2016-1东城区上学期期末检测高三数学(理)试题和答案

北京市东城区2015-2016学年第一学期期末教学统一检测
高三数学 （理科） 2016.1
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. （1）已知集合{1,2,3,4}U =，集合{1,3,4}A =，{2,4}B =，那么集合()U C A B =I
（A ）{2} （B ）{4} （C ）{1,3} （D ）{2,4} （2）已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，那么该三棱锥的体积等于
侧（左）视图
俯视图
（A ）
3
2
cm 3 （B ）2 cm 3 （C ）3 cm 3 （D ）9 cm 3 （3）设i 为虚数单位，如果复数z 满足(12)5i z i -=，那么z 的虚部为
（A ）1- （B ）1 （C ） i （D ）i - （4）已知(0,1)m ∈，令log 2m a =，2
b m =，2m
c =，那么,,a b c 之间的大小关系为
（A ）b c a << （B ）b a c << （C ）a b c << （D ）c a b << （5）已知直线l 的倾斜角为α，斜率为k ，那么“3
π
α>
”是“k >
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件
（6）已知函数1
1,02
()ln ,2
x f x x x x ⎧+<≤⎪=⎨⎪>⎩，如果关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，那么实数k 的取
值范围是
（A ） (1,)+∞ （B ）3
[,)2
+∞ （C ）3
2[,)e +∞ （D ）[ln 2,)+∞
（7）过抛物线2
20)y px
p =>（的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，如果3BF =，BF AF >，23
BFO π
∠=
，那么AF 的值为 ()A 1 ()
B 3
2
()C 3 （D ） 6
（8）如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1, ,E F 分别是棱AA '，CC '的中点，过直线,E F 的平面
分别与棱BB '、DD '交于,M N ，设 BM x =，)1,0(∈x ，给出以下四个命题： ① 四边形MENF 为平行四边形；
② 若四边形MENF 面积)(x f s =,)1,0(∈x ,则)(x f 有最小 值；
③ 若四棱锥A MENF 的体积)
(x p V =，)1,0(∈x ，则
)(x p 常函数；
④ 若多面体MENF ABCD -的体积()V h x =，1(,1)2
x ∈， 则)(x h 为单调函数． 其中假．命题．．
为 ()A ① ()B ②
()C ③
（D ）④
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.
（9） 在ABC ∆中，a b 、分别为角A B 、的对边，如果0
30B =，0
105C =，4a =，那么b = . （10）在平面向量a,b 中，已知(1,3)=a ，(2,y)=b .如果5⋅=a b ，那么y = ；如果-=a +b a b ，那么y = .
（11）已知,x y 满足满足约束条件+10,
2,3x y x y x ≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩
，那么22
z x y =+的最大值为___.
（12）如果函数2
()sin f x x x a =+的图象过点(π,1)且()2f t =．那么a = ；
()f t -= ．
（13）如果平面直角坐标系中的两点(1,1)A a a -+，(,)B a a 关于直线l 对称，那么直线l 的 方程为__.
（14）数列{}n a 满足：*
112(1,)n n n a a a n n N -++>>∈，给出下述命题：
①若数列{}n a 满足：21a a >，则*
1(1,)n n a a n n N ->>∈成立； ②存在常数c ，使得*
()n a c n N >∈成立；
③若*
(,,,)p q m n p q m n N +>+∈其中，则p q m n a a a a +>+；
④存在常数d ，使得*
1(1)()n a a n d n N >+-∈都成立．
上述命题正确的是____．(写出所有正确结论的序号)
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题共13分）
设{}n a 是一个公比为(0,1)q q q >≠等比数列，1234,3,2a a a 成等差数列,且它的前4项和415s =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）令2,(1,2,3......)n n b a n n =+=,求数列{}n b 的前n 项和
.
（16）（本小题共13分）
已知函数2
2
()sin cos cos ()f x x x x x x =+-∈R ． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期和在[0,π]上的单调递减区间； （Ⅱ）若α为第四象限角，且3cos 5
α=，求7π
(212f α+的值.
