浙江省宁波市2012-2013学年高二数学上学期期末考试试题 理 新人教A版

宁波万里国际学校中学2012-2013学年度第一学期期末考试
高二年级 理科数学试题卷
答卷时间：120分钟 满分：150分
注意：1. A 题供创新班学生及希望调整进入创新班的同学做；B 题供平行班同学做． 2. 参考公式：
棱锥的体积公式：V =3
1Sh
其中S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高 棱柱的体积公式 V =Sh 其中S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高 棱台的体积公式
V =)(312211S S S S h ++
其中S 1, S 2分别表示棱台的上、下底面积, h 表示棱台的高 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．若直线l 垂直于直线1=y ，则直线l 的倾斜角是
A ．
0 B ．
90 C ．
180 D ．不存在 2．若直线⊥a 平面α内两条直线，则直线⊥a 平面α；则它和它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 3． 2
π
α≠
是1sin ≠α的
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 4．已知b a ,表示直线，γβα,,表示平面，则以下命题中是真命题的有
①
//a b a b αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭ ②//a a b b αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭ ③βαγβγα//⇒⎭⎬⎫⊥⊥ ④βααβ⊥⇒⎭
⎬⎫
⊥//a a
A ．②④
B ．②③
C ．①④
D ．③④
5．已知焦点在y 轴上的椭圆1122=+y m x ，其离心率为2
3
，则实数m 的值是 A ．4
B ．
41 C ．4或41 D ．2
1 6．已知椭圆1532222=+n y m x 和双曲线13222
2
2=-n
y m x 有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是 A ．y x 2
15±
= B ．x y 2
15±
= C ．y x 4
3
±
= D ．x y 4
3±
= 7．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中的AB 与 CD 的位置关系为
A. 平行
B. 相交成60°角
C. 异面成60°角
D. 异面且垂直
8. 已知椭圆422
2
=+y x ,则以)1,1(为中点的弦的长度为 D
（第8题图）
A ．23
B ．32
C ．
3
30
D ．623 9.平面⊥ACD 平面B ,α为AC 的中点，2=AC ，
60=∠CBD ，
P 是α内的动点，且P 到直线BD 的距离为3，则APC ∆面积的最大值为
A ．32
B ．23+
C ．2
D ．3
10.（A 题）已知点P 是圆422=+y x 上一动点，直线l 是圆在P 点处的切线，动抛物线以直线l 为准线且恒经过定点)0,1(-A 和)0,1(B ，则抛物线焦点F 的轨迹为 A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线
（B 题）已知圆C 的方程为9)1(22=+-y x ，点P 为圆上一动点，定点)0,1(-A ，线段AP 的垂直平分线与直线CP 交于点M ，则为点M 的轨迹为
A ．椭圆
B ．双曲线
C ．抛物线
D ．圆 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 11．抛物线24x y =的焦点坐标是_______.
12．已知)0,5(),0,5(21F F -，动点),(y x P 满足10||||21=-PF PF ，则动点P 的轨迹方程 是 .
13．设变量y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-≥-≤+113
y y x y x ，则函数
y x z 24+=的最大值为 .
14．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为___________.
15．若P 是双曲线
164
362
2=-y x 的右支上一点，M ，N 分别是圆22(10)4x y ++=和22(10)1x y -+=上的点，则||||PM PN -的最大值为______.
16．（A 题）如图正方体1111ABCD A BC D -，则下列四个命题： ①P 在直线1BC 上运动时，三棱锥1A D PC -的体积不变； ②P 在直线1BC 上运动时，二面角1P AD C --的大小不变； ③P 在直线1BC 上运动时，直线AP 与平面1ACD 所成角的大小不变；
（第14题图）
A
④M 是平面1111A B C D 上到点D 和1C 距离相等的点，则M 点必在直线11A D 上其中真命题的编号是 （写出所有真命题的编号）. （B 题）如图，二面角l αβ--的大小是0
60，线 段AB α⊂.B l ∈，AB 与l 所成的角为030.则AB 与平面β所成的角的正弦值是 .
17．（A 题）有一个正四棱锥，它的底面边长与侧棱长均为a ，现用一张正方形包装纸将其
完
全包住（不能裁剪纸，但可折叠），那么包装纸的最小边长为_________. （B 题）在边长为a 的正方体1111D C B A ABCD -中，H G F E ,,, 分别是CD D D D C CC ,,,1111的中点，N 是BC 的中点，M 在四边形EFGH 上及其内部运动，若//MN 平面BD A 1， 则点M 轨迹的长度为______.
