高中数学综合检测新人教A版必修5(2021年整理)

2017-2018学年高中数学综合检测新人教A版必修5
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综合检测
时间:120分钟满分：150分
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知{a n｝是等比数列，a3＝错误!，a6＝2，则公比q＝( ）
A．－错误!B．－2
C．2 D.错误!
解析：错误!＝q3＝8，∴q＝2.
答案：C
2．若a、b为实数，则下面一定成立的是( )
A．若a＞b，则a4＞b4
B．若|a|＞b，则a2＞b2
C．若a＞|b｜,则a2＞b2
D．若a≠｜b｜,则a2≠b2
解析：a＞｜b|⇔a2＞b2.
答案：C
3．下列命题中正确的是（)
A．a〉b⇒ac2>bc2B．a〉b⇒a2>b2
C．a〉b⇒a3〉b3D．a2〉b2⇒a>b
解析：选项A中，当c＝0时，ac2＝bc2,所以A不正确;选项B中,当a＝0，b＝－1时a〉b，但a2〈b2，所以B不正确；选项D中，当a＝－2,b＝－1时，a2>b2，但a<b，所以D不正确．很明显C正确．
答案：C
4．已知各项均为正数的等比数列｛a n｝，a1·a9＝16，则a2·a5·a8的值为( ）
A．16 B．32
C．48 D．64
解析：由等比数列的性质可得，a1·a9＝a错误!＝16.
∵a n〉0，∴a5＝4，∴a2·a5·a8＝a错误!＝64，故选D.
答案：D
5．在△ABC中，角A，B,C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2－c2＋错误!ac，则角B的大小是（)
A．45° B．60°
C．90° D．135°
解析：由已知得a2＋c2－b2＝错误!ac，所以cos B＝错误!＝错误!＝错误!.又0°〈B<180°，所以B＝45°.
答案:A
6．设等差数列｛a n｝的前n项和为S n,若a1＝－11，a4＋a6＝－6,则当S n取最小值时,n等于（) A．6 B．7
C．8 D．9
解析：∵｛a n}是等差数列，∴a4＋a6＝2a5＝－6，即a5＝－3，
∴d＝错误!＝错误!＝2，故{a n}是首项为－11的递增数列，所有的非正项之和最小．
∵a6＝－1，a7＝1，∴当n＝6时，S n取得最小值．
答案：A
7．在△ABC中，AB＝3,BC＝13,AC＝4,则AC边上的高为（）
A。

错误! B.错误!
C.3
2
D．33
解析：由BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos A，可得13＝9＋16－2×3×4×cos A，得cos A＝错误!.∵A为△ABC的内角，∴A＝错误!，∴AC边上的高h＝AB sin A＝3×错误!＝错误!.
答案：B
8．如果关于x的不等式5x2－a≤0的正整数解是1，2,3，4，那么实数a的取值范围是( ) A．80≤a＜125 B．80＜a＜125
C．a＜80 D．a＞125
解析：由5x2－a≤0，得－错误!≤x≤ 错误!。

而5x2－a≤0的正整数解是1，2，3，4,所以4≤ 错误!＜5，所以80≤a＜125。

答案：A
9．若实数x，y满足不等式组错误!且x＋y的最大值为9,则实数m等于（）
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：作出可行域．如图中阴影部分所示．
由错误!
得A错误!.
平移y＝－x，当其经过点A时，x＋y取得最大值．
即错误!＋错误!＝9,解得m＝1。

答案：C
10．在△ABC中，如果sin A sin B＋sin A cos B＋cos A sin B＋cos A cos B＝2,则△ABC是( ）A．等边三角形B．钝角三角形
C．等腰直角三角形D．直角三角形
解析:由已知，得cos（A－B）＋sin(A＋B）＝2,
又|cos(A－B）｜≤1，|sin(A＋B)｜≤1，
故cos(A－B）＝1且sin(A＋B）＝1，
即A＝B且A＋B＝90°，故选C.
答案：C
11．设x，y∈R，a>1，b>1。