（17）（本小题共14分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，
PA ⊥底面ABCD ，AB AP =,E 为棱PD 的中点.
（Ⅰ）证明:AE CD ⊥；
（Ⅱ）求直线AE 与平面PBD 所成角的正弦值；
（Ⅲ）若F 为AB 中点，棱PC 上是否存在一点M ，使得FM AC ⊥，若存在， 求出PM
MC
的值，若不存在，说明理由.
（18）（本小题共13分）
已知椭圆22
221x y a b +=（0a b >>）的焦点是12F F 、，且122F F =，离心率为12
．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若过椭圆右焦点2F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，求22||||AF F B g 的取值范围．
（19）（本小题共14分）
已知函数()(ln )x
e f x a x x x
=--．
（Ⅰ）当1a =时，试求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≤时，试求()f x 的单调区间；
（Ⅲ）若()f x 在(0,1)内有极值，试求a 的取值范围．
（20）（本小题共13分）
已知曲线n C 的方程为：*1()n n
x y n N +=∈.
（Ⅰ）分别求出1,2n n ==时，曲线n C 所围成的图形的面积;
（Ⅱ）若()n S n N *∈表示曲线n C 所围成的图形的面积，求证：()n S n N *
∈关于n 是递增的;
(III) 若方程(2,)n n n x y z n n N +=>∈，0xyz ≠，没有正整数解，求证：曲线(2,)n C n n N *>∈上任
一点对应的坐标(,)x y ，,x y 不能全是有理数.
东城区2015-2016学年第一学期期末教学统一检测参考答案
高三数学 （理科） 2016.1
学校___________班级_____________姓名____________考号___________
本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.
（9） 22 （10）
2
1;3-
（11） 58 （12） 1;0 （13） 01=+-y x （14）①
④
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题共13分）
设{}n a 是一个公比为(0,1)q q q >≠等比数列，1234,3,2a a a 成等差数列,且它的前4项和415s =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）令2,(1,2,3......)n n b a n n =+=,求数列{}n b 的前n 项和. 解：（Ⅰ）因为{}n a 是一个公比为(0,1)q q q >≠等比数列， 所以11n n a a q -=．
因为1234,3,2a a a 成等差数列，
所以213642,a a a =+即2
320q q -+=．
解得2,1()q q ==舍.
又它的前4和415s =，得
41(1)
15(0,1)1a q q q q
-=>≠-， 解得11a = ．
所以12n n a -= . …………………9分 （Ⅱ）因为2n n b a n =+， 所以
11122(n 1)1n n n
n i i i i i b a i n ====+=++-∑∑∑． ………………13分
（16）（本小题共13分）
已知函数2
2
()sin cos cos ()f x x x x x x =+-∈R ．
（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和在[0,π]上的单调递减区间； （Ⅱ）若α为第四象限角，且3cos 5
α=
，求7π
()212f α+的值.
解：
（Ⅰ）由已知22
()sin cos cos f x x x x x =+-
2cos 2π
2sin(2).
6
x x
x =-=-
所以 最小正周期2π2ππ.2T ω===
由π
π3π2π22π,.2
62
k x k k z +???
得
2π
10π
ππ,3
6k x k k z +＃+?
故函数()f x 在[0,π]上的单调递减区间1
5π,π36⎡⎤
⎢⎥⎣⎦ …………9分
（Ⅱ）因为α为第四象限角，且3cos 5α=
，所以4
sin 5α=-． 所以7π()212f α+=7ππ2sin()2sin 66
αα+
-=-8
5=．…………………13分
（17）（本小题共14分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，
PA ⊥底面ABCD ，AB AP =,E 为棱PD 的中点.
（Ⅰ）证明:AE CD ⊥；
（Ⅱ）求直线AE 与平面PBD 所成角的正弦值；
（Ⅲ）若F 为AB 中点，棱PC 上是否存在一点M ，使得FM
求出
PM
MC
的值，若不存在，说明理由.
