山东省济南市高二数学下学期期末试卷文(含解析)

山东省济南市高二数学下学期期末试卷文（含解析）一、选择题（共50分）
1．若集合M={x|x＞2}，n={x|1＜x≤3}，则N∩（∁R M）等于（）
A．（1，2] B．[﹣2，2] C．（1，2）D．[2，3]
2．已知复数z满足（3+i）z=4﹣2i，则复数z=（）
A．1﹣i B．1+i C．2+i D．2﹣i
3．设函数f（x）=x4+x﹣1，则f′（1）+f′（﹣1）等于（）
A．﹣2 B．﹣4 C．4 D．2
4．已知函数f（x）为R上的奇函数，当x＞0时，则f（x）=，则f（﹣4）等于（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．不存在
5．设函数f（x）=，若f（x0）＞1，则x0的取值范围是（）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）
6．在△ABC中，若，则△ABC的形状一定是（）
A．等腰三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．直角三角形
7．已知与是非零向量且满足（﹣6）⊥，（2﹣3）⊥，则与的夹角是（）A．B．C．D．
8．若函数f（x）=x2+alnx在区间（1，+∞）上存在极小值，则（）
A．a＞﹣2 B．a≥﹣2 C．a＜﹣2 D．a≤﹣2
9．已知函数f（x）=sin2（ωx）﹣（ω＞0）的最小正周期为，若将其图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0），所得图象关于原点对称，则实数a的最小值为（）A．B． C．D．
10．设函数f（x）在R上存在导函数f′（x），对于任意的实数x，有f（x）=3x2﹣f（﹣x），当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）+＜3x，若f（m+3）﹣f（﹣m）≤9m+，则实数m的取值范围是（）
A．[﹣，+∞） B．[﹣，+∞） C．[﹣1，+∞）D．[﹣2，+∞）
二、填空题(共25分）
11．命题“∀x∈R，lg（x2+1）﹣x＞0“的否定为．
12．1﹣2sin267.5°=．
13．若=， =（，则λ的值为．
14．函数f（x）=e x+x2﹣x在区间[﹣1，1]上的值域为．
15．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b=3，c=1，A=2B，则cosB的值为．
三、解答题
16．已知指数函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1）过点（﹣2，9）
（1）求函数f（x）的解析式
（2）若f（2m﹣1）﹣f（m+3）＜0，求实数m的取值范围．
17．设p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+）的定义域为R； q：2x﹣4x对一切实数x 恒成立．如果命题“p且q“为假命题，求实数a的取值范围．
18．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求图中a，b的值及函数f（x）的递减区间．
19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA=sinB，c=6，B=30°．（1）求b的值；
（2）求△ABC的面积．
20．设向量=（1，2cosθ），=（m，﹣4），θ∈（﹣，）．
（1）若m=﹣4，且A、B、C三点共线，求θ的值；
（2）若对任意m∈[﹣1，0]，•≤10恒成立，求sin（θ﹣）的最大值．21．已知曲线f（x）=在x=0处的切线方程为y=x+b．
（1）求a，b的值；
（2）若对任意x∈（，），f（x）＜恒成立，求m的取值范围．
2015-2016学年山东省济南市高二（下）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共50分）
1．若集合M={x|x＞2}，n={x|1＜x≤3}，则N∩（∁R M）等于（）
A．（1，2] B．[﹣2，2] C．（1，2）D．[2，3]
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】根据补集与交集的定义，进行化简、运算即可．
【解答】解：集合M={x|x＞2}，n={x|1＜x≤3}，
∴∁R M={x|x≤2}，
∴N∩（∁R M）={x|1＜x≤2}=（1，2]．
故选：A．
2．已知复数z满足（3+i）z=4﹣2i，则复数z=（）