若a x＝b y＝3，a＋b＝23，则错误!＋错误!的最大值为( ）A．2 B。

错误!
C．1 D。

错误!
解析：∵2错误!＝a＋b≥2错误!，∴ab≤3。

由a x＝b y＝3得x＝log a3,y＝log b3，
∴错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝log3a＋log3b＝log3ab≤log33＝1。

故选C.
答案：C
12．数列{a n｝中，a n＞0且｛a n a n＋1｝是公比为q(q＞0)的等比数列，满足a n a n＋1＋a n＋1a n＋2＞a n＋
2a n
＋3
（n∈N*），则（）
A．0＜q＜错误!B．0＜q＜错误!
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C．0＜q＜错误!D．0＜q＜错误!
解析：∵｛a n a n＋1}是公比为q的等比数列，
∴a n a n＋1＝（a1a2)·q n－1，
∴(a1a2）·q n－1＋（a1a2)·q n＞(a1a2)·q n＋1，
∴1＋q＞q2，∴q2－q－1＜0，
∴0＜q＜错误!。

答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)
13．不等式错误!≤x的解集是________．
解析:错误!≤x等价于x－错误!≥0,
即错误!≥0，所以不等式的解集为｛x|－1≤x〈0或x≥1}．
答案：{x|－1≤x〈0或x≥1｝
14．等比数列｛a n}中,a2＝2，a5＝16，那么数列{a n}的前6项和S6＝________。

解析：设公比为q,
由题意，得错误!
解得a1＝1,q＝2,
所以S6＝错误!＝错误!＝63。

答案：63
15。

如图，△ ABC中,AB＝AC＝2，BC＝2错误!,点D在BC边上，∠ADC＝45°，则AD的长度等于________．
解析：在△ABC中，由余弦定理得：
cos C＝错误!＝错误!＝错误!，
∴∠C＝30°。

在△ADC中由正弦定理,得错误!＝错误!,
∴错误!＝错误!。

故AD＝错误!。

答案：错误!
16. 不等式ax2＋4x＋a>1－2x2对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：不等式ax2＋4x＋a>1－2x2对一切x∈R恒成立，
即（a＋2)x2＋4x＋a－1>0对一切x∈R恒成立．
若a＋2＝0,显然不成立;
若a＋2≠0,则
错误!⇔
错误!⇔
错误!⇔a〉2。

答案：(2，＋∞)
三、解答题（本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（12分）△ABC中，BC＝7，AB＝3,且错误!＝错误!。

(1）求AC;
（2）求角A。

解析：(1)由正弦定理，得错误!＝错误!,
∴AB
AC
＝错误!＝错误!。

∴AC＝错误!＝5.
(2)由余弦定理,得
cos A＝错误!＝错误!＝－错误!。

又0°〈A<180°，
∴A＝120°.
18．(12分)已知不等式ax2－3x＋6〉4的解集为｛x｜x〈1或x>b｝．
(1）求实数a,b的值;
(2）当c>2时，解不等式ax2－（ac＋b）x＋bc<0.
解析：(1)因为不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x｜x〈1或x〉b}，所以x1＝1与x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，且b〉1,a〉0，由根与系数的关系，得错误!
解得错误!
(2)不等式ax2－（ac＋b）x＋bc〈0,
即x2－(2＋c）x＋2c<0，即（x－2)（x－c)〈0。

当c>2时，不等式(x－2)（x－c)〈0的解集为｛x｜2〈x<c｝．
19．(12分)设二次方程a n x2－a n＋1x＋1＝0(n∈N＊）有两个实根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3。

