数学分析选讲》、张筑生《数学分析新讲》等一系列数学分析教材，充分利用赵显普所著《数学分析的方法与题解》以及钱吉林所著《数学分析题解精粹》，研究武汉大学、北京大学、内蒙古大学等100多所名牌高校考研试题中无穷级数出题规律，利用笔者独特的解题思路为线索，综述数项级数的收敛方法，比较其优缺点。

是数学专业考研的一份好材料，同时也可作为数学爱好者的阅读材料。

王超：无穷级数收敛方法综述
2 数项级数收敛的定义
2．1 级数的定义
定义2.1 设有数列{}n u ，即
，，，
，，n u u u u 321 （2.1） 将数列（2.1）的项依次用加号连接起来，即 +++++n u u u u 32
1 或 ∑∞
=1
n n
u （2.2）
称为数项级数，简称级数，其中n u 称为级数（2.2）的第n 项或通项。

设级数（2.2）前n 项的和是n S ，即
n n u u u u S ++++= 321 或 ∑==n
k k n u S 1
称为级数（2.2）的n 项部分和。

2．2 数项级数收敛的定义
定义2.2 若级数（2.2）的部分和数列{}n S 收敛，设
S S n n =∞
→lim 或 S S n
k K n =∑=∞
→1
lim
则称级数（2.2）收敛，S 是级数（2.2）的和，表为
+++++==∑∞
=n n n u u u u u S 3211
若部分和数列{}n S 发散，则称级数（2.2）发散，此时级数（2.2）没有和。

定义2.3 若级数
∑∞
=1
n n
u
收敛，其和是S ，而n S S -表为n r ，即
++=-=-=++=∞
=∑∑211
1
n n n
k k k k n n u u u u S S r
称为收敛级数
∑∞
=1
n n
u
的n 项余和，简称余和。

2010届数学与应用数学专业毕业设计（论文）
由此可见，级数的敛散性是借助于它的部分和数列的敛散性定义的。

反之，部分和数列{}
n S 的敛散性也可归结为级数
∑∞
=1
n n
u
的敛散性。

于是，可得到部分和数列收敛判别法和余和判别法。

3 数项级数收敛的性质
因为级数的敛散性是借助于它的部分和数列的敛散性定义的。

所以部分和数列{}n S 收敛的充分必要条件也就是级数
∑∞
=1
n n
u
收敛的必要条件。

于是，得到了判断级数收敛的一种常用方法—
Cauchy 收敛准则。

Cauchy 收敛准则 级数
∑∞
=1
n n
u
收敛++∈∀>∀∈∃>∀⇔N p N n N N ,,,0ε,有
ε<+++++p n n n u u u 21
于是，可得到性质1、性质2。

性质1 若级数
∑∞
=1
n n
u
收敛，则
0lim ln =∞
→n
u
性质2 若去掉、增添或改变级数
∑∞
=1
n n
u
的有限项，则不改变级数
∑∞
=1
n n
u
的敛散性。

性质3 若级数
∑∞
=1
n n
u
收敛，其和是S ，则级数
+++++=∑∞
=n n n
cu cu cu cu cu
3211
也收敛，其和是cS ，其中c 是常数)0(≠c 。

性质4（线性性） 若级数∑∞
=1n n
a
与
∑∞
=1
n n
b
都收敛，βα与是任意常数，则
∑∞
=+1
)
(n n n
b a
βα也收敛，且有
∑∑∑∞
=∞=∞
=+=+1
1
1
)(n n n n n n n
b a b a
βαβα
王超：无穷级数收敛方法综述
性质5 设级数
∑∞
=1
n n
a
收敛，则对其项任意加括号而不改变项的先后顺序，所得到的新级数
仍收敛，且其和不变。

注：（1）若加括号后的新级数发散，则原级数一定发散。

（2）若加括号后级数收敛，则不能推出原级数收敛。

如
∑∞
=--11
)1(n n 。

（原因：加括号后部分和数列{}
k n S 是{}n S 的一个子列；{}n S 收敛，则{}
k n S 收敛；但{}
k n S 收敛，{}n S 不一定收敛。

） 说明：（1）级数收敛也有夹逼定理：若级数
∑∞
=1
n n
a
与
∑∞
=1
n n
b
收敛于同一和S ，且+∈∀N n ，
有n n n b c a ≤≤，则级数
∑∞
=1
n n
c
也收敛。

（证明过程这里不再赘述，可用于简单的级数收敛判断）
（2）级数也有奇、偶子级数：若级数
∑∞
=-1
1
2n n a
与级数
∑∞
=1
2n n
a
都收敛于同一和S ，则级
数
∑∞
=1
n n
a
收敛。

