(试卷合集3份)2023届广东省中山市高二数学下学期期末学业质量监测试题

同步练习
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图是导函数()y f x '=的图象，则()y f x =的极大值点是（ ）
A ．1x
B ．2x
C ．3x
D ．4x
2．i 是虚数单位，则12i
i
-的虚部是（ ） A ．-2
B ．-1
C ．i -
D ．2i -
3．抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A ：“甲骰子的点数大于3”；事件B ：“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，则P （B /A ）的值等于（ ） A ．
118
B ．
19
C ．
16
D ．
13
4．在极坐标系中，O 为极点，曲线2cos 1ρθ=与3
π
θ=射线的交点为A ，则OA =（ ）
A ．2
B ．2
C ．
12
D ．
22
5．如图的三视图表示的四棱锥的体积为
32
3
，则该四棱锥的最长的棱的长度为（ ）
A ．42
B ．217
C ．6
D ．36．命题“2
1,3,204x x a ⎡⎤∀∈--≤⎢⎥⎣⎦
”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A ．9a ≥
B ．8a ≤
C ．6a ≥
D ．7a ≤
7． “已知函数()()2
f x x ax a a R =++∈，求证：()1f 与()2f 中至少有一个不少于12
.”用反证法
证明这个命题时，下列假设正确的是（ ） A ．假设
()112f ≥
且()122
f ≥
B ．假设()112f <且()122
f < C ．假设
()1f 与()2f 中至多有一个不小于12
D ．假设
()1f 与()2f 中至少有一个不大于1
2
8．如图，线段AB=8，点C 在线段AB 上，且AC=2，P 为线段CB 上一动点，点A 绕着C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D ，设CP=x ，△CPD 的面积为f （x ）．求f （x ）的最大值（ ）．
A ．
B ． 2
C ．3
D ． 9．某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的22⨯列联表．根据列联表的数据判断有多少的把握认为“成绩与班级有关系”（ ）
临界值表：
参考公式：()()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=++++．
A ．90%
B ．95%
C ．99%
D ．99.9%
10．在等差数列{}n a 中0n a >，且122019...4038+++=a a a ，则12019⋅a a 的最大值等于( ） A ．3
B ．4
C ．6
D ．9
11．曲线2()(1)x f x e x x =--在点(0,(0))f 处的切线方程是( ) A ．10x y ++=
B ．10x y -+=
C ．210x y -+=
D ．210x y ++=
12．函数()1
f x x
=与两条平行线x e =，4x =及x 轴围成的区域面积是（ ） A ．2ln21-+
B ．2ln 21-
C ．ln 2-
D ．ln 2
二、填空题：本题共4小题
13．已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的左视图如图所示，则该三棱锥的体积是________；
14．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ,准线与x 轴的交点为,M N 为抛物线上的一点,且满足
3
2
NF =
,则NMF ∠ =_____. 15．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的x ∈R ，满足()()10f x f x ++=，且当01x <<时，
()13x f x +=，则()()3log 184f f +=__________．
16．已知复数z 满足()1234i z i +=+，则z 等于______. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数()241,f x x x x R =-++∈ （1）解不等式()10f x ≤；
（2）若方程2
()f x x a =-+在区间[0,2]有解，求实数a 的取值范围.
18．已知椭圆C ：22
221x y a b
+=＝1（a ＞b ＞0）的离心率为12，椭圆的短轴端点与双曲线2212y x -=的焦
点重合，过点P （4，0）且不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点. （1）求椭圆C 的方程； （2）求OA OB ⋅的取值范围.
19．（6分）已知双曲线2
213
x y -=的右焦点是抛物线22(0)y px p =>的焦点，直线y kx m =+与该抛物
线相交于A 、B 两个不同的点，点(2,2)M 是AB 的中点，求AOB ∆(O 为坐标原点)的面积. 20．（6分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()1f x x x a =+++.
