八年级数学下册 第18章 勾股定理单元复习课件 (新版)沪科版
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正解：10或2 7
典例突破1
在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B， ∠C的对边分别是a，b，c. （1）若a=3，b=4，则c=______. （2）若a=6，c=10，则b=_______. （3）若c=10，a︰b=8︰15，则
a=______，b=______. （4）若b=5, ∠B=30°，则c=________.
a2+b2=c2
2.勾股定理的应用
已知a、b，求c
c = a2 b2
已知a、c，求b
b= c2 a2
已知b、c，求a
a= c2 b2
易错题解析
若一个直角三角形的两边长分别为 6，8，则第三边长为__________.
错解：10
解析：两边长6和8未讲是直角边还是斜边， 应分8是最长边和第三边是最长边两种情况.
分析：（1）旗杆的绳子比旗杆多1m，也
就是线段_A__B_比线段_A_C_多1m. （2）绳子离开旗杆5m，即线段_B__C_=5m.
（3）若设旗杆的高为xm，则
AB=___(_x_+_1_)___m.
（4）根据勾股定理，你能得到怎样的方程？
(x+1)2=x2+52
解：设旗杆的高为xm， 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， ∵ AC2+BC2=AB2 ， 则有： (x+1)2=x2+52 解得 x=12 答：旗杆的高为12m.
解析：（1）c2=a2+b2=25，∴c=5 （2）b2=c2-a2=64，则b=8
（3）由a︰b=8︰15， 可设a=8x，b=15x（x＞0）， ∵c2=a2+b2，∴c=17x，又c=34，∴x=2， ∴a=16，b=30
（4）∵∠C=90°，∠B=30°， ∴c=2b=10
典例突破1
在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B， ∠C的对边分别是a，b，c.
9,40,41； …
易错题解析
一个三角形的三边长的比为1︰1︰ 2 ，
则该三角形的形状是_________三角形. 错解：直角
解析：既要用勾股定理的逆定理， 又要注意有两边相等.
正解：等腰直角
典例突破3
根据下列条件，判断△ABC是不是直角三角形：
（1）a= 2 +1，b= 2 -1，c= 6 ；
为了方便B、C之间的交通，在B、C之间 建成一条笔直的公路请按上述标准计算出B、 C之间公共汽车的票价为多少元？
分析：由于票价与路程成正比，
所以可将票价视为路程
来处理.
在△ABD中，由勾股定理的逆定理可得 ∠ADB=90°，再在Rt△BDC中由BD，CD可 求得BC.
解：在△ABD中，AB=10，AD=8，BD=6， ∴AD2+BD2=82+62=100
（2）a︰b︰c=13︰12︰5.
分析： 要先找出最长边，并算出它的平分，再算出 两条较短边的平方和，然后判断最长边的平 方是否等于两条较短边的平方和.
解（1）最长边为c= 6 ，
则c2=6.
∵a2+b2=( 2 +1)2+( 2 -1)2 =3+2 2 +3-2 2
=6 ∴c2=a2+b2 ∴△ABC是直角三角形.
分析：（1）怎样求AC的长？
在△ADC中用勾股定理求
（2）△ABC是什么形状的三角形？为什么？
直角三角形；根据勾股定理的逆定理
（3）怎样求四边形的面积呢？
△ADC与△ABC的面积之和
解：在Rt△ADC中，AD=13，DC=12，
∴AC= AD2 CD2= 132 122 =5.
又∵AB=3，BC=4，∴AB2+BC2=AC2 ∴∠B=90°
④在△ABC中，a，b，c为三边的长，其中c 为最长边. 若a2+b2=c2，则三角形为直角三角形； 若a2+b2＞c2，则三角形为锐角三角形； 若a2+b2＜c2，则三角形为钝角三角形.
⑤勾股数：能够成为直角三角形三条边长 度的三个正整数
如果m，n是任意给定的正整数 （m＞n），则m2+n2，2mn，m2-n2是勾 股数，又称毕达哥拉斯数 例如： 3,4,5； 5,12,13；
3.勾股定理的逆定理： 如果直角三角形三边长a、b、c满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形
在△ABC中，a，b，c为三边的长， 若a2+b2=c2，则∠C =90°； 若a2+c2=b2，则∠B =90°； 若c2+b2=a2，则∠A =90°.
