山东省青岛市2014届高三第二次模拟考试数学(理科)试题(有答案)

高三自评试题
数学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 1231. R ()A
B =
A ．{|x 10}x -<≤ 2. 为虚数单位，则a b += A ．4-
3. 数列
A ．5
B ．1-
C ．0
D ．1
4. 函数()si ()n f x A x ωϕ＝＋（000A ωϕπ>><<，，
)的图象如图所示，则()4
f π
的值为
A B ．0 C ．1 D
5. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线:10l x ky -+=与圆2
2
:4C x y +=相交于
, A B 两点，OM OA OB =+．若点M 在圆C 上，则实数k =
A ．2-
B ．1-
C ．0
D ．1
6.
值是
A ．0 7. 设n 中x A ．4 8. 且a >A ．(9. 10. 方程(f A. 4个
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 抛物线2
14
y x =
的焦点坐标为 ；
； 已知||2, |4a b =，以, a b ，则a 和b 的夹角在某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中位男生.如果2位男（Ⅰ）求函数(3)1y f x =-+的最小正周期和单调递减区间；
（Ⅱ）已知ABC ∆中的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若锐角A 满足
(
)26
A f π
-=7a =，sin sin B C +=ABC ∆的面积．
17．（本小题满分12分）
某大型公益活动从一所名牌大学的四个学院中选出了18名学生作为志愿者，参加相关的活 动事宜．学生来源人数如下表：
学院 外语学院
生命科学学院
化工学院
艺术学院
人数
4 6 3 5
18．⊥AE 19．2n 20．OQ 的平行线交曲线C 于,M N 两个不同的点.
（Ⅰ）求曲线C 的方程；
（Ⅱ）试探究||MN 和2
||OQ 的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数，若不能，请
说明理由；
A
（Ⅲ）记2QF M ∆的面积为1S ，2OF N ∆的面积为2S ，令12S S S =+，求S 的最大值. 21．（本小题满分14分）
已知函数3
2
()(R)f x x x x =-+∈，()g x 满足()(R,>0)a
g x a x x
'=∈，且()g e a =，e 为自然对数的底数． （Ⅰ）已知1()()x h x e
f x -=，求()h x 在(1,(1))h 处的切线方程；
（Ⅱ）若存在[1,]x e ∈，使得()g x ≥2
(2)x a x -++成立，求a 的取值范围；
（Ⅲ）设函数(),1
()(),1f x x F x g x x <⎧=⎨≥⎩
，O 为坐标原点，若对于()y F x =在1x ≤-时的图象
上的任一点P ，在曲线()y F x =(R)x ∈上总存在一点Q ，使得0OP OQ ⋅<，且PQ 的中点在y 轴上，求a 的取值范围．
高三自评试题
数学（理科）参考答案及评分标准
11.16. 解：（Ⅰ）
sin 2= y f ∴=y f ∴= 由2k πy f ∴=
∵02
A π<<
，∴3
A π
=
．由正弦定理得：sin sin sin b c
B C A a
++=
，
即
1472
b c +=⨯，∴13b c += ……………………………………………………9分
由余弦定理222
2cos a b c bc A =+-得：22
()22cos a b c bc bc A =+--，
即491693bc =-，∴40bc = ………………………………………………………11分
∴11sin 4022ABC S bc A ∆=
=⨯=
…………………………………………12分 17．
解: (Ⅰ)则()P A (Ⅱ) ξ(P η=(P η=(P η=
所以η 所以9156217()135153153519
E η=⨯
+⨯+⨯=. ……………………………………………12分 18．（本小题满分12分）
证明：(Ⅰ)连结BD 和AC 交于O ，连结OF ， …………………………………………1分
ABCD 为正方形，∴O 为BD 中点，F 为DE 中点，
BE OF //∴，…………………………………………………………………………………3分
BE ⊄平面ACF ，OF ⊂平面ACF
//BE ∴平面ACF ．…………………………………………………………………………4分
(Ⅱ)
AE ∴AE
∴CD DE ∴以D 则E AE AE 22CD =，(0,22,0)C ∴由为正方形可得：(2,2DB DA DC =+=设平面的法向量为111(,n x y =(0,22,BE =--(1,0,0)FE =
由1100
n BE n FE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩111220y z x -⇒=1(0,1,n ∴= ……………………………………………………………………………8分
设平面BCF 的法向量为2222(,,)n x y z =，
(2,0,2)BC =--，(1,CF =-
由222222220000x z n BC x n CF ⎧--=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎪⎪⎩⎩
，令21y =
，则2x =
，2z =-
2(22,1,n ∴=- ……………………………………………………………………10分
设二面角C BF E --的平面角的大小为θ，则
1212||||n n ⋅=-
是以a =
21321242()()
n n n T a a a a a a -∴=+++++++
111
1()[1()]
322231121122
n n n --=+=--- ………………………………………………………12分
20．（本小题满分13分）
解：（I ）设圆心P 的坐标为(,)x y ，半径为R
由于动圆P 与圆221:(3)81F x y ++=相切，且与圆22
2:(3)1F x y -+=相内切，所以动 圆P 与圆22
1:(3)81F x y ++=只能内切
||PF ⎧∴⎨
⎩ ∴圆心
a
∴=故圆心 （II
由216x x ⎧⎪⎨⎪⎩||OQ ∴
由216x x =⎧⎪⎨⎪⎩121222
4249
,716716
m y y y y m m ∴+=-
=-++ ∴||MN ==21|y y =-=
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2256(1)716m m +==+………………………………8分 ∴2222256(1)
||1716112(1)||2
716
m MN m m OQ m ++==++ ∴ （到直线:MN 令S 7t t +≥ ∴ （Ⅰ）h (1)0h ∴=，(1)1h '=-
∴()h x 在(1,(1))h 处的切线方程为：(1)y x =--，即1y x =-+………………………4分 （Ⅱ）()(R,>0)a g x a x x
'=∈，()ln g x a x c ∴=+ ()ln 0g e a e c a c a c ∴=+=+=⇒=，从而()ln g x a x =……………………………5分
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由()g x ≥2(2)x a x -++得：2
(ln )2x x a x x -≤-． 由于[1,]x e ∈时，ln 1x x ≤≤，且等号不能同时成立，所以ln x x <，ln 0x x ->． 从而22ln x x a x x -≤-，为满足题意，必须2max 2()ln x x a x x
-≤-． ………………………………6分 设
()t x x ∈从而(t '所以(t x PQ t ≤-2OP OQ t at ⋅=--由于0OP OQ ⋅<，所以 当t =- 当t <-令()(1)ln()
t t t ϕ=--(1)t <-，则2()[(1)ln()]t t t t ϕ'=-- 1t <-，10, ln()0t t t ∴-<-<，()0t ϕ'∴>，从而1()(1)ln()t t t ϕ=
--在(,1)-∞-上为增函数，由于t →-∞时，1()0(1)ln()
t t t ϕ=→--，()0t ϕ∴>，0a ∴≤
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千教网（ ） 打造全国最全最大的教育资源免费下载基地 综上可知，a 的取值范围是(,0] ．……………………………………………………14分。