（Ⅰ）当1a =-时，求不等式()2f x x >的解集；
（Ⅱ）当不等式()1f x >的解集为R 时，求实数a 的取值范围. 21．（6分）已知{}n a 为等差数列，且138a a +=，2412a a +=. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设2n
n n
a b =
，求数列{}n b 的前n 项和. 22．（8分）已知函数2
1()ln (1),()2
f x x ax a x a R =+
-+∈． （1）当1a =时，判断函数()y f x =的单调性；
（2）若关于x 的方程2
12
f x ax =（
）有两个不同实根12x x ，，求实数a 的取值范围，并证明212•x x e ＞． 参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B 【解析】 【分析】
根据题意，有导函数()y f x ='的图象，结合函数的导数与极值的关系，分析可得答案． 【详解】
根据题意，由导函数()y f x ='的图象，
2()0f x '=，并且1(x x ∈，2)x ，()0f x '>，()f x 在区间1(x ，2)x 上为增函数，
2(x x ∈，3)x ，()0f x '<，()f x 在区间2(x ，3)x 上为减函数，
故2x 是函数()y f x =的极大值点； 故选：B ． 【点睛】
本题考查函数的导数与单调性、极值的关系，注意函数的导数与极值的关系，属于基础题． 2．B 【解析】 【分析】
根据复数的除法运算把复数化为代数形式后可得其虚部． 【详解】
由题意得2
21222i i i i i i
--==--，
所以复数
12i
i
-的虚部是1-． 故选B ． 【点睛】
本题考查复数的运算和复数的基本概念，解答本题时容易出现的错误是认为复数z a bi =+的虚部为bi ，对此要强化对基本概念的理解和掌握，属于基础题． 3．C 【解析】 【分析】
利用古典概型的概率公式计算出()P AB 和()P A ，然后利用条件概率公式()
P B A =
()
()
P AB P A 可计算出结果。

【详解】
事件:AB 甲的骰子的点数大于3，且甲、乙两骰子的点数之和等于7，则事件AB 包含的基本事件为()4,3、
()5,2、()6,1，由古典概型的概率公式可得()31
6612
P AB =
=⨯， 由古典概型的概率公式可得()3162
P A ==， 由条件概率公式得()()()
11
2126
P AB P B A P A ==
⨯=，故选：C. 【点睛】
本题考查条件概率的计算，解题时需弄清楚各事件的基本关系，并计算出相应事件的概率， 解题的关键在于条件概率公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题。

4．B 【解析】
分析：将两方程联立求出ρ，再根据ρ的几何意义即可得到OA 的值.
详解：由题可得：2cos 1
{3
ρθρπ
θ=⇒==
，由ρ的几何意义可得OA =
B. 点睛：考查极坐标的定义和ρ的几何意义： ρ表示原点到A 的距离，属于基础题. 5．C
【分析】
根据三视图，画出空间结构体，即可求得最长的棱长。

【详解】
根据三视图，画出空间结构如下图所示：
由图可知，PA ⊥底面ABCD ，所以棱长PC 最长
根据三棱锥体积为323
可得132
4433
m ⨯⨯⨯=
，解得2m = 所以此时222161646PC PA AD DC =++++=
所以选C 【点睛】
本题考查了空间几何体三视图，三棱锥体积的简单应用，属于基础题。

6．A 【解析】 【分析】
根据2
1,3,204x x a ⎡⎤∀∈--≤⎢⎥⎣⎦
，成立，求得7a ≥，再根据集合法，选其子集即可.
【详解】
因为2
1,3,204x x a ⎡⎤∀∈--≤⎢⎥⎣⎦
，成立，
所以2
1,3,24x a x ⎡⎤∀∈≥-⎢⎥⎣⎦
，成立，
所以7a ≥，
命题“2
1,3,204x x a ⎡⎤∀∈--≤⎢⎥⎣⎦
”为真命题的一个充分不必要条件是9a ≥. 故选：A
本题主要考查不等式恒成立及逻辑关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 7．B 【解析】
分析：因为()1f 与()2f 中至少有一个不少于
12的否定是()112f <且()1
22f <，所以选B. 详解：因为()1f 与()2f 中至少有一个不少于12的否定是()112f <且()1
22
f <，
故答案为：B.
点睛：（1）本题主要考查反证法，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)两个数中至少有一个大于等于a 的否定是两个数都小于a. 8．A 【解析】
试题分析：利用三角形的构成条件，建立不等式，可求x 的取值范围；三角形的周长是一个定值8，故其面积可用海伦公式表示出来，再利用基本不等式，即可求f （x ）的最大值．解：（1）由题意，DC=2，CP=x ，DP=6-x ，根据三角形的构成条件可得x+6-x ＞2, 2+6-x ＞x, 2+x ＞6-x ，解得2＜x ＜4；三角形的周长是一
考点：函数类型
点评：本题考查根据实际问题选择函数类型，本题中求函数解析式用到了海伦公式， 9．C 【解析】 【分析】
计算出2K 的观测值，利用临界值表找出犯错误的概率，可得出“成绩与班级有关系”的把握性. 【详解】
由表格中的数据可得()2
2110103020507.48660503080
K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，
所以，()
2
6.6350.01P K ≥=，因此，有99%的把握认为“成绩与班级有关系”，
故选C. 【点睛】
本题考查独立性检验的基本思想，解题的关键就是计算出2K 的观测值，并利用临界值表找出犯错误的概率，考查计算能力，属于基础题.
