中考数学压轴题专题-二次函数综合问题(解析版)

中考数学压轴题专题-二次函数综合问题（解析版）
中考数学压轴题专题-二次函数综合问题（解析版）
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决胜 2021 中考数学压轴题全揭秘精品专题 09 二次函数综合性问题【考点1】二次函数与经济利润问题【例 1】（2020·辽宁朝阳·中考真题）某公司销
售一种商品，成本为每件 30 元，经过市场调查发现，该商品的日销售量 y （件）与销售单价 x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：
销售单价x（元） 40 60 80 日销售量y（件） 80 60 40 （1）直接写出y 与x 的关系式；
（2）求公司销售该商品获得的最大日利润；
（3）销售一段时间以后，由于某种原因，该商品每件成本增加了 10 元，若物价部门规定该商品销售单价不能超过 a 元，在日销售量 y（件）与销售单价 x （元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是 1500 元，求 a 的值．【答案】（1）；
（2）当销售单价是 75 元时，最大日利润是 2025 元；
（3）70 【分析】（1）根据题中所给的表格中的数据，可以直接写出其关系式；
（2）根据利润等于每件的利润乘以件数，再利用配方法求得其最值；
（3）根据题意，列出关系式，再分类讨论求最值，比较得到结果. 【详解】（1）设解析式为，将和代入，可得，解得，所以 y 与x 的关系式为，所以答案为；
（2），∴抛物线开口向下，函数有最大值∴当时，答：当销售单价是 75 元时，最大日利润是 2025 元．（3）当时，解得，∴有两种情况①时，在对称轴左侧，w 随x 的增大而增大，∴当时，②时，在范围内，∴这种情况
不成立，．【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有一次函数解析式的求解，二次函数应用题，在解题的过程中，注意正确找出等量关系是解题的关键，属于简单题目. 【变式 1-1】（2020·四川遂宁·中考真
题）新学期开始时，某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，打造温馨舒适的学习环境，准备到一家植物种植基地购买 A、B 两种花苗．据了解，购买A 种花苗 3 盆，B 种花苗 5 盆，则需 210 元；
购买 A 种花苗 4 盆，B 种花苗 10 盆，则需 380 元．（1）求A、B 两种花苗的单价分别是多少元？（2）经九年级一班班委会商定，决定购买 A、B 两种花苗共12 盆进行搭配装扮教室．种植基地销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买几盆 B 种花苗，B 种花苗每盆就降价几元，请你为九年级
一班的同学预算一下，本次购买至少准备多少钱？最多准备多少钱？【答案】（1）A、B 两种花苗的单价分别是 20 元和30 元；
（2）本次购买至少准备 240 元，最多准备 290 元【分析】（1）设A、B 两种花苗的单价分别是 x 元和y 元，则，即可求解；
（2）设购买 B 花苗x 盆，则购买 A 花苗为（12﹣x）盆，设总费用为 w 元，由题意得：w＝20（12﹣x）+（30﹣x）x＝﹣x2+10x+240（0≤x≤12），即可求解．【详解】解：（1）设A、B 两种花苗的单价分别是 x 元和y 元，则，解得，答：A、B 两种花苗的单价分别是 20 元和30 元；
（2）设购买 B 花苗x 盆，则购买 A 花苗为（12﹣x）盆，设总费用为 w 元，由题意得：w＝20（12﹣x）+（30﹣x）x＝﹣x2+10x+240（0≤x≤12），∵-1＜0．故w 有最大值，当 x＝5 时，w 的最大值为 265，当x＝12 时，w 的最小值为216，故本次购买至少准备 216 元，最多准备 265 元．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，根据题意准确找到等量关系，建立函数模型是解题的关键. 【变式1-2】（2020·辽宁盘锦·中考真题）某服装厂生产品种服装，每件成本为71 元，零售商到此服装厂一次性批发品牌服装件时，批发单价为元，与之间满足如图所示的函数关系，其中批发件数为10 的正整数倍．（1）当时，与的函数关系式为．（2）某零售商到此服装厂一次性批发品牌服装200 件，需要支付多少元？（3）零售商到此服装厂一次性批发品牌服装件，服装厂的利润为元，问：为何值时，最大？最大值是多少？【答案】（1）（2）18000 元（3）或；