（证明过程这里不再赘述）
4 数项级数的收敛方法
4．1 数项级数的常用收敛方法
因为级数的敛散性是借助于它的部分和数列的敛散性定义的。

所以，可通过级数的部分和数列的收敛方法及其特殊性质来判断一般数项级数的收敛方法。

方法一、部分和数列收敛判别法
部分和数列收敛判别法：若级数
∑∞
=1
n n
u
的部分和数列{}n S 收敛，设
S S n n =∞
→lim 或 S S n
k K n =∑=∞
→1
lim
则称级数
∑∞
=1
n n
u
收敛，S 是级数（2.2）的和，表为
+++++==∑∞
=n n n u u u u u S 3211
2010届数学与应用数学专业毕业设计（论文）
若部分和数列{}n S 发散，则称级数
∑∞
=1
n n
u
发散，此时级数
∑∞
=1
n n
u
没有和。

例1． 讨论几何级数
∑∞
=--+++++=1
121
n n n ar ar ar a ar
的敛散性，其中0≠a ，r 是公比。

解 （1）当1≠r 时，已知几何级数的n 项部分和
r
ar a ar
ar ar a S n n n --=
++++=-11
2
（i ） 当1<r 时，存在极限，且
r
a
r ar a S n n n n -=--=∞→∞→11lim lim 因此，当1<r 时，几何级数收敛，其和是
r
a
-1，即 r
a ar n n -=
∑∞
=-11
1 （ii ） 当1>r 时，不存在极限，且
∞=--=∞→∞→r
ar a S n
n n n 1lim lim 因此，当1>r 时，几何级数发散。

（2） 当1=r 时，有两种情况： （i ） 当1=r 时，几何级数是)0(≠a
+++++a a a a
na a a a S n n =+++=
个
∞==∞
→∞
→na S n n n lim lim
即部分和数列{}n S 发散。

（ii ） 当1-=r 时，几何级数是
王超：无穷级数收敛方法综述
+-++-+--a a a a a n 1)1(
⎩⎨
⎧=是奇数
，是偶数
，n a n S n 0 即部分和数列{}n S 发散。

于是，当1=r 时，几何级数发散。

综上所述，几何级数∑∞
=-1
1n n ar ，当1<r 时收敛，其和是
r
a
-1；当1≥r 时发散。

方法二、余和判别法
余和判别法：若数项级数
∑∞
=1
n n
u
收敛，其和是S 。

则总有：
()0lim lim =-=∞
→∞
→n
n n
n S S r
注：可用于证明交错级数的收敛方法——Leibinz 判别法，证明过程见后。

方法三、夹逼定理
判断数列是否收敛，可以用夹逼定理，那么级数收敛是否有相应的夹逼定理呢？
夹逼定理：若级数
∑∞
=1
n n
a
与
∑∞
=1
n n
b
收敛于同一和S ，且+∈∀N n ，有n n n b c a ≤≤，则级数
∑∞
=1
n n
c
也收敛。

分析：证明方法—余和判别法和数列收敛的夹逼定理。

证明：已知级数
∑∞
=1n n
a
收敛于和S ，设其前n 项和为n T ；级数
∑∞
=1
n n
b
收敛于和S ，设其前n
项和为n P ；设级数
∑∞
=1
n n
c
前n 项和为n S 。

由余和判别法，有：
()0lim =-∞
→n n T S ()0lim =-∞
→n n P S
所以，()0lim =-∞
→n n n T P
由定义有：S P T n n n n ==∞
→∞
→lim lim
而n n n b c a ≤≤ 所以，n T ≤n S ≤n P
由数列收敛的夹逼定理，有：S S P T n n n n n n ===∞
→∞
→∞
→lim lim lim
由部分和数列收敛判别法，有：级数
∑∞
=1
n n
c
也收敛。

例2 证明：若将级数
∑∞
=1
n n
a
依次若干项结合得到新级数
∑∞
=1
k k
A
，
∑∞
=1
k k
A
收敛，其中
k k n n k a a A ++=+- 11，且k A 的项有相同的符号，则原级数∑∞
=1
n n a 收敛。

且两个收敛级数的和相
等。

证明：设级数
∑∞
=1
n n
a
的部分和为n S ，级数
∑∞
=1
k k
A
的部分和为k σ。

已知k k n n k a a A ++=+- 11 从而，有：k k k A +=-1σσ
又k A 的项有相同的符号，不妨假设0>k A 。

于是，+∈∀N n ,总存在+∈N k 0，使得001k k n n n ≤≤- 从而，n S 在10-k σ与0k σ之间。

从而，当∞→n 时，∞→0k 而已知
∑∞
=1
k k
A
收敛
0000lim lim 1k k k k σσ∞
→-∞
→=∴
由夹逼定理，有：级数∑∞
=1
n n
a
收敛，且两个级数收敛的和相等。

方法四、奇、偶子级数收敛判别法
判断数列是否收敛，可以用奇、偶子列收敛判别法，那么级数收敛是否有相应的奇、偶子级
数收敛判别法呢？
定义：形如形式级数∑∞=-1
12n n a ，称为级数∑∞=1
n n a 的奇子级数；形如形式级数∑∞
=1
2n n a 称为级
数
∑∞
=1
n n
a
的偶子级数。