（Ⅰ）证明：因为PA ⊥底面ABCD ， 所以PA ⊥CD ． 因为AD CD ⊥，
所以CD PAD ⊥面. 由于AE PAD ⊂面， 所以有CD AE ⊥．
…………………４分 （Ⅱ）解：依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系（如图）， 不妨设2AB AP ==，可得(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，()0,2,0D ， ()0,0,2P .
由E 为棱PD 的中点，得(0,1,1)E . (0,1,1)AE =uu u v
向量(2,2,0)BD =-u u u r ,(2,0,2)PB =-u u r
.
设(,,)n x y z =r
为平面PBD 的法向量，则⎩
⎨
⎧=⋅=⋅00PB n 即⎩⎨⎧=-=+-022022z x y x ．
不妨令1y =，可得=n
（1,1,1）为平面PBD 的一个法向量.
所以
cos ,3
AE EF =uu u v uu u v .
所以，直线EF 与平面PBD
…………………11分
（Ⅲ）解：向量(2,2,2)CP =--u u r ，(2,2,0)AC =u u u r ，(2,0,0)AB =u u u r
. 由点M 在棱PC 上，设,(01)CM CP λλ=≤≤u u u r u u r
. 故 (12,22,2)FM FC CM λλλ=+=--u u u r u u u r u u u r
.
由AC FM ⊥，得0=⋅FM
，
因此，(1-2)2(2-2)20λλ⨯+⨯=，解得34
λ=. 所以 1
3
PM MC =. …………………13分
（18）（本小题共13分）
z
C
已知椭圆22
221x y a b +=（0a b >>）的焦点是12F F 、，且122F F =，离心率为12
．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）过椭圆右焦点2F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，求22||||AF F B g
的取值范围． 解（Ⅰ）因为椭圆的标准方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，
由题意知2221
222
a b c c a c ⎧=+⎪
⎪=⎨⎪=⎪⎩，
，
解得2,a b ==
所以椭圆的标准方程为22
143
x y +=． ……………………………5分 （Ⅱ）因为2(1,0)F ，当直线l 的斜率不存在时，3
(1,)2A ，3(1,)2
B -，
则229
||||4
AF F B =g
，不符合题意. 当直线l 的斜率存在时，直线l 的方程可设为(1)y k x =-．
由22(1),1,4
3y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消y 得2222(34)84120k x k x k +-+-= （*）．
设),(11y x A ，),(22y x B ，则1x 、2x 是方程（*）的两个根，
所以2222834k x x k +=+，2122
41234k x x k
-=+．
所以21||1AF ==-，
所以22||1F B =
=-
所以2
221212||||(1)()1AF F B k x x x x =+-++g
22
2
22
4128(1)13434k k k k k -=+-+++
22
9
(1)
34k k =++
22
2
9(1)
3491(1).434k k k =++=++
当2
0k =时，22||||AF F B g
取最大值为3，
所以 22||||AF F B g
的取值范围9
,34
⎛⎤ ⎥⎝⎦
. 又当k 不存在，即AB x ⊥轴时，22||||AF F B g
取值为94
． 所以22||||AF F B g
的取值范围9
,34
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. …………13分 （19）（本小题共14分）
已知函数e ()(ln )x
f x a x x x
=--．
（Ⅰ）当1a =时，试求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≤时，试求()f x 的单调区间；
（Ⅲ）若()f x 在(0,1)内有极值，试求a 的取值范围．
解：（Ⅰ）当1a =时，/
2
e (1)1
()1x x f x x x
-=-+，/(1)0f =，(1)e 1f =-． 方程为e 1y =-． …………………4分
（Ⅱ）2e (1)1()(1)x x f x a x x -'=-- 2
e (1)(1)x x ax x x ---=， 2
(e )(1)
x
a x x x --= ．
当0a ≤时，对于(0,)x ∀∈+∞，e 0x ax ->恒成立，
所以 '()0f x > ⇒1x >；
'()0f x < ⇒ 01x <<0.