4.勾股定理的逆定理应用
①判定一个三角形是否是直角三角形 ②证明两条线段垂直 ③解决实际问题
又AB2=102=100 ∴AD2+BD2=AB2 ∴∠ADB=90°，∠BDC=90°. 在Rt△BDC中，BC= BD2 DC2
= 62 4.52=7.5. 答：B、C之间公共汽车的票价为7.5元.
典例突破5
如图，在四边形ABCD中，AC⊥DC， AD=13cm，DC=12cm，AB=3cm， BC=4cm，求四边形ABCD的面积.
第18章 勾股定理
全章知识结构图
勾股定理
性质
勾
股
直角三角形
定
理
判定
勾股定理 的定理
定理 应用：求线段的
长度；解决 实际问题
定理 应用：证明两条
线段垂直； 解决实际问题
主要知识回顾
1.勾股定理： 直角三角形两条直角边的平 方和等于斜边的平方
如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，a，b，c为三 边的长，则有：
（2）设a=13k，b=12k，c=5k（k＞0） ∵最长边是a=13k ∴a2=(13k)2 =169k2
∵b2+c2=(12k)2+(5k)2 =169k2
∴a2=b2+c2 ∴△ABC是直角三角形.
典例突破4
如图，A、B、C、D是四个小城镇，除 BC外，它们之间都有笔直的公路连接，公 共汽车行驶于城镇之间，其票价与路程成 正比.已知各城镇间的公共汽车票价如下： A—B：10元；A—C：12.5元；A—D：8元； B—D：6元；C—D：4.5元.
（1）若a=3，b=4，则c=___5___. （2）若a=6，c=10，则b=___8____.
（3）若c=10，a︰b=8︰15，则
a=___1_6__，b=___3_0__. （4）若b=5, ∠B=30°，则c=____1_0___.
典例突破2
小明在测量学校旗杆的高时发现，旗杆 的绳子垂到地面上还多出1m，当他把绳子 拉直并把绳子的下端触地时，绳子离开旗 杆5m，请你帮他求出旗杆的高度.
典例突破1
在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B， ∠C的对边分别是a，b，c. （1）若a=3，b=4，则c=______. （2）若a=6，c=10，则b=_______. （3）若c=10，a︰b=8︰15，则
a=______，b=______. （4）若b=5, ∠B=30°，则c=________.
a2+b2=c2
2.勾股定理的应用
已知a、b，求c
c = a2 b2
已知a、c，求b
b= c2 a2
已知b、c，求a
a= c2 b2
易错题解析
若一个直角三角形的两边长分别为 6，8，则第三边长为__________.
错解：10
解析：两边长6和8未讲是直角边还是斜边， 应分8是最长边和第三边是最长边两种情况.
分析：（1）旗杆的绳子比旗杆多1m，也
就是线段_A__B_比线段_A_C_多1m. （2）绳子离开旗杆5m，即线段_B__C_=5m.
（3）若设旗杆的高为xm，则
AB=___(_x_+_1_)___m.
（4）根据勾股定理，你能得到怎样的方程？
(x+1)2=x2+52
解：设旗杆的高为xm， 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， ∵ AC2+BC2=AB2 ， 则有： (x+1)2=x2+52 解得 x=12 答：旗杆的高为12m.
解析：（1）c2=a2+b2=25，∴c=5 （2）b2=c2-a2=64，则b=8
（3）由a︰b=8︰15， 可设a=8x，b=15x（x＞0）， ∵c2=a2+b2，∴c=17x，又c=34，∴x=2， ∴a=16，b=30
（4）∵∠C=90°，∠B=30°， ∴c=2b=10
典例突破1
在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B， ∠C的对边分别是a，b，c.
9,40,41； …
易错题解析
一个三角形的三边长的比为1︰1︰ 2 ，
则该三角形的形状是_________三角形. 错解：直角
解析：既要用勾股定理的逆定理， 又要注意有两边相等.