奇、偶子级数收敛判别法 若级数
∑∞
=-1
1
2n n a
与级数
∑∞
=1
2n n
a
都收敛，则级数
∑∞
=1
n n
a
收敛。

证明：设级数
∑∞
=-1
1
2n n a
、级数
∑∞
=1
2n n
a
与级数
∑∞
=1
n n
a
的n 项部分和数列分别为{}n A 、{}n B 和
{}n S 。

从而，有：n n n B A S +=2 已知级数
∑∞
=-1
1
2n n a
、级数
∑∞
=1
2n n
a
都收敛。

由部分和数列收敛判别法：
不妨设A A n n =∞
→lim ,B B n n =∞
→lim
从而，有：B A B A S n n n n n n +=+=∞
→∞
→∞
→lim lim lim 2
B A B A S n n n n n n +=+=-∞
→∞
→-∞
→112lim lim lim
所以，{}n S 的奇、偶子列收敛，且收敛于B A +。

所以，级数
∑∞
=1
n n
a
的n 项部分和数列{}n S 收敛，且收敛于B A +。

由部分和数列收敛判别法可知：级数
∑∞
=1
n n
a
收敛。

推广：任意子级数收敛判别法 若级数∑∞
=1
n n
a
的某一子级数类都收敛，则级数
∑∞
=1
n n
a
也收
敛。

说明：（1）子级数：将级数
∑∞
=1
n n
a
所定义的数列{}n a 中抽取无穷多个项，形成新的子数列
{}k
n a ，从而定义新的级数∑∞
=1k k
n n a。

则称
∑∞
=1
k k
n n a
为
∑∞
=1
n n
a
的子级数。

容易发现，子级数
∑∞
=1
k k
n n a
的部分和数列是级数
∑∞
=1
n n
a
部分和数列的子列。

（2）子级数类：级数
∑∞
=1
n n
a
的一系列子级数
∑∑∑∞
=∞
=∞
=1
1
1
11
11
k k n n n n n n a a
a 、、、 ，其部分和数
列{}{}{}k
21n n n S S S 、、、 恰好是级数∑∞
=1
n n
a
的部分和数列{}n S 的所有子列，且
k 21n n n n S S S S +++= 。

这样的一系列子级数∑∑∑∞
=∞
=∞
=1
1
1
1111k k n n n n n n a a a 、、、 称为子级数类。

（3）证明方法与方法四的证明类似。

方法五、Cauchy 收敛准则
Cauchy 收敛准则 级数
∑∞
=1
n n
u
收敛++∈∀>∀∈∃>∀⇔N p N n N N ,,,0ε,有
ε<+++++p n n n u u u 21
例3 证明：若021≥≥≥≥≥ n a a a ，且级数
∑∞
=1
n n
a
收敛，则0lim =∞
→n n na
分析：本题是奇子列、偶子列收敛，以及Cauchy 收敛准则的运用。

证明： 已知级数
∑∞
=1
n n
a
收敛，由Cauchy 收敛准则:
于是
++∈∀>∀∈∃>∀N p N n N N ,,,0ε，有：
ε<+++++p n n n a a a 21
从而，有：
ε2222022122<+++≤=≤++n n n n n a a a na na
ε22)1(2)12()12(0121121212<+++≤+≤+=+≤+++++n n n n n n a a a a n a n a n
从而，
0)12lim(2lim 122=+=+∞
→∞
→n n n n a n na
所以，
0lim =∞
→n n na
说明：夹逼定理和奇、偶子级数收敛判别法是部分和数列收敛判别法的推论，既是一般数项级数的收敛方法之一，也是其收敛性质之一。