三、解答题（本大题共5小题，共69分）
18．（本题满分13分）已知命题p ：方程22
121
x y m m +=--的图象是焦点在y 轴上的双曲线； 命题q ：不等式01)2(442
>+-+x m x 在R x ∈上恒成立；又p q ∨为真，q ⌝为真，求
实
数m 的取值范围.
19．（本题满分14分）已知动圆过定点)0,1(Q ，且与定直线1-=x 相切. （1）求此动圆圆心P 的轨迹C 的方程；
（2）若过点)0,4(M 的直线l 与曲线C 分别相交于B A ,两点，若MB AM =2，求直线l 的方程．
20．（本题满分14分）已知⊙O ：2
2
1x y +=和定点(2,1)A ，由⊙O 外一点(,)P a b 向⊙O 引切线PQ ，切点为Q ，且满足PA PQ =．
（1）证明：()b a P ,在一条定直线上，并求出直线方程；
（2）若以P 为圆心所作的⊙P 与⊙O 有公共点，试求半径取最小值时的⊙P 方程． 21．（本小题满分14分）在如图所示的四棱锥P ABCD -中，已知 PA ⊥平面ABCD ，
//AB DC ，90DAB ∠=，1,2PA AD DC AB ====， M 为PB 的中点．
（1）求证：平面⊥PAC 平面PBC ；
•l
•α
B
β
（2）求二面角A PB C --的平面角的正切值．
22．（本题满分14分）．（A 题）如图，在椭圆)0(182
22>=+a y a
x 中，21,F F 分别是椭圆的 左右焦点，D B ,分别为椭圆的左右顶点，A 为椭圆在第一象限内弧上的任意一点，直线1AF 交y 轴于点E ，且点21,F F 三等分线段BD .
（1）若四边形2EBCF 为平行四边形，求点C 的坐标； （2
（B 题）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x
轴上，长轴长为（1）求椭圆C 的方程；
（2）设点)1,1(-A ,过原点O 的直线交椭圆于点C B 、
，求ABC ∆面积的最大值.
学年度第一学期期末考试 理科数学答题卷
（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A 10 B 答 案
（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
16. A题______________ B题______________;17. A题__________B题_________.
三、解答题：（本大题共5小题，共69分）
18.（本小题满分13分）
19. （本小题满分14分）
20. （本小题满分14分）
21. （本小题满分14分）
22. （本小题满分14分）请选择（A题）或（B
2012-2013学年度第一学期期末考试
高二理科数学参考答案
一、1.B 2.C 3.A 4.A 5.B 6.D 7.C 8.C 9.D 10.（A题）B;（B题）A
二、11.)161,
0(; 12.)5(0≥=x y ; 13. 10; 14. 3
35; 15.15; 16. （A 题）①②④; （B
（A 题）a 262+;（B
.
三、18. 解：∵方程
22
121
x y m m +=--是焦点在y 轴上的双曲线， ∴20
10
m m -<⎧⎨
->⎩，即2m > .故命题p ：2m >； …………………………3分
∵不等式01)2(442>+-+x m x 在R x ∈上恒成立，∴2[4(2)]4410m ∆=--⨯⨯<， 即2
430m m -+< ，∴13m <<.故命题q ：13m <<. …………………7分 ∵又p ∨q 为真，q ⌝为真， ∴p 真q 假. ………………………………9分
即213m m m >⎧⎨≤≥⎩
或，此时3m ≥；……12分 综上所述：{}3|≥m m .……13分
19.解：（1）由题意知，动圆圆心M 的轨迹C 的方程为：2
4y x =， …………6分 （2）设直线AB 的方程为：(4),(0)y k x k k =-≠存在且.
联立2(4)4y k x y x
=-⎧⎨=⎩，消去x ，得 24160ky y k --=，………………8分
显然216640k ∆=+>，设1122(,),(,)A x y B x y ， 则 124
y y k
+=
……① , 1216y y ⋅=-…….② ………10分
又12AM MB =，所以 121
2y y =-……….③
由①② ③消去12,y y ，得22k =,………12分
故直线l 的方程为y =-或y =+……………….………………14分 20.解：（1）连,
OP Q 为切点，PQ OQ ⊥，由勾股定理有222
PQ OP OQ =-
又由已知PQ PA =，故2
2
PQ PA =.即：22222()1(2)(1)a b a b +-=-+-. 化简得实数a 、b 间满足的等量关系为：230a b +-=.