A．1﹣i B．1+i C．2+i D．2﹣i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的运算性质即可得出．
【解答】解：∵（3+i）z=4﹣2i，∴z====1﹣i，
故选：A．
3．设函数f（x）=x4+x﹣1，则f′（1）+f′（﹣1）等于（）
A．﹣2 B．﹣4 C．4 D．2
【考点】导数的运算．
【分析】求函数的导数，利用代入法直接求解即可．
【解答】解：函数的导数f′（x）=4x3+1，
则f′（1）+f′（﹣1）=4+1﹣4+1=2，
故选：D．
4．已知函数f（x）为R上的奇函数，当x＞0时，则f（x）=，则f（﹣4）等于（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．不存在
【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．
【分析】由已知中当x＞0时，f（x）=，可以求出f（4）的值，再由函数y=f（x）是定义域为R的奇函数，可得f（﹣x）=﹣f（x）进而得到答案．
【解答】解：∵当x＞0时，f（x）=，
∴f（4）=2．
又∵函数y=f（x）是定义域为R的奇函数，
∴f（﹣x）=﹣f（x）
则f（﹣4）=﹣f（4）=﹣2
故选：B．
5．设函数f（x）=，若f（x0）＞1，则x0的取值范围是（）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）
【考点】分段函数的应用．
【分析】由分段函数式，讨论x0≤0，x0＞0，运用指数函数的单调性，解不等式，即可得到所求解集．
【解答】解：若x0≤0，f（x0）＞1即为3﹣2＞1，
即3＞3，可得﹣x0＞1，即x0＜﹣1；
若x0＞0，f（x0）＞1即为x0﹣1＞1，
解得x0＞2．
综上可得，x0的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．
故选：C．
6．在△ABC中，若，则△ABC的形状一定是（）
A．等腰三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．直角三角形
【考点】正弦定理．
【分析】由已知及正弦定理可得a2=b2，进而可得a=b，从而可判断三角形的形状为等腰三角形．
【解答】解：在△ABC中，∵，
∴=，
∴由正弦定理可得： ===，可得：a2=b2，
∴a=b．
故选：A．
7．已知与是非零向量且满足（﹣6）⊥，（2﹣3）⊥，则与的夹角是（）
A．B．C．D．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据向量垂直的充要条件便可得出，进行数量积的运算，并整理即可得到，
，这样两式联立即可求出的值，从而得出与
的夹角．
【解答】解：根据条件：，；
∵；
∴，；
∴；
∴；
∴；
∴的夹角为．
故选：B．
8．若函数f（x）=x2+alnx在区间（1，+∞）上存在极小值，则（）
A．a＞﹣2 B．a≥﹣2 C．a＜﹣2 D．a≤﹣2
【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】求导数，设g（x）=2x2+a，利用函数f（x）=x2+alnx在区间（1，+∞）上存在极小值，可得g（1）=2+a＜0，即可求出a的取值范围．
【解答】解：∵f（x）=x2+alnx，
∴f′（x）=（x＞0）．
设g（x）=2x2+a，
∵函数f（x）=x2+alnx在区间（1，+∞）上存在极小值，
∴g（1）=2+a＜0，
∴a＜﹣2．
故选：C．
9．已知函数f（x）=sin2（ωx）﹣（ω＞0）的最小正周期为，若将其图象沿x轴向
右平移a个单位（a＞0），所得图象关于原点对称，则实数a的最小值为（）
A．B． C．D．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．
【分析】由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用余弦函数的周期性，求得ω的值，可得函数的解析式，利用函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，求得a的最小值．
【解答】解：∵f（x）=sin2（ωx）﹣
=﹣
=﹣cos2ωx，
∴=，解得：ω=2，
∴f（x）=﹣cos4x，
∵将函数f（x）图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0），得到的新函数为g（x）=﹣cos
（4x﹣4a），
∴cos4a=0，
∴4a=kπ+，k∈Z，
当k=0时，a的最小值为．
故选：D．