这两种方法是通过笔者学习数列收敛后，归纳总结而出。

但是，这两种方法有着很大的局限性。

夹逼定理，要求有三个级数，且收敛于同一和，同时对于级数的每一项都满足特定的大小关系，条件较强。

奇、偶子级数收敛判别法可推广到任意子级数判别法；但是，在实际解题中，只有题目中有和数列的子数列等相关知识联系，才能有所建树。

4．2 正项数项级数的收敛方法
数项级数分类很多，其中同号级数、交错级数等都是数项级数的特殊形式。

前面所介绍的方法一、方法二、方法三、方法四、方法五可适合所有的数项级数的收敛判断。

那么对于正项数项级数，又有哪些收敛方法。

我们首先介绍同号级数的概念。

4．2．1 同号级数的定义
定义 4.1 同号级数是指级数
∑∞
=1
n n
u
的每一项n u 的符号都是非负或都是非正。

若
)21(0 ，，=≥n u n ，称级数∑∞
=1
n n u 是正项级数；若)21(0 ，，=≤n u n ，称级数∑∞
=1
n n u 是负项级
数。

于是，正项级数与负项级数具有相同的敛散性。

只需要讨论正项级数的收敛方法。

4．2．2 正项级数的收敛方法 方法六、有界性判别法
有界性判别法 正项级数
∑∞
=1
n n
u
收敛⇔它的部分和数列{}n S 有上界。

证明：)1充分性：根据部分和数列收敛判别法可知，部分和数列{}n S 收敛，则级数
∑∞
=1
n n
u
收敛。

而级数
∑∞
=1
n n
u
是正项级数，则其部分和数列{}n S 是单调递增的。

如果{}n S 有上界，由单
调有界公理可证{}n S 收敛，从而正项级数
∑∞
=1
n n
u
收敛。

)2必要性：正项级数
∑∞
=1
n n
u
收敛，则部分和数列{}n S 收敛。

而级数
∑∞
=1
n n
u
是正项
级数，则其部分和数列{}n S 是单调递增的。

由单调有界公理可知：部分和数列{}n S 有上界。

说明：有界性判别法是部分和数列收敛判别法在正项级数中的推广。

方法七、Cauchy 积分判别法
Cauchy 积分判别法有两种表述法。

表述一：
Cauchy 积分判别法 对正项级数
∑∞
=1
n n
u
，设数列{}n u 为单调减少的数列。

作一个连续
的单调减少的正值函数)0)((>x x f ，使当x 为自然数n 时，其值恰为n u ，即n u n f =)(那么级数∑∞
=1
n n u 与数列{}))((1
⎰=n
n n dx x f A A 敛散性一致。

证明： )0)((>x x f 连续且单调减少
∴⎰∑∑⎰
∑⎰
∑-=-=+=-=≤===≤n
n k n k k k
n n
k k
k n k k f dx x f dx x f A dx x f k f 1
1
1
1
1
1
2
1
2
)()()()()(
而
132
2)(u S u u u
k f n n n
k -=+++=∑=
n n n n k u S u u u
k f -=+++=--=∑121
1
1
)(
∴n n n n n S u S A u S ≤-≤≤-1 )(*
由已知得：数列{}n u 为单调减少有下界0，由单调有界公理可知：{}n u 收敛。

而由已知得：数列{}n A 、{}n S 单调增加，于是由)(*式可知： 若级数
∑∞
=1n n
u
收敛，则{}n S 收敛，从而n S 有界。

那么数列{}n A 收敛；
若级数
∑∞
=1
n n
u
发散，则{}n S 发散，从而n S 无界。

那么数列{}n A 发散。

反之，若{}n A 收敛，则{}n A 有界，那么{}n S 收敛，于是级数
∑∞
=1
n n
u
收敛；
若{}n A 发散，则{}n A 无界，那么{}n S 发散，于是级数
∑∞
=1
n n
u
发散。

从而，级数∑∞
=1
n n u 与数列{}))((1
⎰=n
n n dx x f A A 敛散性一致。

表述二：
Cauchy 积分判别法 设f 是[)+∞,a 上的一个单调减少的正值函数，其中a 为一正数)0(>a ,则级数∑∞
=+0)(n n a f 与反常积分⎰
+∞
a
dx x f )(互为敛散。

证明：由于f 是[]+∞,a 上的一个单调减少的正值函数，从而有：
∑⎰
∑⎰
∑∞
=+∞
∞
=+++∞
=+≤=≤+0
1
1
)()()()(n a
k k a k
a n n a f dx x f dx x f n a f
从而，级数
∑∞=+1)(n n a f 比级数∑∞
=+0
)(n n a f 少一项)(a f 。

从而，级数
∑
∞
=+0
)(n n a f 与反常积分⎰
+∞
a
dx x f )(互为敛散。

说明：由此很容易发现，两种表述方法虽然不同，但是实质是一样的。

其思想都是利用数项级数与无穷反常积分之间的关系—
⎰
∑⎰
-=+=n
n k k k
dx x f dx x f 1
1
1
1
)()(。

例4 【武汉大学，1998年硕士研究生入学试题】 设级数
∑∞
=1
2
n n a 收敛，证明：∑
∞
=2
ln n n n
n a
收敛。

分析：利用均值不等式、Cauchy 积分判别法、比较判别法。

利用导数作为工具，体现了函数思想，将级数与无穷积分联系起来。

证明：由均值不等式，可知：)ln 1
(2
1ln 02
2n n a n n a n n +≤<
令)1(ln 1
)(2
≥=
x x
x x f 则0ln )1(ln 1ln )ln 2(ln )('4
22
422≤+-=+-=x
x x x x x x x f 从而，)(x f 是[]+∞,1上的一个单调减少的正值函数。