3800 【分析】（1）将两点（100，100），（300，80）代入到一次函数解析式，利用待定系数法即可求解；
（2）将x=200 代入到（1）求出 y 的值，最后求得答案；
（3）当时，求得 y 的最大值，当求得 y 的最大值，最后作答．【详解】解：（1）当100≤x≤300时，设与的函数关系式为 y=kx+b，(k≠0)，将点（100，100），（300，80）代入 y=kx+b ，(k≠0)，，解，得故答案填：（2）当时，元答：零售商一次性批发 200 件，需要支付 18000 元（3）当时，抛物线开口向下当时，随的增大而增大又为 10 的正整数倍时，最大，最大值是 3800 当时，随的增大而减小又为 10 的正整数倍时，最大，最大值是3800 当时，随的增大而增大时，最大，最大值是 3600 ∴当或时，最大，最大值是 3800 【点睛】本题主要考查一次函数和二次函数的应用，根据题意列出函数表达式，熟练运用函数的性质是解决问题的关键．【考点 2】二次函数与几何图形问题【例 2】（2020·四川雅安·）如图，已知边长为 10 的正方形是边上一动点（与不重合），连结是延长线上的点，过点作的垂线交的角平分线于点，若．（1）求证：；
（2）若，求的面积；
（3）请直接写出为何值时，的面积最大．【答案】（1）见解析；
（2）8；
（3）5 【分析】（1）先判断出 CG=FG，再利用同角的余角相等，判断出
∠BAE=∠FEG，进而得出△ABE∽△EGF，即可得出结论；
（2）先求出 BE=8，进而表示出 EG=2+FG，由△BAE∽△GEF，得出，求出 FG，
最后用三角形面积公式即可得出结论；
（3）同（2）的方法，即可得出S△ECF=，即可得出结论. 【详解】解：
（1）∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠DCG=90°，∵CF 平分∠DCG，
∴∠FCG=∠DCG=45°，∵∠G=90°，∴∠GCF=∠CFG=45°，∴FG=CG，∵四边形 ABCD 是正方形，EF⊥AE，∴∠B=∠G=∠AEF=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠FEG=90°，∴∠BAE=∠FEG，
∵∠B=∠G=90°，∴△BAE∽△GEF；
（2）∵AB=BC=10，CE=2，∴BE=8，∴FG=CG，∴EG=CE+CG=2+FG，由（1）知，△BAE∽△GEF，∴，∴，∴FG=8，∴S△ECF=CE•FG=×2×8=8；
（3）设 CE=x，则 BE=10-x，∴EG=CE+CG=x+FG，由（1）知，△BAE∽△GEF，∴，∴，∴FG=10-x，∴S△ECF=×CE×FG=×x•（10-x）=，当 x=5 时，
S△ECF最大=，∴当 EC=5 时，的面积最大. 【点睛】此题是相似形综合题，
主要考查了正方形的性质，角平分线，相似三角形的判定和性质，三角形的面积
公式，判断出△BAE∽△GEF是解本题的关键．【变式 2-1】（2020·山东日照·中考真题）如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地 ABCD，为美化环境，用总长为 100m 的篱笆围成四块矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）．（1）若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE＝3BE；
（2）在（1）的条件下，设 BC 的长度为 xm，矩形区域 ABCD 的面积为 ym2，求y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围．【答案】（1）见解析；
（2），见解析．【分析】（1）由题意易得 AM＝2ME，故可直接得证；
（2）由（1）及题意得 2AB+GH+3BC＝100，设 BC 的长度为 xm，矩形区域 ABCD 的面积为 ym2 即可得出函数关系式．【详解】解：（1）证明：∵矩形 MEFN