10．B 【解析】 【分析】
先由等差数列的求和公式，得到120194+=a a ，再由基本不等式，即可求出结果. 【详解】
因为在等差数列{}n a 中122019...4038+++=a a a ， 所以
120192019()
40382
+=a a ，即120194+=a a ，
又0n a >， 所以2
1201912019
42+⎛⎫
⋅≤= ⎪⎝⎭
a a a a ，
当且仅当120192==a a 时，12019⋅a a 的最大值为4. 故选B 。

【点睛】
本题主要考查基本不等式求积的最大值，熟记等差数列的求和公式以及基本不等式即可，属于常考题型. 11．D 【解析】 【分析】
求出原函数的导函数，得到f′（0）＝﹣2，再求出f （0），由直线方程的点斜式得答案． 【详解】 f′（x ）＝()2
2x
e
x
x +- ，∴f′（0）＝﹣2，又f （0）＝﹣1
∴函数2
()(1)x
f x e x x =--图象在点（0，f （0））处的切线方程是y+1＝﹣2（x ﹣0）， 即210x y ++= 故选：D 【点睛】
本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题． 12．B 【解析】 【分析】
根据定积分的几何意义直接求出()f x 在区间[,4]e 的定积分，即可得出答案。

【详解】
441ln ln 41=2ln 21e
e dx x x
⎰==-- 故选B 【点睛】
本题考查定积分的几何意义，属于基础题。

二、填空题：本题共4小题 13
．
【解析】 【分析】
由左视图得出三棱锥中线面关系及棱的长度． 【详解】
由左视图知三棱锥的高为1h =
，底面等腰三角形的底边长为2，这个
等腰三角形的面积为1
2
S =
⨯=，
11133V Sh ===
【点睛】
本题考查棱锥的体积，解题是由左视图得出棱锥的高为1
，底面等腰三角形的底边长为公式可求得棱锥的体积，本题还考查了空间想象能力． 14．
6
π 【解析】
分析：利用抛物线的性质，过N 作准线的垂线交准线于1N ，则1NN NF =，则
1cos cos NMF N NM ∠=∠，在1Rt N NM 中可表示出1cos N NM ∠，计算即可得到答案
详解：过N 作准线的垂线交准线于1N
则113cos cos NN NF NMF N NM MN
MN
∠=∠==
=
故6
NMF π
∠=
点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质，解答本题的关键是记清抛物线上点到焦点距离等于到准线距离，灵活运用抛物线的定义来解题 15．6 【解析】
∵f(x)是定义在R 上的奇函数,对任意的x ∈R,满足f(x+1)+f(x)=0， ∴f(x+1)=−f(x)， 则f(x+2)=−f(x+1)=f(x)，
则函数f(x)是周期为2的周期函数，据此可得：
()()()()()()()()3log 2133333log 18log 18log 9log 236,44400,log 184 6.
f f f f f f f f +=-====-==∴+=
165【解析】 【分析】
先求出复数z,再求|z|. 【详解】 由题得2234(34)(12)112112
,()()512(12)(12)555
i i i i z z i i i ++--=
==∴=+-=++-. 5【点睛】
（1）本题主要考查复数的计算和复数的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力.(2) 复数(,)z a bi a b R =+∈的模22||z a b +三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（I ）[]2,4-；（II ）19
[,7]4
. 【解析】
【分析】
（1）根据()10f x ≤，利用分类讨论便可得到最后解集；
（2）根据方程()2
f x x a =-+在区间[]0,2有解转化为函数y a =和函数2
5y x x =-+图象在区间[]
0,2
上有交点，从而得解． 【详解】
（1）()10f x ≤可化为
10
23310x x >⎧⎨
-≤⎩或12510x x -≤≤⎧⎨-≤⎩
或1
3310x x <-⎧⎨-+≤⎩； 2＜x≤
13
3
或或73
-
；
不等式的解集为713,33⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦； （2）由题意：()2
f x x a =-+ []
2
5,0,2a x x x ⇔=-+∈
故方程()2
f x x a =-+在区间[]0,2有解⇔函数y a =和函数2
5y x x =-+图象在区间[]
0,2上有交点
当[]
0,2x ∈时，][2
19
195,7,74
4y x x a ⎡⎤=-+∈∴∈⎢⎥⎣⎦
【点睛】
本题考查绝对知不等式的求解和应用，主要是利用分类讨论的方法去掉绝对值符号；关于方程解的问题直接用方程思想和数形结合转化为函数图像交点问题便可得解． 18．（1）；（2）
【解析】
试题分析：（1）设椭圆的方程，若焦点明确，设椭圆的标准方程，结合条件用待定系数法求出的值，
若不明确，需分焦点在轴和
轴上两种情况讨论；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根
据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解
问题中结论.