而
⎰⎰
⎰
+∞+∞
+∞
-===122
22
2ln ln 1
ln 1)(dx x
x dx x x dx x f 由Cauchy 积分判别法可知：
∑∑∑∞
=∞
=∞
===+2
220ln 1
)()1(n n n n n n f n f 与⎰+∞2)(dx x f 互为敛散。

从而，级数
∑∞
=22
ln 1
n n
n 收敛。

而 已知级数
∑∞
=12n n
a
收敛
所以，级数
∑∞
=2
2n n
a
收敛。

由线性性可知：级数∑∞=+222)ln 1
(21n n n
n a 收敛
由比较判别法，可知：级数
∑
∞
=2
ln n n n
n a 收敛。

说明：根据Cauchy 积分判别法，很容易判断∑∞
=11
n p n 、∑∞=1)(ln 1n p n n 、 、∑∞
=1
)(ln ln 1n p
n n n 在1<p 时收敛；在1≥p 时发散。

方法八、比较判别法
比较判别法： 若对某个正整数N ，当N n ≥时，有：n n b a ≤≤0。

则
当级数
∑∞
=1n n
b
收敛时，级数
∑∞
=1n n
a
也收敛；
当级数
∑∞
=1
n n
a
发散时，级数
∑∞=1
n n
b
也发散。

（即口诀：“大收则小收，小发则大发”）
推论（比较判别法的极限形式） 设级数
∑∞
=1
n n
a
与级数
∑∞
=1
n n
b
是两个正项级数，并且
l b a n
n
n =∞→lim
，则
（1） 当+∞<<l 0时，两级数敛散性相同。

（2） 当0=l 时，由
∑∞
=1n n
b
收敛可得
∑∞
=1n n
a
也收敛，由
∑∞
=1n n
a
发散可得
∑∞
=1n n
b
发散。

（3） 当∞=l 时，由
∑∞=1
n n
a
收敛可得
∑∞=1
n n
b
也收敛，由
∑∞=1
n n
b
发散可得
∑∞=1
n n
a
发散。

例 5 设n x 为方程)(01+
∈=-+N n nx x n
的正根，定出α的范围，使∑∞
=1
n n
x α收敛。

证明：令[)+∞∈-+=,01)(x nx x x f n
，。

由[)+∞∈>+=-,00)('1
x n nx
x f n ，，知：)(x f 在[)+∞,0上严格增加。

又 0)1
(01)0(><-=n
f f ，
由零点定理可知：01)(=-+=nx x x f n
的唯一根n x 满足：n
x n 10<
< （1） 当1>α时，αα
n x n 1
0<<且级数∑
∞
=11n n
α收敛。

由比较判别法，知：
∑∞
=1
n n x α收敛
（2） 当1=α时，n
n n x n
n x 11-=。

由于n
x n 10<
< 所以，n n
n n
x 10<
<，即0lim =∞→n
n n x 。

因而 1)1(lim lim 1lim
=-==∞
→∞→∞→n
n n n n n n x nx n
x
已知级数∑∞
=11n n 发散，由比较判别法知，级数∑∞
=1
n n x α
发散。

（3） 当1<α时，由n n x x >α
及级数
∑∞
=1
n n
x
发散，知级数
∑∞
=1
n n x α发散。

综上所述，当1>α时，级数
∑∞
=1
n n
x
α收敛；当1≤α时，级数
∑∞
=1
n n x α发散。

说明：对于广义调和级数（P-级数）
∑∞
=1
1
n p n ，由比较判别法可知： ∑∞
=⎪
⎩⎪
⎨
⎧≤>11,11n p p p n ，发散
收敛
方法九、比率判别法（Alembert D J '∙ 判别法）
比率判别法（Alembert D J '∙ 判别法） 设级数
∑∞
=1
n n
a
为正项级数，并且
⎪⎩
⎪
⎨⎧>=<=+∞→，发散，无法判断，收敛
111lim
1q q q q a a n n n 补充定义：（上下极限） 设{}n x 是数列，则称{}k n N
k n n n x x x +∈∞→∞
→==sup lim lim *
为{}n x 的上极
限；且{}k n N
k n n n x x x +∈∞→∞
→==inf lim lim *
为{}n x 的下极限。

推论（比率判别法（Alembert D J '∙ 判别法）的上下极限形式） 设级数∑∞
=1
n n
a
为严格
正项级数，
（1） 如果1lim 1
<+∞→n n n a a ，那么级数∑∞
=1n n a 收敛；
（2） 如果1lim 1
>+∞→n
n n a a ，那么级数∑∞
=1n n a 发散。

证明： 对（1）中的情形，可选取ρ，使得：
1lim
1
<<+∞→ρn
n n a a
那么存在N n ∈0，0n n ≥∀，使得：
11
<<+ρn
n a a 对（2）中的情形，可选取λ，使得：
1lim
1
>>+∞→λn
n n a a
于是，存在N n ∈1，1n n ≥∀，使得：
11
>>+λn
n a a 从而可由比率判别法进行判断得出结论。