正解：等腰直角
典例突破3
根据下列条件，判断△ABC是不是直角三角形：
（1）a= 2 +1，b= 2 -1，c= 6 ；
为了方便B、C之间的交通，在B、C之间 建成一条笔直的公路请按上述标准计算出B、 C之间公共汽车的票价为多少元？
分析：由于票价与路程成正比，
所以可将票价视为路程
来处理.
在△ABD中，由勾股定理的逆定理可得 ∠ADB=90°，再在Rt△BDC中由BD，CD可 求得BC.
解：在△ABD中，AB=10，AD=8，BD=6， ∴AD2+BD2=82+62=100
（2）a︰b︰c=13︰12︰5.
分析： 要先找出最长边，并算出它的平分，再算出 两条较短边的平方和，然后判断最长边的平 方是否等于两条较短边的平方和.
解（1）最长边为c= 6 ，
则c2=6.
∵a2+b2=( 2 +1)2+( 2 -1)2 =3+2 2 +3-2 2
=6 ∴c2=a2+b2 ∴△ABC是直角三角形.
分析：（1）怎样求AC的长？
在△ADC中用勾股定理求
（2）△ABC是什么形状的三角形？为什么？
直角三角形；根据勾股定理的逆定理
（3）怎样求四边形的面积呢？
△ADC与△ABC的面积之和
解：在Rt△ADC中，AD=13，DC=12，
∴AC= AD2 CD2= 132 122 =5.
又∵AB=3，BC=4，∴AB2+BC2=AC2 ∴∠B=90°
④在△ABC中，a，b，c为三边的长，其中c 为最长边. 若a2+b2=c2，则三角形为直角三角形； 若a2+b2＞c2，则三角形为锐角三角形； 若a2+b2＜c2，则三角形为钝角三角形.
⑤勾股数：能够成为直角三角形三条边长 度的三个正整数
如果m，n是任意给定的正整数 （m＞n），则m2+n2，2mn，m2-n2是勾 股数，又称毕达哥拉斯数 例如： 3,4,5； 5,12,13；
3.勾股定理的逆定理： 如果直角三角形三边长a、b、c满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形
在△ABC中，a，b，c为三边的长， 若a2+b2=c2，则∠C =90°； 若a2+c2=b2，则∠B =90°； 若c2+b2=a2，则∠A =90°.
4.勾股定理的逆定理应用
①判定一个三角形是否是直角三角形 ②证明两条线段垂直 ③解决实际问题
又AB2=102=100 ∴AD2+BD2=AB2 ∴∠ADB=90°，∠BDC=90°. 在Rt△BDC中，BC= BD2 DC2
= 62 4.52=7.5. 答：B、C之间公共汽车的票价为7.5元.
典例突破5
如图，在四边形ABCD中，AC⊥DC， AD=13cm，DC=12cm，AB=3cm， BC=4cm，求四边形ABCD的面积.
第18章 勾股定理
全章知识结构图
勾股定理
性质
勾
股
直角三角形
定
理
判定
勾股定理 的定理
定理 应用：求线段的
长度；解决 实际问题
定理 应用：证明两条
线段垂直； 解决实际问题
主要知识回顾
1.勾股定理： 直角三角形两条直角边的平 方和等于斜边的平方
如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，a，b，c为三 边的长，则有：
（2）设a=13k，b=12k，c=5k（k＞0） ∵最长边是a=13k ∴a2=(13k)2 =169k2
∵b2+c2=(12k)2+(5k)2 =169k2
∴a2=b2+c2 ∴△ABC是直角三角形.
典例突破4
如图，A、B、C、D是四个小城镇，除 BC外，它们之间都有笔直的公路连接，公 共汽车行驶于城镇之间，其票价与路程成 正比.已知各城镇间的公共汽车票价如下： A—B：10元；A—C：12.5元；A—D：8元； B—D：6元；C—D：4.5元.
（1）若a=3，b=4，则c=___5___. （2）若a=6，c=10，则b=___8____.
（3）若c=10，a︰b=8︰15，则
a=___1_6__，b=___3_0__. （4）若b=5, ∠B=30°，则c=____1_0___.
典例突破2
小明在测量学校旗杆的高时发现，旗杆 的绳子垂到地面上还多出1m，当他把绳子 拉直并把绳子的下端触地时，绳子离开旗 杆5m，请你帮他求出旗杆的高度.