与矩形 EBCF 面积相等，∴ME＝BE，AM＝GH．∵四块矩形花圃的面积相等，即S 矩形AMDND＝2S 矩形 MEFN，∴AM＝2ME，∴AE＝3BE；
（2）∵篱笆总长为 100m，∴2AB+GH+3BC＝100，即，∴ 设 BC 的长度为xm，矩形区域 ABCD 的面积为 ym2，则，∵，∴，解得，∴．【点睛】本题
主要考查二次函数的实际应用，关键是根据题意得到线段的等量关系，然后列
出函数关系式即可．【变式 2-2】（2020·广东深圳·中考真题）如图1，抛
物线 y=ax2+bx+3（a≠0）与x 轴交于 A（-3，0）和B（1，0），与y 轴交于点C，顶点为 D．（1）求解抛物线解析式；
（2）连接 AD，CD，BC，将△OBC沿着x 轴以每秒 1 个单位长度的速度向左平移，得到，点 O、B、C 的对应点分别为点，，，设平移时间为 t 秒，当点 O＇
与点 A 重合时停止移动．记与四边形 AOCD 的重叠部分的面积为 S，请直接写出
S 与时间 t 的函数解析式；
（3）如图 2，过抛物线上任意一点 M（m，n）向直线 l：作垂线，垂足为 E，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点 F，使得 ME-MF=？若存在，请求 F 点的
坐标；
若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=-x2-2x+3；
（2）；
（3）存在，．【分析】（1）运用待定系数法解答即可；
（2）分0<t<1、、三种情况解答即可；
（3）设F 点坐标为(-1，t)、点 M（m，n），则有、进而求得 ME，然后分别通
过线段的和差和勾股定理求得 MF 的长，然后得到等式、化简、对比即可求得 t
即可．【详解】解：（1）将A（-3，0）和 B（1，0）代入抛物线解析式
y=ax2+bx+3 中，可得：
，解得：
∴抛物线解析式为 y=-x2-2x+3；
（2）∵y=-x2-2x+3= ∴抛物细的顶点坐标为（-1,4）∵A(-3,0)在直线 AD 上
设抛物线解析式为 y=kx+b 则有，解得：
∴直线 AD 的解析式为 y=2x+6, 当在 AD 上时，令 y=3，即3=2x+6，解得 x=- ① 如图所示，当 0<t<1 时，∴OC=O＇C＇=3,O＇B＇=OB=1,OB＇=1-t ∵O＇C//OC ∴△∽△OM ∴,即，解得：OM=3(1-t) S= S△O＇B＇C＇- S△OMB＇= ②当
时，完全在四边形 AOCD 内，③当时，如图所示，过 G 点作GH⊥，设HG=x，
∵GH//AB ∴,∠HGK=∠KAO ∵ ∴ ∴，∵直线 AD 的解析式为y=2x+6, ∴ ∴ ,∴,KO＇=2AO＇∴ ∵ ∴ ∵O＇C＇= C＇K+AO＇∴ ∴ S=S△O＇B＇C＇-
S△C＇GK = ∴ 综上：；
（3）假设存在，设 F 点坐标为(-1，t)、点 M（m，n）∴ ∴ ∴ 而∴ ∴
∴=- ∴，即∴．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的解
析式、解直角三角形、勾股定理、分类讨论思想和存在性问题，其中掌握二次
函数的性质和分类讨论思想是解答本题的关键．【考点 3】二次函数与抛物线
形问题【例 3】（2020·山东青岛·中考真题）某公司生产型活动板房成本是
每个 425 元．图①表示型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形
的长，宽，抛物线的最高点到的距离为．（1）按如图①所示的直角坐标系，
抛物线可以用表示，求该抛物线的函数表达式；
（2）现将型活动板房改造为型活动板房．如图②，在抛物线与之间的区域内加装一扇长方形窗户，点，在上，点，在抛物线上，窗户的成本为 50 元．已知，
求每个型活动板房的成本是多少？（每个型活动板房的成本＝每个型活动板房
的成本+一扇窗户的成本）（3）根据市场调查，以单价 650 元销售（2）中的
型活动板房，每月能售出 100 个，而单价每降低 10 元，每月能多售出 20
个．公司每月最多能生产 160 个型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单