试题解析：解：（1）由题意知2222
2211,24
c c a b e e a a a -==∴===，
224
3
a b =.又双曲线的焦点坐标为(0,3),3b =224,3a b ∴==，
∴椭圆的方程为22143
x y +=. （2）若直线l 的倾斜角为0，则(2,0),(2,0),4A B OA OB -⋅=-， 当直线l 的倾斜角不为0时，直线l 可设为4x my =+，
2222
4
{(34)243603412
x my m y my x y =+⇒+++=+=，由 2220(24)4(34)3604m m m ∆>⇒-⨯+⨯>⇒>
设1122(4,),(4,)A my y B my y ++，1212
222436
,3434
m y y y y m m +=-
=++， 21212121212(4)(4)416OA OB my my y y m y y my y y y ⋅=+++=+++
2116434m =
-+，2
134,(4,)4m OA OB >∴⋅∈-，综上所述：范围为
13[4,)4
-. 考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆的综合问题. 19
．【解析】
分析：由双曲线方程可得右焦点，即为抛物线的焦点，可得抛物线的方程，利用点差法得到直线的斜率为
2k =，
联立直线方程，可得y 的二次方程，解得12y y ，，利用割补法表示AOB ∆的面积为121
12
y y ⨯⨯-，带入即可得到结果.
详解：∵ 双曲线2
213
x y -=的左焦点的坐标为()2,0
∴22y px =的焦点坐标为()2,0，∴22
p
=，4p = 因此抛物线的方程为2
8y x =
设()11,A x y ，()22,B x y ，12x x ≠，则2118y x =，2
228y x =
∴121212
8
y y k x x y y -=
=-+
∵()2,2M 为AB 的中点，所以124y y +=，故2k = ∴直线AB 的方程为2y x m =+ ∵ 直线过点()2,2M ， ∴2m =-，
故直线AB 的方程为22y x =-，其与x 轴的交点为()1,0C
由2
228y x y x
=-⎧⎨
=⎩得：2
480y y --=
，2y =± ∴AOB ∆
的面积为
121
12
y y ⨯⨯-=. 点睛：本题考查双曲线和抛物线的方程和性质，考查直线方程与抛物线的方程联立，考查了点差法，考查了利用割补思想表示面积，以及化简整理的运算能力，属于中档题． 20． (Ⅰ) (,1)-∞ (Ⅱ) 0a <或2a > 【解析】 【分析】
(Ⅰ)根据x 的范围得到分段函数()f x 的解析式，从而分别在三段区间上求解不等式，取并集得到所求解集；(Ⅱ)由绝对值三角不等式得到()f x 的最小值，则最小值大于1，得到不等式，解不等式求得结果. 【详解】
(Ⅰ)1a =-时，()2,12,112,1x x f x x x x -<-⎧⎪
=-≤≤⎨⎪>⎩
当1x <-时，22x x ->，即0x < 1x ∴<- 当11x -≤≤时，22x >，即1x < 11x ∴-≤< 当1x >时，22x x >，无解 综上，()2f x x >的解集为(),1-∞ (Ⅱ)()11f x x x a a =+++≥-
当1a -≤-，即1a ≥时, 1a x -≤≤-时等号成立；当1a ->-，即1a <时, 1x a -≤≤-时等号成立 所以()f x 的最小值为1a - 即11a ->
0a ∴<或2a >
【点睛】
本题考查含绝对值不等式的求解、绝对值三角不等式的应用问题，属于常规题型. 21． (1)2n a n =. (2)1
2
42n n n T -+=-. 【解析】
分析：（1）由138a a +=，2412a a +=可得11228
2412
a d a d +=⎧⎨
+=⎩，解之得1,a d ，从而可得{}n a 的通项公式；
（2）由2n a n =可得，122
n n n n a n b -=
=，利用错位相减法即可得结果. 详解：（Ⅰ）由已知条件可得11
228
2412a d a d +=⎧⎨+=⎩，
解之得12a =，2d =， 所以，2n a n =.