方法十、Cauchy 根值判别法
C a u c h y 根值判别法 设级数∑∞
=1n n a 为正项级数。

（1） 若存在正整数+∈N N 及正数1<q ，当N n >时，有：1<≤q a n n ，则级数
∑∞
=1
n n
a
收敛；
（2） 若有无限多个n ，使得1≥n n a ，则级数
∑∞
=1
n n
a
发散。

推论（Cauchy 根值判别法的极限形式） 设级数
∑∞
=1
n n
a
为正项级数，并且
q a n n n =∞
→lim
则：（1） 当1<q 时，
∑∞
=1
n n
a
收敛；
（2） 当1>q 时，
∑∞
=1n n
a
发散；
（3） 当1=q 时，
∑∞
=1
n n
a
的敛散性无法判断。

例 6 判别下列正项级数的敛散性： ∑∞
=-1
1
2
n n n
解： <方法一>:
12
1
22
1
lim lim
1
1<=
+=-∞
→+∞→n n
n n
n n n n a a 由Alembert D J '∙ 判别法可知：级数∑∞
=-1
1
2
n n n
收敛；
<方法二>：
12
122lim
lim <==∞
→∞
→n
n n n n n a 由Cauchy 根值判别法可知：级数
∑∞
=-1
1
2
n n n
收敛。

注：此题两种方法都可以，但明显Cauchy 根值判别法化简量少一些。

对于级数中带 有根式，用Cauchy 根值判别法最宜。

以-p 级数为比较原则，可得到Cauchy 根值判别法的推广I 、II ，Rabbe 判别法，
Gauss 判别法，对数判别法以及Kumner 判别法。

方法十一、Cauchy 根值判别法的推广
推广I ：设级数
∑∞
=1
n n
a
为正项级数，并且
α=-∞
→n
n
a n n n ln )
1(lim 则当1>α时，级数收敛；当1<α时，级数发散。

证明：1）当1>α时，取12
1
>+=
αp ，则总存在N ，当N n >时，使得：
1ln )
1(>≥-p n
n
a n n 所以，当N n >且N 充分大时，有：
n
p n
n p n
n n
e
n
n
p a 1ln 1ln =<-≤- 即)(1
N n n
a p n ><
由级数∑∞
=11
n p n 收敛，根据比较判别法可知：级数∑∞
=1
n n a 收敛。

2）当1<α时，则总存在N ，当N n >时，使得：
1ln )
1(<-n
n
a n n 所以，当N n >且N 充分大时，有：
n
n
n
n n n
n n
n e
n
n
a ln 1
ln 1)ln ln ln (=>->+- 即)(ln 1
N n n
n a n >>
由∑∞
=2ln 1
n n
n 发散，可知：级数∑∞
=1n n a 发散。

推广II : 设级数
∑∞
=1
n n
a
为正项级数，并且
β=--
∞
→n
n
a n n n n n ln ln )ln 1(lim 则当1>β时，级数收敛；当1<β时，级数发散。

证明：1）当1>β时，取121
>+=
βq ，则总存在N ，当N n >时，使得：
1ln ln )ln 1(>≥--
q n
n a n n n n 所以，当N n >且N 充分大时，有：
n
q
n
n
n n q n
n n n e
n
n
q n n a )
(ln 1
ln ln ln 1ln ln ln =<--≤--
即)()
(ln 1
N n n n a q
n ><
由级数∑∞
=1)
(ln 1
n q n n 收敛，根据比较判别法可知：级数∑∞
=1n n a 收敛。

2）当1<β时，则总存在N ，当N n >时，使得：
1ln ln )ln 1(<--
n
n
a n n n n 所以，当N n >且N 充分大时，有：
n
n
n
n n n n n
n n
n n e
n
n
n n a ln ln ln 1
ln ln ln 1)ln ln ln ln ln ln (=>-->++-
即)(ln ln ln 1
N n n
n n a n >>
由∑∞
=2ln ln ln 1
n n
n n 发散，根据比较判别法可知：级数∑∞
=1n n a 发散。

注：Cauchy 根值判别法的推广适用于级数∑∞
=1
n n a 的项中，含有
n
n
n n ln ln ln 、之 类的形式。

方法十二、Rabbe 判别法
Rabbe 判别法：设级数
∑∞
=1
n n
a
为正项级数，并且存在某自然数0N 及常数r 。

（1） 若对一切0N n >成立，不等式
1)1(1
>≥-
+r a a n n
n 则级数
∑∞
=1
n n
a
收敛；
（2） 若对一切0N n >成立，不等式
1)1(1
≤-
+n
n a a n
则级数
∑∞
=1
n n
a
发散。