价（元）定为多少时，每月销售型活动板房所获利润（元）最大？最大利润是多少？【答案】（1）（2）500（3）n=620 时，w 最大=19200 元【分析】（1）根据图形及直角坐标系可得到 D,E 的坐标，代入即可求解；
（2）根据 N 点与M 点的横坐标相同，求出 N 点坐标，再求出矩形 FGMN 的面
积，故可求解；
（3）根据题意得到 w 关于n 的二次函数，根据二次函数的性质即可求
解．【详解】（1）由题可知 D（2,0），E（0,1）代入到得解得∴抛物线的函数表达式为；
（2）由题意可知 N 点与 M 点的横坐标相同，把 x=1 代入，得y= ∴N（1，）∴MN=m，∴S四边形FGMN=GM×MN=2×=，则一扇窗户的价格为×50=75元因此每个 B 型活动板的成本为 425+75=500 元；
（3）根据题意可得 w=(n-500)（100+20×）=-2（n-600）2+20000, ∵一个月
最多生产 160 个，∴100+20×≤160解得n≥620 ∵-2＜0 ∴n≥620时，w 随n 的增大而减小∴当 n=620 时，w 最大=19200 元．【点睛】此题主要考查二
次函数的综合运用，解题的关键是熟知待定系数法、二次函数的图像与性质．【变式 3-1】（2020·浙江初三其他模拟）一隧道内设双行公路，隧道的高 MN 为 6 米．下图是隧道的截面示意图，并建立如图所示的直角坐标系，它是由一段抛物线和一个矩形 CDEF 的三条边围成的，矩形的长 DE 是 8 米，宽 CD 是2 米．（1）求该抛物线的解析式；
（2）为了保证安全，要求行驶的车辆顶部与隧道顶部至少要有 0.5 米的距离．若行车道总宽度 PQ（居中，两边为人行道）为 6 米，一辆高 3.2 米的货运卡车（设为长方形）靠近最右边行驶能否安全？请写出判断过程；
（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABHG，使H、G 两点在抛物线上，A、B 两点在地面 DE 上，设 GH 长为n 米，“脚手架”三根木杆 AG、GH、HB 的长度之和为 L，当n 为何值时 L 最大，最大值为多少？【答案】
（1）y=-x2+4；
（2）能安全通过，见解析；
（3）n=4 时，L 有最大值，最大值为 14 【分析】（1）根据题意和函数图
象，可以设出抛物线的解析式，然后根据抛物线过点 F 和点M 即可求得该抛物线的解析式；
（2）先求出抛物线的解析式，再根据题意判断该隧道能通过的车辆的最高高度，便可判断该车辆能安全通过．（3）射出 H 的坐标，用 n 表示出 L，利用
二次函数的性质求解即可．【详解】解：（1）由题意得 M（0，4），F（4，0）可设抛物线的解析式为 y=ax2+4，将 F（4，0）代入 y=ax2+4 中，得 a=- ，∴抛物线的解析式为 y=-x2+4；
（2）当 x=3，y=， +2-=3.253.2，∴能安全通过；
（3）由 GH=n，可设 H（），∴GH+GA+BH=n+（）×2+2×2=，∴L=，∵a＜ 0，抛物线开口向下，∴当 n=-=4 时，L 有最大值，最大值为 14．【点睛】本题
考查了二次函数的实际应用，解题的关键是要注意自变量的取值范围必须使实
际问题有意义．【变式 3-2】（2020·河北初三一模）有一座抛物线型拱桥，
在正常水位时水面的宽为 18 米，拱顶离水面的距离为 9 米，建立如图所示的平
面直角坐标系. （1）求此抛物线的解析式；
（2）一艘货船在水面上的部分的横断面是矩形. ①如果限定矩形的长为 12 米，那么要使船通过拱桥，矩形的高不能超过多少米？②若点，都在抛物线上，设，当的值最大时，求矩形的高. 【答案】（1）此抛物线的解析式为 y=- x2；
（2）①要使船通过拱桥，矩形的高 DE 不能超过 5 米；
②矩形 CDEF 的高为米. 【分析】（1）根据题意设抛物线的解析式为 y=ax2 （a≠0）．把已知坐标（9，-9）代入解析式求得 a 即可；
（2）①已知 CD=12，把已知坐标代入函数关系式可求解；
②设 DM=a 米，可得 EF=CD=2DM=2a 米、DE=FC=9-a2，根据 L=EF+DE+CF 求得 L 的值最大时 a 的值，代入 DE=9-a2 问题可解．【详解】解：（1）根据题意，设抛物线解析式为：y=ax2，将点Ｂ（9，-9）代入，得：81a=-9，解得：a=-，此抛物线的解析式为 y=-x2；