（Ⅱ）由2n a n =可得，1
22n n n n a n b -==，设数列{}n b 的前n 项和为n T . 则21231222
n n n
T -=+
+++， ∴23112322222
n n n T =++++， 以上二式相减得21111
1122222
n n n n
T -=+++
+
- 122122
2
2n
n
n n
n +⎛
⎫=--=- ⎪⎝⎭， 所以，1
2
42
n n n T -+=-
. 点睛：本题主要考查等差数列的通项公式基本量运算以及错位相减法求数列的前n 项和，属于中档题.一般地，如果数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}n n a b 的前n 项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列{}n b 的公比，然后作差求解, 在写出“n S ”与“n qS ” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式. 22．（1）()f x 在∞（0，+）上单调递增；（2）详见解析. 【解析】 【分析】
（1）对()f x 求导，根据()f x '的符号得出()f x 的单调性；
（2）由题意可知ln (1)x a x =+有两解，求出ln y x =的过原点的切线斜率即可得出a 的范围，设
2
121
0,
t x x x x <<=，根据分析法构造关于t 的不等式，利用函数单调性证明不等式恒成立即可． 【详解】
解：（1）1a =时，2
1()ln 2(0)2
f x x x x x =+
->， 故22121
()20x x f x x x x '
-+=+-=≥，
()f x ∴在∞（0，+）
上单调递增．
（2）由题意可知ln (1)x a x =+有两解，
设直线y kx =与ln y x =相切，切点坐标为00()x y ，，
则00000ln 1
y kx y x k x ⎧
⎪=⎪⎪
=⎨⎪⎪=
⎪⎩
，解得001,1,x e y k e ===，
101a e
∴<+<，即1
11a e -<<-．
∴实数a 的取值范围是11,
1e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
． 不妨设210x x >>，则1122ln (1),
ln (1)x a x x a x =+=+，
两式相加得：()()1212ln (1)x x a x x =++， 两式相减得：()2
211
ln
(1)x a x x x =+-， ()1212
2211
ln ln x x x x x x x x +∴
=
-，故()12212211
ln ln x x x x x x x x +=-•， 要证2
12x x e >，只需证
122211
ln 2x x x
x x x +>-•， 即证()221122
112
1
212ln 1x x x x x
x x x x x ⎛⎫- ⎪
-⎝⎭>=++，
令2
11x t x =
>，故只需证2(1)ln 1t t t
->+在1（，）+∞恒成立即可． 令2(1)
()ln (1)1t g t t t t
-=-
>+， 则2
22
14(1)()0(1)(1)
t g t t t t t -'=-=>++， ∴()g x 在1（，）
+∞上单调递增， t 10g g ∴=（）＞（），
即2(1)
ln 1t t t
->
+在1（，）+∞恒成立． 212x x e ∴>•．
【点睛】
本题考查了导数与函数单调性的关系，函数单调性与不等式的关系，构造关于t的不等式是证明的难点，属于难题．
同步测试
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知i 是虚数单位，21i =-，则计算21i
i
+的结果是（） A ．1i +
B ．1i -+
C ．1i -
D ．1i --
2．已知集合{}
2
1,A x x =+，{}1,2,3B =，且A B ⊆，则实数x 的值是（ ）
A ．1-
B ．1
C ．3
D ．4
3．已知30.2a =，0.2log 3b =，0.23c =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a c b <<
B ．a b c <<
C ．b a c <<
D ．b c a <<
4．已知命题:p 若实数,x y 满足3x y +≠，则2x ≠或1y ≠，():0,q x ∀∈+∞，48log log x x <，则下列命题正确的是( ) A ．p q ∧
B ．()()p q ⌝∧⌝
C ．()p q ∧⌝
D ．()p q ⌝∧
5．在()()6
5
11x x ---的展开式中，含3x 的项的系数是（） A ．-10
B ．5
C ．10
D ．-5
6．A 、B 、C 、D 、E 、F 六名同学站成一排照相，其中A 、B 两人相邻的不同排法数是（ ） A ．720种 B ．360种 C ．240种
D ．120种
7．已知下列说法：
①对于线性回归方程ˆ35y
x =-，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位； ②甲、乙两个模型的2R 分别为0.98和0.80，则模型甲的拟合效果更好；
③对分类变量X 与Y ，随机变量2K 的观测值k 越大，则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越大； ④两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数就越接近1．其中说法错误的个数为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8．1817161211⨯⨯⨯⨯⨯等于（ ）
A ．8
18A
B ．9
18A
C ．10
18A
D ．11
18A
9．221x y +=经过伸缩变换23x x
y y ''=⎧⎨=⎩
后所得图形的焦距（ ）
A ．
B ．
C ．4
D ．6
10．正项等比数列{}n a 中，2018201620172a a a =+，若2
116m n a a a =，则
41
m n +的最小值等于（ ） A ．1 B ．
35
C ．
136
D ．32
11．将点M 的极坐标1,
3π⎛⎫
⎪⎝⎭
化成直角坐标为（ ）
A ．1,⎛ ⎝⎭
B ．(1,-
C ．12⎛ ⎝⎭
D ．
12．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（ ） A ．1
ln