10．设函数f（x）在R上存在导函数f′（x），对于任意的实数x，有f（x）=3x2﹣f（﹣x），当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）+＜3x，若f（m+3）﹣f（﹣m）≤9m+，则实数m的取值范围是（）
A．[﹣，+∞） B．[﹣，+∞） C．[﹣1，+∞）D．[﹣2，+∞）
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】利用构造法设g（x）=f（x）﹣x2，推出g（x）为奇函数，判断g（x）的单调性，
然后推出不等式得到结果．
【解答】解：∵f（x）=3x2﹣f（﹣x），
∴f（x）﹣x2+f（﹣x）﹣x2=0，
设g（x）=f（x）﹣x2，则g（x）+g（﹣x）=0，
∴函数g（x）为奇函数．
∵x∈（﹣∞，0）时，f′（x）+＜3x，
g′（x）=f′（x）﹣3x＜﹣，
故函数g（x）在（﹣∞，0）上是减函数，
故函数g（x）在（0，+∞）上也是减函数，
若f（m+3）﹣f（﹣m）≤9m+，
则f（m+3）﹣（m+3）2≤f（﹣m）﹣m2，
即g（m+3）＜g（﹣m），
∴m+3≥﹣m，解得：m≥﹣，
故选：B．
二、填空题(共25分）
11．命题“∀x∈R，lg（x2+1）﹣x＞0“的否定为∃x∈R，lg（x2+1）﹣x≤0．
【考点】命题的否定．
【分析】利用全称命题的否定是特称命题，直接写出命题的否定即可．
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题：“∀x∈R，lg（x2+1）﹣x＞0“的否定为：∃x∈R，lg（x2+1）﹣x≤0．
故答案为：∃x∈R，lg（x2+1）﹣x≤0．
12．1﹣2sin267.5°=．
【考点】二倍角的余弦．
【分析】根据二倍角的余弦公式变形化简1﹣2sin267.5°，由特殊角的余弦值求出答案．【解答】解：1﹣2sin267.5°=cos（2×67.5°）=cos135°
=﹣cos45°=，
故答案为：．
13．若=， =（，则λ的值为﹣．
【考点】向量数乘的运算及其几何意义．
【分析】根据平面向量的线性表示与运算法则，列出方程求出λ的值．
【解答】解：因为=， =（，
所以=+
=+
=
=﹣
=（λ+1），
所以﹣=λ+1，
解得λ=﹣．
故答案为：﹣．
14．函数f（x）=e x+x2﹣x在区间[﹣1，1]上的值域为[1，e] ．
【考点】函数的值域．
【分析】求函数的导数，研究函数的单调性和最值，即可得到结论．
【解答】解：函数的导数f′（x）=e x+2x﹣1，
由f′（x）=e x+2x﹣1＜0得x＜0，
由f′（x）=e x+2x﹣1＞0，得x＞0，
即当x=0时，函数取得极小值同时也是最小值f（0）=1，
f（1）=e+1﹣1=e，f（﹣1）=e﹣1+1+1=2+＜f（1），
∴函数的最大值为e，
j即函数的值域为[1，e]，
故答案为：[1，e]．
15．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b=3，c=1，A=2B，则cosB的值为．
【考点】正弦定理．
【分析】利用正弦定理，二倍角公式结合已知可得，整理得a=6cosB，由余弦定理可解得a的值，可求cosB的值．
【解答】解：∵A=2B，，b=3，c=1，
∴可得：，可得：a=6cosB，
∴由余弦定理可得：a=6×，
∴a=2，
∴cosB==．
故答案为：．
三、解答题
16．已知指数函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1）过点（﹣2，9）
（1）求函数f（x）的解析式
（2）若f（2m﹣1）﹣f（m+3）＜0，求实数m的取值范围．
【考点】指数函数的图象与性质．
【分析】（1）将点（﹣2，9）代入到f（x）=a x解得a的值，即可求出解析式
（2）根据指数函数为减函数，构造不等式，解得即可
【解答】解：（1）将点（﹣2，9）代入到f（x）=a x得a﹣2=9，解得a=，
∴f（x）=
（2）∵f（2m﹣1）﹣f（m+3）＜0，
∴f（2m﹣1）＜f（m+3），
∵f（x）=为减函数，
∴2m﹣1＞m+3，
解得m＞4，
∴实数m的取值范围为（4，+∞）
17．设p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+）的定义域为R； q：2x﹣4x对一切实数x
恒成立．如果命题“p且q“为假命题，求实数a的取值范围．
【考点】复合命题的真假．
【分析】p：由题意可得：ax2﹣x+＞0恒成立，对a分类讨论：a=0时不满足，舍去；a ≠0时，，解得a范围．对于命题q：g（x）=2x﹣4x=+，
可得，解得a范围．若命题“p且q“为真命题，则p与q都为真命题，求得a 范围．由于“p且q“为假命题，则p与q至少一个为假命题，即可得出．