（2）①当 x=6 时，y=-×36=-4，∵9-4=5，∴矩形的高 DE 不能超过 5 米，才能使船通过拱桥；
要使船通过拱桥，矩形的高 DE 不能超过 5 米；
②设 DM=a 米，则 EF=CD=2DM=2a 米，当 x=a 时，y=-a2，∴DE=FC=9-a2，则
L=2a+2（9-a2）=-a2+2a+18=-（a-）2+，∴当 a=时，L 取得最大值，矩形CDEF 的高为米【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式及二次
函数的应用，根据已知条件得出 L 的函数关系式及其最值情况是解题关
键． 1．（2020·安徽中考真题）如图和都是边长为的等边三角形，它们的边在同一条直线上，点，重合，现将沿着直线向右移动，直至点与重合时停止移动．在此过程中，设点移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，则随变
化的函数图像大致为（） A． B． C． D．【答案】A 【分析】根据图象可得出重叠部分三角形的边长为 x,根据特殊角三角函数可得高为,由此得出面积 y 是x 的二次函数,直到重合面积固定,再往右移动重叠部分的边长变为(4－x),同时可得【详解】 C 点移动到 F 点,重叠部分三角形的边长为 x,由于是等边三角形,则高为,面积为y=x··=, B点移动到 F 点,重叠部分三角形的边长为(4－x), 高为,面积为 y=(4－x)··=, 两个三角形重合时面积正好为. 由二次函数图象的性质可判断答案为 A, 故选 A. 【点睛】本题考查三角形运动面积和二次函数图像性质,关键在于通过三角形面积公式结合二次函数图形得出结论. 2．（2020·湖南长沙·中考真题）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐
时，我们把焦脆而不糊的豆腐块数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，“可食用率”p 与加工煎炸的时间 t（单位：分钟）近似满足函数关系式：（a，b，c 为常数），如图纪录了三次实验数据，根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为( ) A．3.50 分钟 B．4.05 分钟C．3.75 分钟 D．4.25 分钟【答案】C 【分析】将图中三个坐标代入函数关
系式解出 a 和b,再利用对称轴公式求出即可．【详解】将
(3,0.8)(4,0．9)(5,0.6)代入得: ②－①和③－②得⑤－④得,解得 a=﹣
0.2．将 a=﹣0.2．代入④可得 b=1.5．对称轴=．故选 C．【点睛】本题
考查二次函数的三点式,关键在于利用待定系数法求解,且本题只需求出 a 和b 即可得出答案． 3．（2020·山西中考真题）竖直上抛物体离地面的高度与运
动时间之间的关系可以近似地用公式表示，其中是物体抛出时离地面的高度，
是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面的高处以的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（） A． B． C． D．【答案】C 【分析】将=，=代入，利用二次函数的性质求出最大值，即可得出答案．【详解】解：依题意得：=，=，把=，=代入得当时，故小球达到的离地面的最大高
度为：
故选：C 【点睛】本题考查了二次函数的性质的应用利用二次函数在对称轴处取得最值是解决本题的关键属于基础题． 4．（2020·四川绵阳·中考真题）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为 10 米，孔顶离水面 1.5 米；
当水位下降，大孔水面宽度为14 米时，单个小孔的水面宽度为4 米，若大孔水面宽度为20 米，则单个小孔的水面宽度为（） A．4 米 B．5 米 C．2 米D．7 米【答案】B 【分析】根据题意，可以画出相应的抛物线，然后即可得到大孔所在抛物线解析式，再求出顶点为 A 的小孔所在抛物线的解析式，将 x= ﹣10 代入可求解．【详解】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得 MN=4，EF=14，BC=10，DO=，设大孔所在抛物线解析式为 y=ax2+，