||
y x = B ．3y x = C ．||2x y =
D ．cos y x =
二、填空题：本题共4小题
13．已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是11B C 和11C D 的中点，点1A 到平面DBEF 的距离为________________．
14．对于自然数方幂和()12k k k
k S n n =++⋅⋅⋅+**(,)n N k N ∈∈，1(1)
()2
n n S n +=
，2222()12S n n =++⋅⋅⋅+，求和方法如下：
3321331-=++， 3323232321-=⨯+⨯+，
…
332(1)331n n n n +-=++，
将上面各式左右两边分别相加，就会有33
21(1)13()3()n S n S n n +-=++，解得
21
()(1)(21)6
S n n n n =
++，类比以上过程可以求得54324()S n An Bn Cn Dn En F =+++++，,,,,,A B C D E F R ∈且与n 无关，则A F +的值为__________．
15．已知一组数据1，3，2，5，4，那么这组数据的方差为____． 16．设抛物线28y x =的准线方程为__________.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在创建“全国文明卫生城市”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查(一位市民只能参加一次).通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分(满分100分)统计结果如下表所示:
（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分Z 服从正态分布8(),19N μ，μ近似为这100人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，利用该正态分布，求()3779P Z <≤
（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案: ①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费; ②每次获赠的随机话费和对应的概率为:
现有市民甲参加此次问卷调查，记ξ (单位:元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求ξ的分布列与均值.
附:14.≈
若2~(,)X N μσ，则 0.6826, ())22(P X P X μσμσμσμσ-<≤+=-<≤+=0.9544，
33 0.99)7( 4.P X μσμσ-<<+=
18．设函数()211f x x x =-++的最小值为m . （1）求m 的值； （2）若,,a b c ∈R ，2
22
12
a b c m +
+=，求ab bc +的取值范围. 19．（6分）某校选择高一年级三个班进行为期二年的教学改革试验，为此需要为这三个班各购买某种设备1台.经市场调研，该种设备有甲乙两型产品，甲型价格是3000元/台，乙型价格是2000元/台，这两型产品使用寿命都至少是一年，甲型产品使用寿命低于2年的概率是1
4
，乙型产品使用寿命低于2年的概率是
2
3
.若某班设备在试验期内使用寿命到期，则需要再购买乙型产品更换. (1)若该校购买甲型2台，乙型1台，求试验期内购买该种设备总费用恰好是10000元的概率； (2)该校有购买该种设备的两种方案，A 方案：购买甲型3台；B 方案：购买甲型2台乙型1台.若根据2年试验期内购买该设备总费用的期望值决定选择哪种方案，你认为该校应该选择哪种方案？ 20．（6分） (1)设,a b 是两个正实数，且a
b ，求证：3322a b a b ab +>+；
（2）已知,,a b c 是互不相等的非零实数，求证：三个方程220ax bx c ++=，220bx cx a ++=，
220cx ax b ++=中至少有一个方程有两个相异实根．
21．（6分）已知函数()21
()2ln x f x a x x x
-=-+，a R ∈. （1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围.
22．（8分）某校高二（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，如
图所示：
试根据图表中的信息解答下列问题： （1）求全班的学生人数及分数在
之间的频数；
（2）为快速了解学生的答题情况，老师按分层抽样的方法从位于
，
和
分数段的试卷中抽取8份进行分析，再从中任选3人进行交流，求交流的学生中，成绩位于分数段的人数的分
布列和数学期望.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A 【解析】 【分析】
根据虚数单位i 的运算性质，直接利用复数代数形式的除法运算化简求值． 【详解】 解：
21i =-，
22(1)2211(1)(1)2
i i i i i i i i -+∴
===+++-， 故选A ． 【点睛】
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 2．B 【解析】 【分析】
根据已知，将选项代入验证即可. 【详解】
由A B ⊆，知21x B +∈且x B ∈， 经检验1x =符合题意，所以1x =. 故选：B 【点睛】
本题考查集合间的关系，要注意特殊方法的应用，减少计算量，属于基础题. 3．C 【解析】
30.2a =，300.21∴<<
0.230b log =< 0.231c =>
b a
c ∴<<
故答案选C 4．C 【解析】
由题意可知，p 是真命题，q 是假命题，则()p q ∧⌝是真命题. 本题选择C 选项. 5．A 【解析】 【分析】
根据()()65
511(1)()x x x x ---=--，把5
(1)x -按二项式定理展开，可得含3x 的项的系数，得到答案．
【详解】
由题意，在()()65
511(1)()x x x x ---=--的展开中3x 为223
5()10xC x x --=-，
所以含3x 的项的系数10-， 故选A ． 【点睛】
本题主要考查了二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 6．C 【解析】 【分析】
先把A 、B 两人捆绑在一起，然后再与其余四人全排列即可求出A 、B 两人相邻的不同排法数.