所以，()b a P ,在直线032=-+y x 上. …………………………………….6分
（2）设圆P 的半径为R ，
圆P 与圆O 有公共点，圆O 的半径为1，
1 1.R OP R ∴-≤≤+即1R OP ≥-且1R OP ≤+………………………………9分
而2222269
(23)5()55
OP a b a a a =+=+-+=-+，…………………………..11分 故当6
5a =
时，min
3 5.5
OP =此时, 3235b a =-+=，min 3515R =-……………….13分
得半径取最小值时圆P 的方程为222633()()(51)555
x y -+-=-．……………….14分
21.解：（1）取AB 的中点H ，连接CH ，则CH AB ⊥∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥BC ，∵//AB DC ，90DAB ∠=，∴2==BC AC
又2
2
2
22AC BC AB AC BC +=+=∴⊥,
∴BC ⊥平面PAC ，⊂BC 平面PBC ，
∴平面PAC ⊥平面PBC ……………………….7分 （2）取AB 的中点H ，连接CH ，则由题意得
CH AB ⊥，又PA ⊥平面ABCD ，所以PA CH ⊥，
则CH ⊥平面PAB.所以CH PB ⊥,过H 作HG PB ⊥于G,连接CG ，则PB ⊥平面CGH, 所以,CG PB ⊥则CGH ∠为二面角A PB C --的平面角…………………………10分
2211,2, 5.PA CH AB PB PA AB =∴===+=
则
1
sin 5
PA GH BH PBA BH AB =∠=⋅
=，
tan 5CH
CGH GH
∴∠=
=……………………13分 故二
面角A PB C --的平面
角的正切值为
5.……………………………………………………………14分
22.（A 题）解：（1）21F F ， 三等分BD,BD F F 3121=∴，即a c 23
1
2⋅=，c a 3=…..1分
.30982
2222=∴>=∴=+=a a a b c b a ，，，
， ………………………3分 ()，，，，)01(031--∴F B 1F ∴为2BF 的中点， 若四边形2EBCF 为平行四边形，
E C ，∴关于()011，-
F 对称，设()00y x C ，，则()00x -2-y E ，，
E 在y 轴上，2-0--200==∴x x ，， …… 5分
H
()00y ，点x 在椭圆上，1892020=+
∴y x ， 20-=x 189420=+∴y ，解得3
10
20±=y ，依题意31020-
=y ， 因此点C 的坐标为)3
102,2(-- ……………………7分 （2）依题意直线AC 的斜率存在，
∴直线AC ：），（），，（，2211y A 1)(x y x C x k y += 由⎪⎩
⎪⎨⎧+==+
1)(x 189x 2
2k y y 得()()
08-k 918982222=+++x k x k ，
()
2
2212221988
-99818 -k
k x x k k x x +=+=+，， 111112121101
1-01-1-121h 21
1x x x x x k x k AE AF h
AE AF S S m AE O AF +=+=++====∆∆ 222222222211--1-1x -01-1-12121
1x x x x x x k x k CE CF h
CE h CF S S n CEO O CF +==+=++====∆∆ ()()2
12
121212112221121111x x x x x x x x x x x x x x x x n m ++=
+++=+++=
+ ()
816816)8(228-2-29-88-99818-22222222
222
2121--
=-+--=+=++=++=k k k k k k k k k x x x x ……….12分
点A 在第一象限，802<<∴k ，令，8-16-t 2k =则，，816-8016-82
<<∴=t
t k 即2
1
10<<
t 解得2>t ，故n m +的取值范围是2>t ………………………………….14分 （B 题）解：（1）设椭圆C 的方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>.
由题意，得2a c a
⎧=⎪⎨=
⎪⎩
，解得1a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩2
2b =. …………………………3分 所求的椭圆方程为22132
x y +=. …………………………………………………4分
（2）当BC 垂直于x 轴时，因点)1,1(-A ,2,22||=
=∆ABC S BC ………………8分
当BC 不垂直于x 轴时，设该直线方程为kx y =，代入22
132
x y
+=，得22326k x +=，
23162||12||22
2
++⋅=+=k k x k BC , 又点A 到BC 的距离21|1|k
k d ++=， 231
61223)1(62
3|1|6||212222+++⋅=++⋅=++⋅=⋅=∆k k k k k k d BC S ABC
………11分 设t k =+16，得52
2512
1225
212122
≤-++⋅=+-+
⋅=
∆t
t t t t
S ABC ，此时
3
2=
k ，综上知当
3
2=
k 时
ABC
∆面积
有
最
大
值
为
5……………………………………………14分。