∵BC=10，∴点 B（﹣5，0），∴0=a×（﹣5）2+，∴a=-，∴大孔所在抛
物线解析式为 y=-x2+，设点 A（b，0），则设顶点为 A 的小孔所在抛物线的解析式为 y=m（x﹣b）2，∵EF=14，∴点 E 的横坐标为-7，∴点 E 坐标为（- 7，-），∴-=m（x﹣b）2，∴x1=+b，x2=-+b，∴MN=4，∴|+b-（-+b）|=4 ∴m=-，∴顶点为 A 的小孔所在抛物线的解析式为 y=-（x﹣b）2，∵大孔水
面宽度为 20 米，∴当 x=-10 时，y=-，∴-=-（x﹣b）2，∴x1=+b，x2=-
+b，∴单个小孔的水面宽度=|（+b）-（-+b）|=5（米），故选：B．【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 5．（2020·湖北初三一模）如图，在直角坐标系xOy 中，抛物线与x 轴相交于O，A 两点，点B 是抛物线上一点，且△AOB的面积等于8，则符合条件的点B 有个．【答案】3 【分析】先根据函数
图像经过原点求出c 的值，进而求出A 点坐标，根据三角形的面积公式求出高的长度，即可求出B 点坐标．【详解】∵经过原点∴c=0，∴= 令=0 解得
x1=0,x2=4 ∴A（4，0）∴OA=4 ∵S△AOB=OA×h=8 ∴h=4 令，即解得x1=2, x2=, x3= 故B 点个数有3 个故答案为：3．【点睛】此题主要考查二次函数与几何综合，解题的关键是求出A 点坐标． 6．（2020·河北初三其他模拟）如图，为一块铁板余料，，高AD=10，要用这块余料裁出一个矩形，使矩形的
顶点，分别在边上，上，顶点，在边上上，则矩形面积的最大为
．【答案】25 【分析】设 PN=b，根据平行线定理判定，再由相似
三角形对应边成比例性质，解得，最后将二次函数配方成顶点式解题即
可．【详解】设 PN=b，矩形面积的最大为 25 故答案为：25 【点睛】本题考查二次函数的最值、相似三角形的判定与性质、配方法等知识，是重要考
点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 7．（2020·吉林初三一模）二次
函数 y＝2x2﹣4x+4 的图象如图所示，其对称轴与它的图象交于点 P，点 N 是其
图象上异于点 P 的一点，若PM⊥y轴，MN⊥x轴，则＝．【答案】
2．【分析】根据题目中的函数解析式可得到点 P 的坐标，然后设出点 M、点
N 的坐标，然后计算即可解答本题．【详解】解：∵二次函数 y＝2x2﹣4x+4
＝2（x﹣1）2+2，∴点P 的坐标为（1，2），设点M 的坐标为（a，2），则
点N 的坐标为（a，2a2﹣4a+4），∴＝＝＝2，故答案为：2．【点睛】本
题考查了二次函数与几何的问题，解题的关键是求出点P 左边，设出点M、点N 的坐标，表达出． 8．（2020·安庆市第十四中学初三零模）如图，在平面直
角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+3x+2 与y 轴交于点A，点B 是抛物线的顶点，点
C 与点A 是抛物线上关于对称轴对称的两个点，点
D 在x 轴上运动，则四边形ABCD 的两条对角线的长度之和的最小值为．【答案】【分析】先将函
数化为顶点式，所以顶点坐标，对称轴为直线，BD 最小值为，又点C 与点A 是
抛物线上的两个对称点，对称轴为直线，所以C（3，2），AC＝3，因此四边形ABCD 的两条对角线的长度之和AC+BD 的最小值为．【详解】解：∵y＝﹣
x2+3x+2＝，∴，对称轴为直线∴当BD⊥x轴时，BD 最小，BD＝令x＝0，则
y＝2，∵C与点A 是抛物线上关于对称轴对称的两个点，对称轴为直线，∴C （3，2）∴AC＝3，四边形 ABCD 的两条对角线的长度之和 AC+BD 的最小值为，故答案为．【点睛】本题结合抛物线的图象与性质考查了动点与最值问题，熟练掌握抛物线的图象与性质，找到取得最值时的动点位置是解答关键. 9．（2020·吉林长春·初三一模）如图，直线y＝x+1 与抛物线y＝x2﹣4x+5
交于A，B 两点，点P 是y 轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，点P 的坐