【详解】
首先把把A 、B 两人捆绑在一起，有2
2212A =⨯=种不同的排法，最后与其余四人全排列有5554321120A =⨯⨯⨯⨯=种不同的排法，根据分步计算原理，A 、B 两人相邻的不同排法数是52521202240A A =⨯=，故本题选C.
【点睛】
本题考查了全排列和分步计算原理，运用捆绑法是解题的关键. 7．B 【解析】 【分析】
根据回归分析、独立性检验相关结论来对题中几个命题的真假进行判断。

【详解】
对于命题①，对于回归直线35y x =-，变量x 增加一个单位时，y 平均减少5个单位，命题①错误； 对于命题②，相关指数2R 越大，拟合效果越好，则模型甲的拟合效果更好，命题②正确；
对于命题③，对分类变量X 与Y ，随机变量2K 的观测值k 越大，根据临界值表，则犯错误的概率就越小，则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越高，命题③正确；
对于命题④，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系的绝对值越接近于1，命题④错误. 故选：B. 【点睛】
本题考查回归分析、独立性检验相关概念的理解，意在考查学生对这些基础知识的理解和掌握情况，属于基础题。

8．A 【解析】 【分析】
根据排列数的定义求解. 【详解】
8
181817161211A ⨯⨯⨯
⨯⨯=，故选A.
【点睛】
本题考查排列数的定义. 9．A 【解析】 【分析】
用x ′，y '表示出x ，y ，代入原方程得出变换后的方程，从而得出焦距． 【详解】
由23x x y y ''=⎧⎨=⎩得2 3
x x y y '
⎧
=
⎪⎪⎨
'⎪=
⎪⎩，代入22
1x y +=得22 149x y ''+=，
∴椭圆的焦距为=A ． 【点睛】
本题主要考查了伸缩变换，椭圆的基本性质，属于基础题． 10．D 【解析】
分析：先求公比，再得m,n 关系式，最后根据基本不等式求最值.
详解：因为2018201620172a a a =+，所以2
202q q
q q =+>∴=，
因为2
116m n a a a =，所以2112112
16246m n a a m n m n -+-=∴+-=∴+=，
因此
41411413
()(5)(5,6662
m n n m m n m n m n ++=+=++≥+= 当且仅当24m n ==时取等号 选
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 11．C 【解析】 【分析】
利用极坐标与直角坐标方程互化公式即可得出． 【详解】 x ＝cos
13
2π
=
，y ＝
sin 32
π=， 可得点M
的直角坐标为12⎛ ⎝⎭
．
故选：C ． 【点睛】
本题考查了极坐标与直角坐标方程互化公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
【解析】
本题考察函数的单调性与奇偶性 由函数的奇偶性定义易得1ln
||
y x =，||
2x y =，cos y x =是偶函数，3y x =是奇函数 cos y x =是周期为2π的周期函数，单调区间为[2,(21)]()k k k z ππ+∈
0x >时，||2x y =变形为2x y =，由于2>1,所以在区间(0,)+∞上单调递增 0x >时，1ln
||y x =变形为1ln y x =，可看成1
ln ,y t t x
==的复合，易知ln (0)y t t =>为增函数，1
(0)t x x
=
>为减函数，所以1ln ||y x =在区间(0,)+∞上单调递减的函数
故选择A
二、填空题：本题共4小题 13．1 【解析】 【分析】
以D 点为原点，1,,DA DC DD 的方向分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求出各顶点的坐标，进而求出平面BDEF 的法向量，代入向量点到平面的距离公式，即可求解． 【详解】
以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Dxyz ，则1(1,0,1)A ，(1,1,0)B ，1(0,,1)2F ， 所以(1,1,0)DB =，1
(0,,1)2
DF
，1(1,0,1)A D =--， 设 (,,)x y z =m 是平面BDFE 的法向量，则m DB m DF ⎧⊥⎨⊥⎩，即0
1
2m DB x y m DF y z ⎧⋅=+=⎪
⎨⋅=+=⎪⎩， 令1y =，可得1
1
2x z =-⎧⎪
⎨=-⎪⎩
，故1(1,1,)2m =--， 设点A 在平面BDFE 上的射影为H ，连接1A D ，则1A D 是平面BDFE 的斜线段，
所以点1A 到平面BEFE
的距离11
11A D m d m
+⋅=
=
=．
本题主要考查了空间向量在求解距离中的应用，对于利用空间向量求解点到平面的距离的步骤通常为：①求平面的法向量；②求斜线段对应的向量在法向量上的投影的绝对值，即为点到平面的距离．空间中其他距离问题一般都可转化为点到平面的距离求解．着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 14．