所以 单调增区间为(1,)+∞，单调减区间为(0,1) ． …………………8分
（Ⅲ）若()f x 在(0,1)内有极值，则'()f x 在(0,1)x ∈内有解．
令'
2(e )(1)()0x ax x f x x --=
= ⇒e 0x
ax -= ⇒e x a x
= . 设e ()x
g x x
= (0,1)
x ∈,
所以 '
e (1)
()x x g x x
-=, 当(0,1)x ∈时，'()0g x <恒成立，
所以()g x 单调递减.
又因为(1)e g =，又当0x →时，()g x →+∞, 即()g x 在(0,1)x ∈上的值域为(e,)+∞,
所以 当e a >时，'
2
(e )(1)
()0x ax x f x x --=
= 有解. 设()e x H x ax =-，则 ()e 0x
H x a '=-< (0,1)x ∈，
所以()H x 在(0,1)x ∈单调递减. 因为(0)10H =>，(1)e 0H a =-<,
所以()e x
H x ax =-在(0,1)x ∈有唯一解0x .
所以有：
所以 当e a >时，()f x 在(0,1)内有极值且唯一.
当e a ≤时，当(0,1)x ∈时，'()0f x ≥恒成立，()f x 单调递增，不成立．
综上，a 的取值范围为(e,)+∞． …………………14分
（20）（本小题共13分）
已知曲线n C 表示,x y 满足*1()n n
x y n N +=∈的方程. （Ⅰ）求出1,2n =时，曲线n C 所围成的图形的面积;
（Ⅱ）若()n S n N *∈表示曲线n C 所围成的图形的面积，求证：()n S n N *
∈关于n 是递增的;
(III) 若方程(2,)n n n x y z n n N +=>∈，0xyz ≠，没有正整数解，
求证：曲线(2,)n C n n N *
>∈上任一点对应的坐标(,)x y ，,x y 不能全是有理数.
解:（Ⅰ）当1,2n = 时, 由图可知11
41122
C =⨯
⨯⨯=, 2πC =. …………………3分
（Ⅱ)要证
()n S n N *∈是关于n 递增的，只需证明：1(n )n n S S N *
+<∈．
由于曲线n C 具有对称性，只需证明曲线n C 在第一象限的部分与坐标轴所围成的面积递 增．
现在考虑曲线n C 与1n C +，
因为 1()(1)n
n
x y n N *+=∈L L 因为 11
1()(2)n n x
y
n N ++*+=∈L L
在(1)和(2)中令00,(0,1)x x x =∈，
当0(0,1)x ∈，存在12,(0,1)y y ∈使得011n n x y +=， 11021n n x y +++=成立，
此时必有21y y >．
因为当0(0,1)x ∈时100n n x x +>，
2016-1东城区上学期期末检测高三数学(理)试题和答案
11 / 11 所以121n n y y +>．
两边同时开n 次方有，122
1n n y y y +>>．
（指数函数单调性） 这就得到了21y y >，
从而()n S n N *∈是关于n 递增的． …………………10分 (III)由于(2,)n n n x y z n n N +=>∈可等价转化为()()1n n x y z z
+=， 反证：若曲线*(2,)n C n n N >∈上存在一点对应的坐标(,)x y ，,x y 全是有理数，
不妨设,q t x y p s =
=，*,,,p q s t N ∈，且,p q 互质，,s t 互质． 则由1n n x y +=可得， 1n n q t p s
+=． 即n n n qs pt ps +=．
这时,,qs pt ps 就是*(2,)n n n x y z n n N +=>∈的一组解，
这与方程*
(2,)n n n x y z n n N +=>∈，0xyz ≠，没有正整数解矛盾，
所以曲线*(2,)n C n n N >∈上任一点对应的坐标(,)x y ，,x y 不能全是有理数． …………………13分。