标为．【答案】（0，）【分析】首先确定点A 和点B 的坐标，然后根据轴对称，可以求得使得△PAB的周长最小时点P 的坐标．【详解】解：由
可解得或，∴点A 的坐标为（1，2），点B 的坐标为（4，5），∴AB＝，作点A 关于y 轴的对称点A′，连接A′B与y 轴交于P，则此时△PAB的周长最小，∵点A′的坐标为（﹣1，2），点B 的坐标为（4，5），∴可设直线
A′B的函数解析式为y＝kx+b，则由可得∴直线A′B的函数解析式为y
＝，∴当 x＝0 时，y＝，即点 P 的坐标为（0，），故答案为：（0，）．【点睛】本题考查函数图象相交与轴对称的综合应用，作出A 关于
y 轴的对称点A′并连接A′B交y 轴于点P 后求出P 点坐标是解题的主要思路
和关键所在． 10．（2020·浙江湖州·初三月考）如图，假设篱笆（虚线部分）的长度是8m，则所围成矩形ABCD 的最大面积是m．【答案】16
【分析】首先设围成矩形的长是，则宽为，利用面积公式写出矩形的面积表达式，再配方，将其写成顶点式，然后根据二次函数的性质可得答案．【详解】解：设围成矩形的长是，则宽为，矩形的面积为：
．二次项系数为，当时，有最大值，最大值为 16．故答案为：16．【点
睛】本题考查了二次函数在几何图形问题中的应用，熟练掌握二次函数的性
质并数形结合是解题的关键． 11．（2020·吉林长春·初三其他模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形 OABC 的顶点 A 在轴正半轴上，顶点 C 在轴正半轴
上，若抛物线经过 B，C 两点，则该抛物线的最低点到边 BC 的距离为
．【答案】【分析】设正方形边长为 a，则C 点坐标为（0，
a），所以根据题意可以用 a 表示出抛物线的最低点坐标并求得抛物线的最低点
到边 BC 的距离．【详解】解：设正方形边长为 a，则C 点坐标为（0，a），
代入抛物线方程得：
，解得：
，所以抛物线最低点坐标为：（1，k），即，因为 BC 与x 轴平行，所以根据
C 点坐标可得直线 BC 的方程为：x=a，所以所求距离为：，故答案
为．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，在解题中学会用符号表示未知量是解题关键． 12．（2020·山东初三一模）在平面直角坐标系中，已知、，
B 为y 轴上的动点，以AB 为边构造，使点
C 在x 轴上，为BC 的中点，则PM 的
最小值为．【答案】【解析】【分析】如图，作AH⊥y轴于H，
CE⊥AH于E．则四边形CEHO 是矩形，OH=CE=4，由△AHB∽△CEA，得，推出，
推出AE=2BH，设BH=x 则AE=2x，推出B（0，4﹣x），C（2+2x，0），由BM=CM，推出M（1+x，），可得PM，由此即可解决问题．【详解】如图，作AH⊥y轴
于H，CE⊥AH于E．则四边形CEHO 是矩形，
OH=CE=4．∵∠BAC=∠AHB=∠AEC=90°，∴∠ABH+∠HAB=90°，
∠HAB+∠EAC=90°，∴∠ABH=∠EAC，∴△AHB∽△CEA，∴，∴，∴AE=2BH，设BH=x 则 AE=2x，∴OC=HE=2+2x，OB=4﹣x，∴B（0，4﹣x），C（2+2x，
0）．∵BM=CM，∴M（1+x，）．∵P（1，0），∴PM，∴x时，PM 有最小值，最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、两
点间距离公式、二次函数的应用等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造
相似三角形解决问题，学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问
题，属于中考常考题型． 13．（2020·江苏初三二模）如图，中，点是边上一点，点是线段上的动点，连接，以为斜边在的下方作等腰连接当从点出发运动
至点停止的过程中，面积的最大值等于【答案】【分析】设①当时，作于于.先证明，进而可得四边形是正方形；
设，用 x、y 表示出 PB 和OH，然后运用三角形的面积公式二次函数求最值即
可；
②当时，同理（1）可得，根据二次函数的性质可得，当 x=4 时有最大值．然后
比较即可确定最大值．【详解】解：设①如图 1，当时，作于于.