证明：（1）若对一切0N n >成立，不等式
1)1(1
>≥-
+r a a n n
n 从而，有：
n
r
a a n n -≤+11 取r p <<1，则有：
1)1(l i m )1(1l i m )1
1(1l i m 100<=-=--=---→→∞→r
p r x p rx x n
r n p x p x p
n
所以，N n N N N >∀>∈∃+，0，有：p
n
n r )11(1-->
从而，p n n n
n r a a )1
1(11-<-≤+ 所以，
N p
p N N N n n n a N n a a a a a a )111()11(111+--<=
+++
N p
P
a n N )1(-=
而当1>p 时，级数
∑∞
=1
1
n p n 收敛。

由比较判别法，可知：级数
∑∞
=1
n n
a
收敛。

（2）若对一切0N n >成立，不等式
1)1(1
≤-
+n
n a a n 从而，
n
n a a n n 1
1-≥
+
于是，N n N N N >∀>∈∃+，0，有：
N N N N N n n n a n
a n n a a a a a a 1
!)!1(111>-≥=
+++ 已知级数∑∞
=11
n n
发散，由比较判别法，可知：级数∑∞
=1n n a 发散。

Rabbe 判别法的极限形式：设级数
∑∞
=1
n n
a
为正项级数，并且：
⎪⎩
⎪
⎨⎧<=>=-+∞→，级数收敛，无法判断，级数收敛
111)1(lim 1r r r r a a n n
n n 例 7 讨论级数S
n n n ∑∞
=⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡⋅⋅⋅-⋅⋅⋅1)2(42)12(31 ，当321，，=S 时的敛散情况。

分析：由于级数的项为S
n n n a ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=!)!2(!)!12(，便于比率化简。

很容易想到Alembert D J '∙ 判
别法。

思路一：Alembert D J '∙ 判别法：
1lim
1
=+∞→n
n n a a
无法判断。

所以，Alembert D J '∙ 判别法失效。

那么试用Rabbe 判别法。

思路二：Rabbe 判别法：S 的取值不同，考察)1(lim 1
n
n n a a n +∞
→-
与1的大小关系。

解：])2
212(1[lim )1(lim 1S
n n n n n n n a a n ++-=-
∞→+∞
→
当1=S 时，12
1
)]2212(1[lim )1(lim 1<=++-=-
∞→+∞
→n n n a a n n n n n
由Rabbe 判别法，可知：级数S
n n n ∑∞
=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⋅⋅⋅-⋅⋅⋅1)2(42)12(31 发散；
当2=S 时，1)
1(434lim ])2212(1[lim )1(lim 2221=++=++-=-∞→∞→+∞→n n
n n n n a a n n n n n n 无法判断；
当3=S 时，12
3
])2212(1[lim )1(lim 31>=++-=-
∞→+∞
→n n n a a n n n n n
由Rabbe 判别法，可知：级数S
n n n ∑∞
=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⋅⋅⋅-⋅⋅⋅1)2(42)12(31 收敛。

注：Rabbe 判别法可在Alembert D J '∙ 判别法失效的情况下优先考虑。

方法十三、Gauss 判别法
G a u s s 判别法：设级数∑∞
=1n n a 为正项级数，并且：
)ln 1
(ln 1n
n n n n a a n n ονμλ+++=+ 则关于级数
∑∞
=1
n n
a
的敛散性，有以下结果：
（1） 如果1>λ，那么级数
∑∞
=1
n n
a
收敛；如果1<λ，那么级数
∑∞
=1
n n
a
发散；
（2） 如果1=λ，1>μ，那么级数
∑∞
=1
n n
a
收敛；如果1=λ，1<μ，那么级数
∑∞
=1
n n
a
发
散；
（3） 如果1==μλ，1>ν，那么级数
∑∞
=1
n n
a
收敛；如果1==μλ，1<ν，那么级数
∑∞
=1
n n
a
发散。

证明：（1）由于
)ln 1
(ln 1n n n n n a a n n ονμλ+++=+，当∞→n 时， 1
lim +∞→n n n a a 的值取决于λ。

因此，当1>λ时，1lim
1
<+∞→n
n n a a
由Alembert D J '∙ 判别法，可知:级数
∑∞
=1
n n
a
收敛；
当1<λ时，1lim
1
>+∞→n
n n a a
由Alembert D J '∙ 判别法，可知:级数
∑∞
=1
n n
a
发散。

（2）由
)ln 1(ln 1n
n n n n a a n n ονμλ+++=+，当1=λ，∞→n 时，)1(lim 1-+∞→n n n a a n 的
值取决于μ。

当1=λ，1>μ时，1)1(
lim 1
>=-+∞
→μn n
n a a n 由Rabbe 判别法，可知：级数
∑∞
=1
n n
a
收敛；
当1=λ，1<μ时，1)1(
lim 1
<=-+∞
→μn n
n a a n 由Rabbe 判别法，可知：级数
∑∞
=1
n n
a
发散。