15
. 【解析】
分析：利用类比法先求出()3S n ，再求()4S n ，从而得到答案. 详解：利用类比法：
4432214161411-=⨯+⨯+⨯+， 4432324262421-=⨯+⨯+⨯+， 4432434363431-=⨯+⨯+⨯+，
…
()
4
43214641n n n n n +-=⨯+⨯+⨯+，
将上面各式左右两边分别相加，就会有()()()()4
32111464n S n S n S n n +-=+++，解得
()()2
312n n S n ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
；
继续使用类比法：
554322151101101511-=⨯+⨯+⨯+⨯+， 554323252102102521-=⨯+⨯+⨯+⨯+， 554324353103103531-=⨯+⨯+⨯+⨯+，
…
()
5
543215101051n n n n n n +-=⨯+⨯+⨯+⨯+，
将上面各式左右两边分别相加，就会有()()()()()5
432111510105n S n S n S n S n n +-=++++，解得
()54341111
52330S n n n n n =++-，
1
,05
A F ∴==
1
5A F ∴+=.
故答案为：1
5
.
点睛：类比推理应用的类型及相应方法
类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法．
(1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解；
(2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键；
(3)类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移． 15．2； 【解析】 【分析】
先求这组数据的平均数x ，再代入方差公式，求方差. 【详解】 因为1325415
355
x ++++=
==，
方差22222
2
(13)(33)(23)(53)(43)25
s -+-+-+-+-==.
【点睛】
本题考查平均数与方差公式的简单应用，考查基本的数据处理能力. 16．2x =- 【解析】 【分析】
由题意结合抛物线的标准方程确定其准线方程即可. 【详解】
由抛物线方程2
8y x =可得28p =，则22
p
=，故准线方程为2x =-. 故答案为：2x =-． 【点睛】
本题主要考查由抛物线方程确定其准线的方法，属于基础题. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）0.8185；（2）分布列见解析；37.5E ξ= 【解析】 【分析】
（1）由题意求出65Ez =，从而65μ=，进而(5179)0.6826P Z <=，(3793)0.9544P Z <=．由此能求出(3779)P Z <．
（2）由题意知1
()()2
P Z P Z μμ<==
，获赠话费ξ的可能取值为20，40，60，1．分别求出相应的概率，
由此能求出的分布列和E ξ． 【详解】
解：（1）由题意得
350.02450.15550.2650.25750.24850.1950.0465Ez =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．
65μ∴=，19814σ=≈，
(65146514)(5179)0.6826P Z P Z ∴-<+=<=， (6521465214)(3793)0.9544P Z P Z -⨯<+⨯=<=， 1
(3751)[(3793)(5179)]0.13592
P Z P Z P Z ∴<=<-<=
综上(3779)(3751)(5179)0.13590.68260.8185P Z P Z P Z <=<+<≈+=． （2）由题意知1()()2
P Z P Z μμ<==
， 获赠话费ξ的可能取值为20，40，60，1． 133
(20)248
P ξ==⨯=；
1113313
(40)2424432P ξ==⨯+⨯⨯=；
1311133
(60)24424416P ξ==⨯⨯+⨯⨯=；
1111
(80)24432
P ξ==⨯⨯=；
ξ 的分布列为：
31331
2040608037.58321632
E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=．
【点睛】
本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查正态分布等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题． 18．（1）32m =；（2）33,22ab bc ⎡⎤
+∈-⎢⎥⎣⎦
. 【解析】 【分析】
(1)由题意可把含两个绝对值的函数()211f x x x =-++进行对去绝对值得到一个分段函数，再由分段函数可得到函数的最小值；。