∴∠OHP=∠OGA=90° ∵四边形 AOPC 中，∠C=90°，∠AOP=90°
∴∠CAB+∠OPC=180° ∵∠BPO+∠OPC=180° ∴∠OPH=∠OAG ∵在△AOG 和
△POH ∠OHP=∠OGA，∠OPH=∠OAG，AO=OP ∴，∴OH=OG
∵∠OHP=∠OGA=∠C=90°∴四边形是正方形设，则，得，即有. ∴ ∴ 所以
当时，②如图 2，当时，同理可得所以当 x=4 时，综上，当时，．【点
睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、三角形的面积、二次根式求最值以及分类讨论思想，证得四边形是正方形是解答本题的关键． 14．（2020·德惠市第九中学初三其他模拟）研究抛物线的性质时，将一个直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线
交于A，B 两点（如图），将三角板绕点O 旋转任意角度时发现，交点A，B 所
连线段总经过一个固定的点，则该定点的坐标是．【答案】【分析】本题可通过作垂直辅助线，并假设A、B 点坐标，继而利用待定系数法求解直线AB 截距项，证明△AEO与△OFB相似，最后利用相似性质求解截距项以解本
题．【详解】作AE⊥x 轴，BF⊥x 轴，如下图所示：
设，，其中 m、n 均为正数，设直线 AB 的解析式：，将 A、B 点代入可得：，
解该方程组可得：．∵∠AOB=90° ∴∠AOE+∠BOF=90°，又
∵∠BOF+∠OBF=90°，∴∠AOE=∠OBF，∵∠AEO=∠OFB=90°，∴, ∴ ,∵，，，，∴，故，则．综上，不论 k 取何值，直线 AB 恒过点．故填：．【点睛】本题考查二次函数与三角形的综合问题，难点在于已知信息
过少，因此需要假设未知量表示线段以及点的信息，化抽象为形象，相似或全
等的证明直角互余、角的互换常作为解题工具． 15．（2020·陕西中考真题）
如图，抛物线 y＝x2+bx+c 经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交
点分别为 A，B，C，它的对称轴为直线 l．（1）求该抛物线的表达式；
（2）P 是该抛物线上的点，过点 P 作l 的垂线，垂足为 D，E 是l 上的点．要
使以 P、D、E 为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点 P，点 E 的坐标．【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；
（2）点 P 的坐标为（2，5）或（﹣4，5）；
点E 的坐标为（﹣1，2）或（﹣1，8）．【分析】（1）根据待定系数法，将
点（3，12）和（﹣2，﹣3）代入抛物线表达式，即可求解；
（2）在△AOC中，OA＝OC＝3，由题意：以 P、D、E 为顶点的三角形与△AOC全
等可知 PD＝DE＝3，再分点 P 在抛物线对称轴右侧、点 P 在抛物线对称轴的左侧
两种情况，求解即可．【详解】解：（1）将点（3，12）和（﹣2，﹣3）代入
抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）抛物线的对称轴为 x＝﹣1，令 y＝0，则 x＝﹣3 或 1，令 x＝0，则 y＝﹣ 3，故点 A、B 的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0）；
点 C（0，﹣3），故 OA＝OC＝3，∵∠PDE＝∠AOC＝90°，∴当 PD＝DE＝3 时，以 P、D、E 为顶点的三角形与△AOC全等，设点 P（m，n），当点 P 在抛
物线对称轴右侧时，m﹣（﹣1）＝3，解得：m＝2，故 n＝22+2×2﹣3＝5，故点 P （2，5），故点 E（﹣1，2）或（﹣1，8）；
当点 P 在抛物线对称轴的左侧时，由抛物线的对称性可得，点 P（﹣4，5），
此时点 E 坐标同上，综上，点 P 的坐标为（2，5）或（﹣4，5）；
点E 的坐标为（﹣1，2）或（﹣1，8）．【点睛】本题主要考查了二次函数
与几何运用，涉及到三角形全等，掌握数形结合思想是解答关键，其中（2）需
要分类求解，避免遗漏． 16．（2020·湖北武汉·初三一模）某坦克部队需要
经过一个拱桥（如图所示），拱桥的轮廓是抛物线形，拱高 OC＝6m，跨度 AB＝
20m，有5 根支柱：AG、MN、CD、EF、BH，相邻两支柱的距离均为 5m．（1）
以AB 的中点为原点，AB 所在直线为 x 轴，支柱 CD 所在直线为 y 轴，建立平面
直角坐标系，求抛物线的解析式；
（2）若支柱每米造价为 2 万元，求 5 根支柱的总造价；
（3）拱桥下面是双向行车道（正中间是一条宽 2m 的隔离带），其中的一条行
车道是坦克的行进方向，现每辆坦克长 4m，宽2m，高3m，行驶速度为。