（1)试用a n表示a n＋1；
(2）求证：错误!是等比数列；
(3)当a 1＝错误!时，求数列｛a n }的通项公式．
解析：(1）由根与系数的关系，得α＋β＝a n ＋1
a n
，αβ＝错误!,代入6α－2αβ＋6β＝3,并化
简,得a n ＋1＝错误!a n ＋错误!.
（2)证明：因为a n ＋1＝错误!a n ＋错误!， 所以a n ＋1－错误!＝错误!错误!.
因此，数列错误!是公比为错误!的等比数列．
(3)当a 1＝错误!时,a 1－错误!＝错误!，所以错误!是首项为错误!，公比为错误!的等比数列． 所以a n －错误!＝错误!·错误!n －1
＝错误!n
，
故a n ＝错误!＋错误!n
.
20.(12分)要设计如图的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左、中、右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60 000 cm 2
，四周空白的宽度为10 cm,栏与栏之间的中缝空白的宽度为 5 cm ，怎样确定广告矩形栏目高与宽的尺寸
（单位：cm ）,能使整个矩形广告面积最小． 解析：设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ， 则ab ＝20 000，所以b ＝
20 000
a
，
广告的高为（a ＋20）cm ，宽为（3b ＋30)cm （其中a 〉0，b 〉0)， 广告的面积S ＝(a ＋20）(3b ＋30） ＝30(a ＋2b )＋60 600＝30错误!＋60 600 ≥30×2错误!＋60 600 ＝12 000＋60 600＝72 600. 当且仅当a ＝错误!,
即a ＝200时等号成立，此时b ＝100.
故当广告矩形栏目的高为200 cm ，宽为100 cm 时,可使整个矩形广告的面积最小．
21．（13分）在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sin 2
2C ＋sin 2C ·sin C ＋cos 2C ＝1，且a ＋b ＝5，c ＝错误!。

（1)求角C 的大小； (2）求△ABC 的面积．
解析：（1）∵sin 2
2C ＋sin 2C ·sin C ＋cos 2C ＝1，
∴4sin2C·cos2C＋2sin2C·cos C＋1－2sin2C＝1，即2sin2C(2cos2C＋cos C－1)＝0.
∴2sin2C（2cos C－1)（cos C＋1)＝0.
∵在△ABC中，sin C≠0，cos C＞－1,
∴cos C＝错误!，∴C＝错误!。

（2)∵cos C＝b2＋a2－c2
2ab
＝错误!＝错误!，
∴错误!＝错误!，∴ab＝6。

∴S△ABC＝错误!ab sin C＝错误!×6×错误!＝错误!。

22．(13分)已知各项均为正数的数列｛a n}，满足a错误!－a n＋1a n－2a错误!＝0（n∈N*），且a1＝2.
（1)求数列｛a n}的通项公式；
(2)设b n＝a n·log 1
2
a n，若
b n的前n项和为S n，求S n；
（3）在(2）的条件下，求使S n＋n·2n＋1>50成立的正整数n的最小值．解析：（1）∵a错误!－a n＋1a n－2a错误!＝0，
∴(a n＋1＋a n）(a n＋1－2a n）＝0，
∵数列｛a n}的各项均为正数，∴a n＋1＋a n〉0，
∴a n＋1－2a n＝0，
即a n＋1＝2a n（n∈N＊），所以数列{a n｝是以2为公比的等比数列．
∵a1＝2，
∴数列{a n}的通项公式a n＝2n.
(2)由（1）及b n＝a n log 1
2
a n得，
b n＝－n·2n，
∵S n＝b1＋b2＋…＋b n，
∴S n＝－2－2·22－3·23－4·24－…－n·2n①
∴2S n＝－22－2·23－3·24－4·25－…－(n－1）·2n－n·2n＋1②
②－①得,S n＝2＋22＋23＋24＋25＋…＋2n－n·2n＋1
＝错误!－n·2n＋1＝(1－n)·2n＋1－2。

（3)要使S n＋n·2n＋1〉50成立，只需2n＋1－2>50成立，即2n＋1〉52，
∴使S n＋n·2n＋1>50成立的正整数n的最小值为5。