【解答】解：∵p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+）的定义域为R，
∴ax2﹣x+＞0恒成立，a=0时不满足，舍去；
a≠0时，，解得a＞3．
对于命题q：g（x）=2x﹣4x=+，∴，解得a．
若命题“p且q“为真命题，则p与q都为真命题，于是，解得a＞3．
由于“p且q“为假命题，则p与q至少一个为假命题，∴a≤3．
∴实数a的取值范围是（﹣∞，3]．
18．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求图中a，b的值及函数f（x）的递减区间．
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．
【分析】（1）根据三角函数的图象确定A，ω和φ的值即可．
（2）根据三角函数的图象进行求解即可．
【解答】解：由图象知A=2， =﹣（﹣）=，则T=π，
即=π，则ω=2，
即f（x）=2sin（2x+φ），
∵f（﹣）=2sin[2×（﹣）+φ]=﹣2，
即sin（﹣+φ）=﹣1，
∵|φ|＜，∴﹣＜φ＜，
∴﹣＜φ﹣＜﹣，
则φ﹣=﹣，
即φ=，
∴f（x）=2sin（2x+）．
（2）∵函数的周期T=﹣a=π，
∴a=﹣，
b=f（0）=2sin=2×=1．．
由+2kπ≤2x+≤+2kπ（k∈Z）得： +kπ≤x≤+kπ（k∈Z），即函数的单调递减区间为[+kπ， +kπ]，（k∈Z）
19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA=sinB，c=6，B=30°．（1）求b的值；
（2）求△ABC的面积．
【考点】正弦定理．
【分析】（1）由已知及正弦定理可得a=，利用余弦定理可得b2﹣9b+18=0，从而可求b 的值．
（2）由（1）可求b，a的值，分类讨论利用三角形面积公式即可计算得解．
【解答】解：（1）由正弦定理可得：，可得：a=，…2分
由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，即b2=3b2+36﹣2×，…4分
整理可得：b2﹣9b+18=0，解得：b=6或3…6分
（2）当b=6时，a=6，所以S=acsinB=9…9分
当b=3时，a=3，所以S=acsinB=…12分
20．设向量=（1，2cosθ），=（m，﹣4），θ∈（﹣，）．
（1）若m=﹣4，且A、B、C三点共线，求θ的值；
（2）若对任意m∈[﹣1，0]，•≤10恒成立，求sin（θ﹣）的最大值．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】（1）由题意可得∥BC，即=，求得cosθ 的值，可得θ的值．（2）由题意可得m2+m+16﹣8cosθ≤10恒成立，根据m2+m≤0，可得16﹣8cosθ≤10恒成立，求得cosθ≥，从而求得sin（θ﹣）=﹣cosθ 的最大值．
【解答】解：（1）若m=﹣4，向量=（1，2cosθ），=（﹣4，﹣4），θ∈（﹣，），由A、B、C三点共线，可得∥BC，即=，求得cosθ=，θ=±．
（2）若对任意m∈[﹣1，0]，•=（1+m，2cosθ﹣4）•（m，﹣4）=m（m+1）+16﹣
8cosθ=m2+m+16﹣8cosθ≤10恒成立，
∵m2+m≤0，∴16﹣8cosθ≤10恒成立，求得cosθ≥．
故sin（θ﹣）=﹣sin（﹣θ）=﹣cosθ≤﹣，故sin（θ﹣）的最大值为﹣．
21．已知曲线f（x）=在x=0处的切线方程为y=x+b．
（1）求a，b的值；
（2）若对任意x∈（，），f（x）＜恒成立，求m的取值范围．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）求出函数的导数，计算f（0），f′（0），从而求出a，b的值即可；
（2）问题转化为m＞3x2﹣6x且m＜+3x2﹣6x，对任意x∈（，）恒成立，根据函数的单调性求出m的范围即可．
【解答】解：（1）由题意得：f′（x）=，
∵曲线y=f（x）在x=0处的切线方程是y=b+b，
∴f′（0）=a=1，即a=1，又f（0）=0，从而b=0；
（2）由（1）得：f（x）=＜对任意x∈（，）恒成立，
∴m＞3x2﹣6x对任意x∈（，）恒成立，
从而m≥﹣，
而不等式整理为：m＜+3x2﹣6x，
令g（x）=+3x2﹣6x，则g′（x）=（x﹣1）（+6），
令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得：x＜1，
∴g（x）在（，1）递减，在（1，）递增，
∴g（x）min=g（1）=e﹣3，
∴m的范围是[﹣，e﹣3）．。