（3）我们以级数
∑
∑∞
==2)
(ln 1
n p
n n n b 作为比较判别的尺度。

计算得：
p
p
n n n n n n b b )(ln ))1)(ln(1(1++=
+ p n
n n n )ln )1
1ln(ln )(11(+++= p p
n n n )ln )11ln(1)(11(+++= ))ln 1(ln 11)(11(p
n n n n n ο++
+= )ln 1
(ln 11n
n n n p n ο++
+=
当1==μλ，1>ν时，那么可选定实数p ，使得：
ν<<p 1
这时级数
∑∑
=p
n n n b )
(ln 1
收敛，并且对充分大的n 有：
1
1++≤n n n n b b
a a 因而，级数
∑∞
=1
n n
a
收敛。

当1==μλ，1<ν时，那么可选定实数p ，使得：
1<<p ν
这时级数
∑∑
=p
n n n b )(ln 1
发散，并且对充分大的n 有：
1
1++≤n n n n b b
a a 因而，级数
∑∞
=1
n n
a
发散。

注：（1）对于1===νμλ的情形，Gauss 判别法未作任何一般性的结论；
（2）Rabbe 判别法是Gauss 判别法在11
≠=μλ，的情况下的特殊情形； （3）Alembert D J '∙ 判别法是Gauss 判别法在1≠λ的特殊情形。

Gauss 判别法的极限形式：级数
∑∞
=1
n n
a
为正项级数，并且：
⎪⎩
⎪
⎨⎧<=>=--+∞
→，级数发散
，无法判别，级数收敛
111ln )11(
lim 1
ββββn n n a a n n
n
例 8 高斯超几何级数定义为
∑
∞
=-++-++⋅-+++1
)1()1(!)1()1()1()1(1n n
x n n n n νννβββααα
设0>x ，，，νβα，试考察这级数的敛散情况。

解：我们有：
x n
n n n
x n n n n a a n n
1)1)(1()
1)(11(1))(())(1(1
++++=++++=+βανβαν 因为
)1(
1)1(21n n n
οα
α
+-=+-
)1(1)1(21
n
n n
οββ
+-=+
-
所以
))1
(11(121n
n x a a n n οβαν+--++=+ 由Gauss 判别法可知：
当1<x ，或者βαν+>=，1
x 时，那么级数收敛； 当1>x ，或者βαν+≤=，1
x 时，那么级数发散。

方法十四、对数判别法
对数判别法： 级数∑∞
=1
n n a 为正项级数，并且r n a n
n =∞→ln 1ln
lim
，则： （1） 当1>r 时，级数收敛； （2） 当1<r 时，级数发散。

分析：以广义调和级数（P-级数）
∑∞
=1
1
n p n 为基准。

证明：（1） 当1>r 时，取r r p <+=
<2
1
1，于是+∈∃N N ，当N n >时，有：
p n
a n
>ln 1ln
则有：
p
n n a 1<
而级数∑∞
=11
n p n
在r r p <+=<211时收敛，由比较判别法可知：级数∑∞
=1n n a 收敛； （2） 当1<r 时，于是+∈∃N N ，当N n >时，有：
1ln 1
ln
<n
a n
则有：
n
a n 1<
而级数∑∞
=11
n n
发散，有比较判别法可知：级数∑∞
=1n n a 发散。

方法十五、Kummer 判别法
Kummer 判别法： 级数∑∞
=1n n u 为正项级数，+∈∀N n ，0>n a 且+∞=∑
∞
=11
n n
a ，
若k a u u a k n n n
n
n n n =-=++∞
→∞
→)(lim lim 11
，则： （1） 当0>k 时，级数
∑∞
=1n n
u
收敛；
（2） 当0<k 时，级数
∑∞
=1
n n
u
发散。

分析：以Alembert D J '∙ 判别法为基础，寻找
1
1++n n n n a a
u u 与之间的关系。

证明：级数
∑∞
=1
n n u 为正项级数k a u u a k n n n
n
n n n =-=++∞
→∞
→)(lim lim 11。

（1） 当0>k 时，由k a u u a k n n n
n
n n n =-=++∞
→∞
→)(lim lim 11
于是，+∈∃N N ，N n >∀，使得：
011
>-++n n n
n
a u u a 即
1
1++<n n n n a a
u u 而+∞=∑∞
=11n n
a ；于是，111>>>∃>∃+p a a
N N p n n ，使得：， 故而，N n >∀，有：
p
a a u u n n n n 1
11<<++ 由Alembert D J '∙ 判别法可知：级数
∑∞
=1
n n
u
收敛。

（2） 当0<k 时，+∈∃N N ，N n >∀，使得：
011
<-++n n n
n
a u u a 即
1
1++>n n n n a a
u u 而+∞=∑
∞
=11
n n
a ，由比较判别法，可知：级数∑∞
=1n n u 发散。

注：当1=n a 时，即为Alembert D J '∙ 判别法；当n a n =时，即为Rabbe 判别法。